Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων και ϑα ορίσουµε επίσης το ευθύ εσωτερικό γινόµενο οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων Ας ϑεωρήσουµε δύο οµάδες G 1, G 2 και το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 αυτών. Οπως είδαµε στο Παράδειγµα 1.1.2.11 η G 1 G 2 είναι οµάδα. Είναι ϕανερό ότι οι οµάδες G 1, G 2 δεν είναι υποοµάδες της G 1 G 2, αφού δεν είναι υποσύνολά της. Οµως, οι οµάδες G 1, G 2 εµφυτεύονται στην G 1 G 2, όπως αµέσως ϑα δούµε. Θεωρούµε τις συναρτήσεις i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) i 2 G 2 G 1 G 2, g 2 (e 1, g 2 ), (4.1.2) όπου µε e i G i, i = 1, 2, συµβολίζουµε το ουδέτερο στοιχείο της οµάδας G i. Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι οι συναρτήσεις i 1, i 2 είναι µονοµορ- ϕισµοί οµάδων. Εποµένως G i G 1 G 2, i = 1, 2. Ακόµη ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι οι συναρτήσεις π i G 1 G 2 G i, (g 1, g 2 ) g i, i = 1, 2, (4.1.3) είναι επιµορφισµοί οµάδων. Η π i λέγεται προβολή (projection) της G 1 G 2 στην οµάδα G i, i = 1, 2. Η επόµενη πρόταση συνδέει τις οµάδες που αναφέρθηκαν παραπάνω µε την οµάδα G 1 G 2. 101

102 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Πρόταση 4.1.1 Εστω G 1, G 2 δύο οµάδες. Τότε : i. G 1 {e 2 } G 1 G 2 και {e 1 } G 2 G 1 G 2. ii. G 1 {e 2 } {e 1 } G 2 = {(e 1, e 2 )}. iii. (e 1, g 2 )(g 1, e 2 ) = (g 1, e 2 )(e 1, g 2 ), για g i G i, 1 i 2, και (G 1 {e 2 })({e 1 } G 2 ) = G 1 G 2. iv. Kerπ 1 = {e 1 } G 2 και Kerπ 2 = G 1 {e 2 }. v. G 1 G 2 = G 1 G 2. Ιδιαίτερα αν µία από τις οµάδες είναι άπειρη, τότε G 1 G 2 =. vi. Z(G 1 G 2 ) = Z(G 1 ) Z(G 2 ). Απόδειξη : i. Εστω (x 1, x 2 ) G 1 G 2 και g 1 G 1, τότε (x 1, x 2 )(g 1, e 2 )(x 1, x 2 ) 1 = (x 1, x 2 )(g 1, e 2 )(x 1 1, x 1 2 ) = (x 1 g 1 x 1 1, x 2 e 2 x 1 2 ) = (x 1 g 1 x 1 1, e 2 ) G 1 {e 2 }. Άρα G 1 {e 2 } G 1 G 2. Οµοια αποδεικνύεται ότι {e 1 } G 2 G 1 G 2. ii. Εστω (g 1, g 2 ) (G 1 {e 2 }) ({e 1 } G 2 ), τότε (g 1, g 2 ) G 1 {e 2 } g 2 = e 2 και (g 1, g 2 ) {e 1 } G 2 g 1 = e 1. Οι σχέσεις αυτές αποδεικνύουν το ii).

Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων 103 iii. Το πρώτο σκέλος είναι ϕανερό, επίσης είναι ϕανερό ότι (G 1 {e 2 }) ({e 1 } G 2 ) G 1 G 2 ως γινόµενο υποοµάδων της G 1 G 2. Εστω τώρα (g 1, g 2 ) G 1 G 2 (g 1, g 2 ) = (g 1, e 2 )(e 1, g 2 ) (G 1 {e 2 }) ({e 1 } G 2 ). Άρα Εποµένως G 1 G 2 (G 1 {e 2 }) ({e 1 } G 2 ). G 1 G 2 = (G 1 {e 2 }) ({e 1 } G 2 ). iv. Kerπ 1 = {(g 1, g 2 ) G 1 G 2 g 1 = e 1 } = {e 1 } G 2 και όµοια αποδεικνύεται το δεύτερο σκέλος. v. Προκύπτει αµέσως από τις ιδιότητες του καρτεσιανού γινοµένου. vi. Εστω (x, y) Z(G 1 G 2 ), για x G 1 και y G 2, και (g 1, g 2 ) τυχαίο στοιχείο της G 1 G 2. Τότε από τον ορισµό του κέντρου οµάδας έχουµε (x, y)(g 1, g 2 ) = (g 1, g 2 )(x, y) Άρα δηλ. (xg 1, yg 2 ) = (g 1 x, g 2 y) xg 1 = g 1 x και yg 2 = g 2 y x Z(G 1 ) και y Z(G 2 ). (x, y) Z(G 1 G 2 ) x Z(G 1 ) και y Z(G 2 ), Z(G 1 G 2 ) = Z(G 1 ) Z(G 2 ). Παραδείγµατα 4.1.2 1. Θεωρούµε τις προσθετικές οµάδες R και C. Το R R είναι επίσης µία προσθετική οµάδα. Θα αποδείξουµε ότι C R R ως προσθετικές οµάδες. Πράγµατι, ϑεωρούµε την αντιστοιχία f C R R, α + βi (α, β).

