ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Δρ. Χαράλαμος Π. Στρουθόουλος Καθηγητής ΣΕΡΡΕΣ, ΙΟΥΝΙΟΣ 8

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Κεφάλαιο - Εισαγωγή. Κεφάλαιο - Διακριτά σήματα και συστήματα.. Διακριτά σήματα.... Θεμελιώδη διακριτά σήμα.... Διάρκεια διακριτού σήματος... Περιοδικότητα διακριτού σήματος..4. Συμμετρικά σήματα..5. Αντιστροφή, ολίσθηση και κλιμάκωση σήματος..6. Πράξεις διακριτών σημάτων..7. Ανάλυση διακριτού σήματος σε διακριτές κρουστικές ώσεις.. Διακριτά συστήματα... Διασύνδεση συστημάτων... Μνήμη διακριτού συστήματος... Αμεταβλητότητα κατά τη μετατόιση..4. Γραμμικότητα..5. Αιτιότητα..6. Ευστάθεια φραγμένης εισόδου-φραγμένης εξόδου..7. Αντιστρέψιμα συστήματα..8. Αόκριση συστήματος σε κρουστική διέγερση, το συνελικτικό άθροισμα..9. Ιδιότητες της συνέλιξης διακριτών σημάτων... Τρόοι υολογισμού της συνέλιξης διακριτών σημάτων. Κεφάλαιο Περί μετασχηματισμών σημάτων διακριτού χρόνου.. Εισαγωγή. Ερμηνεία μετασχηματισμών με διανυσματική ανάλυση. Ερμηνεία μετασχηματισμών με γραμμική άλγεβρα.4 Ο διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT: Discrt Cosi Trasform.4. Ο δισδιάστατος Δ διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου D-DCT: Discrt Cosi Trasform.5 Ερμηνεία και υολογισμοί μετασχηματισμών μιγαδικών σημάτων διακριτού χρόνου.

4. Κεφάλαιο 4 Ο μετασχηματισμός Fourir 4. Εισαγωγή 4. Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir -σημείων 4. Ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου. 4.. Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου 4.4 Σχέση της συνέλιξης με το μετασχηματισμό και τον διακριτό μετασχηματισμό Fourir. 5. Κεφάλαιο 5 - Ανάλυση σημάτων και συστημάτων με τον μετασχηματισμό Fourir 5. Εισαγωγή. 5. Αόκριση συχνότητας. 5.. Φίλτρα ειλογής συχνοτήτων 5. Ανάλυση της δειγματοληψίας. 6. Κεφάλαιο 6 Ο μετασχηματισμός Ζ 6. Εισαγωγή 6. Ορισμός του μετασχηματισμού Ζ 6.. Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ 6.. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Ζ, ανάλυση σε μερικά κλάσματα 6. Ο Μονόλευρος μετασχηματισμό Ζ 7. Κεφάλαιο 7 - Ανάλυση συστημάτων με τον μετασχηματισμό Z 7. Εισαγωγή. 7. Συνάρτηση μεταφοράς. 7. Έλεγχος ευστάθειας και αιτιότητας LTI συστήματος 7.4 Υολογισμός της εξόδου συστήματος LTI. 8. Κεφάλαιο 8 Υλοοίηση συστημάτων διακριτού χρόνου 8. Εισαγωγή. 8. Ψηφιακά δικτυώματα 8. Περιγραφή συστημάτων FIR 8.4 Περιγραφή συστημάτων IIR

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή Η εεξεργασία ψηφιακού σήματος είναι ένας τομέας της ειστήμης και της εφαρμοσμένης μηχανικής ου έχει ανατυχθεί γρήγορα κατά τη διάρκεια των ροηγούμενων ετών. Αυτή η γρήγορη ανάτυξη είναι αοτέλεσμα των σημαντικών λεονεκτημάτων της τεχνολογίας των ψηφιακών υολογιστών και της βιομηχανίας των ολοκληρωμένων κυκλωμάτων. Οι ψηφιακοί υολογιστές και τα ψηφιακά κυκλώματα ριν τρεις δεκαετίες ήταν σχετικά ογκώδη και ακριβά και κατά συνέεια η χρήση τους εριορίστηκε σε ειστημονικούς υολογισμούς και εφαρμογές γενικής χρήσης, χωρίς ααιτήσεις εκτέλεσης σε ραγματικό χρόνο. Η γρήγορη ανάτυξη στην τεχνολογία ολοκληρωμένων κυκλωμάτων ου άρχισε αό την μέση κλίμακα ολοκλήρωσης Mdium Scal Itgratio και εξελίχθηκε στην μεγάλη Larg Scal Itgratio, και τώρα την ολύ μεγάλη κλίμακα ολοκλήρωσης Vr Larg Scal Itgratio των ηλεκτρονικών κυκλωμάτων έχει οδηγήσει στην ανάτυξη ιο ισχυρών, μικρότερων, γρηγορότερων και φτηνότερων ψηφιακών υολογιστών και ειδικευμένου ψηφιακού εξολισμού. Αυτά τα φθηνά και σχετικά γρήγορα ψηφιακά κυκλώματα κατέστησαν δυνατόν να κατασκευαστούν ιδιαίτερα ερίλοκα ψηφιακά συστήματα ικανά να εκτελέσουν σύνθετες λειτουργίες εεξεργασίας ψηφιακού σήματος ου είναι συνήθως δύσκολο ή/και άρα ολύ ακριβό να εκτελεστούν για αναλογικά σήματα με συστήματα αναλογικών κυκλωμάτων. Ως εκ τούτου ολλοί αό τους στόχους εεξεργασίας σήματος ου εκτελέστηκαν συμβατικά με τα αναλογικά μέσα ραγματοοιούνται σήμερα αό λιγότερο ακριβό και συχνά ιο αξιόιστο ψηφιακό υλικό. Αυτό δεν σημαίνει ότι η εεξεργασία ψηφιακού σήματος είναι η κατάλληλη λύση για όλα τα ροβλήματα εεξεργασίας σήματος.. Για σήματα με εξαιρετικά μεγάλο εύρος ζώνης όου ααιτείται η εεξεργασία σε ραγματικό χρόνο, η αναλογική εεξεργασία ή η εεξεργασία οτικού σήματος είναι η ίσως η μόνη

ιθανή λύση. Εντούτοις, όου τα ψηφιακά κυκλώματα είναι διαθέσιμα και ροσφέρουν ικανοοιητική ταχύτητα ροτιμώνται διότι είναι φτηνότερα και τα συστήματα ιο αξιόιστα και αραμετροοιήσιμα. Ειδικότερα, το υλικό ψηφιακής εεξεργασίας ειτρέει την ενσωμάτωση λογισμικού ου μορεί να τροοοιήσει ευκολότερα τις λειτουργίες εεξεργασίας σήματος ου εκτελούνται. Κατά συνέεια το ψηφιακό υλικό και το σχετικό λογισμικό αρέχουν έναν μεγαλύτερο βαθμό ευελιξίας στο σχεδιασμό των συστημάτων. Είσης ειτυγχάνεται συχνά ακρίβεια μεγαλύτερης τάξης με το ψηφιακό υλικό και το λογισμικό έναντι των αναλογικών κυκλωμάτων και των συστημάτων εεξεργασίας αναλογικού σήματος. Για όλους αυτούς τους λόγους, υήρξε μια εκρηκτική αύξηση της θεωρίας εεξεργασίας ψηφιακού σήματος και των εφαρμογών της κατά τη διάρκεια των τελευταίων δεκαετιών. 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διακριτά σήματα και συστήματα. Διακριτά σήματα Διακριτό σήμα ή σήμα διακριτού χρόνου ονομάζουμε μία ακολουθία ραγματικών ή μιγαδικών τιμών, Z και C. Το διακριτό σήμα είναι δηλαδή μία συνάρτηση της οοίας η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ακέραιος αριθμός. Στην ΨΕΣ η ανεξάρτητη μεταβλητή ονομάζεται και «χρόνος» αν και μορεί να αριστάνει συντεταγμένες χώρου, αύξοντες αριθμούς κ.α. Ένα διακριτό σήμα δεν ορίζεται για τιμές του ου δεν είναι ακέραιες. H γραφική αράσταση ενός διακριτού σήματος έχει την μορφή ου δείχνεται στο Σχ... Σχήμα.. Τα διακριτά σήματα ροέρχονται αό α μεγέθη ου αό τη φύση τους είναι αριθμήσιμα,.χ. έσοδα ανά ημέρα, κίνηση ανά ώρα, β μεγέθη ου μεταβάλλονται σε σχέση με μία συνεχή μεταβλητή συνεχή σήματα ύστερα αό μία διαδικασία δειγματοληψίας. Ο ιο συνήθης τρόος μετατροής ενός αναλογικού σήματος σε διακριτό είναι η εριοδική ή ομοιόμορφη δειγματοληψία. Λαμβάνονται δείγματα του σήματος σε διαδοχικές τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής. Αν η αόσταση δύο 5

διαδοχικών τιμών είναι σταθερή ίση με Τ s και a t η συνάρτηση της συνεχούς μεταβλητής t, το διακριτό σήμα ροκύτει αό τη σχέση α T.. s Η οσότητα f s λέγεται ρυθμός δειγματοληψίας. Η ειλογή κατάλληλης τιμής του T s ρυθμού δειγματοληψίας θα εξετασθεί αργότερα στο σχετικό κεφάλαιο. Αν ένα συνεχές ή διακριτό σήμα αίρνει τιμές αό ένα εερασμένου λήθους σύνολο τιμών, τότε λέγεται σήμα διακριτών τιμών. Μ άλλα λόγια το εδίο τιμών του σήματος είναι ένα σύνολο εερασμένου λήθους στοιχείων. Ένα διακριτό σήμα διακριτών τιμών λέγεται ψηφιακό. Ένα ψηφιακό σήμα εερασμένου μήκους μορεί να αοθηκευτεί στη μνήμη ενός ψηφιακού υολογιστή με ακρίβεια όση η μικρότερη αόσταση ου υάρχει μεταξύ των τιμών του. Η ψηφιοοίηση μη ψηφιακών σημάτων ααιτεί την δειγματοληψία του εδίου ορισμού τους και τον κβαντισμό του εδίου τιμών τους όως θα δούμε σε εόμενο κεφάλαιο.... Θεμελιώδη διακριτά σήματα Ακολούθως θα αναφέρουμε μερικά διακριτά σήματα ου χρησιμοοιούνται ευρέως στην ψηφιακή εεξεργασία σημάτων. Τέτοια είναι η διακριτή κρουστική ώση, η βηματική ακολουθία, η εκθετική ακολουθία, η μιγαδική ακολουθία, η μοναδιαία γραμμική ακολουθία. Η διακριτή συνάρτηση δέλτα ή διακριτή κρουστική ώση συμβολίζεται δ και ορίζεται αό τη σχέση για δ... για Η γραφική της αράσταση φαίνεται στο Σχ... 6

