ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α1. Έστω µια συνάρτηση f αραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο οοίο όµως η f είναι συνεχής. Αν f ()> στο (α, ) και f ()< στο (, β), τότε να αοδείξετε ότι το f( ) είναι τοικό µέγιστο της f. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 7 Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού και να το ερµηνεύσετε γεωµετρικά. Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίλα στο γράµµα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η ρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η ρόταση είναι λανθασµένη. α) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f :[ α, β] R, αν G είναι µια αράγουσα της β f στο [α, β], τότε το f( t) dt= G( α) G( β). α β) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο και ισχύει f() g() κοντά στο, lim f lim g. τότε γ) Κάθε συνάρτηση f, για την οοία ισχύει f ()= για κάθε (α, ) (, β), είναι σταθερή στο (α, ) (, β). δ) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και µόνο αν, για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιµών της, η εξίσωση y=f() έχει ακριβώς µια λύση ως ρος. ε) Αν η f είναι συνεχής στο [α, β], τότε η f αίρνει στο [α, β] µια µέγιστη τιµή Μ και µια ελάχιστη τιµή m. Μονάδες 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 1
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΘΕΜΑ Β ίνεται η συνάρτηση f = +, R. 1 Β1. Να βρείτε τα διαστήµατα στα οοία η f είναι γνησίως αύξουσα, τα διαστήµατα στα οοία η f είναι γνησίως φθίνουσα και τα ακρότατα της f. Μονάδες 6 Β. Να βρείτε τα διαστήµατα στα οοία η είναι κυρτή, τα διαστήµατα στα οοία η f είναι κοίλη και να ροσδιορίσετε τα σηµεία καµής της γραφικής της αράστασης. Β. Να βρεθούν οι ασύµτωτες της γραφικής αράστασης της f. Μονάδες 9 Μονάδες 7 Β4. Με βάση τις ααντήσεις σας στα ερωτήµατα Β1, Β, Β να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f. (Η γραφική αράσταση να σχεδιαστεί µε στυλό). ΘΕΜΑ Γ Μονάδες Γ1. Να λύσετε την εξίσωση e 1 =, R. Μονάδες 4 Γ. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:r R ου ικανοοιούν την σχέση f ( e 1) = για κάθε R και να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. Μονάδες 8 Γ. Αν f()= e 1, R, να αοδειχθεί ότι η f είναι κυρτή. Μονάδες 4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 Γ4. Αν η f είναι η συνάρτηση του ερωτήµατος Γ, να λυθεί η εξίσωση: f( ηµ +)-f( ηµ )=f(+)-f() όταν [, + ). ΘΕΜΑ Μονάδες 9 ίνεται η συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές αραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη αράγωγο, για την οοία ισχύει ότι: f( R) f + f '' ηµ d= = R και f lim = 1 ηµ ( ) f e + = f f + e για κάθε R. 1. Να δείξετε ότι f()= (µονάδες 4) και f ()=1. Μονάδες 7. α) Να δείξετε ότι η f δεν αρουσιάζει ακρότατα στο R. (µονάδες 4) β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. (µονάδες ) Μονάδες 6. Να βρείτε το ηµ +συν lim. f + 4. Να δείξετε ότι f ln < d< e. 1 Μονάδες 6 Μονάδες 6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 6. Α. Ορισµός σχολικου βιβλίου σελίδα 141. Α. Θεώρηµα σχολικού βιβλίου σελίδα 46. Α4. α. Λάθος β. Σωστό γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό ΘΕΜΑ Β Β1. Η f είναι αραγωγίσιµη στο R µε f ' =... = ( + 1). Το ρόσηµο της f και τα διαστήµατα µονοτονίας της f φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. - + f - + f O.E. Η f είναι γν. φθίνουσα στο (-, ], η f είναι γν. αύξουσα στο [, + ). Στο = η f αρουσιάζει ελάχιστο το f()=. + 6 Β. Η f είναι αραγωγίσιµη στο R µε f ()= = ( + 1 ) Tο ρόσηµο της f και τα διαστήµατα κυρτότητας της f φαίνονται στον αρακάτω ίνακα. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 4.
