AΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Α κ ο λ ο υ θ ι ε ς Ορισμος. Ν δειχτει οτι + 0 0. Ποτε ισχυει το ισο; Κθε συρτηση. A :, β * θετικοι οομζετι, συγκριετι κολουθι τους ριθμους πργμτικω Α = ριθμω. + β, Β = β + β. * Η τιμη () μις κολουθις στο τυχιο σημειο, συμβολιζετι με κι λεγετι ορος με δεικτη η ιοστος ορος η γεικος ορος της κολουθις. Οι τιμες,,,...,,... λεγοτι οροι της κολουθις, κτά σειρ, πρωτος, δευτερος, κλπ Μι κολουθι συμβολιζετι με ( ). * Σε μι κολουθι ( ), θετουμε S = + + +...+ γι κάθε κι το οομζουμε θροισμ τω -πρωτω ορω της. Mι κολουθι ( ), oριζετι δρομικ, είι γωστ: ο δρομικος της τυπος (μι σχεση που συδεει δυο οποιουσδηποτε, τουλχιστο, διδοχικους ορους). οι πριτητοι ρχικοι οροι της, ώστε ο δρομικος τυπος ρχισει διει ορους. Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Ορισμος Μι κολουθι οομζετι ριθμητικη προοδος, κι μοο, υπρχει ω, τετοιος ωστε γι κάθε ισχυει: * + = + ω η + - = ω Ο ριθμος ω οομζετι διφορ της ριθμητικης προοδου. Τρεις ριθμοι,β,γ είι διδοχικοι οροι ριθμητικης προοδου κι μοο : + γ β=+γ η β = Αποδειξη β - = ω Α, β, γ ειι διδοχικοι οροι ριθμητικης προοδου, τοτε ισχυει : γ - β = ω + γ β - = γ - β β = + γ β = Ατιστροφ : Α ισχυει β = + γ τοτε β - = γ - β, που σημιει οτι οι ριθμοι, β, γ ειι διδ. οροι ριθμοι προοδου. Ο ριθμος β λεγετι ριθμητικος μεσος τω κι γ. Σε μι ριθμητικη προοδο ( ) με διφορ ω, ισχυου: + + ( - ) ω = + ( - ) ω S = = Αποδειξη Το θροισμ τω πρωτω ορω ριθμ. προοδου, διετι : S = + ( + ω) + ( + ω) +... + [ + ( - )ω] () S = H Εοι + ( - ω) του + ( διυσμτος - ω) +... + [ - ( -)ω] () Απο () + () : S = ( + ) + ( + ) +...( + ) = ( + ) Οποτε : S = ( + ) Κε τη επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
AΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ M ε θ ο δ ο ς ( Δ ι δ. Ο ρ ο ι Α ρ ι θ μ η τ ι κ η ς Π ρ ο ο δ ο υ ) N βρεθει ο x, οι ριθμοι x -, x -, x + ποτελου διδοχικους ορους ριθ - μητικης προοδου. Ποιοι ειι οι οροι υτοι; ο Βημ : Α, β, κι γ διδοχικοι οροι Α.Π., τοτε : β = + γ. Ετσι : (x - ) = (x - ) + (x + ) ο Βημ : Λυουμε τη εξισωση που προκυπτει : (x - ) = (x - ) + (x + ) 4x - = x - + x + x - x + = 0 x = x - x - x + = 0 x(x - ) - (x - ) = 0 (x - )(x - ) = 0 x = ο Βημ : Γι τις διφορες τιμες του x βρισκουμε τους τρεις ορους : Γι x = οι διδοχικοι οροι ειι : -,, 4. Γι x = οι διδοχικοι οροι ειι :,, 5. M ε θ ο δ ο ς ( Α θ ρ ο ι σ μ π ρ ω τ ω ο ρ ω Α. Π. ) Το θροισμ τω 5 πρωτω ορω ριθμητικης προοδου ισουτι με 5, εω το θροι - σμ τω επομεω 5 ορω ισουτι με 75. Ν βρεθει ο πρωτος ορος της προοδου κθως κι η διφορ ω. ο Βημ : Σχημτιζουμε συστημ Χ με τ δοσμε : S = 5 5 S 0 - S 5 = 75 ο Βημ : Λυουμε το συστημ που προκυπτε ι : 5 ( + 4ω) = 5 S = 5 5 + ω = 5 S 0 - S 5 = 75 0 5 + 7ω = 5 ( + 