Σχήμα... Η διακριτή κρουστική ώση δ. Η βηματική ακολουθία συμβολίζεται u και ορίζεται αό τη σχέση για u για <... Η γραφική της αράσταση φαίνεται στο Σχ... Σχήμα... Η βηματική ακολουθία u. Η εκθετική ακολουθία ορίζεται αό τη σχέση a, C a... Η γραφική της αράσταση για διαφορετικές τιμές του α, φαίνεται στο Σχ... α Η εκθετική ακολουθία για α.8. β Η εκθετική ακολουθία για α.. 7

Σχήμα... β Η εκθετική ακολουθία για α-.. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον αρουσιάζει η εκθετική ακολουθία όταν a ω, ω R. Τότε ονομάζεται μιγαδική εκθετική ακολουθία και βάσει της ταυτότητας του Eulr ισχύει η σχέση ω cos ω si ω...4 Η μιγαδικές εκθετικές ακολουθίες είναι η βάση της ανάλυσης Fourir ου θα αρουσιάσουμε σε ακόλουθο κεφάλαιο.... Διάρκεια διακριτού σήματος.. Ένα διακριτό σήμα λέγεται εερασμένου μήκους αν οι τιμές του μηδενίζονται για κάθε τιμή του ου δεν ανήκει σε ένα εερασμένο διάστημα [L,R], αν δηλαδή ικανοοιείται η σχέση, [ L, R], L, R Z... Στις λείστες των εριτώσεων L, R έχουν μη μηδενικές τιμές. Η έκταση του διαστήματος [L,R] λέγεται μήκος του σήματος και είναι ΝR-L... Σήματα ου δεν είναι εερασμένου μήκους ονομάζονται αείρου μήκους. Ένα διακριτό σήμα αείρου μήκους λέγεται σήμα δεξιάς λευράς αν ικανοοιεί τη σχέση 8

, < L... και αριστερής λευράς αν, > R...4 Τέλος, αν ένα διακριτό σήμα αείρου μήκους δεν είναι δεξιάς ή αριστερής λευράς λέγεται αμφίλευρο. Τα εερασμένα μήκους σήματα και τα σήματα δεξιάς ή αριστερής λευράς μορούν να εριγραφούν αλγεβρικά με κατάλληλη χρήση διακριτών βηματικών ακολουθιών. Αν σήμα αείρου μήκους τότε μορεί να ορισθεί το εερασμένου μήκος σήμα στο διάστημα [L,R] ως εξής [ u L u R ]...5 ή [ u L u R ]...6 Το σήμα u...7 είναι δεξιάς λευράς με, <... Περιοδικότητα διακριτού σήματος Ένα σήμα λέγεται εριοδικό αν υάρχει θετικός ακέραιος Ν ώστε... Ο ακέραιος Ν λέγεται ερίοδος του σήματος. Είναι ροφανές ότι αν Ν η ερίοδος του σήματος, τότε οι τιμές Ν, Ν και κάθε θετικό ακέραιο ολλαλάσιο του Ν είναι ερίοδοι του σήματος. Η μικρότερη τιμή της εριόδου ονομάζεται ρωτεύουσα ερίοδος. Αν δεν υάρχει θετικός ακέραιος Ν ώστε να ισχύει η σχέση..., το σήμα λέγεται μη εριοδικό. Παράδειγμα εριοδικού διακριτού σήματος είναι το σήμα cos με ερίοδο Ν5... 5 Παράδειγμα μη εριοδικού σήματος είναι το a u.....4. Συμμετρικά σήματα Ένα ραγματικό διακριτό σήμα λέγεται άρτιο αν ισχύει η σχέση 9

, Z..4. Η γραφική αράσταση ενός άρτιου σήματος αρουσιάζει αξονική συμμετρία ως ρος τον κάθετο άξονα. Για αράδειγμα το σήμα είναι άρτιο με γραφική αράσταση όως φαίνεται στο Σχ...4.. Σχήμα..4... Ένα ραγματικό διακριτό σήμα λέγεται εριττό αν ισχύει η σχέση, Z..4. Η γραφική αράσταση ενός εριττού σήματος αρουσιάζει κεντρική συμμετρία ως ρος την αρχή των αξόνων. Για αράδειγμα το σήμα είναι εριττό με γραφική αράσταση όως φαίνεται στο Σχ...4.. Σχήμα..4.. Κάθε ραγματικό σήμα μορεί να γραφεί σαν άθροισμα ενός άρτιου και ενός εριττού σήματος. Πράγματι αν α άρτιο και εριττό σήμα θα ρέει να ισχύουν οι σχέσεις..4. α α α Αό την ρόσθεση των..4. και..4.4 ροκύτει ότι..4.4

α..4.6 Αό την αφαίρεση των..4. και..4.4 ροκύτει ότι..4.7 Ένα μιγαδικό διακριτό σήμα λέγεται συζυγές συμμετρικό αν ισχύει η σχέση, Z..4.8 Ένα μιγαδικό διακριτό σήμα λέγεται συζυγές αντισυμμετρικό αν ισχύει η σχέση, Z..4.9 Κάθε μιγαδικό σήμα μορεί να γραφεί σαν άθροισμα ενός συζυγούς συμμετρικού και ενός συζυγούς αντισυμμετρικού σήματος. Η αόδειξη αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη...5. Αντιστροφή, ολίσθηση και κλιμάκωση σήματος Εάν σε ένα σήμα εφαρμοσθεί ένας μετασχηματισμός στην ανεξάρτητη μεταβλητή, f : Z Z, ροκύτει το σήμα f. Αν f- τότε λέμε ότι το σήμα έχει υοστεί αντιστροφή και μετασχηματίζεται στο σήμα -...5. Η γραφική αράσταση του - είναι συμμετρική ως ρος τον κάθετο άξονα με αυτήν του Σχ...5.. Αν f-, τότε λέμε ότι το σήμα έχει υοστεί μετατόιση ή ολίσθηση κατά και μετασχηματίζεται στο σήμα -...5. Η γραφική αράσταση του - εροκύτει με μετατόιση της γραφικής αράστασης του κατά, στον οριζόντιο άξονα Σχ...5.. Γενικά, αν εφαρμοσθεί ολίσθηση ενός σήματος και ακολούθως αντιστροφή του, ροκύτει διαφορετικό αοτέλεσμα αό ότι θα ροέκυτε αό την εφαρμογή ρώτα αντιστροφής του και ακολούθως ολίσθησης. Αυτό φαίνεται αό ακόλουθες σχέσεις z z..5. z z..5.4

Το αοτέλεσμα θα ήταν ίδιο αν η ολίσθηση σε μία αό τις δύο διαδικασίες γίνει κατά. Σχήμα..5. Σχήμα..5.. Τελικά με τις ράξεις τις ολίσθησης και της αντιστροφής αό το αρχικό σήμα ροκύτουν τα σήματα -,, -, --. Στο Σχ...5. δείχνεται ένα αράδειγμα των γραφικών αραστάσεων των σημάτων αυτών σε σχέση με την γραφική αράσταση του.

Κλιμάκωση υφίσταται ένα σήμα αν fμ ή f/μ, όου Μ ακέραιος. Στην ρώτη ερίτωση το διακριτό σήμα λέμε ότι υέστη υοδειγματοληψία και στη δεύτερη υερδειγματοληψία. Κατά την υοδειγματοληψία ροκύτει το σήμα M..5.5 και κατά την υερδειγματοληψία το σήμα /Μ αν / M Z..5.6 Για τις μη ακέραιες τιμές του ηλίκου /M το σήμα /M δεν ορίζεται. Στο Σχ...5.4. δείχνεται η γραφική αράσταση υοδειγματοληψίας ενός σήματος. Σχήμα..5.