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 - / / - f - + - f Σ.Κ Σ.Κ Η f είναι κυρτή στο [, + ). Τα σηµεία 1 Α, και 4 C f. Β. Εειδή ±,, η f είναι κοίλη στο (-, - Β ] και στο 1, είναι σηµεία καµής της 4 lim f = 1 τότε η ευθεία y=1 είναι οριζόντια ασύµτωτη της C f στο + και στο -. Είσης η C f δεν έχει κατακόρυφες ασύµτωτες αφού η f είναι συνεχής στο R. Β4. y y=1 1/4 y ΘΕΜΑ Γ Γ1. Θεωρούµε τη συνάρτηση g = e 1, R. Η g είναι αραγωγίσιµη στο R µε g ()= e 1. g ()= = g ()> > ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 5
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 g ()< < Άρα στο = η g αρουσιάζει ολικό ελάχιστο το g()=. Εοµένως g(), R. Το ίσον ισχύει µόνο για =. Έχουµε e 1 = g( )= = =. Γ. Έχουµε f = f = e 1 = e 1 = =. f e 1 f e 1 = = και Για κάθε R έχουµε αφού e 1 >, R* τότε f e 1 =, R*. - Η συνάρτηση f στο (-,) είναι συνεχής και δεν µηδενίζεται σ αυτό, οότε η f διατηρεί σταθερό ρόσηµο στο (, ). Αν f()>, (-,) τότε f = e 1 Αν f()<, (-,) τότε f = ( e ) 1 - Η συνάρτηση f στο (, + ) είναι συνεχής και δεν µηδενίζεται σ αυτό, οότε η f διατηρεί σταθερό ρόσηµο στο (, + ). Αν f()>, (, + ) τότε f = e 1 Αν f()<, (, + ) τότε f = ( e ) 1 Άρα =, R ή f ( e ) 1 f e 1 e 1, < f =, = ( e 1 ), > ή =, R ή e 1, < f =, = e 1, > ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 6
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 Γ. Έχουµε f ()= e, R και f '' = e 1 + 4 e, R Για κάθε R* ισχύουν e 1> και ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 7 e > Άρα f '' > για κάθε R* και αφού η f είναι συνεχής στο = τότε η f είναι κυρτή στο R. Γ4. Θεωρούµε τη συνάρτηση h()=f(+)-f(), R h ()=f (+)-f (), R Εειδή η f είναι κυρτή στο R τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και αφού +>, R τότε f (+)>f (), R Εοµένως h ()> για κάθε R. Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο R, οότε η h είναι 1-1. Για κάθε [, + ) έχουµε f( ηµ + ) f( ηµ ) = f( + ) f h( ηµ )=h() h 1 1 ηµ = = ΘΕΜΑ f 1. Έχουµε lim = 1. ηµ f ( ) Θέτουµε g()= ηµ f()= g ηµ για κοντά στο. Άρα f() = αραγωγίσιµη στο R. lim g = 1 και για κοντά στο, οότε limf = lim g ηµ = 1 = αφού η f είναι συνεχής ως f + f '' ηµ d= f()+f()= οότε f()=. Έχουµε f f g ηµ f ()= lim = lim = 1
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16. α) Εειδή η f είναι αραγωγίσιµη στο R έχουµε f ( ) f + = + ( ) e ' f f e ' R (1) Έστω ότι η f αρουσιάζει ακρότατο στο =. e f ' 1 f ' f f ' e + = +, Aό θ. Fermat έχουµε f ( )=. Οότε η σχέση (1) για = γίνεται e = 1 = δηλαδή f ()= ΑΤΟΠΟ αφού f ()=1. Άρα η f δεν αρουσιάζει ακρότατα στο R. β) Αφού f () για κάθε R και η f είναι συνεχής στο R τότε διατηρεί σταθερό ρόσηµο στο R. Εειδή f ()=1 > τότε f ()> για κάθε R. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.. Είναι lim f + =+ αφού f(r)=r και η f είναι γν. αύξουσα στο R. Για κάθε (, + ) ισχύει f()>f()= και ηµ +συν ηµ +συν ηµ + συν = f f f f Άρα ηµ +συν και αφού f f f lim = lim =, τότε αό το κριτήριο αρεµβολής + f + f ηµ +συν ροκύτει ότι lim = + f 4. Θέτουµε u=ln du= 1 d Για =1: u=ln1= Για =e : u=lne = Άρα e f ln d = 1 f u du ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 8
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [, ] οότε για κάθε u [, ] ισχύει ότι f() f(u) f() f(u) f(u) και -f(u) µε το ίσον να ισχύει µόνο για =. Άρα f ( u ) du > και [ ] f( u) du> f( u) du> και f ( u ) du < < Εοµένως f u du < e f ln < d< 1 ( f u ) du> f( u) du> και ΤΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΗΘΗΚΕ Ο ΤΟΜΕΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ www.floropoulos.gr ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Β. - ΚΟΥΣΗΣ Π. - ΤΖΩΡΤΖΙΝΗΣ Γ. ΦΙΛΙΟΓΛΟΥ Β. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΣ Α. ΦΩΤΟΥ Φ. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 9