ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραμμικη εξισωση με δυο αγνωστους λεγεται καθε εξισωση της μορφης: 3. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; α + β = γ Λυση της πιο. Aν πανω α, β εξισωσης θετικοι, να ειναι συγκρινεται καθε ζευγος τους πραγματικων αριθμους Α = αριθμων α + β, Β (,) = α που β + αβ την επαληθευουν. Η εξισωση = λ παριστανει μια ευθεια παραλληλη στον αξονα που διερχεται απ το σημειο (λ,) του αξονα. Η εξισωση = μ παριστανει μια ευθεια παραλληλη στον αξονα που διερχεται απ το σημειο (,μ) του αξονα. Συστημα δυο γραμμικων εξισωσεων με δυο αγνωστους λεγεται καθε συστημα της μορφης: D H= D Εννοια = και του : διανυσματος 3 3. α + β = γ α + β = γ Λυση του πιο πανω συστηματος ειναι καθε ζευγος πραγματικων α ριθμων (,) που επαληθευει και τις δυο εξισωσεις του συστηματος. Η μοναδικη λυση ενος συστηματος δυο γρ. εξισωσεων με δυο αγνωστους σημαινει γεωμετρικα το σημειο τομης των δυο ευθειων, που παριστανουν οι εξισωσεις του συστηματος. Αδυνατο λεγεται ενα συστημα, οταν δεν υπαρχουν ζευγη (,) που το επαληθευουν. Σημαινει γεωμετρικα οτι οι δυο ευθειες που παριστανουν οι εξισωσεις του συστηματος, ειναι παραλληλες. Αοριστο λεγεται ενα συστημα, όταν εχει απειρα ζευγη (,) που το επαληθευουν. Σημαινει γεωμετρικα ότι οι δυο ευθειες που παριστανουν οι εξισωσεις του συστηματος, συμπιπτουν. Ισοδυναμα λεγονται τα συστηματα που εχουν ακριβως τις ιδιες λυσεις. Λ υ σ η Δ ι ε ρ ε υ ν η σ η α + β = γ Εστω το συστημα (Σ) : α + β = γ Οριζουσες : α β γ β α γ D = = α.β - α β, D = = γ.β - γ β, D = = α.γ - α γ α β γ β α γ Λυση - Διερευνηση του ( Σ) : D D Αν D τοτε το (Σ) εχει τη μοναδικη λυση : (, ) =,. D D Αν D = και : D η D τοτε το (Σ) ειναι αδυνατο. ενας τουλαχιστον απ'τους α, α,β,β, τοτε το (Σ) εχει απειρες λυσεις. α = α = β = β = γ = γ =, τοτε το (Σ) εχει απειρες λυσεις. α = α = β = β = και γ η γ, τοτε το (Σ) ειναι αδυνατο.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ α + β = Στη περιπτωση που το συστημα ειναι της μορφης : λεγεται ομογενες και α + β = εχει παντα τη λυση (, ) και απειρες λυσεις αν D = (μια απ'αυτες και η (, )). M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η Σ υ σ τ η μ α τ ο ς Ο ρ ι ζ ο υ σ ε ς ) - 3 = 4 Να λυθει το συστημα : - + 5 = ο Βημα : Bρισκουμε την οριζουσα D των συντελεστων των,. - 3 D = =.5 - (-)(-3) = - 6 = 4 (αρα υπαρχει λυση) - 5 ο Βημα : Bρισκουμε την οριζουσα D, που προκυπτει απ'την D αν αλλαξουμε τη στηλη του, (, -), με τη στηλη των σταθερων ορων, (4, ). 4-3 D = = 4.5 -.(-3) = 5 3ο Βημα : Bρισκουμε την οριζουσα D, που προκυπτει απ' την D αν αλλαξουμε τη στηλη του, (-3, 5), με τη στηλη των σταθερων ορων, (4, ). 4 D = =. - (-).4 = 8-4ο Βημα : Bρισκουμε τη λυση, γνωριζοντας οτι : = και =. D D D D 8 = = = 5 και = = = D 4 D 4 Δηλαδη η λυση ειναι : (, ) = (5,). D η D, τοτε το συστημα ειναι αδυνατο. Σε περιπτωση που D = και D = D =, τοτε το συστημα εχ ει απειρες λυσεις. M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η Σ υ σ τ η μ α τ ο ς Π α ρ α μ ε τ ρ ι κ ο ) (λ - ) + λ = λ Να λυθει το συστημα : 3 + (λ + ) = ο Βημα : Bρισκουμε τις οριζουσες D, D και D (παραγοντοποιημενες). λ - λ λ λ λ - λ D = = (λ - 4)(λ + ), D = = λ(λ - 4), D = = 6(λ - 4) 3 λ + λ + 3 ο Βημα : Υποθετουμε οτι η οριζουσα D¹, οποτε υπαρχει λυση (, ). D D λ(λ - 4) 6(λ - 4) λ 6 D D (λ - 4)(λ + ) (λ - 4)(λ + ) λ + λ + (, ) = (, ) = (, ) = (, ) 3ο Βημα : Υποθετουμε οτι η οριζουσα D =, oποτε αν οι τιμες που μηδενιζουν την D δεν μηδενιζουν τουλαχιστον μια απ'τις D, D τοτε το συστημα ειναι αδυνα - το, ενω αν καποια μηδενιζει και D και D, τοτε αντικαθιστουμε την τιμη αυ - D D D D D D
