Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 1. (4 μονάδες) α). Η συνάρτηση () έχει το παραπλεύρως γράφημα. () Να βρεθούν τα γραφήματα της μέσης τιμής: A() = () / και του οριακού ρυθμού: M() = (), στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. β). Να βρεθεί συνάρτηση = () σταθερής ελαστικότητας: ε= 1/ 3, με τιμή 0 = 1 όταν 0 = 8. γ). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση () = ln( ) είναι κοίλη και να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της στο διάστημα: 1 1. δ). Να βρεθεί η συνάρτηση () που ικανοποιεί την εξίσωση: = ( 1) και έχει τιμή: (1) = 1.. (4 μονάδες) α). Δίνεται z= z(, ) όπου = (t) και = (). Να γίνει το δένδρο εξάρτησης και να διατυπωθούν οι αντίστοιχοι τύποι αλυσωτής παραγώγισης. β). Να σκιαγραφηθεί η ισοσταθμική μιας συνάρτησης (,) που είναι φθίνουσα, φθίνουσα, και οιονεί κυρτή. γ). Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί το στάσιμο της συνάρτησης: (, ) = 1+ +. Να βρεθεί και η μέγιστη τιμή της στο επίπεδο. 1/ δ). Το πρόβλημα περιορισμένου ακρότατου: ma{(, ) = g(, ) = + 8= 1} στη θετική περιοχή, έχει τη λύση: {= 4, = 1}. Να βρεθεί και να ερμηνευτεί ο αντίστοιχος πολλαπλασιαστής Lagrange. Μέρος Β. 3. (1 μονάδες) Σε μια εθνική οικονομία, το εθνικό εισόδημα Y αυξάνει συνεχώς με ετήσιο ρυθμό 4% και ο πληθυσμός L αυξάνει συνεχώς με ετήσιο ρυθμό 1%. Να βρεθούν τα παρακάτω: α). Ο ετήσιος ρυθμός μεταβολής του κατά κεφαλή εισοδήματος = Y / L. β). Το κατά κεφαλή εισόδημα μετά από μια δεκαετία αν στην αρχή της δεκαετίας ήταν 10 χιλιάδες ευρώ, υποθέτοντας τους παραπάνω ρυθμούς σταθερούς. 4. (1 μονάδες) Ένα μονοπώλιο που λειτουργεί μεγιστοποιώντας τα κέρδη του διαθέτει το προϊόν του σε δύο αγορές, σε ποσότητες {X,Y}με μοναδιαίες τιμές {V,W} και με εξισώσεις ζήτησης {V= 1 X, W= 4 Y} αντίστοιχα, και με ενιαίο συνολικό κόστος C= + ( X+ Y). 1. Να διατυπωθεί η συνάρτηση κέρδους, και να σκιαγραφηθούν οι ισοσταθμικές της.. Να βρεθούν αναλυτικά και γεωμετρικά οι ποσότητες διάθεσης στις δύο αγορές που μεγιστοποιούν το κέρδος. 3. Να υπολογιστεί το κέρδος.
Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1. Λύσεις 1. (4 μονάδες) α). Η συνάρτηση () έχει το παραπλεύρως γράφημα. Να βρεθούν τα γραφήματα της μέσης τιμής: A() = () / και του οριακού ρυθμού: M() = (), στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. 1. Η μέση τιμή αρχίζει με άπειρο, πέφτει μέχρι ένα ελάχιστο στο σημείο ισοελαστικότητας που δείχνουμε στο πρώτο γράφημα και μετά ανεβαίνει.. Η οριακή τιμή αυξάνει συνεχώς αρχίζοντας από μηδενική και διασχίζει την μέση τιμή στο ελάχιστό της. Είναι το σημείο ισοελαστικότητας της (). () M() A() β). Να βρεθεί συνάρτηση = () σταθερής ελαστικότητας: ε= 1/ 3, με τιμή 0 = 1 όταν 0 = 8. Η συνάρτηση θα είναι ομογενής βαθμού 1/ 3 : καθορίζεται από τις δοθείσες τιμές: 1/ 3 α α 1= α8 = = α= 1/ 3 8 Επομένως = 1/ 3 = α 1/ 3, όπου ο συντελεστής α γ). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση () = ln( ) είναι κοίλη και να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της στο διάστημα: 1 1. Αρκεί να δείξουμε ότι η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική: ( )( ) ( )( ) 4+ 4 + () =, = = = < 0 ( ) ( ) ( ) Ως κοίλη, θα έχει την ελάχιστη τιμή στο σύνορο διότι το στάσιμο, αν υπάρχει θα είναι μέγιστο. (1) = ( 1) = ln1= 0 min = 0 είναι η ελάχιστη τιμή, σε αμφότερα τα σύνορα. Παρατήρηση. Η συνάρτηση είναι κοίλη ως σύνθεση της αύξουσας κοίλης ln με την κοίλη. δ). Να βρεθεί η συνάρτηση () που ικανοποιεί την εξίσωση: = ( 1) και έχει τιμή: (1) = 1. Λύση 1. Πρόκειται για διαφορική εξίσωση χωριζόμενων μεταβλητών: = ()g(), με λύση: d d 1 = ( 1) ( 1)d ln ( 1) c d = = + Βρίσκουμε την σταθερά από τις αρχικές τιμές: ln1= 0+ c c = 0 ( 1) / Επομένως η συνάρτηση είναι: ln = ( 1) / = e
Λύση. Πρόκειται για διαφορική εξίσωση γραμμική ομογενή: = α(), με συντελεστή: α = ( 1) A() = ( 1)d = ( 1) / Η γενική λύση είναι: A() ( 1) = = /, με ce ce 0 1= ce c= 1. Επομένως ( 1) / = e.. (4 μονάδες) α). Δίνεται z= z(, ) όπου = () και = (t). Να γίνει το δένδρο εξάρτησης και να διατυπωθούν οι αντίστοιχοι τύποι αλυσωτής παραγώγισης. Έχουμε μια τελική ανεξάρτητη μεταβλητή: z= z(t), με δύο διαδρομές, και με ολική παράγωγο: z dz z d z d d = + dt dt d dt Ο τύπος αλυσωτής παραγώγισης γράφεται και στη μορφή: z = z + z t t β). Να σκιαγραφηθεί η ισοσταθμική μιας συνάρτησης (,) που είναι φθίνουσα, φθίνουσα, και οιονεί κυρτή. Η ισοσταθμική έχει αρνητική κλίση: d d (, ) = c = < 0 Η διανυσματική κλίση = (, ) δείχνει κάτω αριστερά Η κάτω σταθμική βρίσκεται πάνω δεξιά και είναι κυρτή περιοχή γ). Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί το στάσιμο της συνάρτησης: (, ) = 1+ +. Να βρεθεί και η μέγιστη τιμή της στο επίπεδο. 1. Βρίσκουμε το στάσιμο: { = + = 0, = = 0} {= 0, = 0}. Υπολογίζουμε τον εσσιανό πίνακα: =, = 0, = 1 Δ = ()(0) 1 = 1< 0 Ο εσσιανός πίνακας είναι αόριστος. Επομένως το στάσιμο σημείο είναι σαγματικό και ειδικά δεν είναι ακρότατο. Η μέγιστη τιμή βρίσκεται υποχρεωτικά στο άπειρο (εφόσον το στάσιμο δεν είναι ακρότατο) και είναι άπειρη. 