Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών
Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες Στερεά
Σημεία και διανύσματα P= O+ v n x i i i P= O+ e i i Η τριάδα/τετράδα / O, ei ονομάζεται αφφινικό σύστημα αναφοράς, ενώ οι ποσότητες αφφινικές συντεταγμένες x i
Σημεία και διανύσματα Q P Μπορούμε να ορίσουμε ως διαφορά δύο σημείων το διάνυσμα που τα ενώνει, δηλ,, τη διαφορά των διανυσμάτων αναφοράς των δύο σημείων u v
Σημεία και διανύσματα Q P Μπορούμε να ορίσουμε ως διαφορά δύο σημείων το διάνυσμα που τα ενώνει Το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο του συστήματος αναφοράς Παρατήρηση: με το ορισμό της διαφοράς σημείων, ορίζουμε έμμεσα το άθροισμα σημείου με διάνυσμα.
Το αντίστοιχο για το άθροισμα Το αντίστοιχο για το άθροισμα δεν ισχύει.
Το αποτέλεσμα της άθροισης των διανυσμάτων αναφοράς εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς
Σημεία και διανύσματα a + b= 1 W= a P+ bq Αξιοσημείωτη περίπτωση: γραμμικός συνδυασμός με συντελεστές οι οποίοι αθροιζόμενοι δίνουν την μονάδα. αφφινικός συνδυασμός
Σημεία και διανύσματα a + b= 1 W= a P+ bq Το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο του συστήματος αναφοράς
Αφφινικός συνδυασμός W = a P+ b Q a+ b= 1 a > 1, b< 0 Ο αφφινικός συνδυασμός δύο σημείων παράγει την ευθεία που διέρχεται από αυτά τα σημεία
Αφφινικός συνδυασμός W = a P+ b Q a+ b= 1 Ο αφφινικός συνδυασμός δύο σημείων παράγει την ευθεία που διέρχεται από αυτά τα σημεία a < 0, b > 1
Αφφινικός συνδυασμός Αφφινικός συνδυασμός Κυρτός συνδυασμός a b W P+ Q = b P W 1 a b a b W P+ Q = + = b b a = P W W Q 0 0 b a b 0, 0 a b
Αφφινικός συνδυασμός ab<, 0 c> 1 W = ap+ bq+ cr a+ b+ c= a, b, c 0 1 a+ b> 1, c<0
κυρτός συνδυασμός W = λ P, i i i λ i = 1, λ i 0. i Ο αφφινικός συνδυασμός σημείων παράγει την κυρτή θήκη του συνόλου των σημείων.
Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Γεωμετρικοί (Ευκλείδειοι) μετασχηματισμοί Ισομετρικοί Μεταφορές Περιστροφές Κατοπτρισμοί Ομοιόμορφες αλλαγές κλίμακας Ανισότροπες αλλαγές κλίμακας Διάτμηση
Αφφινικοί Μετασχηματισμοί
Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Μπορούν να αναπαρασταθούν ως: Φ( p) = Ap+ Όπου πίνακας και διάνυσμα. A t Το γινόμενο πίνακα με σημείο ορίζεται ως όπου το σημείο αναφοράς και το διάνυσμα θέσης του A p:= : = O+ Au, O u t p
Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Μεταφορά T ( p ) = p+t t
Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Περιστροφή γύρω από το σημείο αναφοράς cos( θ ) sin( θ ) R θ( p) = sin( θ) cos( θ) p
Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Ανισότροπες αλλαγές κλίμακας ως προς το σημείο αναφοράς S sx, sy sx 0 ( p) = 0 sy p
Ιδιότητες Η διαδοχική εφαρμογή δύο αφφινικών μετασχηματισμών είναι επίσης αφφινικός μετασχηματισμός Ο αντίστροφος μετασχηματισμός (εάν ορίζεται) είναι επίσης αφφινικός Ένας 2Δ/3Δ αφφινικός μετασχηματισμός ορίζεται πλήρως εάν ορισθούν οι εικόνες τριών/τεσσάρων μη συνευθειακών / συνεπίπεδων σημείων (γιατί;)
Αφφινικοί Μετασχηματισμοί T t ( p ) = p+ t, t= O q Περιστροφή γύρω από δεδομένο σημείο cos( θ) sin( θ) R T = θ ( t( p)) T i() () ( ) t sin( θ cos( θ p T t(r θ ( T t ( p ))) = R θ ( T t ( p )) t
Ιδιότητες (αναλλοίωτες) Οι αφφινικοί μετασχηματισμοί διατηρούν αναλλοίωτους τους αφφινικούς συνδυασμούς σημείων δηλ. Φ ( ) λp = λφ( p ), λ = 1. i i i i i i i i Οι αφφινικοί μετασχηματισμοί διατηρούν αναλλοίωτο το λόγο τριών διαφορετικών συνευθειακών σημείων b a Φ ( b ) Φ ( a ) ratio( a,b,c) = = c b Φ( c) Φ( b) Οι αφφινικοί μετασχηματισμοί, οι οποίοι διαθέτουν αντίστροφο, διατηρούν την συνευθειακότητα, την συνεπιπεδότητα και την παραλληλία
Ομογενείς Συντεταγμένες Παρατήρηση: Η αναπαράσταση της Μεταφοράς είναι διαφορετική (άθροισμα πινάκων) από αυτή των υπόλοιπων αφφινικών μετασχηματισμών (γινόμενο). Ομογενείς Συντεταγμένες: ( x, y ) T ( x, y,1) T Μέσω αυτών όλοι οι αφφινικοί μετασχηματισμοί αναπαρίστανται ως γινόμενα πινάκων. x A A v 11 12 x 1 y A A y = + v 21 22 2 A A v x 11 12 1 x A A v = y y 21 22 2 1 0 0 1 1