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 3 τη στο αρχικο συστημα ωστε να βρουμε απειρια λυσεων (αφου βεβαια υπαρ - χει τουλαχιστον ενας μη μηδενικος συντελεστης των, ). D = (λ - 4)(λ + ) = λ = 4 η λ = - + = 4 Για λ = 4 τοτε D = D = D =, oποτε το συστημα γινεται : και εχουμε + = 4 απειρες λυσεις της μορφης (4 - κ, κ). (θεσαμε = κ) Για λ = - τοτε D = (-)(- - 4) =, οποτε το συστημα ειναι αδυνατο. M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η Σ υ σ τ η μ α τ ο ς Π α ρ α μ ε τ ρ ι κ ο ) - 3 = -5 Να λυθει το συστημα : - + = Μεθοδος Αντικαταστασης : Λυνουμε την μια απο τις εξισωσεις, ως προς τον ενα αγνω - στο, και αντικαθιστουμε στην αλλη εξισωση (τον αγνωστο αυτο). - 3 = -5 = 3-5 = 3-5 = 3-5 - + = -(3-5) + = -6 + + = -5 = - = 3. - 5 =. = = Μεθοδος Συγκρισης : Λυνουμε και τις δυο εξισωσεις, ως προς τον ιδιο αγνωστο, και εξι - σωνουμε τα δευτερα μελη των εξισωσεων που προκυπτουν. = 3-5 = 3-5 = 6-5 = - 3 = -5 - + = = = = = =. = Μεθοδος Aντιθετων Συντελεστων : Επιλεγουμε τον αγνωστο που θελουμε να απαλοι - ψουμε, πολλαπλασιαζουμε τις εξισωσεις με καταλληλους αριθμους, ωστε να προκυψουν αντιθετοι συντελεστες (για τον αγνωστο αυτο) και στη συνεχεια προσθετουμε τις εξισω - σεις κατα μελη. ( - 3 = -5). - 6 = - (+) - 5 = - = =. - + = - + = - + = - + = =
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4 Σ υ σ τ η μ α τ α 3 3 Συστημα τριων γραμμικων εξισωσεων με τρεις αγνωστους λεγεται καθε συστημα α + β + γω = δ Λυση του πιο πανω συστηματος ειναι κάθε διατεταγμενη τριαδα πραγματικων αριθμων (,,ω) που της μορφης: α + β + γ ω = δ α3 + β3 + γ3ω = δ 3 επαληθευει και τις τρεις εξισωσεις Συστηματα που λυνονται με τεχνασμα + + z = a + = a. = a + z + ω = b (Σ )= (Σ )=.z = b (Σ 3 )= + = b z + ω + = c ω + + = d z. = c z + = c z Για το (Σ ) προσθετουμε κατα μελη και τις 4 εξισωσεις και προκυπτει: ++z+ω=a+b+c+d. Αφαιρωντας απ τη τελευταια καθεμια απ τις εξισωσεις του συστηματος, βρισκουμε τους αγνωστους. Για το (Σ ) πολλαπλασιαζουμε κατα μελη τις 3 εξισωσεις και προκυπτει:..z =a.b.c Διαιρωντας τη τελευταια με καθεμια απ τις εξισωσεις του συστηματος, βρισκουμε τους αγνωστους. Για το (Σ 3 ) θετουμε κάθε λογο ισο με μια παραμετρο και μετασχηματιζουμε το (Σ 3 ) με αγνωστους τις παραμετρους, τις οποιες και βρισκουμε. Στη συνεχεια βρισκουμε τα,,z συμφωνα με ο,τι θεσαμε. Θεση σ αυτη τη κατηγορια εχει και ο μερισμος σε μερη αναλογα. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να λυθουν το συστηματα : + + z = 6 (α) - + 3z = 8 (β) + - z = (γ) + + z = 6 (α) + z + ω = 9 (β) z + ω + = 8 (γ) ω + + = 7 (δ) (α) + (β) + 4z = 4.(-3) (+) -6 - z = -4 Eιναι : - z = -6 z = 3 (β) + (γ) 3 + 5z = 8. 6 + z = 36 και + 4.3 = 4 = = (α) : + + 3 = 6 = Αρα : (,, z) = (,,3). Ειναι : (α) + (β) + (γ) + (δ) : 3( + + z + ω) = 3 + + z + ω = (ε) (ε) - (α) : + + z + ω - - - z = - 6 ω = 4 (ε) - (β) : + + z + ω - - z - ω = - 9 = (ε) - (γ) : + + z + ω - z - ω - = - 8 = (ε) - (δ) : + + z + ω - ω - - = - 7 z = 3 Αρα : (,, z, ω) = (,,3, 4).
