ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 1 ΒΑΣΙΚΕΣΕΝΝΟΙΕΣ Χρονολογική Σειρά (χρονοσειρά) είναι ένα δείγµα y1,y2,,yt όπου ο δείκτης t παριστάνει ισαπέχοντα χρονικά σηµεία (έτη, µήνες, ηµέρες κ.τ.λ) ή χρονικά διαστήµατα. Ως στοχαστική διαδικασία (Stochastc Process) θεωρείται µια άπειρη διαδικασία τυχαίων µεταβλητών Y1,Y2,.,Yt, όπου οι παρατηρήσεις y1,y2,,yt είναι συγκεκριµένες τιµές ή πραγµατοποιήσεις των τυχαίων µεταβλητών Άρα µια σειρά Τ διαδοχικών παρατηρήσεων (y1,y2,,yt), είναι µια συγκεκριµένη πραγµατοποίηση µιας στοχαστικής διαδικασίας (σκεφτείτε το πληθυσµό και το δείγµα)
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 2 Τύποι δεδοµένων ιαστρωµατικά Τα διαστρωµατικά δεδοµένα αποτελούν ένα τυχαίο δείγµα. Κάθε παρατήρηση είναι ένα νέο άτοµο, εταιρία κλπ. µε πληροφορίες για κάθε δεδοµένη χρονική στιγµή. Εάν τα δεδοµένα δεν αποτελούν τυχαίο δείγµα, τότε παρουσιάζεται πρόβληµα στην επιλογή δείγµατος.
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 3 Τύποι εδοµένων Ενοποιηµένα (Πάνελ - Pael) Μπορούµε να ενώσουµε τυχαία διαστρώµατα και να τα επεξεργαστούµε όµοια σαν ένα κανονικό διάστρωµα. Θα χρειαστεί να υπολογίσουµε µόνο τις χρονικές διαφορές. Μπορούµε να παρακολουθήσουµε τις ίδιες τυχαίες παρατηρήσεις µε την πάροδο του χρόνου γνωστές ως ενοποιηµένα δεδοµένα ή µακροχρόνια δεδοµένα. Θα τα επεξεργαστούµε στα Οικονοµετρικά Πρότυπα
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 4 Τύποι δεδοµένων Χρονοσειρές Τα δεδοµένα χρονοσειρών έχουν µία διαφορετική παρατήρηση για κάθε χρονική περίοδο π.χ. τιµές µετοχών Αφού δεν αποτελούν ένα τυχαίο δείγµα, έχουµε να αντιµετωπίσουµε ένα διαφορετικό πρόβληµα. Σηµαντικά θέµατα είναι η τάση και η εποχικότητα Αποτελούν το βασικό αντικείµενο µελέτης του συγκεκριµένου µαθήµατος.
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Σελίδα 5 Μοντέλα Χρονοσειρών και Αιτιοκρατικά Μοντέλα Μοντέλο Χρονοσειρών X f Y είσοδοι σύστηµα έξοδος Αιτιοκρατικό Μοντέλο X f Y Ανεξάρτητες σύστηµα εξαρτηµένη Μεταβλητές µεταβλητή
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Σελίδα 6 Βασικά Βήµατα σε µια ιαδικασία Πρόβλεψης 1. Καθορισµός Προβλήµατος (Problem Defto) Είναι αρκετές φορές το πιο δύσκολο µέρος στην διαδικασία πρόβλεψης. Θα πρέπει να γίνει απολύτως σαφές: πώς θα χρησιµοποιηθούν οι προβλέψεις και ποιοι θα χρησιµοποιήσουν τις προβλέψεις. Είναι σκόπιµο να αναλωθεί αρκετός χρόνος στο ποιος θα συλλέξει τα στοιχεία, ποίος θα συντηρεί τις βάσεις δεδοµένων, και ποιος θα χρησιµοποιήσει τις προβλέψεις για τον µελλοντικό σχεδιασµό.