Σχήμα..5.4..6. Πράξεις διακριτών σημάτων. Μεταξύ των ακολουθιών δύο διακριτών σημάτων μορούν να εκτελεστούν οι βασικές ράξεις μεταξύ των τιμών τους ου αντιστοιχούν στην ίδια τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής και να ροκύψει μία νέα ακολουθία ου λέμε ότι είναι το αοτέλεσμα της ράξης μεταξύ των δύο αρχικών ακολουθιών. Έτσι ορίζονται οι ράξεις ου φαίνονται στον ακόλουθο ίνακα Πρόσθεση Αφαίρεση Πολλαλασιασμός Διαίρεση - * /, C Πίνακας..6....7. Ανάλυση διακριτού σήματος σε διακριτές κρουστικές ώσεις Η διακριτή ώση δ μορεί να χρησιμοοιηθεί για την εριγραφή ενός διακριτού σήματος σύμφωνα με τη σχέση 4

δ - - L δ δ δ δ - δ - L..7. Αό την αραάνω σχέση μορούμε να εράσουμε σε διανυσματική ερμηνεία των διακριτών σημάτων και της κρουστικής ώσης. Ας θεωρήσουμε το εερασμένου μήκους σήμα με μήκος Ν,,, L, R και την διανυσματική εριγραφή του με τον ίνακα στήλης [,, ] T...7. Σύμφωνα με την σχέση..7. δ - δ δ - δ -..7. Για,, οι δ, δ-, δ- εριγράφονται διανυσματικά αό τους ίνακες στήλης ως εξής: δ, ήτοι διανυσματικά δ [,,] Τ, δ -, ήτοι διανυσματικά δ [,,] Τ,..7.4 δ -, ήτοι διανυσματικά δ [,,] Τ Αό τις..7. και..7.4 οδηγούμαστε στην γραφή των ακόλουθων σχέσεων δ δ δ..7.5 [ δ δ δ ] Ι..7.6 Διαιστώνουμε ότι υάρχει ομοιότητα των σχέσεων..7. και..7.5. Θεωρώντας τα δ, δ, δ ως τα μοναδιαία διανύσματα στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο 5

χώρο Ε, το εερασμένο διακριτό σήμα με μήκος Ν ανααρίσταται αό το διάνυσμα όως φαίνεται στο Σχ...7.. Σχήμα..7.. Οι συντεταγμένες του διανύσματος είναι οι ροβολές του στα μοναδιαία διανύσματα δ, δ, δ και δίνονται αό τις σχέσεις του εσωτερικού του γινομένου με αυτά ως ακολούθως δ [ ] δ..7.7 Τ [ ] δ-..7.8 Τ δ [ ] δ -..7.9 Τ δ και γενικά για,, δ Τ δ - δ δ - δ -..7. Προέκυψε δηλαδή η σχέση..7. ου είναι η ίδια με την..7. Στο αράδειγμα αυτό το μήκος του διακριτού σήματος είναι Ν και με αριστερό δείκτη L και δεξιό R. Αν ο L άρει οσοδήοτε μικρή τιμή και R οσοδήοτε μεγάλη μορούμε ούμε ότι κάθε διακριτό σήμα είναι διάνυσμα σε ένα χώρο με 6

οσοδήοτε μεγάλο λήθος διαστάσεων άειρο λήθος διαστάσεων και συντεταγμένες ροβολές στα μοναδιαία διανύσματα δ- τις τιμές όως φαίνεται και αό την..7.. Ας σημειωθεί ακόμη ότι T αν m δm - δ - δ m δ.7.. αν m δηλαδή οι κρουστικές διακριτές ώσεις ως διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους με μέτρο μονάδα. Αοτελούν δηλαδή μία ορθοκανονική βάση. Σε εόμενο κεφάλαιο θα αναφέρουμε και άλλες ορθοκανονικές και ορθομοναδιαίες βάσεις και θα δούμε την ανάλυση των διακριτών σημάτων σε αυτές. Η ανάλυση αυτή αφορά διάφορους μετασχηματισμούς όως ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir, ο μετασχηματισμός του συνημιτόνου κ.α... Διακριτά συστήματα Σε ολλές εφαρμογές αό ένα διακριτό σήμα ροκύτει ένα διακριτό σήμα σύμφωνα με κάοιο αλγόριθμο σαφές και εερασμένο σύνολο ράξεων ή εντολών. Στη ερίτωση αυτή ο αλγόριθμος ονομάζεται διακριτό σύστημα. Το σήμα λέγεται σήμα εισόδου iput sigal ή σήμα διέγερσης citatio sigal του συστήματος και το σύστημα σήμα εξόδου output sigal ή σήμα αόκρισης rspos sigal του συστήματος. Λέμε ακόμη ότι το σήμα μετασχηματίζεται στο σήμα και ονομάζουμε το σύστημα μετασχηματισμό trasformatio του στο. Η γενική μαθηματική έκφραση για ένα σύστημα είναι T[].. όου το σύμβολο Τ συμβολίζει το μετασχηματισμό και συχνά ονομάζεται τελεστής oprator. Το σύστημα λειτουργεί ως μία αεικόνιση των τιμών του σήματος εισόδου στις τιμές του σήματος εξόδου. Η εριγραφή της αεικόνισης μορεί να γίνει ανάλογα με τη φύση της, με χρήση αλγεβρικών αραστάσεων, ινάκων αντιστοίχησης loo up tabls ή εντολών. Ακολούθως αναφέρονται χαρακτηριστικά για τον τρόου ορισμού τους, αραδείγματα συστημάτων. Α αλγεβρικά: [ ] si Β Με ίνακα αντιστοίχησης 7

4 - -.4 Αλλιώς Γ Για με μήκος Ν, το αοτελείται αό τις τιμές του ταξινομημένες σε φθίνουσα σειρά. αλγόριθμος φθίνουσας ταξινόμησης. Ένα σύστημα διαγραμματικά αριστάνεται ως ακολούθως Τ[] ή T... Διασύνδεση συστημάτων Όταν η έξοδος ενός συστήματος αοτελεί είσοδο ενός άλλου το λέμε ότι τα δύο συστήματα είναι συνδεδεμένα σε σειρά.σχ... Τ [] Τ [] z Σχήμα... Όταν οι έξοδοι δύο συστημάτων αθροιστούν τότε λέμε ότι έχουν συνδεθεί αράλληλα Σχ... 8

Τ [] Τ [] Σχήμα...... Μνήμη διακριτού συστήματος Σύστημα χωρίς μνήμη λέγεται το σύστημα ου για κάθε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής, η έξοδός του εξαρτάται μόνο αό την αντίστοιχη τιμή της εισόδου και όχι αό ροηγούμενες ή εόμενες τιμές της. Σε διαφορετική ερίτωση το σύστημα λέγεται σύστημα με μνήμη. Για αράδειγμα το σύστημα ου δίνεται αό τη σχέση... είναι σύστημα χωρίς μνήμη. Αντίθετα τα συστήματα ου δίνονται αό τις σχέσεις... και... είναι συστήματα με μνήμη. Το σύστημα ου εριγράφεται αό τη σχέση... λέμε ότι ααιτεί εερασμένη μνήμη. Αντίθετα το σύστημα ου εριγράφεται αό τη σχέση... λέμε ότι ααιτεί αεριόριστη μνήμη.... Αμεταβλητότητα κατά τη μετατόιση Αμετάβλητο κατά τη μετατόιση σύστημα ΑΚΜ, SI: Shift ivariat λέγεται ένα σύστημα του οοίου η έξοδος εξαρτάται μόνο αό το σήμα εισόδου και όχι αό την χρονική στιγμή ου αυτό εισήλθε στο σύστημα. Δηλαδή, αν η είσοδος καθυστερήσει κατά, τότε η έξοδος θα είναι η καθυστερημένη κατά. Μαθηματικά αυτό εκφράζεται ως ακολούθως. Έστω ότι το σύστημα δίνεται αό τη σχέση 9

T[ ]... η ολισθημένη είσοδος είναι... και η αντίστοιχη έξοδος T[ ] T[ ]... Το σύστημα Τ[.] είναι χρονικά αμετάβλητο κατά τη μετατόιση αν...4 Δηλαδή το σύστημα Τ[.] είναι χρονικά αμετάβλητο κατά τη μετατόιση αν ισχύει η σχέση: T[ ]...5 Η ροηγούμενη σχέση...5 ίσως δημιουργεί στο αναγνώστη την αίσθηση ότι ρέει να αληθεύει άντοτε αφού ροκύτει αό την..., αν θέσει όου την οσότητα -. Αυτό θα ήταν αληθές αν ο τελεστής Τ εριέγραφε μία συνάρτηση με μοναδική ανεξάρτητη μεταβλητή την. Αυτό όμως δεν συμβαίνει στη γενική ερίτωση. Ας δούμε αραδείγματα χρονικά αμετάβλητων ή μεταβαλλόμενων κατά τη μετατόιση συστημάτων. Παράδειγμα Π... Έστω το σύστημα ου δίνεται αό τη σχέση K...6 και εριγράφει ένα ενισχυτή λάτους με κέρδος Κ ου μένει σταθερό κατά τη διάρκεια λειτουργίας του. Για την μετατοισμένη είσοδο...7 η αντίστοιχη έξοδος είναι K K...8 Η [] μετατοισμένη κατά δίνεται αό τη σχέση K...9 Αό τις...8 και...9 ροκύτει ότι T[ ] άρα το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο. Παράδειγμα Π...

Έστω ότι στον ενισχυτή του ροηγούμενου αραδείγματος το κέρδος Κ μεταβάλλεται λόγω δυσλειτουργίας υερθέρμανση σύμφωνα με τη σχέση K. 9. Το σύστημα θα δίνεται αό τη σχέση.9... Για την μετατοισμένη είσοδο... η αντίστοιχη έξοδος είναι.9.9 Η [] μετατοισμένη κατά δίνεται αό τη σχέση.9...... Αό τις... και... ροκύτει ότι T[ ] άρα το σύστημα είναι χρονικά μεταβαλλόμενο. Παράδειγμα Π... Έστω το σύστημα ου δίνεται αό τη σχέση...4 Για την μετατοισμένη είσοδο...5 η αντίστοιχη έξοδος είναι...6 Η [] μετατοισμένη κατά δίνεται αό τη σχέση...7 Αό τις...6 και...7 ροκύτει ότι T[ ] άρα το σύστημα είναι χρονικά μεταβαλλόμενο...4. Γραμμικότητα Ένα σύστημα λέγεται γραμμικό αν για αυτό ισχύουν οι ιδιότητες της ομογένειας και της εαλληλίας. Η αρχή της ομογένειας ισχύει για ένα διακριτό σύστημα όταν ισχύει η ακόλουθη σχέση T[ c ] c T[ ]..4.