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 Π α ρ α δ ε ι γ μ α + + z + = = (α) Να λυθει το συστημα : 3 4 - + 3z = 8 (β) + = λ = λ - + + z + + Eστω : = = = λ = λ = 3λ - 3 4 3 z + z = 4λ - = λ 4 Οποτε (β) : λ - - (3λ - ) + 3(4λ - ) = 8 λ - - 3λ + + λ - 3 = 8 λ = λ = + + z + = = = = = z = 3 3 4 M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η Σ υ σ τ η μ α τ ο ς 3 3 ) (a) : + + z = 6 Να λυθει το συστημα : (b) : - 3 - z = -7 (c) : - + + 3z = ο Βημα : Aπαλοιφουμε τον ιδιο αγνωστο στις τρεις εξισωσεις, με τη μεθοδο των αντι - θετων συντελεστων. (a) + (b) : + + z + - 3 - z = 6-7 3(b) + (c) : 6-9 - 3z - + + 3z = - + ο Βημα : Λυνουμε το συστημα Χ που προκυπτει. 3 - - - D = = - + = -, D = = 7-8 = -, D 5-7 -9-7 3 - = - 5-7 = -9 D - D - Oποτε : = = =, = = =. D - D - 3ο Βημα : Aντικαθιστουμε τις λυσεις του πιο πανω συστηματος σε μια οποιαδηποτε εξι - 3 - = = -7 + 5 = - 5-9 σωση του αρχικου συστηματος και βρισκουμε και τον τριτο αγνωστο. (a) : + + z = 6 3 + z = 6 z = 3. Δηλαδη τελικα : (,, z) = (,,3).
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 Να λυθει το συστημα : - = 3 3 + = - Μεθοδος αντικαταστασης - = 3 = 3 + = 3 + = 3 + = 3 + 3 + = - 3( 3 + ) + = - 9 + 3 + = - 5 = - = - = 3 + (-) = = - = - Μεθοδος συγκρισης = 3 + = 3 + - = 3 = 3 + = 3 + - - - - 3 + = - = 3 + = 9 + 3 = - - 5 = - 3 3 = 3 + = 3 + (-) = = - = - = - Μεθοδος αντιθετων συντελεστων - = 3 - = 6 (+) = 3 + = 3 + = - 3 + = - 3 + = - 5 = 5 = = Να βρεθει η εξισωση της ευθειας (ε ) που διερχεται απο τα σημεια Α(,3) και Β(,). Nα βρειτε το σημειο τομης της πιο πανω ευθειας (ε ) και της ευθειας (ε ) : = - + 7, αν αυτο υπαρχει. Η εξισωση της ευθειας γενικα ειναι της μορφης : = α + β Επειδη τα σημεια Α(, 3) και Β(, ) ανηκουν στην ευθεια, τοτε : 3 = α. + β α + β = 3 α + = 3 α = = α. + β β = β = β = Οποτε η εξισωση της ευθειας ( ε ) ειναι : = + Αν (, ) ειναι το κοινο σημειο των δυο ευθειων, τοτε τα, επαληθευουν και τις δυο εξισωσεις. Δηλαδη = + - + 7 = + 3 = 6 = = = - + 7 = - + 7 = - + 7 = - + 7 = 5 Αρα οι δυο ευθειες τεμνονται στο σημειο (, 5).
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 Να λυθει η ανισωση : Nα λυθει η εξισωση : + λ λ - 6 = + 5 - - λ Eιναι + 6 ( + )( + 5) -. 6 + + + 5-6 + 5 6-5 Eιναι λ λ - = λ( - λ) - (-)(λ - ) = λ - λ + λ - = (λ - ) = λ - λ - - λ (λ - ) = λ(λ - ) (Ι) λ( λ - ) Για λ -, δηλαδη για λ η (Ι) εχει τη μοναδικη λυση : = λ - = λ Για λ - =, δηλαδη για λ = η (Ι) γινεται : ( - ) =.( - ). =, ταυτοτητα. - = - = - = 4 (Σ ) = (Σ ) = (Σ ) = 3 + = 5-4 + = 4 3-6 = Eιναι - D = = - (-) = + = 3 - D = = - 5(-) = + 5 = 6 D = = 5 - = 3 5 5 Αρα (, ) =, Eιναι D D 6 3 =, =, D D 3 3 - D = = 4 - (-4)(-) = 4-4 = -4 - D = = 4-4(-) = 4 + 4 = 8 4 Αρα το συστημα ειναι αδυνατο. Eιναι - D = = -6-3(-) = -6 + 6 = 3-6 4-4 D = = -4 - (-) = -4 + 4 = D = = - = -6 3 Αρα το συστημα εχει απειρες λυσεις, της μορφης (κ + 4,κ). Θετουμε στη πρωτη εξισωση οπου = κ, αφου (συντελεστης του ).