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Σελίδα 7 Βασικά Βήµατα σε µια ιαδικασία Πρόβλεψης 1. Καθορισµός Προβλήµατος (Problem Defto) Παράδειγµα πρόβλεψης πωλήσεων αναλώσεων. Θα πρέπει να είναι a-pror γνωστό: ποια προϊόντα βρίσκονται στην αποθήκη, ποιος τα χρησιµοποιεί, ποιος είναι ο χρόνος παραγωγής τους, πόσο stock είναι διατεθειµένη η εταιρεία να έχει στις αποθήκες της κ.λ.π.
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Σελίδα 8 Βασικά Βήµατα σε µια ιαδικασία Πρόβλεψης 2. Συγκέντρωση Πληροφοριών (Gatherg Iformato) Απαιτούνται τουλάχιστον δύο είδη πληροφοριών: στατιστικά (συνήθως αριθµητικά) δεδοµένα, και η κρίση, η πείρα και η εµπειρία του προσωπικού πως ασχολούνταν µε αυτή την αγορά το πρόσφατο χρονικό διάστηµα. Πρέπει να συλλεχθούν πριν ξεκινήσει η διαδικασία της πρόβλεψης.
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Σελίδα 9 Βασικά Βήµατα σε µια ιαδικασία Πρόβλεψης 3. Προκαταρτική Ανάλυση (Exploratory Aalyss) Τι πληροφορία αποκοµίζουµε από τα ακατέργαστα ιστορικά δεδοµένα; Γραφική παράσταση δεδοµένων. Υπολογισµός κάποιων βασικών στατιστικών δεικτών: µέση τιµή, τυπική απόκλιση, ελάχιστο, µέγιστο, γραµµική τάση, κ.τ.λ. Αναδεικνύουν κάποια δευτερεύοντα χαρακτηριστικά της χρονοσειράς
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Σελίδα 10 Βασικά Βήµατα σε µια ιαδικασία Πρόβλεψης 3. Προκαταρτική Ανάλυση (Exploratory Aalyss) Σκοπός: Να αποκτήσουµε µία αίσθηση των δεδοµένων Υπάρχουν λανθασµένα πρότυπα; Υπάρχει σηµαντική τάση ή εποχικότητα; Υπάρχουν ασυνήθιστες τιµές; Η ανάλυση µας οδηγεί στην οικογένεια µοντέλων πρόβλεψης που λογικά αναµένεται να δώσει ικανοποιητικές προβλέψεις.
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Σελίδα 11 Βασικά Βήµατα σε µια ιαδικασία Πρόβλεψης 4. Επιλογή & Προσαρµογή Μοντέλου (Choosg & Fttg models). Επιλογή και καθορισµός των παραµέτρων διάφορων ποσοτικών µοντέλων πρόβλεψης που έχουν προεπιλεγεί στο προηγούµενο βήµα.
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Σελίδα 12 Βασικά Βήµατα σε µια ιαδικασία Πρόβλεψης 5. Χρήση και αποτίµηση του µοντέλου πρόβλεψης (Usg ad Evaluatg a forecastg model). Στο τελικό στάδιο αφού ένα µοντέλο έχει επιλεγεί υποκειµενικά και οι παράµετροι του έχουν καθοριστεί στο προηγούµενο στάδιο, χρησιµοποιείται το µοντέλο αυτό ώστε να παραχθούν προβλέψεις. Το κατά πόσο το µοντέλο και οι προβλέψεις είναι ικανοποιητικές κρίνονται µόνο από τον χρόνο και αν είναι απαραίτητο κάποια βήµατα στην διαδικασία της πρόβλεψης επαναλαµβάνονται.
