Χρονοσειρές Μάθημα 6 Πρόβλεψη Χρονικών Σειρών Μοντέλα για χρονικές σειρές AR, MA, ARMA, ARIMA, SARIMA πρόβλεψη Πολλές εφαρμογές Δείκτης και όγκος συναλλαγών Χρηματιστηρίου Αξιών Αθηνών ΧΑΑ
Θα μπορούσαμε να προβλέψουμε τους δύο δείκτες για το Μάιο έστω τις πρώτες μέρες του μήνα γνωρίζοντας τα δεδομένα ως και το τέλος Απριλίου?
Geeral Ide of Comsumer Prices Γενικός δείκτης τιμών καταναλωτή GICP Geeral Ide of Comsumer Prices, eriod Ja - Aug 5 5 5 5 3 4 5 6 years Πως θα μεταβληθεί δείκτης GICP τους επόμενους μήνες?
umber of susos umber of susos umber of susos Ηλιακές κηλίδες Aual susos, eriod 7 - Aual susos, eriod 96-5 5 5 5 7 75 8 85 9 95 years Aual susos, eriod 9-8 6 4 8 6 4 9 9 94 96 98 years 96 97 98 99 years 989 Πόσες θα είναι οι ηλιακές κηλίδες τον επόμενο ή τα επόμενα χρόνια? 4 Πόσες θα είναι οι ηλιακές κηλίδες τον επόμενο ή τα επόμενα χρόνια?
Καρδιακός ρυθμός Ποιος είναι ο επόμενος καρδιακός ρυθμός ή οι επόμενοι καρδιακοί ρυθμοί?
Πρόβλημα πρόβλεψης Γνωρίζουμε τη χρονική σειρά,,, Θέλουμε να εκτιμήσουμε το + Πρόβλεψη Σφάλμα πρόβλεψης: e Στοχαστική διαδικασία { X } πρόβλεψη X είναι η εκτίμηση του στοιχείου X + της Βέλτιστη πρόβλεψη : X E[ X X, X, ] { X } Ιδιότητες καλής πρόβλεψης: η αμεροληψία ubiasedess : E[ X ] X η αποτελεσματικότητα efficiecy, δηλαδή μικρή διασπορά σφάλματος Var[ ] Var[ X X ] Συνδυασμός αμεροληψίας και αποτελεσματικότητας ελαχιστοποίηση του μέσου τετραγωνικού σφάλματος πρόβλεψης X X E
Αξιολόγηση απόδοσης μοντέλου πρόβλεψης: Γνωρίζουμε,,, μοντέλο πρόβλεψης σύνολο εκμάθησης learig /raiig se γνωρίζουμε επίσης {,,, } l σύνολο αξιολόγησης es / validaio se Σφάλματα πρόβλεψης χρονικά βήματα μπροστά Στατιστικά μέτρα σφάλματος,,, l e, e,, e l Ρίζα μέσου τετραγωνικού σφάλματος roo mea suare error, rmse l l mse e l l l l rmse e l l e,,, l Εκτίμηση μέσου τετραγωνικού σφάλματος mea suare error, mse Κανονικοποίηση του rmse ormalied roo mea rmse suare error, rmse l l l l rmse πολύ καλή πρόβλεψη rmse πρόβλεψη ισοδύναμη με μέση τιμή
Προβλέψεις: Πρόβλεψη πολλών βημάτων μπροστά για μια χρονική στιγμή Δίνεται,,,, προβλέπουμε,,, Δίνεται,,,,, ενός μοντέλου πρόβλεψης. Πρόβλεψη για κάποιο βήμα μπροστά για πολλές χρονικές στιγμές, l, θέλουμε να μετρήσουμε την απόδοση. Εκτιμούμε τις παραμέτρους του μοντέλου από τα,,,. Κάνουμε τις προβλέψεις για κάποιο βήμα,,, l 3. Υπολογίζουμε κάποιο στατιστικό μέτρο των σφαλμάτων πρόβλεψης l l rmse e l l όρια πρόβλεψης c Var e / c / / ~ N,