όου c είναι γενικά μιγαδική σταθερά Η αρχή της εαλληλίας ισχύει για ένα σύστημα όταν ισχύει η σχέση T ] T[ ] T[ ]..4. [ Η γραμμικότητα ενός συστήματος μορεί να εριγραφεί με μία μαθηματική σχέση ως ακολούθως T [ c c ] c T[ ] c T[ ]..4. Παράδειγμα Π...4. Έστω το σύστημα ου δίνεται αό τη σχέση [ ]..4.4 T [ c ] [ c c ]..4.5 c T[ ] c [ ] [ c c ]..4.6 Αό τις..4.5 και..4.6 έεται ότι το σύστημα έχει την ιδιότητα της ομογένειας. T [ ] [ ]..4.7 T [ ] T[ ] [ ] [ ] [ ]..4.8 Αό τις..4.7 και..4.8 έεται ότι το σύστημα έχει την ιδιότητα της εαλληλίας. Δεδομένου ότι ισχύουν η ομογένεια και η εαλληλία το σύστημα είναι γραμμικό. Παράδειγμα Π...4. Έστω το σύστημα ου δίνεται αό τη σχέση..4.9 T [ c ] c..4. c T[ ] c [ ] c c..4. Αό τις..4. και..4. έεται ότι το σύστημα δεν έχει την ιδιότητα της ομογένειας. T ]..4. [

T ] T[ ]..4. [ Αό τις..4. και..4. έεται ότι το σύστημα δεν έχει την ιδιότητα της εαλληλίας. Δεδομένου ότι δεν ισχύουν η ομογένεια και η εαλληλία το σύστημα είναι δεν γραμμικό. Εύκολα μορεί να δειχθεί ότι ένα σύστημα της μορφής K a..4. όου α σταθερός όρος είναι γραμμικό και αμετάβλητο κατά την μετατόιση. Για αράδειγμα το σύστημα είναι LTI. Γραμμικό και αμετάβλητο κατά την μετατόιση είναι είσης ένα σύστημα ου εριγράφεται αό μια εξίσωση διαφορών της μορφής Λ λ K β λ a..4.4 λ Για αράδειγμα το σύστημα ου ικανοοιεί την σχέση.5 είναι LTI. Εάν στο αριστερό μέρος της..4.4 κρατήσουμε μόνο τον όρο η ακόλουθη σχέση εριγράφει ένα σύστημα LTI K Λ β λ a β λ λ, β λ..4.5 β λ Το σύστημα.5 είναι LTI. Οι σχέσεις..4.4 και...4.5 αοτελούν ένα αναδρομικό τρόο εριγραφής των συστημάτων...5 Αιτιότητα Ένα σύστημα λέγεται αιτιατό αν η τιμή της εξόδου εξαρτάται αό την τιμή του σήματος εισόδου και ενδεχομένως ροηγούμενές της τιμές -, φυσικός αριθμός. Διαφορετικά το σύστημα λέγεται μη αιτιατό ή αντιαιτιατό. Για αράδειγμα το σύστημα [ ] είναι αιτιατό. Αντίθετα το σύστημα [ ] είναι μη αιτιατό. Τα αιτιατά συστήματα καλούνται μη ροβλέψιμα. Όταν η μεταβλητή αφορά τον ραγματικό χρόνο ral tim το

σύστημα είναι μόνο αιτιατό αφού οι τιμές της εισόδου μετά τη τρέχουσα χρονική στιγμή είναι άγνωστες. Εάν όμως η μεταβλητή αφορά τον χώρο θέσεις μνήμης, αύξοντες αριθμούς κ.λ.. είναι δυνατό το σύστημα να είναι αιτιατό ή αντιαιτιατό. Ένα σύστημα εεξεργασίας ηχοσήματος σε ραγματικό χρόνο είναι μόνο αιτιατό. Ένα σύστημα ου αοθηκεύει τις τιμές ενός ηχοσήματος και ακολούθως τις εεξεργάζεται μορεί να είναι αιτιατό ή μη...6. Ευστάθεια φραγμένης εισόδου-φραγμένης εξόδου Ένα σύστημα λέγεται ότι είναι ευσταθές υό την έννοια της φραγμένης εισόδουφραγμένης εξόδου, αν για οοιαδήοτε αολύτως φραγμένο σήμα εισόδου το σήμα εξόδου είναι και αυτό αολύτως φραγμένο. Δηλαδή για οοιοδήοτε A R : A, Z B R : T[ ] B, Z..6. το σύστημα Τ[.] είναι ευσταθές φραγμένης εισόδου-φραγμένης εξόδου...7. Αντιστρέψιμα συστήματα Ένα σύστημα λέγεται αντιστρέψιμο αν μορεί να ροσδιοριστεί μοναδικά το σήμα εισόδου αό το σήμα εξόδου. Για να συμβαίνει αυτό θα ρέει να ισχύει η συνθήκη..7...8. Αόκριση συστήματος σε κρουστική διέγερση, το συνελικτικό άθροισμα Την έξοδο ενός συστήματος όταν είσοδος του είναι η διακριτή κρουστική ώση αοκαλούμε αόκριση σε κρουστική διέγερση και την συμβολίζουμε ως h h T[ δ ]..8. Έστω το γραμμικό ανεξάρτητο κατά την μετατόιση Liar Sift Ivariat: LSI ή αλλιώς Liar Tim Ivariat: LTI σύστημα T. Σύμφωνα με τη σχέση..7. η έξοδος του συστήματος θα είναι - T[ ] T[ δ - ]..8. Εειδή το σύστημα είναι γραμμικό ισχύει η αρχή της εαλληλίας και της ομογένειας και ως εκ τούτου 4

- T[ δ - ] T[ δ - ]..8. - - T[δ - ]..8.4 - h..8.5 Αν το σύστημα είναι ανεξάρτητο κατά την μετατόιση τότε h h..8.6 Αό τις σχέσεις..8.5 και..8.6 συνεάγεται ότι η έξοδος ενός γραμμικού ανεξάρτητο κατά τη μετατόιση συστήματος σε οοιαδήοτε είσοδο, δίνεται αό τη σχέση h..8.7 Η σχέση..8.7 λέγεται και συνελικτικό άθροισμα των ακολουθιών, και h Γενικά, για δύο ακολουθίες, και το συνελικτικό άθροισμα τους συμβολίζεται ή { } και δίνεται αό τη σχέση { }..8.8 Συχνά χρησιμοοιείται η ονομασία συνέλιξη των διακριτών σημάτων εννοώντας το συνελικτικό άθροισμα. Αό τη σχέση..8.7 συμεραίνουμε ότι αν γνωρίζουμε την αόκριση σε κρουστική διέγερση ενός συστήματος LTI, μορούμε να υολογίσουμε την έξοδό του σε οοιαδήοτε είσοδο αό τη σχέση * h.8.8.9 Για το λόγο αυτό λέμε ότι η αόκριση σε κρουστική διέγερση ενός συστήματος LTI το ροσδιορίζει λήρως. Αό την αόκριση σε κρουστική διέγερση ενός LTI συστήματος ελέγχεται η αιτιότητα και η ευστάθειά του. Συγκεκριμένα αφού σε ένα αιτιατό σύστημα η έξοδος δεν εξαρτάται αό τιμές τις εισόδου ου ακολουθούν την τιμή τότε η αόκρισή του σε κρουστική διέγερση είναι ένα σήμα δεξιάς λευράς διότι δεν εξαρτάται αό τιμές δ, >. Ένα σύστημα LTI με αόκριση σε κρουστική διέγερση h είναι ευσταθές ΒΙΒΟ αν ισχύει η συνθήκη h R.8.8. 5

6 Αόδειξη Για κάθε φραγμένο σήμα εισόδου ισχύει ότι Z A R A, :. Αν h η αόκριση σε κρουστική διέγερση ενός LTI συστήματος για την έξοδό του θα ισχύει ότι h A A h h h h.8.8. Άρα για να είναι BIBO ευσταθές το σύστημα ρέει και αρκεί να ισχύει η.8.8....9.ιδιότητες της συνέλιξης διακριτών σημάτων Η συνέλιξη δύο ακολουθιών είναι μια ράξη τελεστής μεταξύ δυο ακολουθιών. Είναι γραμμικός τελεστής και έχει την αντιμεταθετική, ροσαιτεριστική και ειμεριστική ως την ρόσθεση ιδιότητα. Η αντιμεταθετική ιδιότητα..9. Αόδειξη, θέτωντας m-..9. m m m m m m..9. Η ροσεταιριστική ιδιότητα ] * [ ] [ z z..9.4 Η αόδειξη γίνεται με κατάλληλη αντικατάσταση των δεικτών και αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη. Αν δύο συστήματα LTI με αοκρίσεις κρουστικής διέγερσης h και h είναι συνδεδεμένα σε σειρά, η ροσεταιριστική ιδιότητα έχει σαν αοτέλεσμα τα δύο συστήματα να ισοδυναμούν με ένα σύστημα με κρουστική αόκριση h h * h Η ειμεριστική ιδιότητα ως ρος την ρόσθεση

7 ] ] [ z z..9.5 Η αόδειξη αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη. Αν δύο συστήματα LTI με αοκρίσεις κρουστικής διέγερσης h και h είναι συνδεδεμένα αράλληλα, η ειμεριστική ιδιότητα έχει σαν αοτέλεσμα τα δύο συστήματα να ισοδυναμούν με ένα σύστημα με κρουστική αόκριση h h h... Τρόοι υολογισμού της συνέλιξης διακριτών σημάτων Ο υολογισμός της συνέλιξης δύο ακολουθιών ου ορίζονται αλγεβρικά μορεί να γίνει με χρήση ταυτοτήτων ου αφορούν αθροίσματα όρων και όρια σύγκλισης ακολουθιών όως στα ακόλουθα αραδείγματα Να υολογισθεί η συνέλιξη u * u- u u u u u u... u u Να υολογισθεί η συνέλιξη ] [ u u a, a a a a a a a a a a a u u a u u a...... ] [... Αν και σήματα με εερασμένα μήκη Ν και Ν, στα διαστήματα [L, R ] και [L, R ] αντίστοιχα η συνέλιξη τους θα είναι με R L... και R L...4 L R...5 Αό τις σχέσεις... και...4 ροκύτει με ρόσθεση κατά μέλη ότι

