ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΤΑΞΗ : Β Λυκείου κατ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1) Να βρεθεί το Π.Ο. των συναρτήσεων : α) f ( ) β) f ( ) + 5 + 6 ln( + 1) γ) f ( ) δ) 1 f( ) 4 ) Να βρεθεί το Π.Ο. και το Π.Τ. των συναρτήσεων : α) f( ) + 1 β) f( ) 4+ f, 1 γ) ( ) ) ίνεται η συνάρτηση βρείτε το τύπο της. ψ να εξετάσετε αν ορίζεται η αντίστροφη της. Αν ορίζεται να 1 ΟΡΙΑ 1) Να υπολογίσετε τα όρια: α) lim συν 0 1 ( ) β) ( ) lim + γ) + 9 lim δ) lim 5+ 6 ( ) ε) lim + 5 5+ στ) lim 4 + 1 1 ζ) ημ lim 0 ) Αν f() 1, 1 1, 1 να υπολογίσετε το όριο lim f(). 1 1
ΠΡΟΟ ΟΙ 1) Να βρείτε το λόγο γεωμετρικής προόδου της οποίας ο πέμπτος όρος είναι 4 και ο όγδοος όρος είναι 56. ο ο ) Να βρείτε το άθροισμα των 7 πρώτων όρων Γ.Π. που έει 7 όρο 64 και όρο 8. 4 ) Το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων φθίνουσας Γ.Π. είναι 69, ενώ το άθροισμα των απείρων όρων της είναι 81. Να βρεθεί η πρόοδος. 4) Αν είναι η ρίζα της εξίσωσης 4 0, ψ είναι η ρίζα της lg ψ και, ψ, ω είναι διαδοικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να υπολογιστεί το ω. 5) Σε φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο ο πρώτος όρος, το άθροισμα των δύο πρώτων όρων και το άθροισμα των απείρων όρων της είναι διαδοικοί όροι αριθμητικής προόδου. Να βρείτε το λόγο της γεωμετρικής προόδου. 6) Αν ημ, ημψ, συνψ, συν, είναι διαδοικοί όροι Γ.Π. να δειτεί ότι ημ(+ψ)1. 7) Να λυθεί η εξίσωση 5.5.5...5 (0,04) 4 6 8. lg,lg,lg,... lg+ lg4+ lg1 6 +... 8) ίνεται η Γ.Π. 4 16.Αφού διαπιστώσετε ότι είναι φθίνουσα Γ.Π. να λύσετε την εξίσωση. 9) Πόσους όρους πρέπει να πάρουμε από την Γ.Π.,4,8,16,... έτσι ώστε το άθροισμα τους να v είναι Σ + 6. ν 10) Να βρεθούν τέσσερις διαδοικοί αριθμοί σε Γ.Π. αν το άθροισμα των δύο ακραίων είναι 7 και το γινόμενο των δύο μεσαίων 7. 11) Σε Γ.Π. με λόγο, λ, λ< 1, ο πρώτος όρος της είναι το μισό του αθροίσματος των απείρων όρων της, και το άθροισμα των δύο πρώτων όρων της είναι 0. Να βρεθεί η πρόοδος. 1) Να υπολογιστεί το άθροισμα 1 1 1 1 1 1 Σ + + +... 4 9 8 7
ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ 1) Να υπολογίσετε το στα πιο κάτω: α) lg7 β) lg 9 γ) + X+1 X X 1 X+ ) Να δείξετε ότι: lg ( 6 ) + lg ( + ) 7 11 7 ) Να λυθούν οι πιο κάτω εξισώσεις: α) + + 1 1 4 81 6 + 1. lg 9 lg η) β) lg 4 lg θ) 1+ημ ημ 4 9. + 0 lg lg ++ 4 lg 5 0 ι) 10. + + 4 δ) 4 9 + 8 0 κ) 1+ lg (lg 1).lg 10 10 γ) ( ) ε) + 1 + 1 + 5 7 10 λ) 1 lg 4 + + + lg στ) ( ) ζ).4 5. 4.9 μ) συν συν συν+ 1 4 4 50 4) Να υπολογιστεί το άθροισμα lg + lg + lg +... + lg. 5) Αν lg α, lg 5 β να αποδειτεί ότι lg8 15 β. α 6) Να υπολογιστεί η βάση του λογαρίθμου +. lg56 (lg 4) 7) Να λυθεί η εξίσωση l g ( συν ) + lg ( ημ ). ημ συν
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 1) Να βρείτε τις παραγώγους των πιο κάτω συναρτήσεων: (Η απάντηση να δοθεί στην πιο απλή μορφή) α. ψ + 5 β. 5 ψ συν 4 γ. ψ ( ) e + εφ δ. + 5 ψ e ε. 5 ψ ln ημ στ. ψ ( + ) ) Να βρείτε τις παραγώγους στις πιο κάτω συναρτήσεις: α ( + ) β + 5. ψ 5. ψ ημ 4 e + 4 5 γ. ψ δ. ψ + εφ συν6 ε στ. ψ. ψ ln συν ζ. ψ e ln η. ψ ημψ+ ψ+ 8 4 ( ( )) θ. ψ ln ln ln ι. ψ κ. ψ.e.ln λ. ψ.ln(ημ ) ημ ημ5 4 e ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του διαγράμματος της καμπύλης ψ + ψ 1 για και ψ 0. 4) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης και της κάθετης της καμπύλης ψ + ψ ψ 4 + 7 0 στο σημείο (1,1). 5 5) Αν ψ. ημ + να λυθεί η εξίσωση ' ψ 0 στο διάστημα 0 60. ψ + 6) Αν e 4.e να λυθεί η εξίσωση ' ψ 0. 7) Αν εφψ e να δείξετε ότι dy dy. εφψ ( ). d d dy dy ( ) 6 8) Αν ψ ln( ημ ) να δείξετε ότι + + 0. d d dy dy 9) Αν ψ e. ημ4 να αποδείξετε ότι 6. + 5ψ 0. d d 4