104 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Από τον ορισµό του συνόλου C έχουµε ότι, για α, α, β, β R, α + βi = α = β i α = α και β = β (α, β) = (α, β ). Άρα η f είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση. Ακόµη η f είναι επί, αφού αν (α, β) R R, τότε υπάρχει το στοιχείο α+βi C έτσι ώστε f(α+βi) = (α, β). Τέλος η f διατηρεί την πρόσθεση, αφού για α, α, β, β R, f[(α + βi) + (α + β i)] = f(α + α + (β + β )i) = (α + α, β + β ) = (α, β) + (α, β ) = f(α + βi) + f(α + β i). Αποδείχθηκε εποµένως ότι η f είναι ισοµορφισµός προσθετικών οµάδων. 2. Εστω R A = { α α R} και R A = R A/{0}. Είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι η R A είναι µία πολλαπλασιαστική οµάδα µε πράξη τον συνήθη πολλαπλασιασµό των πραγµατικών αριθµών. Θεωρούµε την πολλαπλασιαστική οµάδα R. Τότε η αντιστοιχία f R R A {1, 1}, α ( α, πρόσηµο του α) είναι ισοµορφισµός πολλαπλασιατικών οµάδων. Ο αναγνώστης καλείται να δώσει τις λεπτοµέρειες των αποδείξεων. 3. Θα αποδείξουµε ότι ακόµη και αν οι Κ,Η είναι ισόµορφες οµάδες και G = K H, τότε υπάρχουν κανονικές υποοµάδες της G που δεν είναι χαρακτηριστικές (ϐλ. άσκηση 3.2.17). Απόδειξη : Εστω f K H ένας ισοµορφισµός της Κ επί της Η και G = K H. Είναι εύκολο να δούµε ότι η F K H K H, (k, h) (f 1 (h), f 1 (k)) είναι συνάρτηση. Αν (k 1, h 1 ), (k 2, h 2 ) K H, τότε F [(k 1, h 1 )(k 2, h 2 )] = F (k 1 k 2, h 1 h 2 ) = (f 1 (h 1 h 2 ), f 1 (k 1 k 2 )) = (f 1 (h 1 )f 1 (h 2 ), f 1 (k 1 )f 1 (k 2 )) = (f 1 (h 1 ), f 1 (k 1 )) (f 1 (h 2 ), f 1 (k 2 )) = F (k 1, h 1 )F (k 2, h 2 ), δηλ. η F είναι οµοµορφισµός οµάδων. Η F είναι επί. Πράγµατι, έστω (k 1, h 1 ) K H µε k 1 K και h 1 H. Τότε υπάρχει h H ώστε f 1 (h ) = k 1

Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων 105 γιατί η f 1 είναι επί συνάρτηση ως ισοµορφισµός. Επίσης υπάρχει k K ώστε f 1 (k ) = h 1, γιατί η f είναι επί συνάρτηση. Άρα δηλ. η F είναι επί συνάρτηση. Τέλος F (k, h ) = (f 1 (h ), f 1 (k ) = (k 1, h 1 )) KerF = {(k, h) K H (f 1 (h), f 1 (k)) = (e K, e H )}, όπου e K (αντίστοιχα e H ) είναι το ουδέτερο στοιχείο της Κ (αντίστοιχα της Η). Οµως, η f είναι ισοµορφισµός, άρα KerF = {(e K, e H )}. Αποδείχθηκε ότι η F είναι αυτοµορφισµός της K H. Παρατηρούµε ότι F (K {e H }) = f 1 {e H } f 1 (K) = {e K } H, δηλ. ενώ K {e H } K H (ϐλ. Πρόταση 4.1.1(i)) ισχύει ότι F (K {e H }) K {e H }. Εποµένως η K {e H } δεν είναι χαρακτηριστική οµάδα της G. 4. Ας ϑεωρήσουµε την οµάδα Z 2 Z 2. Είναι µία προσθετική οµάδα τεσσάρων στοιχείων και Z 2 Z 2 = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}. Παρατηρούµε ότι κάθε στοιχείο της Z 2 Z 2 έχει τάξη 2. Εποµένως η Z 2 Z 2 δεν είναι κυκλική. Αυτό σηµαίνει από την ταξινόµηση των οµάδων τάξης 4, ότι είναι ισόµορφη µε την οµάδα του Klein (ϐλ. Παράδειγµα 3.1.13.1). Με αφορµή αυτό το παράδειγµα είναι ϕυσικό να αναρωτηθούµε : Αν το ευθύ εξωτερικό γινόµενο (ή άθροισµα) δύο κυκλικών οµάδων είναι κυκλική οµάδα. Βέβαια αυτό δεν συµβαίνει πάντα, αφού η οµάδα Z 2 Z 2 δεν είναι κυκλική. Την απάντηση δίνει η επόµενη πρόταση. Πρόταση 4.1.3 Το ευθύ εξωτερικό γινόµενο α β των κυκλικών οµάδων α α n = e και β β m = e, όπου n > 1 και m > 1 είναι ϕυσικοί αριθµοί, είναι κυκλική οµάδα αν και µόνο αν (n, m) = 1. Απόδειξη : Θεωρούµε τις κυκλικές οµάδες α και β, όπως στην Πρόταση 4.1.3. Από το v) της Πρότασης 4.1.1 προκύπτει ότι η οµάδα α β = {(α k, β λ ) 0 k n 1, 0 λ m 1} έχει τάξη nm. Θα αποδείξουµε, αρχικά, ότι