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 (λ + ) + = Να λυθει και να διερευνηθει το συστημα : για τις διαφορες τιμες του λ. λ + λ = Eιναι λ + D = = λ(λ + ) - λ = λ + λ - λ = λ - λ = λ(λ - ) λ λ λ + D = = λ - D = = λ + - λ = -(λ - ) λ λ Για D το συστημα εχει τη λυση : D D λ - -( λ - ) (, ) =, = D D, =, - λ( λ - ) λ( λ - ) λ λ Για D = δηλαδη λ(λ - ) = λ = η λ = ειναι : Για λ = εχουμε D = - = -, Αρα το συστημα ειναι αδυνατο. Για λ = εχουμε D = - = D = -( - ) = + = Οποτε το συστημα γινεται : και εχει απειρες λυσεις, της μορφης (κ, - κ). + = (Θετουμε στη μια εξισωση οπου = κ). Δινονται τα συστηματα : (κ + ) - λ = + (λ + ) = κ + (Σ ) : και (Σ ) : 3 + = - - (κ - ) = λ Δειξτε οτι αν το (Σ ) εχει απειρες λυσεις, τοτε το (Σ ) ειναι αδυνατο. Αφου το (Σ ) εχει απειρες λυσεις, τοτε : κ + -λ D = = κ + + λ = κ + λ = - () -λ D = = - λ = λ = () - κ + D = = -κ - - = κ = - (3) - Aπο () + (3) : κ + λ = + (-) = - = -, επαληθευεται η (). Για κ = - και λ = το (Σ ) γινεται : + ( + ) = (-) + + 3 = 4 + 3 (- + ) -. = - - = + = - + = - + = - + = - που προφανως απειρες λυσεις. Για κ = - και λ = το (Σ ) γινεται : - (- - ) = + 3 = 5 - (-3) = + 3 = που ειναι προφανως αδυνατο.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9 Σ 'ενα συστημα (Σ ) δυο γραμμικω ν εξισω σεω ν με αγνω στους, ισχυει : 3D - 4D = D και D - D = D. A ν το (Σ ) εχει μοναδικη λυση, τοτε : να β ρειτε το συστημα (Σ ). να λυσετε το συστημα (Σ ). Α φου το (Σ ) εχει μοναδικη λυση, τοτε : D D D D O ποτε το συστημα τω ν δοσμενω ν σχεσεω ν : D και (, ) =, D D D D ( = ) 3D - 4D = D 3-4 = (:D ) D D D D 3-4 = = (Σ ) D D - D = D D D D ( = ) - = - = D D D D Λ υνουμε το συστημα (Σ ) : 3-4 D = = -.3 -.(-4) = -3 + 4 = - -4 3 D = = -. -.(-4) = - + 4 = D = =.3 -. = 3 - = - D D D D O ποτε, (, ) =, =, = (, ) Να λυθει το συστημα : + + z = (α) + - z = - (β) 3-4 - z = 3 (γ) Θα απαλοιψουμε τον αγνωστο z. Ετσι 3 + = (+) 3 + = 3. + = = - (α) + (β) = - (α) + (γ) 5 - = 7 8 = 8 = = = Απο την (α) προκυπτει : + (-) + z = - + z = z =. Aρα, (,, z) = (, -,) Να λυθει το συστημα : + + z + = = () 3 4-3 + z = - () = λ - + + z + Θετουμε : = = = λ = 3λ - (3) Οποτε η () λογω της (3) γινεται : 3 4 z = 4λ - (λ - ) - 3(3λ - ) + 4λ - = - 4λ - - 9λ + 3 + 4λ - = - λ =. =. - = Απ'την (3) : = 3. - = Aρα (,, z) = (,,3). z = 4. - z = 3