10) ίνεται η καμπύλη f( ) +, Α είναι το σημείο όπου η γραφική παράσταση της f() τέμνει τον άξονα των ψ, ενώ Β και Γ τα σημεία στα οποία τέμνει τον άξονα των, να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων στα Α, Β και Γ καθώς και οι συντεταγμένες των κορυφών και το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζουν οι εφαπτομένες. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1) Να αναλύσετε τα πιο κάτω κλάσματα σε άθροισμα απλών κλασμάτων: α. + + β. γ. δ. + 4 + 7 + 5 ( + 1) ( 1) + 1 ( + ) ( + )( + ) ε. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ιανύσματα 1) ίνονται τα διανύσματα α i+ j και β i+ 4 j. Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων α, και α+ β. β ) Το ΑΒΓ είναι τραπέζιο με ΑΒ//Γ και ΓΑΒ. Αν το Μ είναι το μέσο της Γ, ΑΒ α και ΒΓ β, να βρείτε τα διανύσματα ΑΜ, ΒΔ, ΜΒ και ΔΑ συναρτήσει των α, β. ) Να βρείτε τις τιμές του λ έτσι ώστε τα διανύσματα α i+ j και β i+λj να σηματίζουν μεταξύ τους γωνία 60. 4) Να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων α και β αν α 4, β 4 και α β 7. 5) ίνονται τα διανύσματα ΟΑ t i + 10 j και OB t i + t j. Να βρείτε α) το μέτρο του διανύσματος AB d AB β) Την παράγωγο του A B γ) την τιμή του t όταν dt Ευθεία 0. 1) Τρίγωνο ΑΒΓ έει κορυφές Α(-,), Β(,4) και Γ(4,0). Να βρεθεί το μήκος της διαμέσου ΑΜ. ) Τρίγωνο ΑΒΓ έει κορυφές Α(-,-), Β(0,5) και Γ(,0). Να υπολογίσετε : α) το εμβαδόν του τριγώνου. β) το μέτρο της γωνίας ΒΑΓ. γ) την εξίσωση της ευθείας ΑΒ. δ) της συντεταγμένες του μέσου του ΑΒ. ε) το μήκος του ΒΓ. 5
) ίνονται τα σημεία Α(8,-) και Β(0,6). Να βρείτε : α) την εξίσωση της ΑΒ. β) τις συντεταγμένες ενός σημείου Γ πάνω στον άξονα ΟΧ ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με ΑΒΑΓ. 4) Να βρεθούν οι εξισώσεις των διοτόμων των γωνιών που σηματίζουν οι ευθείες -5ψ6 και 5+ψ6. 5) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη με την ευθεία (ε):-ψ10 και απέει εξίσου από την αρή των αξόνων και την ευθεία (ε). 6) ίνεται η κορυφή Α(-1,-) τετραγώνου ΑΒΓ και η διαγώνιος του (Β ):-ψ+50. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του. 7) Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνεται η εξίσωση της πλευράς (ΑΒ):-4ψ-0 και της διαμέσου (ΑΜ):ψ-1. Αν το ίνος του ύψους Α είναι (4,) να βρεθούν οι εξισώσεις των κορυφών του. 8) Αν ΟΑΒΓ είναι τετράγωνο με Β(κ,κ) και Ο η αρή των αξόνων να βρείτε τις συντεταγμένες του Β όταν η ευθεία ψ-(κ-)+λ περνά από την κορυφή Β και τέμνει τους άξονες στα σημεία Ε και Ζ ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΕΖ να είναι διπλάσιο του εμβαδού του τετραγώνου ΟΑΒΓ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1) Οι πλευρές α, β, γ τριγώνου ΑΒΓ αποτελούν διαδοικούς όρους αριθμιτικής προόδου. Να αποδείξετε ότι: Β Α Γ ημ συν ) Αν ημ( Α Β ) ημ( Α + Β), να δείξετε ότι εφα.σφβ5. ) Να δείξετε ότι ημ5ω συν5ω 8. συν ω 4. ημω συνω 4) Αν συν(α-β)0, να δείξετε ότι ημ(α-β)-ημβ. σφω εφω 5) Να δείξετε ότι συν ω σφω + εφω 6) Αν οι γωνίες α, β, γ είναι διαδοικοί όροι Α.Π. με διαφορά ω, να δείξετε ότι : εφα + εφγ. εφβ.(1 + εφ ω) 1 εφβεφ. ω 6