Απλές τεχνικές πρόβλεψης Αιτιοκρατική τάση Λευκός θόρυβος ~ WN, Πρόβλεψη: Τάση, συνάρτηση του χρόνου E,,, Λύση: επέκταση της συνάρτησης μ για χρόνους > Σφάλμα πρόβλεψης: e μ =? m γνωστό απλή αντικατάσταση καθολικά προσαρμογή σε,,, άγνωστο εκτίμηση π.χ. με πολυώνυμο τοπικά προσαρμογή στις m τελευταίες m c c c παρατηρήσεις m, m, m,
Δείκτης και όγκος ΧΑΑ, πρόβλεψη με επέκταση τάσεων εκτίμηση με πολυώνυμα
year cycle of GICP dereded ad deseasoed GICP Geeral Ide of Comsumer Prices dereded GICP Αιτιοκρατικός εποχικός όρος Αιτιοκρατικός εποχικός όρος και αιτιοκρατική τάση Geeral Ide of Comsumer Prices, eriod Ja - Aug 5 5 5 { } 56 s Ίδια προσέγγιση: εκτίμηση του αιτιοκρατικού μέρους s s GICP, Ιανουάριος Αύγουστος 5 3.9 +.3 Geeral Ide of Comsumer Prices, liear red is subraced 3 5 - - -3 3 4 5 6 years 4 3 s Geeral Ide of Comsumer Prices, year cycle s -4 3 4 5 6 years Geeral Ide of Comsumer Prices, red ad eriod com. subraced 4 3 s s - - -3-4 3 4 5 6 years Πρόβλεψη Σεπτεμβρίου 5 57 3.9 +.3*57.7 s9.6.86 56 - - -3-4 3 4 5 6 years
c c c c c Εκθετική ομαλοποίηση Εκτίμηση του + ως σταθμισμένο άθροισμα των προηγούμενων παρατηρήσεων c c c Επιθυμητή συνθήκη για τα βάρη:,,,,, c Ορισμός βαρών με μια παράμετρο : Αναδρομική σχέση :
Πρόβλεψη με εκθετική ομαλοποίηση: Παραδείγματα Δείκτης και όγκος ΧΑΑ Πρόβλεψη με χρονικό βήμα για όλες τις μέρες του Μαΐου Σύγκριση της απόδοσης του μοντέλου εκθετικής ομαλοποίησης για διάφορα Μεγάλο βάρος στις πολύ πρόσφατες παρατηρήσεις δίνει την καλύτερη πρόβλεψη
Ηλιακές κηλίδες Καρδιακός ρυθμός
Πρόβλεψη στάσιμων χρονοσειρών με γραμμικά μοντέλα Προβλέψεις με AR, MA και ARMA Πρόβλεψη με αυτοπαλινδρομούμενα μοντέλα AR Δίνεται η χρονική σειρά,,, AR μοντέλο Λευκός θόρυβος ~ WN, Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : Σφάλμα πρόβλεψης : e e Var Σφάλμα πρόβλεψης : e e Var Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : e Σφάλμα πρόβλεψης : Var e
Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα :,,, Δίνεται η χρονική σειρά e Σφάλμα πρόβλεψης : Var e Σφάλμα πρόβλεψης : e e Var e AR μοντέλο Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : παρατήρηση πρόβλεψη όπου Σφάλμα πρόβλεψης : e e e b e Var b e
Δείκτης ΧΑΑ, πρόβλεψη για Μάιο, 3.4.,,, AR AR6 AR.9995.535.53 -.6 -.3.944.96 -.655 -.663.3.35.94 -.3 -.58.9 -.75.458 -.3
Δείκτης ΧΑΑ, ημερήσιες προβλέψεις για Μάιο,.5. 3.5.