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Για ενα τριψηφιο αριθμο ισχουν : Αν εναλλαξουμε τη θεση του πρωτου και του δευτερου ψηφιου, προκυπτει νεος τριψη - φιος αριθμος κατα 9 μεγαλυτερος του αρχικου. Αν εναλλαξουμε τη θεση του δευτερου και του τριτου ψηφιου, προκυπτει νεος τριψηφι - ος αριθμος κατα 8 μεγαλυτερος του αρχικου. Το τριτο ψηφιο ειναι κατα μεγαλυτερο του αθροισματος των αλλων δυο. Να βρεθει ο τριψηφιος αριθμος. Θεωρουμε τον τριψηφιο αριθμο που εχει μορφη : z = + + z Ειναι, συμφωνα με τα δοσμενα + + z = + + z + 9 9-9 = 9 - + = (α) + z + = + + z + 8 9z - 9 = 8 - + z = (β) z = + + z = + + - - + z = (γ) Θα απαλοιψουμε τον αγνωστο z. Ετσι - + = - + = = (β) - (γ) = = = Απο την (β) προκυπτει : - + z = z = 4 Aρα ο ζητουμενος τριψηφιος αριθμος ειναι ο 4. Στο πρωταθλημα Α'εθνικης κατηγοριας ποδοσφαιρου καθε ομαδα δινει 3 αγωνες. Για καθε νικη παιρνει 3 βαθμους, για καθε ισοπαλια βαθμο και για την ηττα δεν παιρ - νει βαθμους. Αν η πρωταθλητρια ομαδα συγκεντρωσε στο προηγουμενο πρωταθλημα 69 βαθμους και οι ισοπαλιες της ηταν διπλασιες απ'τις ηττες, να βρειτε ποσες νικες, ισοπαλιες και ηττες ειχε. Εστω νικες, ισοπαλιες και z ηττες ειχε η πρωταθλητρια. Τοτε, συμφωνα με τα δοσμενα ειναι : + + z = 3 + z + z = 3 + 3z = 3.(-3) -3-9z = -9 3. +. +.z = 69 3 + z = 69 3 + z = 69 3 + z = 69 = z = z = z = z -3-9z = -9-7z = - z = 3 z = 3 = + 3 + z = 69 3 +.3 = 69 3 = 63 = 6 3 + z = 69 = z =.3 = 6 z = 3 = z Aρα η πρωταθλητρια ειχε νικες, 6 ισοπαλιες και 3 ηττες.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να λυθει το συστημα : + + z = 3 - + z = 4 + + 3z = To συστημα ειναι ομογενες, οποτε εχει τη προφανη λυση : (,, z) = (,, ) Θα εξετασουμε αν εχει και αλλες λυσεις. Ειναι + + z = (α) 3 - + z = (β) 4 + + 3z = (γ) 4 + z = z = - z = - z = - z = - (α) + (β) : 3 - + z = 3 - - = - = = = 4 + + 3z = 4 + - 6 = - + = = Δηλαδη το αρχικο συστημα για z = -, γινεται : + - = - + = - = 3 - - = - = - = 4 + - 6 = - + = - = το οποιο προφανως εχει απειρες λυσεις της μορφης : (,, z) = (κ, κ, -κ) (θεσαμε = κ) + + z = 7 () + = 3 (4) (Σ ) : + + z = 8 () και (Σ ) : + z = 5 (5) + + z = 9 (3) z + = 4 (6) Προσθετουμε κατα μελη τις εξισωσεις του συστηματος (Σ ). Οποτε ( ) + () + (3) 4 + 4 + 4z = 4 4( + + z) = 4 + + z = 6 (α) (α) () : + + z = 7 + ( + + z) = 7 + 6 = 7 = (α) () : + + z = 8 + ( + + z) = 8 + 6 = 8 = (α) (3) : + + z = 9 z + ( + + z) = 9 z + 6 = 9 z = 3 Aρα (,, z) = (, Προσθετουμε κατα μελη τις εξισωσεις του συστηματος (Σ ). Οποτε,3). (4) + (5) + (6) + + z = ( + + z) = + + z = 6 (β) (4) (β) : ( + ) + z = 6 3 + z = 6 z = 3 (5) (β) : + ( + z) = 6 + 5 = 6 = (6) (β) : ( + z) + = 6 4 + = 6 = Aρα (,, z) = (,,3).