106 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων ord(α, β) = nm (n, m) = 1. (4.1.4) Εστω, λοιπόν, ord(α, β) = nm. Αν (n, m) = t 1, τότε οι n/t και m/t είναι ϕυσικοί αριθµοί και (α, β) nm/t = ((α n ) m/t, (b m ) n/t ) = (e, e), (4.1.5) όπου µε e συµβολίζουµε τόσο το ουδέτερο στοιχείο της α, όσο και της β. Η σχέση, όµως, (4.1.5) είνα αδύνατη λόγω του ορισµού της τάξης στοιχείου και του γεγονότος ότι nm t nm. Άρα αναγκαστικά t = 1 και (n, m) = 1. Αντίστροφα, έστω ότι (n, m) = 1 και ord(α, β) = s. Τότε (α, β) s = (e, e) (α s, β s ) = (e, e) α s = e και β s = e Ακόµη παρατηρούµε ότι n s και m s nm s, αφού (n, m) = 1. (4.1.6) (α, β) nm = (α nm, β nm ) = ((α n ) m, (β m ) n ) = (e, e) s nm. (4.1.7) Από τις σχέσεις (4.1.6) και (4.1.7) προκύπτει ότι ord(α, β) = nm. Ετσι ολοκληρώθηκε η απόδειξη της σχέσης (4.1.4). Από την ισχύ της σχέσης (4.1.4) προκύπτει ότι (α, β) = {(α k, β λ ) 0 k n 1, 0 λ m 1}. Άρα (α, β) = α β, δηλ. η α β είναι κυκλική. Ας παρατηρήσουµε στο σηµείο αυτό ότι η σχέση (4.1.4) προκύπτει και από την Πρόταση 2.2.7, αφού παρατηρούµε ότι (α, β) = (α, e)(e, β) = (e, β)(α, e) και ord(α, e) = ord(α), ord(e, β) = ord(β). Πρόταση 4.1.4 Εστω n > 1 και m > 1 ϕυσικοί αριθµοί. Η προσθετική οµάδα Z n Z m είναι κυκλική αν και µόνο αν (n, m) = 1. Σε αυτήν την περίπτωση Z n Z m Z n m.

Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων 107 Απόδειξη : Οταν (n, m) = 1, η οµάδα Z n Z m είναι κυκλική τάξης nm, άρα Z n Z m Z n m. Θεωρούµε, τώρα, το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G = G 1 G 2 G n, των οµάδων G i, 1 i n, για ένα ϕυσικό αριθµό n 2. Η επόµενη πρόταση γενικεύει την Πρόταση 4.1.1. Πρόταση 4.1.5 Εστω n 2 ένας ϕυσικός αριθµός, G i. 1 i n, οµάδες και G = G 1 G 2 G n το ευθύ εξωτερικό γινόµενο αυτών των οµάδων. Συµβολίζουµε µε e i το ουδέτερο στοιχείο της οµάδας G i. 1 i n. Τότε : i. G i {e i } {e i 1 } G i {e i + 1} {e n } G, 1 i n. ii. G/({e i } {e i 1 } G i {e i + 1} {e n }) G 1 G 2 G i 1 {e i } G i+1 G n, 1 i n. iii. Οι συναρτήσεις είναι επιµορφισµοί οµάδων µε π i G G i, (g 1, g 2,..., g n ) g i Kerπ i = G 1 G 2 G i 1 {e i } G i+1 G n, για 1 i n. iv. Z(G) = Z(G 1 ) Z(G 2 ) Z(G n ). Η απόδειξη αφήνεται για τον αναγνώστη. Θα γενικεύσουµε αµέσως το ευθύ εξωτερικό γινόµενο πεπερασµένου πλή- ϑους οµάδων για µία οικογένεια οµάδων. Ορισµός 4.1.6 Εστω G i, i I i, µία οικογένεια οµάδων. Το ευθύ εξωτερικό γινόµενο των οµάδων G i, i I i είναι το σύνολο G i = {(..., g i,... ) g i G i, i I i }, i I όπου κάθε στοιχείο στη ϑέση i είναι στοιχείο της οµάδας G i, i I i, µε πράξη (..., g i,... )(..., g i,... ) = (..., g i g i,... ). Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι πράγµατι η i I i G i είναι οµάδα µε την αναφερόµενη πράξη.

