Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα Βαθμωτής Συνάρτησης Πολλών Μεταβλητών Ορισμός n f( x, y) ds = lim f( x, y ) s n i = i i i Ισούται με το εμβαδό της μπλε επιφάνειας Σε περίπτωση κλειστής καμπύλης γράφεται και ως: f ( x, y) ds Αν η καμπύλη περιγράφει ένα σύρμα, του οποίου δίνεται η πυκνότητα ρ(x,y), τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της ρ πάνω στην παριστάνει τη μάζα του σύρματος m = ρ ( x, y) ds

Υπολογισμός Επικαμπύλιου Ολοκληρώματος Βαθμωτής Συνάρτησης r ( ), Έστω μία παραμετροποίηση της λείας καμπύλης, τότε: f ( x) ds = f r () v() d = f r () r '() d ( ) ( ) Σε D r () = x (), y () f ( x, y) ds = f x(),y() x '() + y '() d Σε 3D r () = x (), y (), z () ( ) f ( x, y, z) ds = f x(),y(), z() x '() + y '() + z '() d Το τελικό ολοκλήρωμα είναι ένα απλό ολοκλήρωμα μίας συνάρτησης μόνον του ( )

Ιδιότητες Επικαμπύλιου Ολοκληρώματος Βαθμωτής Συνάρτησης Το f ( x) ds k f ( x) ds = k f ( x) ds είναι ανεξάρτητο από την επιλογή της παραμετροποίησης της f ( x ) ± g( x ) ds = f ( x ) ds ± g( x ) ds f ( x ) ds = f ( x ) ds + f ( x ) ds + f ( x) ds = f ( x) ds

Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Βαθμωτής Συνάρτησης επί της καμπύλης, ως προς τους άξονες x, y, z f ( x, y, z) dx = f x(), y(), z() x '() d ( ) f ( x, y, z) dy = f x(), y(), z() y '() d ( ) f ( x, y, z) dz = f x(), y(), z() z '() d ( ) Συχνά ζητείται να υπολογιστεί το άθροισμά τους το οποίο γράφεται ως: f ( x, y, z) dx + f ( x, y, z) dy + f ( x, y, z) dz

Διανυσματικά Πεδία Στο επίπεδο (D) F: F( xy, ) = Mxyi (, ) ˆ+ Nxyj (, ) ˆ= Mxy (, ), Nxy (, ) Στο χώρο (3D) 3 3 F: F( xyz,, ) = M( xyzi,, ) ˆ+ Nxyz (,, ) ˆj+ Pxyzk (,, ) ˆ = = M( xyz,, ), Nxyz (,, ), Pxyz (,, ) Παραδείγματα Πεδίο δυνάμεων, Πεδίο ταχυτήτων, Πεδίο κλίσεως f= fiˆ+ f ˆj + fkˆ x y z

Αναπαράσταση Διανυσματικών Πεδίων Fxy (, ) =< xy, > Fxy (, ) =< yx, > Fxyz (,, ) =< xyz,, >

Συνέχεια Διαφορισιμότητα- Παράγωγος Διανυσματικού Πεδίου Ένα διανυσματικό πεδίο είναι συνεχές όταν κάθε μία συνιστώσα του είναι συνεχής ως συνάρτηση πολλών μεταβλητών Ένα διανυσματικό πεδίο είναι διαφορίσιμο όταν κάθε μία συνιστώσα του είναι διαφορίσιμη ως συνάρτηση πολλών μεταβλητών Παράγωγος Διανυσματικού Πεδίου F( xy, ) = Mxy (, ), Nxy (, ) DF( xy, ) π.χ. Έστω M Mx M y = = N Nx N y F( xy, ) = f( xy, ) = f, f x y Ιακωβιανός Πίνακας Αντίστοιχα σε 3D DF( xy, ) fxx fxy = fyx f yy η Παράγωγος της f Εσσιανός Πίνακας

Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Διανυσματικών Πεδίων W = F T ds = F dr = Mdx + Ndy + Pdz ( ˆ ) Παριστάνει το Έργο που εκτελείται από τη δύναμη F για μετακίνηση επί της λείας καμπύλης Υπολογισμός του επικαμπύλιου ολοκληρώματος : r () = x (), y (), z (), F= M( xyz,, ), Nxyz (,, ), Pxyz (,, ) W = F r r d ( ( ()) '()) W= ( M( r ()) x'() + N( r ()) y'() + Pr ( ()) z'() ) d

Ερμηνεία Προσήμου Επικαμπύλιου Ολοκληρώματος Διανυσματικού Πεδίου F= yx, F Αν η φορά διαγραφής της dr > F dr < καμπύλης, στο μεγαλύτερο μέρος της, είναι παραπλήσια με τη φορά του διανυσματικού πεδίου Αν η φορά διαγραφής της καμπύλης, στο μεγαλύτερο μέρος της, είναι αντίθετη με τη φορά του διανυσματικού πεδίου F dr = Αν η καμπύλη είναι κάθετη στη φορά του διανυσματικού πεδίου

Ιδιότητες Επικαμπύλιων Ολοκληρωμάτων Διανυσματικών πεδίων F Το dr ( ) είναι ανεξάρτητο από την επιλογή της παραμετροποίησης της F ± G dr = F dr ± G dr F dr = F dr + F dr + k F dr = k F dr F dr = F dr Η μοναδική διαφορά με τα επικαμπύλια ολοκληρώματα βαθμωτών συναρτήσεων

Ροή - Κυκλοφορία Έστω F = Πεδίο Ταχυτήτων Ροή κατά μήκος (flow) της καμπύλης (παράλληλα στην καμπύλη) ( F T ˆ ) ( F T ˆ ) ds Κυκλοφορία κατά μήκος (circulaion) της καμπύλης ds Ροή παράλληλα σε κλειστή καμπύλη Ροή διαμέσου (flux) κλειστής καμπύλης του επιπέδου (κάθετα στην καμπύλη, στην κατεύθυνση του n) F n ds = M dy N dx ( ˆ ) ˆn= Tˆ kˆ (Για κίνηση κατά την ορθή φορά) n=

Απόκλιση - Στροβιλισμός F( xyz,, ) = M( xyz,, ), Nxyz (,, ), Pxyz (,, ) Απόκλιση Διανυσματικού Πεδίου M( xyz,, ) Nxyz (,, ) Pxyz (,, ) divf = F = + + x y z Στροβιλισμός Διανυσματικού Πεδίου iˆ ˆj kˆ P N M P N M curlf = F = =,, x y z y z z x x y M N P =,, x y z Ισχύουν οι ταυτότητες div curlf = F = ( ) ( ) ( ) = ( f ) curl grad f Βαθμωτή Συνάρτηση =

Ερμηνεία Απόκλισης (ή Πυκνότητας Εξερχόμενης Ροής) στο επίπεδο F( xy, ) = Mxy (, ), Nxy (, ), Mxy (, ) Nxy (, ) divf = F = + x y Μετράει την τοπική διαστολή ή συστολή του πεδίου

Ερμηνεία Στροβιλισμού (ή Πυκνότητας Κυκλοφορίας) στο επίπεδο F( xy, ) = Mxy (, ), Nxy (, ), curlf Nxy (, ) Mxy (, ) =,, x y Μετράει την τοπική τάση του πεδίου για περιστροφή

Ακριβής Διαφορική Μορφή Μία σχέση της μορφής: M ( x, y, z) dx + N( x, y, z) dy + P( x, y, z) dz καλείται Διαφορική Μορφή Μία διαφορική μορφή καλείται Ακριβής Διαφορική Μορφή αν υπάρχει συνάρτηση Qxyz (,, ) τέτοια ώστε dq = M ( x, y, z) dx + N( x, y, z) dy + P( x, y, z) dz δηλ. η διαφορική μορφή να αποτελεί το τέλειο διαφορικό της Q Κριτήριο για Ακριβή Διαφορική Μορφή P N M P N M =, =, = y z z x x y curlf = ή