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 αβ + = () = α β α + β 3 5 βγ 6 (Σ ) : + = () και (Σ ) : = β γ 6 β + γ 5 4 γα 3 + = (3) = γ α 3 γ + α 4 Θετουμε : =, = και = z (4) α β γ 3 + = (a) 5 Το (Σ ) γινεται : + z = (b) Προσθετουμε κατα μελη τις εξισωσεις του συστηματος (Σ ). 6 4 z + = (c) 3 3 5 4 9 5 8 + + z = + + ( + + z) = + + + + z = (I) 6 3 6 6 6 6 (a) ( 3 (Ι) : ( + ) + z = + z = z = 4) = γ = 3 6 6 3 γ 3 (b) (4) 5 (Ι) : + ( + z) = + = = = α = 6 6 6 α (c) (4) 4 (Ι) : ( + z) + = + = = = β = 6 3 6 β Aρα (α,β, γ) = (,,3). Αντιστρεφουμε τα κλασματα - μελη των εξισωσεων του συστηματος (Σ ) και προκυπτει το συστημα (Σ ). Να λυθει το συστημα : = () z = 6 () z = 6 (3) Πολλαπλασιαζουμε κατα μελη τις εξισωσεις του συστηματος. Οποτε,..z =.6.6 (..z) = 36 z = ±6. Ειναι Για z = 6 (α) Για z = -6 (β) (α) z 6 (β) z -6 : = z = 6 : = z = -6 () () (α) z 6 (β) z -6 : = z = : = () 6 () z 6 = - (α) z 6 : = = (3) z 6 Aρα (,, z) = (,, 6) η (,, z) = (-, -, -6). (β) z -6 : = = - (3) z 6
AΛYTΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 - = - + = (Σ ) = (Σ ) = 6 3 - + + = + - 5 3 - = 4 Με τη μεθοδο : αντικαταστασης συγκρισης αντιθετων συντελεστων Λυσε ως προς τον ενα αγνωστο και αντικατεστησε τον στην αλλη εξισωση... Λυσε και τις δυο εξισωσεις ως προς τον ιδιο αγνωστο Πολλαπλασιασε καταλληλα τις δυο εξισωσεις και προσθεσε... Στο διπλανο σχημα φαινονται οι ευθειες ε και ε που τεμνονται στο σημειο Α(, ). Nα βρεθουν οι εξισωσεις των ευθειων ε και ε. Να βρεθουν οι συντεταγμενες του σημειου Α(, ). - + + = (Σ ) = - + 3 - = 7 3 - + + + = + + (Σ ) = 5 3 + + 6 - - = - 3-5 = (Σ ) = 3 - = 4 5 ε ε 3 - Προκειμενου να βρουμε το ση - μειο τομης δυο ευθειων, λυνου - με το συστημα των εξισωσεων τους. Αν D τοτε το (Σ) εχει τη μοναδικη λυση : D D (,) =,. D D Αν D = και : D η D τοτε το (Σ) αδυνατο. D = D = και... Να λυθουν και να διερευνηθουν τα συστηματα : + λ = (Σ ) = + = λ λ - = - (Σ ) = 4 + λ = λ - = λ (Σ ) = 3 - λ = λ 4 για τις διαφορες τιμες του λ. Αν D τοτε το (Σ) εχει τη μοναδικη λυση : D D (,) =,. D D Αν D = και : D η D τοτε το (Σ) αδυνατο...
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 Δινονται τα συστηματα : Αν D τοτε το (Σ) εχει τη - - = (Σ ) : και μοναδικη λυση : (-κ - ) + λ = - D D (κ + 4) + = κ - 3κλ (,) =,. (Σ ) : 3 5 D D (3κ + 8) - (κ + λ) = κ - λ Αν D = και : Δειξτε οτι αν το (Σ ) εχει απειρες λυσεις, τοτε D η D τοτε το το (Σ ) ειναι αδυνατο. (Σ) αδυνατο. Δινονται τα συστηματα : D = D = και... - = 3 + = 5 (Σ ) : και (Σ ) : 3 4 κ + λ = - -κ + (λ + ) = Δειξτε οτι αν το (Σ ) και το (Σ ) ειναι συγχρονως αδυνατα. Δινονται τα συστηματα : 3 3 - = - λ = 8 (Σ ) : και (Σ ) : 5 6 3 + λ = + 3 = 8 Δειξτε οτι αν το (Σ ) ειναι αδυνατο, τοτε το (Σ ) εχει απειρες λυσεις. 3 5 6 Σ'ενα συστημα (Σ ) δυο γραμμικων εξισωσεων με α - Αν D τοτε το (Σ) εχει τη γνωστους, ισχυει : μοναδικη λυση : D + D D + D = και - = 3 D D (,) =,. Aν το (Σ ) εχει μοναδικη λυση, τοτε να βρεθει η D D λυση του. Αν D = και : Σ'ενα συστημα (Σ ) δυο γραμμικων εξισωσεων με D η D τοτε το αγνωστους, ισχυει : (Σ) αδυνατο. D + D = D και D - D = 3D D = D = και... Aν το (Σ ) εχει μοναδικη λυση, τοτε να βρεθει η λυση του. Σ'ενα συστημα (Σ ) δυο γραμμικων εξισωσεων με αγνωστους, ισχυει : D + D + D = 4(D - D Nα βρεθει η λυση του. + D ) - Να δειξετε οτι: Να λυθουν τα συστηματα: -7 +7z = 4 + +z = (Σ) : +3-z =5 (Σ ) : + -z =3 4- +3z =7 - +3z =-6 + +z = + + z = 6 (Σ ) : + + 4z = 4 (Σ ) 3 : 4 - - z = 3+3 +6z = - - z = Απαλοιφουμε τον ιδιο αγνω - στο απ'τις τρεις εξισωσεις (μεθοδος αντιθετων συντελε - στων). Λυνουμε το συστημα Χ που προκυπτει. Αντικαθιστουμε τη λυση του πιο πανω συστηματος...