108 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Παραδείγµατα 4.1.7 1. Εστω G = Z p Z p Z p... το ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. Κάθε µη µηδενικό στοιχείο της G έχει τάξη p. Το ίδιο συµβαίνει για την οµάδα Z p Z p µε πεπερασµένου πλήθους παράγοντες. 2. Στη οµάδα Z Z p υπάρχουν στοιχεία άπειρης τάξης, όπως τα (s, α) για o s Z και α Z p, και στοιχεία πεπερασµένης τάξης, όπως τα (0, α) για α Z p. 3. Η προσθετική οµάδα ενός Z p -διανυσµατικού χώρου διάστασης n < όπου το Z p ϑεωρείται ως σώµα είναι ισόµορφη µε την οµάδα Z p Z p µε n πλήθους παράγοντες. Ασκήσεις 1. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις των σχέσεων (4.1.1) και (4.1.2) είναι µονοµορφισµοί οµάδων, ενώ οι συναρτήσεις της (4.1.3) είναι επιµορφισµοί οµάδων. 2. Να αποδείξετε ότι για τις προσθετικές οµάδες C και R ισχύει C/R R, ϐλ. Παράδειγµα 4.1.2.1. 3. Να αποδείξετε ότι η αντιστοιχία f στο Παράδειγµα 4.1.2.2 είναι ισοµορ- ϕισµός οµάδων. 4. Να αποδείξετε ότι για τις πολλαπλασιαστικές οµάδες R, R A, {1, 1} του Παραδείγµατος 4.1.2.2 ισχύει ότι Επίσης R /R A {1, 1}. Q /Q A R /R A, όπου η Q A ορίζεται ανάλογα µε την R A. 5. Εστω G 1, G 2 δύο οµάδες και H i G i, i = 1, 2. Να αποδείξετε ότι (G 1 G 2 )/(H 1, H 2 ) (G 1 /H 1 ) (G 2 /H 2 ). 6. Εστω H = {(α, α) α Z}. Να αποδείξετε ότι H Z Z, όπου µε Z ϑεωρούµε την προσθετική οµάδα των ακεραίων. Είναι η Z Z κυκλική ; Είναι η οµάδα Η κυκλική υποοµάδα της Z Z; 7. Να αποδείξετε ότι αν (g 1,..., g n ) G 1 G n, όπου G i, 1 i n, είναι αυθαίρετες οµάδες, τότε ord(g 1,..., g n ) < αν και µόνον αν ord(g i ) <, 1 i n. 8. Να αποδείξετε την Πρόταση 4.1.5.

Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.2 Ευθέα εσωτερικά γινόµενα οµάδων 109 4.2 Ευθέα εσωτερικά γινόµενα οµάδων Στο εδάφιο αυτό ϑα ασχοληθούµε µε το πρόβληµα της ανάλυσης µίας οµάδας σε γινόµενο υποοµάδων της. Από την αριθµητική γνωρίζουµε ότι είναι ευκολότερο να πολλαπλασιάζουµε ακέραιους αριθµούς από το να αναλύσου- µε έναν ακέραιο αριθµό σε γίνοµενο παραγόντων. Ετσι συµβαίνει και µε τις οµάδες. Θα διαπιστώσουµε ότι η ανάλυση οµάδων σε ευθύ γινόµενο υποοµάδων της είναι πολύ πιο δύσκολο πρόβληµα από το να υπολογίζουµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο υποοµάδων της, όπως αυτό έγινε στο εδάφιο 4.1. Ας ξεκινήσουµε µε τον ϐασικό ορισµό. Ορισµός 4.2.1 Εστω G µία οµάδα και Η,Κ δύο υποοοµάδες της. Η οµάδα G λέµε ότι είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο (direct internal product) των υποοµάδων της Η και Κ και συµβολίζουµε G = H K αν i. κάθε στοιχείο g G έχει µοναδική ανάλυση σε γινόµενο g = hk, h H, k K. ii. Τα στοιχεία της οµάδας Η αντιµεταθέτονται µε τα στοιχεία της οµάδας Κ. Αν η οµάδα G είναι προσθετική τότε συµβολίζουµε την οµάδα G ως ευθύ εσωτερικό άθροισµα των Η και Κ µε G = H K. Παραδείγµατα 4.2.2 1. Ας ϑεωρήσουµε δύο οµάδες Η και Κ και την οµάδα G = H K. Οπως είδαµε στην Πρόταση 4.1.1 iii. τα στοιχεία της H {e} αντιµεταθέτονται µε τα στοιχεία της {e} K. Ακόµη κάθε στοιχείο (h, k) G αναλύεται σε γινόµενο (h, k) = (h, e)(e, k) ενός στοιχείου (h, e) H {e} και ενός στοιχείου {e} K και συτή η ανάλυση είναι µοναδική, όπως εύκολα διαπιστώνεται. Συµπεραίνουµε εποµένως ότι G = (H {e}) ({e} K). 2. Εστω V ένας Κ-διανυσµατικός χώρος και έστω ότι αναλύεται σε ευθύ άθροισµα V = V 1 V 2 δύο υποχώρων του V 1, V 2. Είναι ϕανερό τότε ότι η προσθετική αβελιανή οµάδα V είναι το ευθύ εσωτερικό άθροισµα των υποοµάδων της V 1 και V 2. Υπάρχουν εποµένως τα ευθέα εσωτερικά γινόµενα (ή αθροίσµατα) οµάδων. Από τον Ορισµό 4.2.1 δεν προκύπτει ότι αυτόµατα µία οµάδα είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο δύο υποοµάδων της, αν εξαιρέσουµε ϐέβαια την τετριµ- µένη περίπτωση που G = {e} G. Το επόµενο κριτήριο καθιστά ευκολότερο τον τρόπο εύρεσης ευθέων παραγόντων µίας οµάδας, αν ϐέβαια υπάρχουν.

110 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Θεώρηµα 4.2.3 Μία οµάδα G είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των υποοµάδων Η και Κ αν και µόνον αν α) G = HK, ϐ) H G και K G, γ) H K = {e}. Απόδειξη : Εστω ότι G = H K για δύο υποοµάδες Η και Κ της οµάδας G. Από τον Ορισµό 4.2.1 προκύπτει ότι hk = kh, για όλα τα h H και k K. Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι HK = KH και εποµένως το γινόµενο HK G (ϐλ Πρόταση 3.1.2). Οµως από το i) του Ορισµού 4.2.1 έπεται ότι κάθε στοιχείο g G ανήκει στο γινόµενο HK, δηλ. G HK, και συνεπώς G = HK. Ετσι αποδείχθηκε το α) του Θεωρήµατος. Για να αποδείξουµε το ϐ), αρκεί να αποδείξουµε ότι ghg 1 H και gkg 1 K, για όλα τα g G, h H και k K. Εστω, λοιπόν, g G, h H και k K. Από το i) του Ορισµού 4.2.1 έπεται ότι υπάρχουν h 1 H και k 1 K ώστε g = h 1 k 1. Οµως από το ii) του Ορισµού 4.2.1 προκύπτει ότι ghg 1 = h 1 k 1 hk 1 1 h 1 1 = h 1 hh 1 1 k 1 k 1 1 = h 1 hh 1 1 H, για όλα τα g G. Άρα H G. Οµοια K G και αποδείχθηκε το ϐ). Μένει να αποδείξουµε το γ). Εστω x H K. Το x ως στοιχείο της G έχει τις αναλύσεις x = ex = xe σε γινόµενο ενός στοιχείου της Η και ενός στοιχείου της Κ. Οµως σύµφωνα µε το i) του Ορισµού 4.2.1 η ανάλυση αυτή είναι µοναδική, άρα x = e. Εποµένως H K = {e} και αποδείχθηκε και το γ). Αντίστροφα, τώρα, υποθέτουµε ότι ισχύουν τα α), ϐ) και γ) του Θεωρήµατος και ϑα αποδείξουµε τις απαιτήσεις i) και ii) του Ορισµού 4.2.1. Από το α) έπεται ότι για τυχαίο g G υπάρχουν δύο στοιχεία h H και k K ώστε g = hk. Ας υποθέσουµε ότι η ανάλυση αυτή του g δεν είναι µοναδική, δηλ. υπάρχουν τα στοιχεία h 1 H και k 1 K έτσι ώστε g = h 1 k 1. Τότε, όµως, hk = h 1 k 1 h 1 1 h = k 1 k 1 H K = {e}, λόγω του γ). Άρα h = h 1 και k = k 1, δηλ. η ανάλυση του τυχαίου στοιχείου g G σε γινόµενο ενός στοιχείου της Η και ενός στοιχείου της Κ είναι µοναδική και αποδείχθηκε το i). Για να αποδείξουµε το ii) ϑεωρούµε το στοιχείο x = hkh 1 k 1, για δύο τυχαία στοιχεία h H και k K. Παρατηρούµε ότι x = (hkh 1 )k 1 K,

Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.2 Ευθέα εσωτερικά γινόµενα οµάδων 111 γιατί αφού K G έπεται ότι hkh 1 K. Επίσης όµοια, αφού H G, x = h(kh 1 k 1 ) H. Άρα x K H = {e}, λόγω του γ) και συνεπώς hk = kh, για κάθε h H και k K, γεγονός που αποδεικνύει το ii). Ετσι αποδείχθηκε το Θεώρηµα. Παραδείγµατα 4.2.4 1. Ας ϑεωρήσουµε την οµάδα S 3 και τις υποοµάδες της (12) και (123). Παρατηρούµε ότι i. S = (12) (123), ii. (12) (123) = {e}. Οµως η S 3 δεν είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των υποοµάδων της (12) και (123), αφού (12) S 3, ϐλ. Παράδειγµα 3.2.7.1, δηλαδή δεν ορίζεται το ευθύ εσωτερικό γινοµενο των υποοµάδων (12) και (123) της S 3. 2. Θεωρούµε την οµάδα του Klein K = α, β α 2 = e = β 2 = (αβ) 2 = {e, α, β, αβ}, (ϐλ. Παράδειγµα 3.1.13.1). Παρατηρούµε ότι α K, β K, αφού η Κ είναι αβελιανή και α β = {e}. Ακόµη K = α β. Εποµένως K = α β. Οπως προκύπτει από τους Ορισµούς 4.1.1 και 4.2.1 µία ουσιώδης δια- ϕορά του εξωτερικού και του εσωτερικού γινοµένου δύο οµάδων είναι ότι το εξωτερικό δεν περιέχει τους παράγοντές του, ενώ το εσωτερικό γινόµενο δύο οµάδων, αν αυτό υπάρχει, περιέχει τους παράγοντές του. Παρά τις διαφο- ϱές τους ϑα συγκρίνουµε αλγεβρικά τα δύο αυτά γινόµενα µε το επόµενο συµπέρασµα. Πρόταση 4.2.5 Εστω G µία οµάδα και Η,Κ υποοµάδες της G τέτοιες ώστε να ισχύει G = H K. Τότε H K H K. Απόδειξη : Η αντιστοιχία f H K H K, (h, k) hk, όπου h H και k K, είναι ισοµορφισµός οµάδων. Οι λεπτοµέρειες αφήνονται για τον αναγνώστη.

112 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Παραδείγµατα 4.2.6 1. Θα αποδείξουµε ότι Z 3 Z 5 Z 15 = 5 3. Από την Πρόταση 4.1.3 η Z 3 Z 5 είναι κυκλική οµάδα ως ευθύ εξωτερικό άθροισµα των κυκλικών οµάδων Z 3 και Z 5 µε τάξη αντίστοιχα 3 και 5 και (3, 5) = 1. Άρα η Z 3 Z 5 είναι κυκλική τάξης 15 (Πρόταση 4.1.1,v)) και συνεπώς ισόµορφη µε την οµάδα Z 15 (Θεώρηµα 2.3.11). Από την Πρόταση 4.2.5 η οµάδα Z 3 Z 5 είναι ισόµορφη µε το ευθύ εσωτερικό άθροισµα δύο υποοµάδων της Z 15 τάξης αντίστοιχα 3 και 5, αν ϐέβαια υπάρχουν τέτοιες υποοµάδες. Οµως 3 15 και αφού η Z 15 είναι κυκλική υπάρχει µοναδική υποοµάδα της Z 15 τάξης 3 είναι αυτή που παράγεται από το στοιχείο 5. Πράγµατι ord(5) = 15 (5,15) = 15 5 = 3. Οµοια η οµάδα 3 είναι η µοναδική υποοµάδα της Z 15 τάξης 5 (ϐλ. Πρόταση 2.2.5 και Θεώρηµα 3.1.12). Οι υποοµάδες 5 και 3 της Z 15 ικανοποιούν τις απαιτήσεις του Θεωρήµατος 4.2.3, άρα Z 15 = 5 3. Θα γενικεύσουµε, τώρα, την έννοια του ευθέως εσωτερικού γινοµένου καταρχήν για πεπερασµένου πλήθους προσθετέους. Ορισµός 4.2.7 Μία οµάδα G είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των υποοµάδων της G i, 1 i n, όπου n 2 είναι ϕυσικός αριθµός και συµβολίζεται G = G 1 G n, αν ισχύουν τα επόµενα : i. κάθε στοιχείο g G έχει µοναδική ανάλυση σε γινόµενο g = g 1 g 2... g n, για g i G i, 1 i n. ii. τα στοιχεία της υποοµάδας G i αντιµεταθέτονται µε τα στοιχεία της υποο- µάδας G j για 1 i, j n και i j. Παρατηρούµε ότι ο ορισµός αυτός είναι ανάλογος του ορισµού του ευθέος εσωτερικού αθροίσµατος υποχώρων ενός διανυσµατικού χώρου. Ακολουθεί ένα κριτήριο αντίστοιχο του Θεωρήµατος 4.2.3. Θεώρηµα 4.2.8 Εστω n 2 ένας ϕυσικός αριθµός. Μία οµάδα G είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των υποοµάδων της G i, 1 i n, αν και µόνον αν ισχύουν τα επόµενα : α) G = G 1 G 2... G n, ϐ) G i G, 1 i n,

Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.2 Ευθέα εσωτερικά γινόµενα οµάδων 113 γ) G i (G 1... G i 1 G i+1... G n ) = {e}. Η απόδειξη είναι ανάλογη µε αυτήν του Θεωρήµατος 4.2.3 και αφήνεται ως άσκηση για τον αναγνώστη. Παραδείγµατα 4.2.9 και 1. Θεωρούµε την προσθετική οµάδα M 3 (Q) και τις υποοµάδες της α 11 0 0 G 1 = α 21 0 0 α i1 Q, 1 i 3, α 31 0 0 0 α 12 0 G 2 = 0 α 22 0 0 α 32 0 α i2 Q, 1 i 3 0 0 α 13 G 3 = 0 0 α 23 α i3 Q, 1 i 3. 0 0 α 33 (Να αποδείξετε ότι G i M 3 (Q), 1 i 3). Παρατηρούµε ότι κάθε στοιχείο (α ij ) M 3 (Q) αναλύεται ως α 11 0 0 0 α 12 0 0 0 α 13 (α ij ) = α 21 0 0 + 0 α 22 0 + 0 0 α 23, α 31 0 0 0 α 32 0 0 0 α 33 δηλ. άθροισµα στοιχείων των G i, 1 i 3. Η ανάλυση είναι µοναδική, όπως προκύπτει αµέσως από την ισότητα πινάκων. Ετσι ισχύει το i) του Ορισµού 4.2.1 για την M 3 (Q) και τις G 1, G 2, G 3. Το ii) του Ορισµού 4.2.1 είναι ϕανερό γιατί η M 3 (Q) είναι αβελιανή. Άρα M 3 (Q) = G 1 G 2 G 3. 2. Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα µε την ιδιότητα ord(g) = 2, για κάθε e g G. Γνωρίζουµε ότι η G είναι αβελιανή, ϐλ. Παράδειγµα 1.3.3.1, και αυτό συµβαίνει ανεξάρτητα από το αν η G είναι πεπερασµένη. Με την παραπάνω αυτή ιδιότητα ϑα δείξουµε ότι G = G 1 G 2 G n, όπου n 1 και n N και G i είναι µία κυκλική οµάδα τάξης 2, 1 i n. Εστω e g 1 G. Η οµάδα G 1 = g 1 είναι κυκλική τάξης 2. Αν δεν υπάρχει

114 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων άλλο στοιχείο της G, τότε έχουµε το αποτέλεσµα που ϑέλουµε. Αν G 1 G, έστω g 2 G και g 2 G 1, τότε e g 2 και η G 2 = g 2 είναι µία κυκλική υποοµάδα της G τάξης 2. Ακόµη, G 1 G 2 = {e}. Φυσικά, G 1, G 2 G, γιατί η G είναι αβελιανή. Άρα ορίζεται το G 1 G 2. Αν δεν υπάρχει άλλο στοιχείο της G, τότε G = G 1 G 2 και έχει ολοκληρωθεί η απόδειξη. Αν υπάρχει g 3 G και g 3 G 1 G 2 τότε για τις οµάδες G 1 G 2 και G 3 = g 3 ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήµατος 4.2.3. Άρα ορίζεται το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των (G G 3 ) G 3. Συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο µέχρις ότου εξαντληθούν τα στοιχεία της G και οδηγούµαστε στο συµπέρασµα που ϑέλουµε. Μπορούµε να συγκρίνουµε τα γινόµενα G 1 G 2 G n και G = G 1 G 2 G n, όπου G i < G, 1 i n, εφόσον ϐέβαια ορίζεται το δεύτερο γινόµενο, όπως αυτό έγινε για δύο παράγοντες στην Πρόταση 4.2.5. Πρόταση 4.2.10 Εστω G µία οµάδα και G i < G, i = 1, 2,..., n έτσι ώστε G = G 1 G n, για έναν ϕυσικό αριθµό n 1. Τότε η συνάρτηση G 1 G 2 G n G 1 G 2 G n, είναι ισοµορφισµός οµάδων. (g 1, g 2,..., g n ) g 1 g 2... g n Θα γενικεύσουµε τώρα τον Ορισµό 4.2.7 για µία οικογένεια υποοµάδων µίας οµάδας. Ορισµός 4.2.11 Εστω Ι ένα µη κενό σύνολο. Μία οµάδα G είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των υποοµάδων της G i, i I και συµβολίζουµε αν ισχύουν τα επόµενα : G = G i, i I i. κάθε στοιχείο g έχει µοναδική ανάλυση σε γινόµενο g = g i, i I για g i G i, i I, όπου g i = e για όλα σχεδόν τα i I (δηλ. για πεπερασµένο µόνο πλήθος δεικτών i, συµβαίνει g i e.)