Όγκος ΧΑΑ, πρόβλεψη για Μάιο, 3.4.,,, AR AR6 AR.997.34.35.9.955.557.38.369.38.773.455.58.9.35.68.49.4.57
Όγκος ΧΑΑ, ημερήσιες προβλέψεις για Μάιο,.5. 3.5.
Ηλιακές κηλίδες, πρόβλεψη από το 99 ως το, 99,,, AR AR6 AR.85.33.848 -.597 -.4385 -.655 -.78.895.933 -.576 -.34.7.3.57 -.3.993 -.86.35
Ηλιακές κηλίδες, πρόβλεψη ενός έτους την περίοδο 99-, 99
Καρδιακός ρυθμός, πρόβλεψη επόμενων ρυθμών, 6,,, AR AR6 AR.865.785.783 -.5 -.736.983.759.438.858 -.47 -.39 -.465 -.899.43.76.73 -.463.347
Καρδιακός ρυθμός, πρόβλεψη επόμενου καρδιακού ρυθμού, 68
Ρυθμός μεταβολής του ΑΕΠ των ΗΠΑ AIC r Οι τιμές είναι τετραμηνιαίες, από το δεύτερο τετράμηνο του 947 ως το πρώτο τετράμηνο του 99 =76.4 Rae growh of GNP of USA.5 Auocorrelaio of rae growh.3.. -. -. -.3 5 5.4.3.. -. -. 5 5.5 Parial Auocorrelaio for Rae Growh -9.5 AIC for Rae Growh.4-9.6.3-9.7. -9.8,. -9.9-9. -. -9. -. -9. 4 6 8-9.3 4 6 8
Ρυθμός μεταβολής του ΑΕΠ των ΗΠΑ AR3 ˆ.77 ˆ.35 ˆ.8 ˆ 3.4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ.47 3 3 3.47.35.8.4 3.4.3.., 7,,,6 Predicio of rae growh wih AR s ˆ.98 -. -. -.3 64 66 68 7 7 74 76 AR.47.38 s ˆ.99.4.3.. -. Predicio of rae growh wih AR3 -. -.3 64 66 68 7 7 74 76
Ρυθμός μεταβολής του ΑΕΠ των ΗΠΑ rmse rmse Απόδοση πρόβλεψης βημάτων AR, =,,, 6 76, 46 76. rmse o he las 5 daa. rmse o he las 3 daa = =.9.8 = =.9.8.7 4 6 8.7 4 6 8
~ WN, E,, αν αν MA μοντέλο Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : Σφάλμα πρόβλεψης : e Var e Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : Var Σφάλμα πρόβλεψης : e e Var Γενικά για βήμα πρόβλεψης : για για e για για
e Σφάλμα πρόβλεψης : Var e Σφάλμα πρόβλεψης : e Var e Σφάλμα πρόβλεψης : e e Var e MA μοντέλο Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : αν αν
Ρυθμός μεταβολής του ΑΕΠ των ΗΠΑ rmse Οι τιμές είναι τετραμηνιαίες, από το δεύτερο τετράμηνο του 947 ως το πρώτο τετράμηνο του 99 =76 ΜΑ.77.4.4 s ˆ.9, 7,,,6, 46 76.4.3. Predicio of rae growh wih MA. rmse wih MA o he las 3 daa = =. -. -..9.8 -.3 64 66 68 7 7 74 76.7 4 6 8
ARMA, μοντέλο Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : e Σφάλμα πρόβλεψης : Var e αν αν Γενικά για βήμα πρόβλεψης : Πρόβλεψη με ARMA: σύνθεση των προβλέψεων με AR και MA
Ρυθμός μεταβολής του ΑΕΠ των ΗΠΑ rmse ARMA3,.34.5.9..33.3 s 3 ˆ.5, 7,,,6, 46 76.4.3 Predicio of rae growh wih ARMA3,. rmse wih ARMA, o he las 3 daa = =.. -. -..9.8 -.3 64 66 68 7 7 74 76.7 4 6 8