9ω) - ( + 4ω) = 75 = 5 - ω = 5 - ω = 5 - ω + 7ω = 5 5ω = 0 ω = M ε θ ο δ ο ς ( Π ρ ο β λ η μ Π ρ ε μ β ο λ η ς ) Μετξυ τω ριθμω κι 5 πρεμβλουμε ριθμητικους εδιμεσους, ωστε το - θροισμ τω ορω της ριθμητικης προοδου ειι ισο με 7. Ποσους ορους θ πρεμβλουμε; Ν βρεθει η διφορ ω της ριθμητικης προοδου. ο Βημ : Γρφουμε ο, τι γωριζουμε γι τη ριθμητικη προοδο : = = 5 S = 7 ο Βημ : Λυουμε ως προς το τυπο του θροισμτος : S = 7 ( + ) = 7 ( + 5) = 7 6 = 4 = 9 Αρ θ πρεμβλουμε 7 ορους. ο Βημ : Λυουμε ως προς ω το τυπο του - οστου ορου : = 5 + ( - )ω = 5 + (9 - )ω = 5 8ω = 4 ω = Κε τη επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
AΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Διετι η κολουθι με = κι = +. Βρειτε τους τεσσερις πρωτοι οροι της. + Διετι η κολουθι = + 7. Ν οριστει η κολουθι κι δρομικ. Ν βρειτε το - οστο ορο της κολουθις : = + Ειι = Ειι = + = + = = + = + = 4 + = 5 = + = 5 + = 5 + = 6 4 Ειι + κι = +. - = [( + ) + 7] - ( + 7) = Αρ + = + + 7 - - 7 = = + που ειι ο δρομικος τυπος της κολουθις. Αφου =. + 7 = 9, η κολουθι οριζε - τι δρομικ : = 9 κι = + = = + προσθετουμε = + = + ( - ) = + - = - κτ μελη... = - + Εστω ριθμητικη προοδος με πρωτο ορο = κι διφορ ω =. Ν βρεθει ο εβδομος ορος της. + Α το θροισμ τω πρωτω ορω της ειι ισο με 45, τοτε βρεθει το πλη - θος τω ορω υτω. Εστω ριθμητικη προοδος με = 5 κι =. Ν βρεθει ο πρωτος ορος της. Ν βρεθει η διφορ ω. 6 Ν βρεθει το θροισμ τω 50 πρωτω ορω της. Ο τυπος του - οστου ορου ρ. προοδου διετι πο : = + ( - )ω. Α = 7, τοτε : = + (7 - )ω = + 6. = + 8 = 9 7 7 7 7 Το θροισμ τω πρωτω ορω ρ.προοδου διετι πο : S = [ + ( - )ω] Ομως, S = 45 [ + ( - )ω] = 45 [. + ( - ) ] = 90 + 59 = = 0 Δ=48 6 ( + - ) = 90 - - 90 = 0 Δ =59-59 -58 = = πορρ. 6 6 = 5 + ( - )ω = 5 + ω = 5 + ω = 5 + ω = 5 6 = + (6 - )ω = + 5ω = + ω + ω = 5 + ω = + ω = 5 + 4 = 5 = 50 S 50 = [. + (50 - ).] = 5.( + 98) = 500 ω = 6 ω = ω = Κε τη επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
AΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Εστω ριθμητικη προοδος με : + = 0 κι. = 40. Ν βρεθει ο πρωτος ορος της. Ν βρεθει η διφορ ω. Εστω ριθμητικη προοδος με.ω = 6 κι = 5. Ν βρεθει ο πρωτος ορος της. Ν βρεθει η διφορ ω. Ειι Ν βρεθει το θροισμ τω 0 πρωτω ορω της. + = 0 + + ω = 0 = 5 - ω = 40 ( + ω)( + ω) = 40 (5 - ω + ω)(5 - ω + ω) = 40 = 5 - ω = 5 - ω = 5 - ω = 5 (5 + ω) = 40 5 + 5ω = 40 ω = ω = Ειι ω = 6 ω = 6 οποτε οι ριθμοι, ω ειι ριζες της εξισωσης : = 5 + ω = 5 x = = = ω = ω = 0 Α = κι ω =, τοτε : S0 = [ + (0 - ) ] = 5 (4 + 7) = 55 0 Α = κι ω =, τοτε : S0 = [ + (0 - ) ] = 5 (6 + 8) = 0 x - 5x + 6 = 0 η x = N βρεθει ο x, οι ριθμοι x -, x -, x + ποτελου διδοχικους ορους - ριθμητικης προοδου. Ποιοι ειι οι οροι υτοι; A, β, γ ειι