και L L R R...6 ma L, R mi R, L...7 Συνεώς το αοτέλεσμα της συνέλιξης των δύο σημάτων θα είναι ένα σήμα με εερασμένο μήκος ΝΝ Ν - στο διάστημα [L L, R R ] και τιμές mi R, L....8 ma L. R Για την εκτέλεση της συνέλιξης σημάτων εερασμένου μήκους ου εριγράφονται αό τις αριθμητικές τιμές τους, οργανώνουμε τους υολογισμούς, γράφοντας αρχικά τα σήματα όως ααιτεί ο ορισμός του συνελικτικού αθροίσματος για κάθε τιμή του στο διάστημα [L L, R R ] και ακολούθως εκτελούμε τις ράξεις. Για αράδειγμα αν [ 4] με L και [ -] με L οι τιμές των μεταβλητών, και των σημάτων και - φαίνονται στoν Πιν..., του οοίου οι γραμμοσκιασμένες εριοχές εριέχουν τις τιμές εκτέλεσης ράξεων για τον υολογισμό της συνέλιξης. Η σκιασμένη εριοχή εριέχει τα γινόμενα με αράγοντες όλους τους συνδυασμούς ανά δύο, των τιμών των δύο σημάτων. Αό αυτές τις τιμές η διαδικασία της ολίσθησης καθορίζει οια γινόμενα θα χρησιμοοιηθούν στο υολογισμό του συνελικτικού αθροίσματος για κάθε τιμή της ακέραιας μεταβλητής Η διαδικασία μορεί να συμτυχθεί όως φαίνεται στον Πιν... -4 - - - 4 5 4 - { * } - -- - - - - - 5 - - - - - - 4 9 4 4- - -4 5 5 5- - 4 - -4 6 6- - 8

7 7- Πίνακας... Πίνακας... 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Περί μετασχηματισμών σημάτων διακριτού χρόνου.. Εισαγωγή Υάρχει ένα λήθος μετασχηματισμών ου χρησιμοοιούνται στην ανάλυση των σημάτων και των συστημάτων. Οι ιο βασικοί είναι, ο μετασχηματισμός Fourir και ο μετασχηματισμός Ζ. Άλλοι μετασχηματισμοί είναι αυτοί του συνημιτόνου του ημιτόνου, ο Sort Τim Fourir Trasform και τα κυμματίδια wavlts. Οι μετασχηματισμοί Fourir, ημιτόνου και συνημιτόνου, είναι μετασχηματισμοί των διακριτών σημάτων σε ορθοκανονικές και ορθομοναδιαίες βάσεις Υάρχει λούσια βιβλιογραφία για τον ορισμό των μετασχηματισμών αυτών και την αυστηρή μαθηματική τους διερεύνηση. Εδώ θα εστιάσουμε στην ερμηνεία τους ώστε να βοηθηθεί ο αναγνώστης να αντιληφθεί γεωμετρικά και αραστατικά την βασική ιδέα αό τις συνήθεις μαθηματικές εκφράσεις τους. Αυτό θα βοηθήσει σημαντικά στην δυνατότητά του να κατανοήσει την χρήση των μετασχηματισμών αυτών σε διάφορα εδία σχεδιασμός φίλτρων, συμίεση καθώς και να ροχωρήσει στην κατανόηση της φύσης ιο σύνθετων μετασχηματισμών όως τα κυμματίδια. Ερμηνεία μετασχηματισμών με διανυσματική ανάλυση. Ας υοθέσουμε λοιόν για λόγους αλότητας και για να έχουμε τη δυνατότητα γεωμετρικής ανααράστασης, το σήμα με εερασμένο μήκος Σχ... και ραγματικές τιμές [], [].

Σφάλμα! u r r θ u r θ u r Σχήμα... Το άνυσμα r με συντεταγμένες, με [], [], γράφεται με την άλγεβρα των ανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του αραλληλογράμμου ως r r r.. u u όου u r και u r ανύσματα κάθετα μεταξύ τους με μήκος τη μονάδα και συντεταγμένες, και, αντίστοιχα στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων ου ορίζουν. Εειδή τα u r και u r είναι κάθετα μεταξύ τους ο κανόνας του αραλληλογράμμου έχει ως αοτέλεσμα οι τιμές και να είναι οι ροβολές του r σ αυτά. Ακόμη, εειδή τα u r και u r έχουν μέτρο τη μονάδα, οι συντεταγμένες, δίνονται αό τις σχέσεις:.. r cosθ και r cosθ Υενθυμίζεται ότι για το εσωτερικό γινόμενο των ανυσμάτων r, και r, ισχύει.. r r cos θ. Εειδή τα u r και u r έχουν μέτρο τη μονάδα μοναδιαία ανύσματα ισχύει:..4 r u r και r u r Ζεύγη κάθετων διανυσμάτων με μήκος μονάδα υάρχουν αείρου λήθους, για αράδειγμα τα:

, και,,, και,,,- με,. u r r c g r c g r g r u r g r u r u r Έστω g r g, g και g r g, g διανύσματα κάθετα μεταξύ τους με μήκος μονάδα έκαστο όως δείχνει το Σχ... Το άνυσμα r γράφεται σαν άθροισμα r r r..5 cg cg όου c και c οι ροβολές του r στα g r και g r. Εειδή τα g r και g r είναι κάθετα μεταξύ τους ο κανόνας του αραλληλογράμμου έχει ως αοτέλεσμα οι τιμές c, c να είναι οι ροβολές του r σ αυτά. Ακόμη, εειδή τα g r και g r έχουν μέτρο τη μονάδα, οι συντεταγμένες c, c δίνονται αό τις σχέσεις:..6 c r g r και c r g r r r r Αντικαθιστώντας το u uαό την. στις.6 r r r r r r r..7 c u u g u g ug g g και αν χρησιμοοιήσουμε την γραφή [] και g g [], g g [] ου χρησιμοοιείται στα σήματα διακριτού χρόνου...8 c Όμοια έχουμε..9 c Σχήμα... []g [] []g []

Για να υολογίσουμε τα [], [] αό τα c, c αντικαθιστούμε αό την σχέση r r r..5 το cg cg στις.4 r u r και r u r οότε r r r r r r r.. cg cg u cg u cgu cg cg και αν χρησιμοοιήσουμε την γραφή [] και g g [], g g [] ου χρησιμοοιείται στα σήματα διακριτού χρόνου.. [] c Όμοια έχουμε.. [] c g [] g []. Ερμηνεία μετασχηματισμών με γραμμική άλγεβρα Η εριγραφή του σήματος με διανυσματική ανααράσταση, γραφή και υολογισμούς, μορεί να γίνει με την χρήση της γραμμικής άλγεβρας ου αοτελεί εξαιρετικό εργαλείο για τα σήματα διακριτού χρόνου, χωρίς των εριορισμό του φυσικού χώρου των ανυσμάτων []..,. u [], u Τα διανύσματα u, u είναι μοναδιαία και κάθετα μεταξύ τους ορθοκανονικά και αοτελούν μία ορθοκανονική βάση. Ισχύουν ροφανώς οι σχέσεις: T T T T.. u u u u και u u u u.. [] και [] u T u T Παρατηρείστε τον συσχετισμό των σχέσεων.4,....4 u [] u [] u u u u T T Παρατηρείστε τον συσχετισμό των σχέσεων..,..4. Τα u και u έχουν τιμές των δ[] και δ[-] αντίστοιχα και ως γνωστόν ισχύει η σχέση..5 [ ] [ ] δ[ - ] δ[] [] δ[ -] [] αρατηρούμε την ομοιότητα των σχέσεων..5,..4 και...

G Αν g [] g[] g, g g [] g[] [ ] g g, θα ισχύουν οι σχέσεις: ζεύγος ορθοκανονικών διανυσμάτων και T T T T..6 g g g g και g g g g οι ροβολές του σ αυτά θα δίνονται ως εσωτερικά γινόμενα αό τις σχέσεις: g T c [ ] g [] g [] g [] [] g [] [] g [] [] []..7..8 [] g T c [ ] g [] g[] g[] [] g[] [] g[] [] [] [] Παρατηρείστε την ομοιότητα των σχέσεων..7 και..8 με τις..6. και ότι καταλήγουν στις..8 και.,9. Γενικά αν..- και..-, θα ισχύει ότι..9 c g [] [] Με βάση τα αραάνω αν c C c, ισχύει ότι T.. C G Το ζητούμενο τώρα είναι να υολογισθεί ο αν είναι γνωστοί οι ίνακες G και C. Αν υάρχει ο ίνακας G - αντίστροφος του G τότε.. G T C Εειδή η βάση είναι ορθοκανονική ισχύουν οι.. αρα g g T T g.. g g g g G G [ g g ].. GG T -..4 G C [] [] T c c T T g g T T g Ι g [] g [] c g [] c g [] c g[] g[] cg[] cg[]..5 [ g g ] c g c g c..6 [] c g [] cg[] c g [] και..7 [] c g [] cg[] c g [] 4

Οι σχέσεις..6 και..7 είναι ίδιες με τις.. και... Στις ρώτες οδηγηθήκαμε αό την.. ενώ στις δεύτερες αό τον κανόνα του αραλληλογράμμου, και στις δύο εριτώσεις όμως βασισθήκαμε στην ορθοκανονικότητα των διανυσμάτων της βάσης. Γενικά αν..- και..-, θα ισχύει..8 [] c g [] δηλαδή ένα ανάτυγμα του [] σε σειρά των g [] Τα αραάνω ισχύουν για οοιεσδήοτε τιμές του Ν και η σχέση..9 c g [] [] υολογίζει τις ροβολές συντελεστές ανατύγματος σειράς του διακριτού σήματος ακολουθίας στο σύστημα συντεταγμένων ου ορίζει ο ίνακας G, ενώ η σχέση..8 [] c g [] δίνει τις τιμές [] του σήματος. Για αράδειγμα για Ν τα ανύσματα g [ ], g [ ], g [ ] 6 6 αοτελούν μία ορθοκανονική βάση και το σήμα [,, ] ροβάλλεται σ αυτά με ροβολές ου δίνουν οι συντελεστές c, /, 6 /. Για,, [] g [] / g [] / g [] 6 Τα ροηγούμενα ορθοκανονικά διανύσματα ροήλθαν θέτοντας Ν στις σχέσεις για..- και,..,ν- Ν..9 g, g cos οότε ροέκυψαν οι τιμές των g, g, g αό τις σχέσεις c c 5