Αναπαράσταση Γεωμετρικών Πεπλεγμένο μοντέλο Μορφών Η καμπύλη μορφή ορίζεται ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ικανοποιούν (εν γένει) ένα σύστημα αλγεβρικών 2D καμπύλες f( x, y ) = 0 ( xy, ) Ω 3D καμπύλες (πολυωνυμικών) εξισώσεων. f (,, ) 0 1 x y z = f ( xyz=,, 2 ) 0 Επιφάνειες f( x, y, z) = 0 ( xyz,, ) Ω 2 3
Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Παραδείγματα αναπαράστασης μέσω πεπλεγμένου μοντέλου Ευθεία που διέρχεται από δεδομένο σημείο P και είναι κάθετη σε δεδομένο διάνυσμα n Q Το τυχαίο σημείο Q της ευθείας σχηματίζει με το P διάνυσμα κάθετο με το, δηλαδή, ισχύει: ( Q P) in = 0 n n O P
Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Παραδείγματα αναπαράστασης μέσω πεπλεγμένου μοντέλου Κύκλος δεδομένου κέντρου P και ακτίνας R Q Το τυχαίο σημείο Q του κύκλου σχηματίζει με το P διάνυσμα μήκους R, δηλαδή, ισχύει: ( Q P) i( Q P) = R 2 O P R
Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών 2D καμπύλες t Q () t t I 3D καμπύλες t Q() t t I 3 2 Παραμετρικό μοντέλο Η καμπύλη μορφή ορίζεται μέσω διανυσματικής συνάρτησης η οποία απεικονίζει ένα δεδομένο παραμετρικό χωρίο στα σημεία του χώρου που την αποτελούν. rs Q(,) (,) rs Επιφάνειες Ω 2 3
Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Παραδείγματα αναπαράστασης μέσω παραμετρικού μοντέλου Ευθεία που διέρχεται από δεδομένο σημείο και είναι παράλληλη σε δεδομένο διάνυσμα Q t Έστω ότι η παράμετρος t είναι τυχαίος πραγματικός αριθμός. Το τυχαίο σημείο της ευθείας Q t μπορεί να γραφεί ως: Q () t = P + tn, t (, ) O n P
Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Παραδείγματα αναπαράστασης μέσω παραμετρικού μοντέλου Ευθεία που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία, P 1, P 2 τμήμα και αντίστοιχο ευθύγραμμο Ο αφφινικός συνδυασμός των σημείων Q = a P + b P, a + b = 1 1 2 παράγει την ευθεία Θεωρώντας ότι η παράμετρος t είναι τυχαίος πραγματικός αριθμός και αντικαθιστώντας το b με το t, ο παραπάνω συνδυασμός μπορεί να γραφεί ως: Q( t) = (1 t) P + tp, t (, ) 1 2 O P 1 Q t P 2
Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Παραδείγματα αναπαράστασης μέσω παραμετρικού μοντέλου Ευθεία που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία, P 1, P 2 τμήμα και αντίστοιχο ευθύγραμμο Το ευθύγραμμο τμήμα παράγεται από τον κυρτό συνδυασμό των σημείων,, δηλ: P 1 Q= ap 1 + bp2, a+ b= 1, a 0, b 0 αντικαθιστώντας το b με το t, ο παραπάνω συνδυασμός μπορεί να γραφεί ως: Q( t) = (1 t) P + tp, t [0,1] 1 2 O Q t P 2
Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Παραδείγματα αναπαράστασης μέσω παραμετρικού μοντέλου Κύκλος δεδομένου κέντρου P και ακτίνας R Το τυχαίο σημείο του κύκλου Q γράφεται ως άθροισμα του σημείου P και του διανύσματος Q P: Q P+ Q- P ) P R t Q t Θεωρώντας ότι η παράμετρος t είναι η πολική γωνία του διανύσματος Q t P η παραπάνω έκφραση μπορεί να γραφεί ως: ( ) Q () t P + R cos(),sin() t t, O t [0,2 π] T
Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Παραδείγματα αναπαράστασης μέσω παραμετρικού μοντέλου Τόξο κύκλου δεδομένου κέντρου P και ακτίνας R που οριοθετείται από δεδομένες πολικές γωνίες θ 1 και θ 2 θ 2 Q t R ( ) Q() t P+ R cos(),sin() t t, t [ θ, θ ] 1 2 T P θ 1 O
Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Παραμετρικό μοντέλο Πεπλεγμένο μοντέλο Δυνατή η άμεση εύρεση όλων των σημείων της μορφής Βιομηχανικό πρότυπο για CAD με μεγάλο όγκο ισχυρών αριθμητικών μεθόδων Αλλά χρησιμοποιεί «τεχνητές» παραμέτρους που δεν διαθέτουν άμεσο γεωμετρικό νόημα Δυνατή η άμεση απάντηση στο ερώτημα αν δεδομένο σημείο ανήκει στην μορφή ή γενικότερα (στην στερεά μοντελοποίηση) στο ερώτημα της «κατάταξης σημείου ως προς στερεό μοντέλο» Αν το παραμετρικό μοντέλο περιορισθεί στις ρητές συναρτήσεις και το πεπλεγμένο στις αλγεβρικές (πράγμα που ισχύει σήμερα στην πράξη ) τότε οι μορφές που μπορούν να αναπαρασταθούν μέσω του πεπλεγμένου μοντέλου είναι υπερσύνολο αυτών του παραμετρικού