1/ δ). Το πρόβλημα περιορισμένου ακρότατου: ma{(, ) = g(, ) = + 8= 1} στη θετική περιοχή, έχει τη λύση: {= 4, = 1}. Να βρεθεί και να ερμηνευτεί ο αντίστοιχος πολλαπλασιαστής Lagrange. Αντικαθιστώντας την λύση σε οιαδήποτε από τις δύο εξισώσεις Lagrange βρίσκουμε: 1/ 1/ = λg / = λ1 λ= 1/ 4 = 1/ 4 1/ 1/ ή = λg = λ8 λ= 4 1/ 8= 1/ 4 Σύμφωνα με την ερμηνεία του, αν η τιμή του περιορισμού αυξηθεί από την τιμή g= 1 τότε 1/ η μέγιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης: = 4 1=, θα αυξάνει με οριακό ρυθμό 1/ 4. c
Μέρος Β 3. (1 μονάδες) Σε μια εθνική οικονομία, το εθνικό εισόδημα Y αυξάνει συνεχώς με ετήσιο ρυθμό 4% και ο πληθυσμός L αυξάνει συνεχώς με ετήσιο ρυθμό 1%. Να βρεθούν τα παρακάτω: α). Ο ετήσιος ρυθμός μεταβολής του κατά κεφαλή εισοδήματος = Y / L. β). Το κατά κεφαλή εισόδημα στο τέλος μιας δεκαετίας αν στην αρχή της ήταν 10 χιλιάδες ευρώ, υποθέτοντας τους παραπάνω ρυθμούς σταθερούς. 1. Ο σχετικός ή ο ποσοστιαίος ρυθμός πηλίκου δίνεται από την διαφορά των αντίστοιχων ρυθμών των όρων. Επομένως το κατά κεφαλή εισόδημα μεταβάλλεται με ετήσιο ποσοστιαίο ρυθμό: %r = %r %r = 4 1= 3% Y L. Εφόσον το κατά κεφαλή εισόδημα μεταβάλλεται με σχετικό ρυθμό r = 3 /100= 0.03, θα εξελίσσεται εκθετικά, και μετά από 10 έτη θα είναι: (0.03)10 0.3 (10) = (0)e (10) = 10e 10(1+ 0.3) 13 (γραμμική προσέγγιση) Παρατήρηση. Έχουμε τις σχέσεις: Y= Y(t), L= L(t), (t) = Y(t) / L(t). Συμβολίζοντας με πάνω τελεία την παράγωγο ως προς τον χρόνο t, βρίσκουμε για τους ετήσιους σχετικούς ρυθμούς: 1. ɺ Y ɺ L ɺ = Y L. ɺ r (t) (0)e = = rt 4. (1 μονάδες) Ένα μονοπώλιο που λειτουργεί μεγιστοποιώντας τα κέρδη του διαθέτει το προϊόν του σε δύο αγορές, σε ποσότητες {X,Y}με μοναδιαίες τιμές {V,W} και με εξισώσεις ζήτησης {V= 1 X, W= 4 Y} αντίστοιχα, και με ενιαίο συνολικό κόστος C= + (X+ Y). 1. Να διατυπωθεί η συνάρτηση κέρδους, και να σκιαγραφηθούν οι ισοσταθμικές της.. Να βρεθούν αναλυτικά και γεωμετρικά οι ποσότητες διάθεσης στις δύο αγορές που μεγιστοποιούν το κέρδος. 3. Να υπολογιστεί το κέρδος. 1. Συνάρτηση κέρδους: Π= R C= VX+ WY C = (1 X)X + (4 Y)Y [+ (X+ Y)] = X+ Y X Y Είναι παραβολική κοίλη με μαθηματικό μέγιστο εκτός της θετικής περιοχής, στο στάσιμο: Y = 1 4X= 0 X= 1/ 4< 0 =+ Y= 0 Y= 1> 0 και με ελλειπτικές ισοσταθμικές όπως στο γράφημα.. Το μέγιστο της συνάρτησης κέρδους βρίσκεται γεωμετρικά στο πρώτο σημείο επαφής μιας ισοσταθμικής X με την θετική περιοχή που αποτελεί την περιοχή επιλογής. Δίνεται από την μαύρη διακεκομένη ισοσταθμική. Εφόσον το στάσιμο έχει αρνητική X συντεταγμένη, το μέγιστο θα είναι συνοριακό με X= 0 : {X = 0, Y = 1} Π = 1 3. Έχουμε ζημιά. Η επιχείρηση δεν είναι κερδοφόρος. Η ζημιά οφείλεται στο σταθερό κόστος που είναι: FC=. Το λειτουργικό κέρδος καλύπτει μόνο το μισό του σταθερού κόστους.