διδοχικοι οροι ριθμητικης προοδου, δειχτει οτι κι οι β - γ, γ - β ειι επισης διδοχικοι οροι ριθμητικης προοδου. Αφου οι x -, x -, x + ειι διδοχικοι οροι ριθμ. προοδου, τοτε : (x - ) = (x - ) + (x + ) 4x - = x - + x + x - x + = 0 x = x - x - x + = 0 x(x - ) - (x - ) = 0 (x - )(x - ) = 0 x = Γι x = οι διδοχικοι οροι ειι : -,, 4. Γι x = οι διδοχικοι οροι ειι :,, 5. Αφου οι, β, γ ειι διδοχικοι οροι ριθμητικης προοδου, τοτε ισχυει : β = + γ () - βγ, Γι ειι οι - βγ, β - γ, γ - β διδοχικοι οροι ριθμητικης προοδου πρεπει : (β - γ) = - βγ + γ - β β - γ = - βγ + γ - β β = + γ + γ - βγ - β () β = ( + γ) - β( + γ) β = (β) - β(β) β = 4β - β β = β που ληθευει. Κε τη επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
AΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ N βρεθου τρεις κεριοι ριθμοι που ποτελου διδοχικους ορους ριθμητι - κης προοδου, το θροισμ τους ειι 8 κι το γιομεο τους 9. N βρεθου τεσσερις κεριοι ριθμοι που ποτελου διδοχικους ορους ριθ - μητικης προοδου, το θροισμ τους ειι 8 κι το γιομεο τους - 5. Εστω x - ω, x, x + ω ειι οι τρεις ζητουμεοι κεριοι (δ.οροι Α.Π.). Οποτε : x - ω + x + x + ω = 8 x = 8 x = 6 x = 6 (x - ω)x(x + ω) = 9 (x - ω )x = 9 (6 - ω )6 = 9 6ω = 4 x = 6 x = 6 Γι ω = οι διδοχικοι οροι ειι : 4, 6, 8 ω = 4 ω = η ω = - Γι ω = - οι διδοχικοι οροι ειι : 8, 6, 4 Εστω x - ω, x - ω, x + ω, x + ω ειι οι τεσσερις ζητουμεοι κεριοι (διδ. οροι Α.Π.). Οποτε : x - ω + x - ω + x + ω + x + ω = 8 4x = 8 (x - ω)(x - ω)(x + ω)(x + ω) = -5 (x - ω )(x - 9ω ) = -5 x = x = x = 4 ( - ω )( - 9ω ) = -5 (4 - ω )(4-9ω ) = -5 9ω - 40ω + = 0 x = x = Γι ω = οι διδ. οροι ειι : -,,, 5 ω = (ω = πορ.) ω = η ω = - Γι ω = - οι διδ. οροι ειι : 5,,, - 9 Το θροισμ τω πρωτω ορω ριθμητικης προοδου ισουτι με το του θροι - σμτος τω επομεω ορω της. Ν δειχτει οτι S = S. Το θροισμ τω 5 πρωτω ορω ριθμητικης προοδου ισουτι με 5, εω το θροι - σμ τω επομεω 5 ορω ισουτι με 75. Ν βρεθει ο πρωτος ορος της προοδου κθως κι η διφορ ω. Ν δειχτει οτι το θροισμ τω 5 πρωτω ορω ριθμ. προοδου ισουτι με 5. To θροισμ τω επομεω ορω της ριθμητικης προοδου διετι πο το : S - S. Οποτε S = (S - S ) S = S - S S = S 5 ( + 4ω) = 5 S 5 = 5 S 0 - S 5 = 75 0 5 ( + 9ω) - ( + 4ω) = 75 = 5 - ω = 5 - ω = 5 - ω + 7ω = 5 5ω = 0 ω = Το θροισμ τω 5 πρωτω ορω διετι πο : S 5 = ( + 4ω) = 5( + ω) = 5[ + ( - )ω] = = +(-)ω 5 + ω = 5 + 7ω = 5 5 Κε τη επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
AΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 4 Μετξυ τω ριθμω κι 5 πρεμβλουμε κεριους ριθμους, ωστε ολοι μζι ποτελου ορους ριθμητικης προοδου. Ν βρεθει η διφορ ω της ριθμητικης προοδου. Ν βρεθει το θροισμ τω πρωτω ορω της. Μετξυ τω ριθμω κι 5 πρεμβλουμε ριθμητικους εδιμεσους, ωστε το θροισμ τω ορω της ριθμητικης προοδου ειι ισο με 7. Ποσους ορους θ πρεμβλουμε; Ν βρεθει η διφορ ω της ριθμητικης προοδου. Γι τη ριθμητικη προοδο γωριζουμε οτι : = = 5 = 4 4 4 = 5 + ω = 5 + ω = 5 ω = 5 ω = 4 S = ( + ω) = ( + 6ω) = ( + 4) = 5 Γι τη ριθμητικη προοδο γωριζουμε οτι : = = 5 S = 7 S = 7 ( + ) = 7 ( + 5) = 7 6 = 4 = 9 Αρ θ πρεμβλουμε 7 ορους. Επισης = 5 + ( - )ω = 5 + (9 - )ω = 5 8ω = 4 ω = E τμημ της Β Λυκειου, ποτελουμεο πο 0 μθητες, πηγιει στο θετρο π - ρκολουθησει μι εκπιδευτικη πρστση. Η ιθουσ ειι μφιθετρικη με 0 κ - θισμτ στη πρωτη σειρ, εω κθε επομεη σειρ εχει κθισμτ περισσοτερ π' τη προηγουμεη. Σε ποι σειρ θ κθισου οι μθητες, ωστε ειι ολοι πρε κι μη υπρχει λλο τομο η κεο κθισμ; Α οι επιβλεποτες κθηγητες κθισου 7 σειρες πιο πισω πο τους μθητες, ποσ κθισμτ υπρχου σ'υτη τη σειρ; Α οι κθηγητες κθοτι στη προτελευτι σειρ, ποσ κθισμτ εχει η ιθουσ; Το πληθος τω κθισμτω κθε σειρς κολουθει ριθμητικη προοδο, με = 0 ω = Οι μθητες κθοτι στη - οστη σειρ με = 0. Οποτε = 0 + ( - )ω = 0 0 + ( - ). = 0 - = 0 = 6 Δηλδη οι μθητες θ κθισου στη 6η σειρ. Οι κθηγητες κθοτι στη η (6 + 7) σειρ. Οποτε = + ( - )ω = 0 + ( - ) = 0 + = 0 + 4 = 44 Δηλδη στη σειρ που κθοτι οι κθηγητες υπρχου 44 κθισμτ. Οι συολικες σειρες κθισμτω ειι 4. Αρ 4 S = (0 +.) = 4(0 + ) = 4. = Κε τη επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
AΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Διετι η κολουθι με = - κι = 7 +. + Ν βρεθου οι τεσσερις πρωτοι οροι της. Διετι η κολουθι = 6 + 4. Ν οριστει η - κολουθι κι δρομικ. Ν βρειτε το - οστο ορο της κολουθις : = κι =. + Μι κολουθι οριζετι - δρομικ, ειι : Γωστος ο πρωτος ορος της. Γωστος ο δρομικος τυπος Εστω ριθμητικη προοδος με πρωτο ορο = - κι διφορ ω =. Ν βρεθει ο ογδοος ορος της. Α το θροισμ τω πρωτω ορω της ειι ισο με 80, βρεθει το πληθος τω ορω υτω. Εστω ριθμητικη προοδος με = - κι = -. 7 Ν βρεθει ο πρωτος ορος της. Ν βρεθει η διφορ ω. Ν βρεθει το θροισμ τω 40 πρωτω ορω της. Εστω ριθμητικη προοδος με : + = 8. 5 Ν βρεθει ο πρωτος ορος της. Ν βρεθει η διφορ ω. 4 4 = 6 κι Εστω ριθμητικη προοδος με ω = 0 κι = 7. Ν βρεθει ο πρωτος ορος της. Ν βρεθει η διφορ ω. Ν βρεθει το θροισμ τω πρωτω ορω της. N βρεθει ο x, οι ριθμοι x(x + ), (x - ), x(x + x + ) ποτελου διδοχικους ορους ριθμητικης προοδου. Ποιοι ειι οι οροι υτοι; N βρεθει ο x, οι ριθμοι x, x ( - x), ( - 4x) ποτελου διδοχικους ορους ριθμη - τικης προοδου. Ποιοι ειι οι οροι υτοι; Eιι + S = = + = + ω β = + γ,, β, γ δ.ο.. π. = + ( - )ω + = [ + ( - )ω] = + ω β = + γ,, β, γ δ.ο.. π. = + ( - )ω S = [ + ( - )ω] Α ειι γωστ τ + β κι β, τοτε οι ριθμοι, β ειι ριζες της : x - ( + β)x + β = 0 A, β, γ ειι διδοχικοι οροι ριθμητικης προοδου, δειχτει οτι κι οι β + γ, + γ, + β ειι επισης διδοχικοι οροι ριθμητικης προοδου. + A, β, γ ειι διδοχικοι οροι ριθμητικης προοδου, δειχτει οτι κι οι + β + γ, + γ + γ, β + βγ + γ ειι επισης διδοχικοι οροι ριθμητικης προοδου. = + ω β = + γ,, β, γ δ.ο.. π. = + ( - )ω S = [ + ( - )ω] Κε τη επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
AΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ N βρεθου τρεις κεριοι ριθμοι που ποτε - Α ψχουμε : λου διδοχικους ορους ριθμητικης προοδου, διδ.ορους Α.Π. τοτε : το θροισμ τους ειι 5 κι το γιομεο τους 05. x - ω, x, x + ω N βρεθου τεσσερις κεριοι ριθμοι που πο - 4 διδ.ορους Α.Π. τοτε : τελου διδοχικους ορους ριθμητικης προοδου, x - ω, x - ω, x + ω, x + ω το θροισμ τους ειι κι το γιομεο τους 680. Α, β, γ ποτελου διδοχικους ορους ριθμητι - κης προοδου, τοτε δειχτει οτι : ημ - ημγ = σφβ συ - συγ ημ + ημγ = ημβσυ(β - ) ημγ - ημ = ημ(γ - β)συβ Το θροισμ τω πρωτω ορω ριθμητικης προ - Α S ειι το θροισμ τω οδου ισουτι με το του θροισμτος τω επομε - πρωτω ορω μις ριθμητικης ω ορω της. Ν δειχτει οτι S = 6S. προοδου, τοτε το θροισμ τω Το θροισμ τω 6 πρωτω ορω ριθμητικης προ -επομεω ορω διετι πο : οδου ισουτι με 48, εω το θροισμ τω επομεω S - S. 6 ορω ισουτι με 0. Ν βρεθει ο πρωτος ορος της προοδου κθως κι η διφορ ω. Ν δειχτει οτι το θροισμ τω 5 πρωτω ορω ριθμητικης προοδου ισουτι με 5κ, οπου κ ειι ο μεσιος ορος. Μετξυ τω ριθμω 0 κι 4 πρεμβλουμε 0 κεριους ριθμους, ωστε ολοι μζι ποτελου ορους ριθμητικης προοδου. Ν βρεθει η διφορ ω της ριθμητικης προοδου. Ν βρεθει το θροισμ : S = + + + + + +. 5 6 7 8 9 0 Μετξυ τω ριθμω κι 6 πρεμβλουμε ριθ - μητικους εδιμεσους, ωστε το θροισμ τω ορω της ριθμητικης προοδου ειι ισο με 48. Ποσους ορους θ πρεμβλουμε; Ν βρεθει η διφορ ω της ριθμητικης προοδου. Eιι β = + γ,, β, γ δ.ο.. π. συ( - β) = συσυβ + ημημβ συ( + β) = συσυβ - ημημβ κι... Ν βρεθει το θροισμ ολω τω πολλπλσιω του 4, που περιεχοτι μετξυ τω ριθμω 99 κι 0. Α μετξυ τω ριθμω κι β πρεμβλουμε κ ριθμους, ωστε προκυψει ριθμητικη προοδος, τοτε : = κ+ = β Κε τη επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/
AΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Η ιθουσ εος θετρου η πρωτη σειρ εχει 0 κθισμτ κι κθε επομεη σειρ εχει κθισμ - τ περισσοτερ π'τη προηγουμεη. Ποσ κθισμτ εχει η 8η σειρ; Ποσ κθισμτ υπρχου μετξυ 5ης κι 5ης σειρς; Α το θετρο εχει 5 σειρες, ποσ κθισμτ ε - χου οι τελευτιες σειρες; Eιι + = + ω β = + γ,, β, γ δ.ο.. π. = + ( - )ω + S = = = [ + ( - )ω] Σ'ε σχημτισμο 69 πολεμικω εροσκφω, η πρωτη σειρ ποτελειτι μοο π'το εροσκφος του ρχηγου, η δευτερη σειρ πο εροσκφη, η τριτη πο 5 κλπ. Ποσες σειρες εροσκφω εχου σχημτιστει; Ποσ εροσκφη εχει η 7η σειρ; Ποσ εροσκφη εχου οι 4 τελευτιες σειρες; Κε τη επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/