Πρόβλεψη μη-στάσιμων χρονικών σειρών Μη-στάσιμη χρονική σειρά Βήματα πρόβλεψης:. μετασχηματισμός σε στάσιμη y, y,, y. πρόβλεψη του + με κάποιο μοντέλο 3. αντίστροφος μετασχηματισμός για την πρόβλεψη y, y,, y,,, y 3 Κλασικό μοντέλο για το y : y s Πρόβλεψη του y + : y s. Εκτίμηση των μ και s ως συναρτήσεις του χρόνου y s. : πρόβλεψη τύπου ARMA του + 3. y s Απαλοιφή των μ και s χρησιμοποιώντας διαφορές πρόβλεψη με μοντέλα ARIMA ή SARIMA
ARIMA,, Βήματα πρόβλεψης του y :. μετασχηματισμός: y y. πρόβλεψη του + με ARMA, 3. αντίστροφος μετασχηματισμός: y, y,, y,, 3 y y y στάσιμη Σφάλμα πρόβλεψης : e e~ σφάλμα πρόβλεψης του Γενικά για βήμα πρόβλεψης : y y γνωστό από την πρόβλεψη του y +- ARMA, πρόβλεψη του + Παρόμοια διαδικασία πρόβλεψης για ARIMA,d, ή SARIMA,d,P,D,Q s
close ide reurs r close ide r Γενικός δείκτης Χρηματιστηρίου Αθηνών Περίοδος Ιανουάριος Σεπτέμβριος 5 35 ASE Geeral Ide, Ja - Se 5 Auocorrelaio of ASE Geeral Ide 3.8 5.6.4 5. 3 4 5 6 years Απόδοση.5.4.3.. y y y Reurs of ASE Geeral Ide 3 4 5..5..5 Auocorrelaio of reurs of ASE Geeral Ide -. -. -.3 -.4 3 4 5 6 years -.5 -. -.5 -. 5 5
reurs of ide close ide AIC Γενικός δείκτης Χρηματιστηρίου Αθηνών Περίοδος Ιανουάριος Σεπτέμβριος 5 Τάξη AR μοντέλου y y Parial auocorrelaio of reurs of geeral ide AIC of reurs of geeral ide. y -9.5.5-9.. -9.5.5, -9. -.5 -. -.5-9.5-9.3.5..5 -.5 -. -. 5 5-9.35 5 5 Πρόβλεψη πολλών βημάτων με αφετηρία.9.5 αποδόσεις γενικού δείκτη γενικός δείκτης y of ide reur, =.9.5 reur of ide y T, AR7 -.5 8 5 9 6 days y y y y Πρόβλεψη y y y y 345 34 335 33 35 of geeral ide, =.9.5 geeral ide T, AR7 3 8 5 9 6 days
close ide Γενικός δείκτης Χρηματιστηρίου Αθηνών Περίοδος Ιανουάριος Σεπτέμβριος 5 rmse Πρόβλεψη ενός βήματος την περίοδο.9.5..5 Εκτίμηση του σφάλματος πρόβλεψης με ΑR μοντέλα για την περίοδο.9.5..5 345 34 of geeral ide =.9.5 o..5.5 rmse of AR for geeral ide,.9.5-..5 = = =5 335 33 geeral ide AR AR7 35 3 8 5 9 6 days.5 5 5
8 Μη-παραμετρικά όρια πρόβλεψης μοντέλου AR με χρήση της τεχνικής boosra. 9 Μοντέλα χώρου κατάστασης sae sace models και σχέση τους με μοντέλα ARMA Πρόβλεψη με φίλτρο Kalma Kalma filer Απόμακρα σημεία ouliers σε χρονοσειρές: τύποι απόμακρων σημείων, εντοπισμός και εκτίμηση τους Σύγκριση πρόβλεψης από δύο ή περισσότερα μοντέλα