ημα+ημβ εφγ 7) Να δείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ισύει η σέση ημα ημ Β εφ( Β Α) Β Γ 8) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισύει η σέση συνβ + συνγ. συν να δείξετε ότι το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ( Α 90 ). Επιπλέον αν ισύει. ημβ. συνγ 1 να δείξετε ότι είναι ισοσκελές. 9) Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με Α 90 να δείξετε ότι συνβ. συνγ. συν( Β Γ ). 1 10) Να δείξετε ότι π π 4 4 ημ ( + ) συν ( + ) ημ 11) Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ημ+συν0 β) σφ.συν+ημ-0 4 4 γ) ημ συν ημ δ) ημ. συν συν. ημ ε) ημ + συν ημ 18 + συν18 στ) 1+συν. συν ζ) η) 4 ημ (1+συν ) 1 συν 6 6 5 ημ +συν 8 8 0 0 1) Να βρείτε τις ειδικές λύσεις της εξίσωσης ημ5-ημημ στο διάστημα [0,60 ]. 1) Να λυθεί η εξίσωση 7 1 5.( ημ ημ+ ημ ημ ημ ) 1. 7
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Στερεά 1) Κανονική τετραγωνική πυραμίδα ΚΑΒΓ έει βάση τετράγωνο ΑΒΓ με πλευρά 4cm. Αν οι 0 παράπλευρες έδρες της σηματίζουν με τη βάση της γωνία 45 να υπολογίσετε τον όγκο της. 4) Σε κώνο είναι εγγεγραμμένη κανονική τριγωνική πυραμίδα. Η ακμή της βάσης της πυραμίδας είναι α και το ύψος της α. Να βρείτε τη διαφορά των όγκων των δύο στερεών. 0 5) Ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) με ΑΒΒΓΑ α και Γ 60 περιστρέφεται γύρω από την ευθεία Γψ κάθετη στην Γ στο σημείο Γ. Να βρείτε: α) τον όγκο και την επιφάνεια του στερεού που παράγεται συναρτήσει του α και β) για ποια τιμή του α ισύει V 96π cm. 6) ίνεται συμπαγής πλάκα μολύβδου, σήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, του οποίου το μήκος είναι α0cm, το πλάτος β0cm και το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας E ολ. 00 cm.λιώνουμε τη πλάκα αυτή και σηματίζουμε 750 συμπαγείς ίσους κύβους. Να βρείτε το μήκος της ακμής των κύβων. 7) Κυλινδρικό δοείο με ακτίνα βάσης 7 cm περιέει νερό. Στο δοείο ρίνουμε μεταλλικούς κύβους ακμής cm μέρις ότου η στάθμη του νερού ανέβει κατά 8 cm (οι κύβοι καλύπτονται πλήρως από το νερό). Να βρείτε πόσους κύβους ρίξαμε στο δοείο ( π ). 7 0 8) Στο σήμα το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο τραπέζιο (A Δ 90 ) με βάσεις ΑΒ cm, Γ7 cm και ΑΒΑ. Το σκιασμένο τρίγωνο ΒΓ περιστρέφεται πλήρως γύρω από την ΑΒ. Να βρείτε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του στερεού που παράγεται. Α cm Β 7 cm Γ 8
9) Μεταξύ της ακτίνας R και του ύψους υ ενός κυλίνδρου ισύει η σέση 1 1 R + υ. Αν V είναι ο όγκος του κυλίνδρου και Ε ολ. το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας, να δείξετε ότι ισύει Ε ολ. 6. V 10) Κανονική τετραγωνική πυραμίδα έει εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας παράπλευρο ύψος 5 cm. Να βρείτε τον όγκο της πυραμίδας. 4 5 cm και 11) Ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα έει όγκο ίσο με 40 cm και εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας ίσο με 40 cm. Να βρείτε το μήκος της ακμής της βάσης του και το ύψος του. 9