.. g cos, g cos 6 g.4 Ο διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT: Discrt Cosi Trasform για..- και Ν H σχέση..9 g, g cos,..,ν- είναι ένας υρήνας rl δημιουργίας ορθοκανονικών διανυσμάτων για κάθε τιμή του Ν. Γενικά αν τα g δίνονται αό την.9 οι συντελεστές c για ένα διακριτό σήμα [] δηλαδή οι ροβολές του στα g ροκύτουν με αντικατάσταση των g αό την..9 στη..9 αό τη σχέση:.4. c [], c cos [] για..- Ν Η σχέση.4. αοτελεί τον μονοδιάστατο διακριτό μετασχηματισμό συνημιτόνου D-DCT: Discrt Cosi Trasform. Οι τιμές [] δηλαδή το ροκύτουν με αντικατάσταση των g αό τις..9 στη..8 σύμφωνα με τη σχέση.4. c [] c Ν cos Η σχέση.4. αοτελεί τον αντίστροφο διακριτό μετασχηματισμό του συνημιτόνου. Στο Σχ..4. δείχνονται τα ανύσματα βάσης του DCT για Ν8. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Για αράδειγμα για Ν τα ανύσματα g [ ], g [ ], g [ ] 6 6 ροήλθαν αό τις σχέσεις g για..- και,..,ν- Ν, g cos 6

αοτελούν μία ορθοκανονική βάση και το σήμα [,, ] Τ ροβάλλεται σ αυτά με ροβολές ου δίνουν οι συντελεστές c, /, 6 /. Για,, [] g [] / g [] / g [] 6 c c Για [,,, -] Τ η τιμή Ν4 και για,,, τα ανύσματα βάσης είναι: g [] Ή g [.5,.5,.5,.5] T g [] cos Ν Ή g [.65,.7, -.7, -.65] T g cos Ή g [.5, -.5,.5, -.5] T g cos Ή g [.7, -.65..65, -.7] T Οι συντελεστές c είναι τα στοιχεία του ίνακα.5.65 C G T.5.7.5.5.7.7.5.5.65.65.5.65.5.7.5.58.5. οι συντελεστές c ροκύτουν όμοια και αό τις.. Το σήμα ανακτάται αό τις σχέσεις.. ή αό τον ίνακα.5.5 G C.5.5.65.7..7.65.5.5.5.5.7.5.65.58.65.5.7. Στο Σχ..4. δείχνονται τα ανύσματα βάσης του DCT για Ν4, οι συντελεστές c του DCT του σήματος [,,, -] και η ανάλυση του στις τέσσερις συνιστώσες c g. Κάθε τιμή του [] είναι [],5g [],58g []-,5g []-,g [].. 7

Σχήμα.4. 8

[,,, ] g [],5g [] g [],58g [] g [] -,5g [] - g [],g [] Σχήμα.4.. 9

.4. Ο δισδιάστατος Δ διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου D-DCT: Discrt Cosi Trasform Για διακριτά σήματα δύο διαστάσεων με μήκη Ν, Ν τα ανύσματα βάσης για,.., -,,.., -,,.., -,,.., - είναι:.4.. g, g g.. g, g g.χ. g,, g, cos, g, cos cos Για ένα δισδιάστατο διακριτό σήμα [, ] με μήκη Ν, Ν, οι ροβολές του στα αραάνω ορθοκανονικά ανύσματα βάσης είναι:.4.. c [, ] c c c [, [, [, ] cos ] cos ] cos cos για,. Οι αραάνω σχέσεις αοτελούν τον δισδιάστατο Δ διακριτό μετασχηματισμό συνημιτόνου D-DCT: Discrt Cosi Trasform. Το σήμα [, ] ανακτάται σύμφωνα με τη σχέση:.4.. [, ] c g [, ] 4

ου είναι ο αντίστροφος δισδιάστατος Δ διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου. Μετασχηματισμοί των οοίων η βάση ικανοοιεί την.4.. λέγονται διαχωρίσιμοι και οι υολογισμοί τους μορούν να αναχθούν σε υολογισμούς των μονοδιάστατων εκφράσεών τους..5 Ερμηνεία και υολογισμοί μετασχηματισμών μιγαδικών σημάτων διακριτού χρόνου. Ας εξετάσουμε τώρα αν τα αραάνω μορούν να εφαρμοσθούν και σε μιγαδικά διακριτά σήματα εερασμένου μήκους. Η διανυσματική εριγραφή τέτοιων σημάτων γίνεται με ίνακες στήλης ου τα στοιχεία τους είναι μιγαδικοί αριθμοί. Οι σχέσεις ου καταλήξαμε στην ερίτωση των ραγματικών σημάτων εερασμένου μήκους Ν R είναι αοτέλεσμα του γεγονότος ότι αναλύσαμε το σήμα σε μία βάση ορθοκανονικών διανυσμάτων, διανυσμάτων δηλαδή ου έχουν μέτρο ίσο με την μονάδα και είναι μεταξύ τους κάθετα. Προς τούτο χρησιμοοιήσαμε σχέσεις. την ράξη Τ για, R. Αν όμως εκφράσουμε τον μιγάδα ου έχει μέτρο σε διανυσματική μορφή, η ράξη [ ] και όχι όως θα έρεε. Εειδή για το μέτρο ενός μιγάδα zab ισχύει ότι z a b z z, η ράξη T a b a, με δίνει το ειθυμητό αοτέλεσμα. Το ίδιο ισχύει και με τον b υολογισμό της ροβολής του διανύσματος ενός μιγάδα στο διάνυσμα ενός άλλου. Εάν τελικά για ένα μιγαδικό διάνυσμα με Ν μιγαδικές τιμές C ορίσουμε ως τετράγωνο του μέτρου την οσότητα T εξασφαλίζουμε ότι αυτή είναι ραγματικός αριθμός. Δύο μιγαδικά διανύσματα ίνακες στήλης g, g λέγονται ορθομοναδιαία αν T T T T.5. g g g g και g g g g Στη γραμμική άλγεβρα ο συζυγής ενός μιγαδικού ίνακα Α, γράφεται A και αοτελείται αό τα συζυγή στοιχεία του Α. Ο ανάστροφος του συζυγούς του Α, δηλαδή ο A T, λέγεται αναστροφοσυζυγής του Α ή Α Ερμιτιανός και γράφεται Α Η. Συνεώς η 4. γράφεται H H H H.5. g g g g και g g g g 4

Αν.5. G[g, g,, g - ] ίνακας ορθομοναδιαίων διανυσμάτων τότε ο.5.4 G H H g H g M H g.5.5 G H GI άρα.5.6 G H G - και ισχύει ότι Ακριβώς όως και στην ερίτωση των ορθοκανονικών βάσεων ένα μιγαδικό διάνυσμα C μορεί να ροβληθεί σε ορθομοναδιαία μιγαδικά διανύσματα g C,,..,- με μιγαδικές εν γένει ροβολές c c C. Με βάση τους αραάνω όρισμούς και ράξεις όως αυτές ου ακολουθήσαμε στην ερίτωση των ραγματικών διανυσμάτων ισχύουν οι σχέσεις: g H.5.7 c c.5.8 C c H G M c και GC λόγω της.5.6.5.9 c g [] [].5. [] c g [], δηλαδή ένα ανάτυγμα του [] σε σειρά των g [] Ο ερμιτιανός ενός ίνακα ραγματικών αριθμών είναι ο ανάστροφος του, συνεώς οι σχέσεις ου καταλήξαμε για τα ραγματικά διανύσματα είναι ειδικές εριτώσεις των σχέσεων ου ισχύουν για τα μιγαδικά. 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο μετασχηματισμός Fourir 4. Εισαγωγή. Όως ροαναφέρθηκε ο μετασχηματισμός Fourir είναι θεμελιώδους σημασίας στην ανάλυση των σημάτων και των συστημάτων συνεχούς ή διακριτής ανεξάρτητης μεταβλητής. Μέσω αυτού εριοδικές συναρτήσεις και ακολουθίες αναλύονται σε αθροίσματα όρων ου καθένας τους εκφράζει μία αρμονική ταλάντωση. Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε στο διακριτό μετασχηματισμό Fourir Discrt Fourir Trasform, DFT, την διακριτή σειρά Fourir Discrt Fourir Siris, DFS, τον μετασχηματισμό Fourir διακριτού χρόνου Discrt Tim Fourir Trasform, DTFT και τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourir. Οι ορισμοί, οι ιδιότητες, οι μεταξύ τους σχέσεις και σχέσεις του με τα συνελικτικά αθροίσματα αοτελούν ροϋόθεση για την κατανόηση της χρήσης του στην ανάλυση των σημάτων και των συστημάτων. 4. Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir- σημείων. Ένας υρήνας αραγωγής ορθομοναδιαίων διανυσμάτων είναι ο τύος 4.. g [] W όου W Η βάση είναι ορθομοναδιαία διότι ισχύουν οι σχέσεις.5. όως δείχνεται ακολούθως m H 4.. g g m m H 4.. g m g για m m 4

Αό τις.5.9 και.5. ροκύτουν οι συντελεστές και το ανάτυγμα σε σειρά ενός εερασμένου μήκους Ν σήματος [] 4..4 c 4..5 [] c H σχέση 4..4 αοτελεί τον μοναδιαίο uitar διακριτό μετασχηματισμό Fourir Discrt Tim Fourir Trasform ή DFT -σημείων και η 4..5 την αντίστοιχη σειρά. Αν θέσουμε C c στις αραάνω σχέσεις ροκύτουν οι σχέσεις 4..6 C [ ] ή X [ ] 4..7 [ ] C ή [ ] X Όου αντί των του συμβολισμού C χρησιμοοιείται ο X. H σχέση 4..6 αοτελεί τον διακριτό μετασχηματισμό Fourir Discrt Fourir Trasform ή DFT -σημείων και η 4..7 την διακριτή σειρά Fourir Discrt Fourir Sris ενός διακριτού σήματος. 44