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 13 ΔΙΑΚΡΙΣΗΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Μονομετάβλητες Χρονοσειρές Y = Y ( t) t Πολυμετάβλητες Χρονοσειρές Y = Y ( t, t,..., t ) t 1 2 Πολυδιάστατες και Πολυμετάβλητες Χρονοσειρές Y= { Ytt (,,..., t ), Ytt (,,..., t ),..., Ytt (,,..., t )} t 1 1 2 2 1 2 1 2
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 14 ΔΙΑΚΡΙΣΗΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Στάσιμες Χρονοσειρές(Statoary): Αναφέρονται σε χρονοσειρές οι οποίες διαχρονικά παραμένουν γύρω από ένα σταθερό μέσο επίπεδο. Μη Στάσιμες Χρονοσειρές(No-Statoary): Αν τα χαρακτηριστικά της χρονοσειράς μεταβάλλονται διαχρονικά (Δύσκολο να εκτιμηθεί με κάποιο αλγεβρικό υπόδειγμα)
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 15 Κατηγορίες Υποδείγματα Λευκού Θορύβου(Whte ose Model) Υποδείγματατυχαίαςδιαδρομής(Radom Walk Model) Υποδείγματα αυτοπαλίνδρομα(autoregressve models) Υποδείγματα κινητών μέσων(movg Average Models) Υποδείγματα αυτοπαλίνδρομα-κινητών μέσων Υποδείγματα των Box-Jeks Vector AutoregressoΥπόδειγμα
17 ΕπανάληψηΣτατιστικώνΜεγεθών 1 2 1 1 1 1 x x x x c c cx c x = = = = = + + + = = K 1 1 1 2 2 1 1 x x y y x x = = = = = ΕΝ ΙΣΧΥΕΙ ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 16
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 17 ΕπανάληψηΒασικώνΙδιοτήτων Εύκολα Αποδεικνύεται ότι: = 1 ( x x) = 0 2 2 2 ( x x) = x x = 1 = 1 ( x x)( y y) = x ( y y) = ( x xy ) = xy x y = 1 = 1 = 1 = 1 18
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 18 ΠροσδοκώμενηΤιμή& Διακύμανση Προσδοκώµενη Τιµή για ιακριτές Μεταβλητές E( X) = = xf ( x ) + x f ( x ) + K+ x f ( x ) = xf ( x ) µ Χ 1 1 2 2 = 1 όπου f ( x ) = P( X = x ) = p Πιο γενικά: Eg [ ( X)] = g( x ) f ( x ) = 1 Προσδοκώµενη Τιµή για Συνεχή Μεταβλητές Ορισµός: EX ( ) = xf ( xdx ) και πιο γενικά: EgX [ ( )] = gx ( ) f ( xdx ) 19
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 19 Ιδιότητες των Προσδοκώμενων Τιμών 1) E( c) = c, το c είναι σταθερά 2) E( ax+ b)= ae( X) + b, a και b είναι σταθερές και X είναι µεταβλητή 3) E( ax )= a E( X ) = 1 = 1 Ειδική περίπτωση για a =1 E( X )= E( X ) = 1 = 1 4) Αν X και Y είναι ανεξάρτητες µεταβλητές Ε(XY)=Ε(X)E(Y) ή µ = µ µ ΧΥ Χ Υ 20
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 20 Διακύμανση& ΤυπικήΑπόκλιση Var( X ) = σ = σ = E[( X µ ) ] = E( X ) µ Ιδιότητες ιακύµανσης 1) Var( c) = 0, c όπου είναι σταθερά 2 2 2 2 X XX X X 2 2) Var( ax+ b) = a Var( X), a και b είναι σταθερές και X είναι µεταβλητή Ορισµός Τυπικής Απόκλισης: sd( X) = Var( X) Ιδιότητες Τυπικής Απόκλισης: 1) sd( c) = 0, c όπου είναι σταθερά 2) sd( ax+ b) = a sd( X), a και b είναι σταθερές και X είναι µεταβλητή 21
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 21 Συνδιακύμανση Cov( X, Y ) = σ = E[( X µ )( Y µ )] = E( XY ) µ µ XY X Y X Y Ιδιότητες Συνδιακύµανσης 1) Αν X και Y είναι ανεξάρτητες µεταβλητές, τότε Cov( X, Y ) = 0 2) COV( ax + b, ay+ b ) = aa COV( X, Y ), 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 a, b, a, b σταθερές & X, Y µεταβλητές 22
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 22 ΣυντελεστήςΣυσχέτισης Ορισµός: Cov( X, Y) σxy Corr( X, Y) = ρxy = = sd( X)sd( Y) σ σ Ιδιότητες Συντελεστής Συσχέτισης 1) 1 Corr( X, Y ) 1 X Y 1) a) Αν X και Y είναι ανεξάρτητες µεταβλητές, τότε Corr( X, Y ) = 0 b) Αν Υ= a+ bx, µε b> 0, τότε Corr( X, Y ) = 1 c) Αν Υ= a+ bx, µε b< 0, τότε Corr( X, Y ) = 1 2) α) Corr( ax + b, ay+ b ) = Corr( X, Y ), 1 1 2 2 a, b, a, b σταθερές µε aα >0 & X, Y µεταβλητές 1 1 2 2 1 2 b) Corr( ax + b, ay+ b ) = Corr( X, Y ), 1 1 2 2 a, b, a, b σταθερές µε aα <0 & X, Y µεταβλητές 1 1 2 2 1 2 23
