ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΩΡΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Πεπερασμένος_δειγματοχώρος. Έστω ο πεπερασμένος δειγματοχώρος Ω ={ω,ω,...,ω n }. Η σ-άλγεβρα γεγονότων του Ω είναι η επίσης πεπερασμένη συλλογή των n υποσυνόλων του Ω. των Έστω πρώτα μια συνάρτηση Ρ που πληροί τα αξιώματα (α), (β) και (γ) της ορισμού.. Ισχύει δηλαδή Ρ(ω ), για κάθε = l,,..., n και Ρ(ω ) + Ρ(ω ) +... + Ρ(ω n ) =. Επειδή κάθε είναι της μορφής Α = {ω : N } όπου N {,,...,n} ορίζουμε τη συνάρτηση Ρ : R από τη σχέση P() = P( ). Η συνάρτηση αυτή είναι πιθανότητα, αφού ικανοποιεί τα αξιώματα N (α), (β) και (γ) του Ορισμού... Παράδειγμα.5. Από τα 5 τραπουλόχαρτα μιας τράπουλας εξάγονται 5. α) Η πιθανότητα να εμφανισθούν άσσοι (ενδεχόμενο Α) είναι Ρ(Α) = 8 5 5. Εδώ έγινε χρήση του a priori ορισμού όπου επιτυχείς περιπτώσεις είναι εκείνες που η πεντάδα περιλαμβάνει τους τέσσερις άσσους και ένα από τα υπόλοιπα 8 χαρτιά της τράπουλας. Ο δειγματοχώρος του πειράματος είναι όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί των 5 χαρτιών ανά 5. β) Η πιθανότητα να έχουμε ακριβώς 3 άσσους είναι Ρ(εξαγωγή 3 ακριβώς άσσων) = 8 3. 5 5 Αυτό συμβαίνει γιατί στον καθένα από τους αντιστοιχούν τρόπους εκλογής 3 άσσων 3 8 τρόποι εκλογής τραπουλόχαρτων που δεν είναι άσσοι.
Σημείωση. Στην περίπτωση του παραδείγματος.5. τα γεγονότα είναι ισοπίθανα, δηλαδή Ρ(ω ) = Ρ(ω )=... =Ρ(ω n ) = /n. Κατά συνέπεια, αν n Α είναι ο πληθικός αριθμός του, τότε θα έχουμε Ρ(Α) = n Α /n. Αριθμήσιμος δειγματοχώρος Έστω Ω ={ω,ω,...,ω n,., }. Έστω ακόμη μια συνάρτηση Ρ στα ω i για την οποία Ρ(ω ) = p όπου N και p = Επειδή κάθε είναι της μορφής = { ω : N }, όπου N {,,...n,...}, μπορεί να ορισθεί η συνάρτηση Ρ : R με τη σχέση P = N p Και η σχέση αυτή είναι μιa πιθανότητα. Παράδειγμα.5. Έστω Ω = {,,...} και P(k) = / k, k=l,,.... Έστω ακόμη Α={,3,}, Β = {,3,5,7,...} και C= {n ακέραιος : n}. Ποιες είναι οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), ΡίΒ C ) και Ρ(C); ΛΥΣΗ α) Ρ(Α) = Ρ()+Ρ(3)+Ρ() = / + /8 + /6 = 7/6 β) P(Β) = / + /8 + = (/)( + / + ) = (/){/(-(/))}= /3 γ) Ρ(Β c ) = - Ρ(Β) = /3 δ) P(C) = P() + P() +...= / + / + = / 9 O δειγματοχώρος είναι υποσύνολο του R n Έστω Ω = [,). Η σ-άλγεβρα, των γεγονότων αυτού, είναι το πεδίο Borel των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών. Ένα τέτοιο πεδίο Borel ορίζεται όπως και εκείνο του R αλλά αρχίζει από τα ημιανοικτά διαστήματα των μη-αρνητικών στοιχείων του R. Έστω α: [,)R, μια γνωστή συνάρτηση τέτοια ώστε α(x) και ( x) dx =. Τότε, για κάθε, ορίζουμε μια συνάρτηση Ρ: R με τη σχέση:
Ρ(Α) = (x)dx. Προφανώς η συνάρτηση αυτή είναι πιθανότητα. Εάν a, b e [, ), a<b, έχουμε b P([a,b)) = P((a,b]) = P((a,b)) = P([a,b]) = (x)dx, a και P([a,b)) = P({a} U (a,b)) = P({a}) + P((a,b)), άρα P({a}) =. Παράδειγμα.5.3a Έστω Ω = [,) και Ρ(Α) = e x dx. Αν Α = (,], Β = (,5] και Γ = {/}. Ποιες είναι οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Γ), P(B) και P(B); Ρ(Α) = e x dx = e - - e - Ρ(Γ) = 5 P(B) = P((l,5]) = e x dx = e - - e -5 Ρ(ΑΒ) = P((,]) = e x dx = e - - e -. Παράδειγμα.5.3β: (Βελόνα του Baffon). Ποια είναι η πιθανότητα όταν ρίξουμε μια βελόνα μήκους λ< ανάμεσα σε δύο σανίδια ξύλινου πατώματος των οποίων η απόσταση είναι να τέμνει μια γραμμή των σανιδιών; Λύση: Πρώτη προτεραιότητα δίνεται στην περιγραφή του δειγματικού χώρου. Το πρόβλημα εξετάζεται για την περίπτωση όπου η βελόνα τέμνει μόνο τη μία γραμμή. Ορίζονται οι μεταβλητές που αφορούν τη γωνία θ που σχηματίζει η βελόνα με τον οριζόντιο άξονα-σανίδα και x της απόστασης του μέσου της βελόνας από την ευθεία σύνδεση των πλευρών δύο διαδοχικών σανίδων.
x θ L Lcosθ Θεωρώ x την εξαρτημένη μεταβλητή που εκφράζει την απόσταση του μέσου της βελόνας από την ένωση των σανίδων. Πρέπει επίσης x y. Αυτό πρέπει να ισχύει διότι αλλιώς η βελόνα δεν θα τέμνει τη σανίδα. Έτσι, cosθ = y/(λ/) y= λ/ sinθ. Άρα, x λ/ sinθ. (.5.3β.) Ο δειγματικός χώρος ορίζεται από όλα τα σημεία (θ,x) στο θπ/ και στο x λ/. Επομένως οι δυνατές περιπτώσεις απεικονίζονται στο παραλληλόγραμμο που έχει εμβαδόν (π/)(λ/). Η περιοχή που περιλαμβάνει όλα τα σημεία του επιπέδου με συντεταγμένες x και θ που υπακούν στους περιορισμούς (.5.3β.), έχει εμβαδόν Ε Α
x (,) (π/,) (, (,) (π/,) θ / Ε Α = cos. d Και έτσι η πιθανότητα να τέμνει η βελόνα τις γραμμές του σανιδώματος είναι Ρ(βελόνα τέμνει το σανίδωμα) = / cosd Σημείωση.5.3 Ρίπτεται ικανός αριθμός βελόνων στο ξύλινο δάπεδο. Αν καταμετρηθούν οι βελόνες που τέμνουν τις γραμμές του δαπέδου και υπολογισθεί η σχετική συχνότητά των, προσεγγίζεται με εξαιρετικά μεγάλη ακρίβεια ο αριθμός π. Σε σχετικά πειράματα με δέκα χιλιάδες βελόνες, προσεγγίσθηκε ο αριθμός π με ακρίβεια -. Σημείωση.5. Να εξετασθεί το πρόβλημα της βελόνας του Baffon όταν L> Σημείωση.5.5 Να εξετασθεί το πρόβλημα της βελόνας του Baffon όταν η βελόνα τέμνει δυο γραμμές.