45 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: Για το σήμα [,,],,,,,,,, τα ορθομοναδιαία διανύσματα βάσης είναι: w 4 si 4 cos si cos w 8 si 8 cos 4 si 4 cos w [ ],,,,, w w w W,,,,, H W Οι τιμές c του DFT είναι τα στοιχεία του ίνακα 6,,,,, H W C

Οι τιμές του σήματος ανακτούνται αό τις τιμές c του DFT στο ίνακα, W C,,,, 6 Ν Ν Εειδή και m Ν Ν αν m-, oι ίνακες W και W H είναι συμμετρικοί ως ρος την διαγώνιο και το στοιχείο μιας γραμμής ισούται με το συζυγές του Ν- στοιχείου της ίδιας γραμμής όταν αυτό υάρχει και ως εκ τούτου οι υολογισμοί ειταχύνονται. 4. Ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου Η οσότητα ω,..-, ονομάζεται κυκλική συχνότητα και αίρνει Ν Ν διακριτές τιμές αό έως Ν-/Ν. Για σήματα μη εερασμένου μήκους το και η μεταβλητή ω αντικαθίσταται αό την μεταβλητή ω [,]. Ο Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου Discrt Tim Fourir Trasform ή DTFT ορίζεται αό τη σχέση: ~ ω ω 4.. ω Χ [ ] Για να υολογιστούν οι τιμές [] αό την 4.. ενεργούμε ως ακολούθως: Πολλαλασιάζουμε και τα δύο μέλη της 45 με ωm ω ωm 4.. ω Χ [ ] ωm ω ωm ω 4.. Χ [] ωμ ωm [] ολοκληρώνουμε ως ρος ω αό - έως τα μέλη της ισότητας 4.. ωm ω ωm 4..4 Χ dω []dω [] αν m - ωm 4..5 dω dω dω - - - - ωm dω 46

αν m 4..6 - ωm dω cosm - ωm m - m sim - m - m - cos-m - m - si-m - m - άρα η 4..4 γίνεται - ω ω 4..7 Χ dω [] ω ω 4..8 [ ] Χ dω - Η σχέση αυτή αοτελεί τον Aντίστροφο Mετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου. Για να ορίζεται ο DTFT ενός σήματος είναι ροφανές ότι ρέει το [] να συγκλίνει. Αυτό δεν συμβαίνει για σήματα μη εερασμένου μήκους ου είναι εριοδικά και ως εκ τούτου δεν υάρχει γι αυτά DTFT. Αν ~ [] εριοδικό διακριτό σήμα με ρωτεύουσα ερίοδο Ν ισχύει ότι 4..9 ~ [] ~ [ λ] Αν [] εερασμένου μήκους σήμα, 4.. [] ~ []u[] u[ ] τότε 4.. ~ [] [ mod ] όου mod το υόλοιο της διαίρεσης του με το. Ισχύει ροφανώς ότι 4.. λ mod και mod - όου λ το ηλίκο της διαίρεσης του με το Ν. Για το [] ου είναι εερασμένου μήκους υάρχει ο DFT και η DFS ου δίνονται αό τις σχέσεις 4..6 και 4..7 Εειδή [] ~ [] για,..,- η 4..6 γράφεται 4.. C X ~ [ ] και αοτελεί την διακριτή σειρά Fourir DFS του ~ []. Αό τις 4.. και 4..7 ροκύτει ότι 47

48 λν λν mod C C C [ mod ] ~ [] 4..4 ] ~ [ C ή ] ~ [ X ου αοτελεί τον διακριτό μετασχηματισμό Fourir DFT του ] [ ~. Άρα για τα εριοδικά διακριτά σήματα χρησιμοοιούμε τον διακριτό μετασχηματισμό Fourir DFT και την διακριτή σειρά Fourir DFS. Σύμφωνα με τα αραάνω για ένα διακριτό σήμα εερασμένου μήκους Ν ορίζεται και υάρχει ο FT και ο DFT-Ν δειγμάτων σύμφωνα με τις σχέσεις X ω ω ω, ], ω X Αό τις οοίες ροκύτει ότι 4..5 X X ω ω,,,- Δηλαδή ο DFT-Ν σημείων του, ροκύτει αό την δειγματοληψία της κυκλικής συχνότητας ω του FT του με δείγματα ου αέχουν διαδοχικά μεταξύ τους αόσταση /Ν. Αν αυξήσουμε το μήκος Ν ροσθέτοντας μηδενικές τιμές στο τέλος του, ο FT δεν θα αλλάξει θα αυξηθεί όμως το λήθος των δειγμάτων του DFT-Ν σημείων Σχ.4...

Σχήμα 4... Διάγραμμα λάτους του FT{cos/8} και οι DFT-Ν σημείων για Ν8 και Ν6 49

4.. Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου. Αό μαθηματικής αόψεως υάρχουν ιδιότητες του FT ου βοηθούν στον υολογισμό αυτού και του αντιστρόφου του καθώς και στην ερεταίρω διαδικασία ανάλυσης των σημάτων και των συστημάτων. Περιοδικότητα Ο DTFT είναι εριοδικός ως ρος ω με ερίοδο. Ισχύει δηλαδή η σχέση ω ω 4.. X X Συμμετρία Ο DTFD αρουσιάζει κάοια είδη συμμετρίας ανάλογα με το διακριτό σήμα. Τα είδη αυτά συμμετρίας αναγράφονται στο ακόλουθο ίνακα 4... ω X Πραγματική και άρτια Πραγματική και εριττή Φανταστική και άρτια Φανταστική και εριττή Πραγματική και άρτια Φανταστική και εριττή Φανταστική και άρτια Πραγματική και άρτια Πίνακας 4... Γραμμικότητα DTFT 4... ω a b a X b X ω Ιδιότητα της Μετατόισης DTFT ω ω 4... X Αντιστροφή στο χρόνο DTFT ω 4...4 X 5

Διαμόρφωση DTFT ω ωω 4...5 X ωω 4...6 ω X cos DTFT ω ω X Το Θεώρημα της Συνέλιξης DTFT ω ω 4...7 h H X Το Θεώρημα του Πολλαλασιασμού DTFT θ ωθ 4...8 X Y dϑ Το Θεώρημα του Parsval ω 4...9 X dω Οι αραάνω ιδιότητες αναγράφονται συνοτικά στον ίνακα 4... Ιδιότητα Ακολουθία Γραμμικότητα a b Μετατόιση στο χρόνο Αντιστροφή στο χρόνο Διαμόρφωση Συνέλιξη στο χρόνο Μιγαδική συζυγία Μετασχηματισμός FOURIER διακριτού χρόνου ω a X b Y ω ω ω X ω X ω ωω ω ω X Y ω X X 5

Παραγώγιση Πολλαλασιασμός στο χρόνο Πϊνακας 4... ω dx dω iϑ ωθ X Y dϑ Παράδειγμα 4.. Ο DTFT της ακολουθίας a u a είναι X < ω ω ω a a Με χρήση γεωμετρικών ροόδων, το άθροισμα αυτό είναι ω ω X a Με την ροϋόθεση ότι α <. Παρόμοια, για την ακολουθία a u a > ο DTFT είναι X ω ω a ω Αλλάζοντας τα όρια του αθροίσματος, έχουμε Αν είναι α >, το άθροισμα είναι X ω ω ω a a X ω ω ω a a a u και a u Εομένως, οι ακολουθίες DTFT, έχουν τον ίδιο Στο ίνακα 4... αρουσιάζεται ο DTFT μερικών βασικών ακολουθιών Ακολουθία Μετασχηματισμός FOURIER διακριτού χρόνου δ 5

ω δ δ ω a a ω δ ω u, a < u, a > a u, a < cos ω ω a a ω ω ω a δ ω ω δ ω ω Πίνακας 4... 5

4.4 Σχέση της συνέλιξης με το μετασχηματισμό και τον διακριτό μετασχηματισμό Fourir Αν ~ και ~ εριοδικές ακολουθίες με ίδια ρωτεύουσα ερίοδο Ν, η εριοδική συνέλιξη τους γράφεται και ορίζεται σύμφωνα με την ακόλουθη σχέση: 4.4. { ~ ~ } ή ~ ~ ~ ~ Μορούμε να γράψουμε ακόμη ότι 4.4. ~ mod4, ~ mod4, με 4.4. ~ [ u u ], ~ ~ [ u u ], σήματα εερασμένου μήκους Ν. Αό τις 4.4. και 4.4. ροκύτει ότι 4.4.4 ~ ~ ~ ~ mod Δεξιό μέρος της 4.4.4 ονομάζεται κυκλική συνέλιξη δύο σημάτων εερασμένου μήκους Ν και γράφεται 4.4.5 Αριθμητικά η εριοδική συνέλιξη αράδειγμα Έστω με ρωτεύουσα ερίοδο Ν4 mod { ~ ~ } υολογίζεται όως φαίνεται στο ακόλουθο -4 - - - ~ 4 4 ~ 4 4 K - 4 - - - ~ 4 4 ~ 4 4 { ~ ~ } ~ 4 4 { ~ ~ } 4 4 54

~ 4 4 { ~ ~ } 4 4 ~ 4 4 { ~ ~ } 4 4 5 ~ 4 4 { ~ ~ } 4 4 5 Στη γραμμοσκιασμένη εριοχή του ίνακα φαίνονται οι τιμές ου χρησιμοοιούνται για τον υολογισμό της κυκλικής συνέλιξης και της εριοδικής συνέλιξης ~ ~. Η γραμμική συνέλιξη και ο DTFT δύο σημάτων συνδέονται με την σχέση: ω ω 4.4.6 X Y FT ω ω όου X, Y οι μετασχηματισμοί Fourir των και Αόδειξη ω ω m ω ω ω ω ω ω ω X Y Η εριοδική συνέλιξη και ο DFT δύο εριοδικών σημάτων συνδέονται με την σχέση: 4.4.7 ~ ~ DFT ~ ~ X Y ~ ~ όου X, Y οι διακριτοί μετασχηματισμοί DFΤ των ~ και ~ 55