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 23 Διακύμανση Αθροισμάτων Τυχαίων Μεταβλητών 2 Var( ax ) = a Var( X) + 2 aa jcov( X, Xj) = 1 = 1 > j a είναι σταθερές και X τυχαίες µεταβλητές για = 1,2, K,. Ειδικές Περιπτώσεις 2 V ar( ax ) = a V ar( X ) = 1 = 1 = 1 = 1 Α ν οι X µεταβλητές είναι ανεξάρτητες τότε Ε πιπλέον για a = 1 V ar( X ) = V ar( X ) 24
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 24 συνέχεια Επιπλέον για = 2 Var( X + X ) = Var( X ) + Var( X ) 1 2 1 2 Var( X X ) = Var( X ) + Var( X ) 1 2 1 2 Ογενικόςτύποςγια=2 Var( ax + ax ) = a Var( X ) + a Var( X ) + 2aa Cov( X, X ) 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 25
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 25 Συνδιακύμανση Αθροισμάτων Τυχαίων Μεταβλητών Αν X= ax + ax + K+ ax +c και Υ= by + by + K+ by + d 1 1 2 2 1 1 2 2 είναι γραµµικοί συνδυασµοί τυχαίων µεταβλητών X και Y µε σταθερούς συντελεστές όρους a, b, c και d τότε m = Cov( XY, ) ab Cov( X, X ) = 1 j= 1 j Ειδική περίπτωση j j j m m Οι a, b, c, d, k και m είναι σταθερές και οι X, Y, Z και W είναι τυχαίες µεταβλητές Cov( a+ bx + cy, d + kz + mw ) = bkcov( X, Z ) + bmcov( X, W ) + ckcov( Y, Z ) + cmcov( Y, W ) 26
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 26 ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ Μια στοχαστική διαδικασία θα καλείται στάσιμη όταν οι στατιστικές της ιδιότητες δεν επηρεάζονται από μια μεταβολή στην αρχή του χρόνου. Ey ( ) = µ, ανεξάρτητη του t t y ( Ο μέσος της χρονολογικής σειράς δεν μεταβάλλεται διαχρονικά) 2 Var( y t ) =, σ ανεξάρτητη του t ( Η διακύμανση της χρονολογικής σειράς δεν μεταβάλλεται διαχρονικά) Cov( y, y ) = Cov( y, y ) = γ t t+ s t+ m t+ m+, s S ανεξάρτητη του t (δηλαδή η συνδιακύμανση μεταξύ 2 οποιονδήποτε τιμών της Υ που απέχουν s περιόδους είναι συνάρτηση μόνο του S)
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 27 ΕΝΝΟΙΑΑΥΤΟΣΥΝΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Η αυτοσυνδιακύμανση (Αutocovarace) υπολογίζει την συνδιακύμανση μεταξύ 2 παρατηρήσεων της ιδίαςχρονολογικήςσειράς. γ = cov( y, y ) = E[( y Ey ( )][ y Ey ( )] k t t+ k t t t+ k t+ k γ = cov( y, y ) = E[( y µ ][ y µ ] k t t+ k t y t+ k y γ µ 2 k = E[( yy t t+ k) y]
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 28 ΕΝΝΟΙΑ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Εκφράζει τον συντελεστή συσχέτισης μεταξύ δύο παρατηρήσεων Yt, Yt+k που απέχουν μεταξύ τους κ χρονικές περιόδους και ορίζεται ως: ρ k co v( y, y + ) = = Var ( y ) Var ( y ) t t t k k t+ k γ γ 0
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 29 Διάγραμμασυνάρτησηςαυτοσυσχέτισης Η διαγραμματική απεικόνιση των τιμών της μας δίνει το διάγραμμα συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (correlogram) και έτσι μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μια χρονολογική σειράείναιστάσιμηήόχι. Γιαμια στάσιμη χρονοσειρά όπως φαίνεται και παρακάτω οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης φθίνουν γρήγορα προς το μηδέν καθώς μεγαλώνει ο αριθμός των υστερήσεων k ενώ αντίθετα δεν συμβαίνει το ίδιο στις μη στάσιμες χρονολογικές σειρές.