Κεφάλαιο 4 Εδάφιο 4.2 Ευθέα εσωτερικά γινόµενα οµάδων 115 ii. Τα στοιχεία της G i αντιµεταθέτονται µε τα στοιχεία της G j, για i j και i, j I. Θεωρούµε την αντιστοιχία f G i G i, i I i I g i = g k1... g kt (..., e, g k1, e,..., e, g k2, e,..., e,..., e, g kt, e,... ), i I όπου τα στοιχεία g ki e, 1 i t, είναι ένας µονοµορφισµός οµάδων. Η συνάρτηση f δεν είναι επί, αφού στην οµάδα δεν ορίζεται το γινόµενο άπειρου πλήθους στοιχείων. Εποµένως G i G i. i I i I Το Θεώρηµα 4.2.8 γενικεύεται για ευθύ εσωτερικό γινόµενο µίας οικογένειας υποοµάδων, δίνοντας το ακόλουθο κριτήριο. Θεώρηµα 4.2.12 Εστω Ι ένα µη κενό σύνολο. Μία οµάδα G είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των υποοµάδων της G i, i I, δηλ. αν και µόνον αν ισχύουν τα επόµενα : G = G i, i I α) κάθε στοιχείο της g είναι γινόµενο στοιχείων g i, i I, όπου όλα σχεδόν τα g i = e. ϐ) G i G, i I. γ) G i j i G j = {e}. j J Αφήνουµε την απόδειξη αυτού του Θεωρήµατος ως άσκηση. Παρατήρηση 4.2.13 Θεωρούµε πάλι την οµάδα του Klein Κ, όπως το προηγούµενο παράδειγµα. Είναι εύκολο από την ανάλυση K α β, (4.2.1) που αποδείξαµε στο προηγούµενο παράδειγµα, έχουµε ακόµη τις K α αβ (4.2.2)

116 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων και Βεβαίως παρατηρούµε ότι K β αβ. (4.2.3) β αβ και α αβ, (4.2.4) αφού όλες είναι κυκλικές οµάδες τάξης 2. Το ενδιαφέρον, όµως, είναι ότι στις αναλύσεις των σχέσεων (4.2.1) και (4.2.2) οι δεύτεροι παράγοντες δεν είναι ίσοι και το ίδιο παρατηρούµε για τις σχέσεις (4.2.2) και (4.2.3). Ετσι µπορούµε να ισχυριστούµε ότι αν G = H K και G = H L K = L. (4.2.5) Με άλλα λόγια η ανάλυση του ευθέως εσωτερικού γινοµένου σε γινόµενο υποοµάδων δεν είναι µοναδική µε την έννοια της ισότητας των παραγόντων Κ και L στη σχέση (4.2.5). Στο συγκεκριµένο παράδειγµα της οµάδας του Klein έχουµε τους ισοµορφισµούς που δίνονται στη σχέση (4.2.4). Ισχύει κάτι τέτοιο γενικότερα ; υστυχώς αυτό δεν συµβαίνει, δηλ. είναι δυνατόν για µία οµάδα G να ισχύει G = H K και G = M N, αλλά H M και K N. Οµως µε αυτό το ϑέµα δεν ϑα ασχοληθούµε στο ϐιβλίο αυτό. Ασκήσεις 1. Να εξετάσετε αν οι οµάδες D 2 4 και Q είναι ευθύ εσωτερικό γινόµενο δύο υποοµάδων τους. 2. Να γίνουν οι λεπτοµέρειες της απόδειξης της Πρότασης 4.2.5. 3. Να αποδείξετε το Θεώρηµα 4.2.8. 4. Να εξετάσετε αν η (M n (Q), +) αναλύεται σε ευθύ εξωτερικό άθροισµα µη τετριµµένων υποοµάδων της. 5. Να δώσετε µία απόδειξη για το Θεώρηµα 4.2.8. 6. Να γίνουν οι λεπτοµέρειες της απόδειξης της Πρότασης 4.2.10 και της 4.2.12.