Συνεκτικά χωρία / Απλές καμπύλες Απλά Συνεκτικό Πολλαπλά Συνεκτικό Μη Συνεκτικό Δεν τέμνει τον εαυτό της Απλή Ανοικτή Απλή Κλειστή Μη Απλή Ανοικτή Μη Απλή Κλειστή

Συντηρητικά Πεδία σε απλά συνεκτικά χωρία R Αν το πεδίο F = Miˆ+ N ˆj + Pkˆ είναι συντηρητικό, τότε ισχύουν οι εξής ισοδύναμες προτάσεις: Υπάρχει τέτοια ώστε To είναι ανεξάρτητο της καμπύλης. Εξαρτάται μόνον Β από τα άκρα της, και ισχύει: F Θεμελιώδες dr = f ( B) f ( A) Θεώρημα Επ. Ολοκλ/μάτων H F dr F dr = Mdx + Ndy + Pdz F = P N M P N M =, =, = y z z x x y Το f( xyz,, ) df = Mdx + Ndy + Pdz Α για κάθε κλειστή καμπύλη στο R Προϋποθέσεις: Το R ανοιχτό, απλά συνεκτικό Η καμπύλη τμηματικά λεία Η F και οι παράγωγοί της συνεχείς f f: Συνάρτηση Δυναμικού (Υπάρχουν άπειρες f με διαφορά σταθεράς) είναι ακριβής διαφορική μορφή δηλ. ή curlf = F Αστρόβιλο Πεδίο είναι τέλειο διαφορικό =

Συντηρητικά Πεδία σε πολλαπλά συνεκτικά χωρία Έστω ένα συντηρητικό πεδίο F ορισμένο σε ένα πολλαπλά συνεκτικό χωρίο R, τότε Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα επί απλής, κλειστής καμπύλης που δεν περικλείει την οπή ισούται με μηδέν: F dr = R 3 Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα επί οποιασδήποτε απλής, κλειστής καμπύλης που περικλείει την οπή ισούται με την ίδια ποσότητα, η οποία καλείται Κυκλική Σταθερά της Οπής: F dr = F dr Οπή 3

Θεώρημα Green (στο επίπεδο) F= Miˆ+ N ˆj R Εφαπτομενική Μορφή N M F T ds = Mdx + Ndy = da x y ( ˆ ) R Κυκλοφορία ή Έργο (κατά μήκος της ) Κάθετη Μορφή ( ˆ) R Προϋποθέσεις: Το χωρίο R απλά συνεκτικό και ορίζεται από την καμπύλη H καμπύλη απλή, κλειστή, τμηματικά λεία και διαγράφεται κατά την ορθή φορά Η F και οι παράγωγοι της συνεχείς στο R (ορίζονται παντού στο R) Ολοκλήρωμα Στροβιλισμού M N F n ds = Mdy Ndx = + da x y Εξερχόμενη ροή (κάθετα στη ) ˆ ( ) ˆ N M curlf k = F k = x y Ολοκλήρωμα Απόκλισης M N divf = F = + x y

Θεώρημα Green σε πολλαπλά συνεκτικά χωρία π.χ. R Η φορά διαγραφής των καμπυλών είναι τέτοια ώστε το εσωτερικό του R να βρίσκεται πάντοτε στο αριστερό μας χέρι: Η εξωτερική καμπύλη θα έχει φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού ενώ όλες οι εσωτερικές θα έχουν φορά ίδια με των δεικτών του ρολογιού R: Το σύνορο του χωρίου R Mdx + Ndy = Mdx + Ndy + Mdx + Ndy + Mdx + Ndy = R N M = da x y R

Υπολογισμός Εμβαδών μέσω Θεωρήματος Green Εμβαδό χωρίου R που περικλείεται από την απλή, λεία και κλειστή καμπύλη Green με Μ=-y/, Ν=x/ Green με Μ=, Ν=x Green με Μ=-y, Ν= ER = x dy y dx = x dy = y dx Πολλές φορές, ιδίως σε συμμετρικά ως προς x και y χωρία, είναι ευκολότερος ο υπολογισμός του πρώτου ολοκληρώματος Ορισμένο Ολοκλήρωμα ως Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα b ER = f ( x) dx = y dx α