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 30 ΜΕΤΡΗΣΗΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑΣ Η μέτρηση της εποχικότητας μιας χρονοσειράς γίνεται με την βοήθεια δεικτών. Ισχύει ότι Y=T*C (1) T:Τάση, C:κυκλική συνιστώσα Η τάση μιας χρονοσειράς μπορεί να είναι γραμμική καιμήκαιηεύρεσητηςμορφήςείναιαποτέλεσμα γραμμικού ελέγχου. Για την απομόνωση της χρησιμοποιούμε την σχέση (1)
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 31 Παράδειγμα 1 Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τις ετήσιες πωλήσεις ενός προϊόντος σε χιλιάδες ευρώ. Να υπολογιστούν οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης και η αυτόσυνδιακύμανση. t Yt Yt+1 Yt+3 0-695 691 1 695 691 687 2 691 687 686 3 687 686 690 4 686 690 688 5 690 688 693 6 688 693-7 693 - - Σύνολο 4830
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 32 Παράδειγμα 2 ΟπαρακάτωπίνακαςπεριέχειτοΑΕΠσεσταθερέςτιμέςτου2000 σε δις ευρώ. Να υπολογιστούν οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης και η αυτόσυνδιακύμανση. 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 136.280 142.001 146.884 155.082 162.706 167.423 174.952 182.013 187.351
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 33 Παράδειγμα 2 Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τους καθαρούς έμμεσους φόρους σε σταθερές τιμές του 2000 σε δις ευρώ. Να υπολογιστούν οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης και η αυτόσυνδιακύμανση. 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 15899 17459 17499 18133 18733 20148 24366 26411 26995
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 34 Παράδειγμα 2 Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τις ποσότητες σε χιλιάδες τόνους παραγωγής χάλυβα για μια βιομηχανία τα έτη 2000-2002. Να κατασκευαστεί ο δείκτης εποχικότητας. Έτη 2000 2001 2002 Ιανουάριος 105 110 121 Φεβρουάριος 112 113 125 Μάρτιος 115 115 130 Απρίλιος 117 125 135 Μάιος 120 135 145 Ιούνιος 135 140 150 Ιούλιος 140 145 155 Αύγουστος 135 140 145 Σεπτέµβριος 130 135 145 Οκτώβριος 125 133 140 Νοέµβριος 120 125 135 εκέµβριος 110 120 130
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 35 Υποδείγματα μορφής Μέσων 2 σημείων Αθροίζουμε τα δεδομένα των μηνών του κάθε έτους.(1464,1536,1656) Βρίσκουμε του μηνιαίους μέσους (122,128,138) Διαιρούμεκάθε data μετονμηνιαίο μέσο και πολλαπλασιάζω με 100 Αθροίζωκάθεστήληκατάέτος Διαιρώκάθεάθροισμαμετοναριθμό των ετών(3). Έτη Υ Ιανουάριος 85,56 Φεβρουάριος 90,22 Μάρτιος 92,77 Απρίλιος 97,13 Μάιος 102,97 Ιούνιος 109,57 Ιούλιος 113,45 Αύγουστος 108,36 Σεπτέµβριος 105,7 Οκτώβριος 102,6 Νοέµβριος 97,95 εκέµβριος 92,7
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 36 Τιναδιαβάσω Κεφάλαιο Πρώτο- εύτερο από το βιβλίο της Δημελή Σημειώσεις μαθήματος από το e-class.