56 Αόδειξη ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Y X l X l l X l l X l l X l X m m m m m m m m l l l m l l m l l m l l l l m l l m l l m m l m m l m m m m m m m m m DFT Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Η κυκλική συνέλιξη και ο DFT δύο σημάτων εερασμένου μήκους Ν συνδέονται με την σχέση: 4.4.8 Y X DFT όου, Y X οι διακριτοί μετασχηματισμοί DFΤ-Ν δειγμάτων των και. Η σχέση αυτή ροκύτει αό τις 4.4. και 4.4.5 Έστω σήμα εερασμένου μήκους Ν με DFT X και σήμα εερασμένου μήκους Ν. Προσθέτοντας στο τέλος του λήθος Ν - μηδενικών τιμών και στο λήθος Ν - μηδενικών τιμών ροκύτουν δύο νέα σήματα p και p εερασμένου μήκους Ν Ν -. H διαδικασία αυτή ονομάζεται zro paddig. Εύκολα μορούμε να δούμε με κάοιο τυχαίο αράδειγμα αλλά και να αοδείξουμε ότι γενικά: 4.4.9 p p Για αράδειγμα αν [ 4 - [ ], τότε p [ 4 - ], p [ ]. 4 - * 4 - p p 7 7

- - - - Με βάση τα αραάνω, αν X p και Υ p οι DFT των p και p αντίστοιχα θα ισχύει ότι: 4.4. p p X Y DFT DFT 4.4. X Y p p p p 57

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ανάλυση σημάτων και συστημάτων με τον μετασχηματισμό Fourir 5. Εισαγωγή Ο μετασχηματισμός Fourir DTFT και DFT είναι σημαντικότατος για την ανάλυση των σημάτων και των συστημάτων. Οι συχνότητες των αρμονικών ταλαντώσεων συχνοτικό εριεχόμενο ου ενυάρχουν σε ένα σήμα ευρίσκονται μέσω του FT. H είδραση ενός συστήματος στο συχνοτικό εριεχόμενο του σήματος εισόδου, αναλύεται είσης μέσω του FT και ροσδιορίζεται το συχνοτικό εριεχόμενο του σήματος εξόδου. Ο σχεδιασμός συστημάτων φίλτρα με ειθυμητή είδραση βασίζεται στον FT. 5. Αόκριση συχνότητας Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα γραμμικό ανεξάρτητο αό τη μετατόιση με αόκριση κρουστικής διέγερσης h. Η έξοδος του για οοιοδήοτε είσοδο θα είναι *h Σύμφωνα με το θεώρημα της συνέλιξης ισχύει ότι h DTFT ω ω H X όου Η ω DTFT{ h}. H Η ω ονομάζεται αόκριση συχνότητας του συστήματος και καθορίζει την είδραση του συστήματος στο DTFT του σήματος εισόδου. Με άλλα λόγια η αόκριση συχνότητας καθορίζει την είδραση του συστήματος στο συχνοτικό εριεχόμενο του σήματος εισόδου. Η Η ω αίρνει 58

59 μιγαδικές τιμές και ως εκ τούτου μορεί να γραφεί με το λάτος Η ω και τη φάση της φω σύμφωνα με τη σχέση Η ω Η ω φω Η μελέτη της αόκρισης συχνότητας αφορά τον υολογισμό και τη γραφική αράσταση του λάτους και της φάση της. Συχνά μελετάται και καθυστέρηση ομάδας group dla τω ου ορίζεται ως ω ω τ ω τ d d Όταν η φάση φω είναι μια γραμμική συνάρτηση του ω, το σύστημα λέγεται σύστημα γραμμικής φάσης. Παράδειγμα 5.. Έστω το σύστημα.5 -.5, να υολογισθούν το λάτος και φάση της αόκρισης συχνότητας και να γίνουν οι γραφικές τους αραστάσεις. ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ h δ δ δ ω ω ω ω ω H ω ω ω ω ω cos si cos si cos ω ω cos H Η γραφική αράσταση του λάτους Η w της αόκρισης συχνότητας

Το σύστημα είναι ένα κατωδιαβατό ή χαμηλοερατό φίλτρο. Παράδειγμα 5.. Έστω το σύστημα.5 -.5 -, να υολογισθούν το λάτος και φάση της αόκρισης συχνότητας και να γίνουν οι γραφικές τους αραστάσεις. h[ ] δ [ ] δ[ ] ω ω ω ω ω ω ω ω cos H cos ω ω H, φ ω ω, dφ τ ω dω Στο ακόλουθο σχήμα φαίνονται τα διαγράμματα λάτους και φάσης της αόκρισης συχνότητας του συστήματος. cos ω ω H φ ω ω Το σύστημα είναι γραμμικής φάσης. Η αράγωγος του είναι σταθερός αριθμός συνεώς η καθυστέρηση ομάδας ου δείχνει την καθυστέρηση σε λήθος δειγμάτων ου υφίσταται το σήμα εισόδου αό το σύστημα είναι η ίδια για κάθε τιμή του ω. Παράδειγμα 5.. Θεωρούμε το LTI σύστημα με κρουστική αόκριση h a u όου α, ένας ραγματικός αριθμός με α <. Η αόκριση συχνότητας είναι 6

6 ω ω ω ω ω a a a h H Το τετράγωνο του λάτους της αόκρισης συχνότητας είναι ω ω ω ω ω ω cos a a a a H H H και η φάση είναι ω ω ω ϕ ω ω cos si ta ta a a H H R I Τέλος, η καθυστέρηση ομάδας υολογίζεται αραγωγίζοντας την συνάρτηση της φάσης. Το αοτέλεσμα είναι ω ω ω τ cos cos a a a a 5.. Φίλτρα ειλογής συχνοτήτων Ανάλογα με την μεταβολή του λάτους της αόκρισης συχνότητας σε σχέση με την συχνότητα τα συστήματα διακρίνονται στις ακόλουθες κατηγορίες: Χαμηλοερατά Low pass: Το λάτος έχει μεγάλες τιμές για χαμηλές τιμές της συχνότητας και μικρές τιμές για υψηλές τιμές της συχνότητας. Στην ιδανική ερίτωση το λάτος της αόκρισης συχνότητας μεταβάλλεται όως στο Σχ.5.. Σχήμα 5..: Ιδανικό Χαμηλοερατό Φίλτρο Low-Pass - ω c -ω c ω H ω

Υψηερατά High pass: Το λάτος έχει μεγάλες τιμές για υψηλές τιμές της συχνότητας και μικρές τιμές για χαμηλές τιμές της συχνότητας. Στην ιδανική ερίτωση το λάτος της αόκρισης συχνότητας μεταβάλλεται όως στο Σχ.5... H ω - -ω c ω c ω Σχήμα 5..: Ιδανικό Υψηερατό Φίλτρο High-Pass Ζωνοερατά Bad pass: Το λάτος έχει μεγάλες τιμές σε μία ζώνη τιμών της συχνότητας και μικρές τιμές εκτός της ζώνης αυτής. Στην ιδανική ερίτωση το λάτος της αόκρισης συχνότητας μεταβάλλεται όως στο Σχ.5... H ω - -ω -ω ω ω ω Σχήμα 5..: Ιδανικό Ζωνοερατό Φίλτρο Bad-Pass Ζωνοφρακτικά Bad stop: Το λάτος έχει μικρές τιμές σε μία ζώνη τιμών της συχνότητας και μεγάλες τιμές εκτός της ζώνης αυτής. Στην ιδανική ερίτωση το λάτος της αόκρισης συχνότητας μεταβάλλεται όως στο Σχ.5..4. H ω - - -ω -ω ω ω ω 6

Σχήμα 5..4: Ιδανικό Ζωνοφρακτικό Φίλτρο Bad-Stop 5. Ανάλυση της δειγματοληψίας Ο μετασχηματισμός Fourir και η εριοδικότητα των ημιτονοειδών διακριτών σημάτων οδηγούν σε σημαντικά συμεράσματα για την δειγματοληψία των αναλογικών σημάτων. Θα ξεκινήσουμε την αρουσίαση της ανάλυσης της δειγματοληψίας με αρουσίαση των χαρακτηριστικών των ημιτονοειδών διακριτών σημάτων. Ένα διακριτό ημιτονοειδές σήμα είναι της μορφής A cos ω θ 5.. όου Α το λάτος, θ η φάση και ω η κυκλική συχνότητά του. Εειδή η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ένα ακέραιος αριθμός ου ααριθμεί τις διαδοχικές τιμές των δειγμάτων η κυκλική συχνότητα μετριέται σε ακτίνια ανά δείγμα radias pr sampl. Η κυκλική συχνότητα στα ημιτονοειδή σήματα συνεχούς μεταβλητής μετριέται σε ακτίνια ανά δευτερόλετο εειδή αρχικά τα σήματα αυτά αφορούσαν αρμονικές ταλαντώσεις όου η συνεχής μεταβλητή είναι ο χρόνος. Αντίστοιχα η οσότητα f ου ικανοοιεί τη σχέση ω f, 5.. ω f 5.. αοτελεί την συχνότητα του διακριτού ημιτονοειδούς σήματος και μετριέται σε κύκλους ανά δείγμα circls pr sampl. Αό τις σχέσεις 5.. και 5.. ροκύτει ότι A cos f θ 5..4 Τα ημιτονοειδή σήματα a tα cosω tθ συνεχούς χρόνου με κυκλική συχνότητα Ω rad/sc είναι εριοδικά με ερίοδο Τ/Ω sc, συχνότητα F/T sc - ή Hz. Το ερώτημα είναι αν και ότε τα διακριτά ημιτονοειδή σήματα είναι εριοδικά.. Προς τούτο αν Ν η ρωτεύουσα ερίοδος ρέει να ισχύουν οι ακόλουθος σχέσεις: 5..5 A cos f θ, ακέραιος 5..6 A cos f θ A cos f θ f 5..7 Άρα η εριοδικότητα εξασφαλίζεται αν 6