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 Το αθροισμα των ψηφιων ενος τριψηφιου αριθμου ειναι 6 και των ψηφιων των μοναδων ειναι λιζεται : z = + + z Ενας τριψηφιος αριθμος συμβο -. Αν αλλαξουμε τη θεση των ψηφιων των εκατονταδων και των δεκαδων του αριθμου, προκυπτει αριθμος κατά 8 μεγαλυτερος. Να βρεθει ο τριψηφιος αριθμος. Δυο θετικοι ακεραιοι εχουν αθροισμα 87. Αν προσθεσουμε το σε καθε εναν απ αυτους, ο ενας γινεται διπλασιος του αλλου. Βρειτε τους αριθμους. Μια ομαδα μαθητων εγραψε, σ ενα μαθημα, διαγωνισμα που εχει ερωτησεις. Για καθε σω- Θεωρουμε,,... τους αγνω - στους του προβληματος. στη απαντηση ο μαθητης επαιρνε 5 μοναδες ε- Σχηματιζουμε τις καταλληλες νω για καθε λαθος απαντηση εχανε 3 μοναδες. Ενας μαθητης εγραψε 5 μοναδες σ αυτο το διαγωνισμα. Βρειτε ποσες απαντησεις του ηταν σω- απ'τα δοσμενα. εξισωσεις που προκυπτουν στες και ποσες λαθος. Λυνουμε το συστημα των πιο Οι μαθητες Α και Β ρωτουν τον καθηγητη στο πανω εξισωσεων, που... τελος του ου τετραμηνου ποσες απουσιες εχουν και εκεινος απαντα: Ο λογος των απουσιων του Α προς τις απουσιες του Β ειναι 4/7 ενω χωρις τις τελευταιες 9 απουσιες ειναι ισος με /. Βρειτε τις απουσιες των Α, Β. Ποσες πρεπει να δικαιολογησουν αν το οριο ειναι 5. Να λυθει το συστημα : - 3 - z = 6-3 - 6z = 4 - + z = κ + λ + μ = 7 () + = 5 (5) λ + μ + ν = 9 () (Σ ) : και (Σ ) : + z = 8 (6) μ + ν + κ = 8 (3) z + = 5 (7) ν + κ + λ = 7 (4) To ομογενες συστημα εχει προ - φανη λυση : (,,z) = (,,) Οποτε εξεταζουμε, κατα τα γνω - στα, αν εχει και αλλες λυσεις. Προσθετουμε κατα μελη τις εξισωσεις του συστηματος Συνδιαζουμε την εξισωση που προεκυψε με καθεμια απ'τις αρ - χικες εξισωσεις του συστηματος. 5 αβγ 6 + = () = α β 6 αγ + βγ 5 7 αβγ (Σ ) : + = () και (Σ ) : = β γ αβ + αγ 7 3 αβγ 4 + = (3) = γ α 4 βγ + αβ 3 Θετουμε : =,... α Προσθετουμε κατα μελη τις εξισωσεις του συστηματος... Συνδιαζουμε την εξισωση που προεκυψε με καθεμια...
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 αβγ = αβ = βγδ = (Σ ) : βγ = και (Σ ) : γδα = 8 γα = 8 δαβ = 4 Πολλαπλασιαζουμε κατα μελη τις εξισωσεις του συστηματος. Βρισκουμε τη τιμη του γινομε - νου που προκυπτει. Διαιρουμε την εξισωση που προεκυψε με... z = = (Σ ) : 4 5 3 + - z = 5 - - 3 z - = = (Σ ) : 3 4 5 5 + 3 - z = 5 (Σ ) : (Σ ) : + = 3 + = 3 (Σ ) : (Σ ) : 3 4 = - = ( - ) + = 3( - ) + = + = + = 5 Θετουμε τους ισους λογους λ. Βρισκουμε,,z σε συναρτη - ση με το λ. Αντικαθιστουμε τα,,z στην δευτερη εξισωση και βρισκουμε το λ. Πολλαπλασιαστε με καταλληλη παρασταση, αριθμητη και παρονομαστη, ωστε να προκυψει οπαρονομαστης ρητος. Κανετε χρηση δυναμεων και ταυτοτητων.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η Σ υ σ τ η μ α τ ο ς ο υ β α θ μ ο υ ) - 7 - = -6 Να λυθει το συστημα : + = ο Βημα : Λυνουμε την πρωτοβαθμια εξισωση ως προς τον ενα αγνωστο και κανουμε αν - τικατασταση στη δευτεροβαθμια (προτιμουμε τον αγνωστο με τη μικροτερη "συμμετοχη" στη δευτεροβαθμια εξισωση). + = = - Oποτε - 7 - ( - ) = -6-7 - (4-4 + ) = -6-7 - 4 + 4 - = -6-3 + = = η =. ο Βημα : Για την καθε τιμη του αγνωστου, που βρηκαμε παραπανω, με αντικατασταση εχουμε την αντιστοιχη τιμη του αλλου αγνωστου. Για = τοτε = - =, οποτε η μια λυση του συστηματος ειναι : (, ) = (,). Για = τοτε = - =, οποτε η αλλη λυση του συστηματος ειναι : (, ) = (, ). (και οι δυο λυσεις ειναι δεκτες, γιατι επαληθευουν το συστημα). + = α Αν το συστημα ειναι της μορφης :,. = β εξυπηρετει η ταυτοτητα : + = ( + ) -.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 ( - 3) + = 3 + = 3 (Σ ) : (Σ ) : + = 5 = 6 Ειναι ( - 3) + = 3 ( - 3) + (5 - ) = 3-6 + 9 + (5 - + ) = 3 + = 5 = 5 - = 5-4 4 = (, ) =, 3-6 + 56 = 3 3 3 = 5 - = 4 η = 5 - (, ) = (4,) Eιναι + = 3 ( + ) - = 3 ( + ) - = 3 + = ±5 = 6 = 6 = 6 = 6 + = 5 = 6, ριζες της z - 5z + 6 = (, ) = (, 3) η (, ) = (3, ) + = -5, ριζες της z + 5z + 6 = (, ) = (-, -3) η (, ) = (-3, -) = 6 Να λυθει το συστημα : + = 3 (Σ) : + + = Eιναι +=κ + = 3 ( + ) - = 3 κ - λ = 3 + + = ( + ) + = =λ κ + λ = λ = - κ λ = - κ κ - ( - κ) = 3 κ - + κ - 3 = λ = - κ κ + κ - 35 = Δ = 4-4..(35) = 44 κ = -7 κ = -7 κ = -7 - ± λ = - (-7) λ = 8 κ = = - ± 6 κ = 5 κ = 5 κ = 5 λ = - κ λ = - κ λ = - 5 λ = 6 + = -7 = 8, ειναι ριζες της εξισωσης : z + 7z + 8 = + = 5, ειναι ριζες της εξισωσης : z - 5z + 6 = = 6 Δ = 49-7 = -3 <, αρα αδυνατη (, ) = (,3) η (, ) = (3,)
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9 Να βρεθει το πληθος των ριζων του συστηματος : + = 3 (Σ ) : λ + = 4 για τις διαφορες τιμες του πραγματικου αριθμου λ. Δινεται ο κυκλος + = κ και η ευθεια - 3 + κ =. Να βρειτε τον πραγματικο αριθμο κ, ωστε ο κυκλος και η ευθεια να εχουν ενα μονο κοινο σημειο. Eιναι λ + = 4 = 4 - λ = 4 - λ + = 3 + 4 - λ = 3 - λ + = Η εξισωση - λ + = προσδιοριζει το π Δ = (-λ) - 4.. = λ - 4 Αν Δ > λ - 4 > λ > λ > λ < - η λ >, τοτε η εξισωση εχει δυο ριζες, οποτε και το (Σ ) εχει δυο λυσεις. Αν Δ = το (Σ ) εχει μια λυση. ληθος των λυσεων του συστηματος. Οποτε λ - 4 = λ = 4 λ = ±, τοτε η εξισωση εχει μια διπλη ριζα, οποτε και Αν Δ < λ - 4 < λ < λ < - < λ <, τοτε η εξισωση δεν εχει πραγ - ματικες ριζες, οποτε και το (Σ ) δεν εχει λυσεις. Eιναι + = κ (3 - κ) + = κ 9-6κ + κ + = κ - 3 + κ = = 3 - κ = 3 - κ - 6κ + κ - κ = = 3 - κ Για να εχουν ενα κοινο σημειο ο κυκλος και η ευθεια, πρεπει η εξισωση : - 6κ + κ - κ = να εχει μια διπλη ριζα. Οποτε Δ = (-6κ) - 4..(κ - κ) = 36κ - 4κ + 8κ = - 4κ + 8κ = -4κ(κ - ) = κ = κ =
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Σ ) : (Σ ) : + = 3 + = 3 (Σ ) : (Σ ) : 3 4 = - = ( - ) + = 3( - ) + = + = + = 5 Λυνουμε τη πρωτοβαθμια ως προς τον ενα αγνωστο και κα - νουμε αντικατασταση... Ειναι : + = ( + ) -... + = (Σ ) : + + = 3 3 3 + = 9 (Σ ) : + = 3 - = 5 (Σ ) : 3 + = 5 Να βρεθει το πληθος των ριζων του συστηματος : - = (Σ ) : λ + = λ για τις διαφορες τιμες του πραγματικου αριθμου λ. Να βρειτε τον πραγματικο αριθμο κ, ωστε το συ - = στημα : (Σ ) : + = κ να μην εχει λυση. Ειναι : + = ( + ) -... 3 3 + = ( + )( - + )... + = ( + ) -... Για το τριωνυμο : Δ > : ριζες ανισες Δ > : ριζα Δ < : καμμια ριζα