ΑΝΑΠΤΥΓΜA ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΑΝΑΠΤΥΓΜA ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

2 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ - ΣΕΙRA FOURIER Τα εριοδικά σήματα διακριτού χρόνου αριστάνονται με εερασμένα αθροίσματα. ( j a εξίσωση σύνθεσης a j ( εξίσωση ανάλυσης

3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ j ( Ω X( Ω dω εξίσωση σύνθεσης Ω X ( Ω ( j εξίσωση ανάλυσης X ( Ω X( ω Ο είναι εριοδικός ενώ ο όχι. Έτσι το ολοκλήρωμα στην εξίσωση σύνθεσης έχει εερασμένο διάστημα ολοκλήρωσης.

4 Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir είναι εριοδικός ως ρος Ω με ερίοδο, δηλαδή X ( Ω X ( Ω+ Συμέρασμα: Χρειάζεται μόνο μια ερίοδο του [, ] [ ] X ( Ω δηλαδή Ω. ή Ω, για ανάλυση και όχι ολόκληρο το εδίο < Ω < Για ραγματικό σήμα ( (. X Ω είναι συζυγής συμμετρικός, δηλαδή: X ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir ( Ω X ( Ω ( Συμέρασμα: Στη γραφική αράσταση του X Ω μελετάμε μόνο μισή ερίοδο του X ( Ω. Συνήθως ειλέγουμε Ω [, ]

5 Να υολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourir του διακριτού αιτιατού εκθετικού σήματος ( a u ( a < a C Αάντηση X ( Ω a j Ω < a < a X ( Ω < a < + a X ( Ω a Ω a - - Ω

6 Παράδειγμα: Να υολογιστεί, με τη βοήθεια του ATLAB, ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir του σήματος: ( ( ( σε 5 ισαέχοντα σημεία στο διάστημα ραγματικό και το φανταστικό του μέρος. 5, [, ] u και να σχεδιάσετε το μέτρο τη γωνία το Λύση: Γνωρίζουμε ότι ο μετασχηματισμός Fourir του σήματος είναι: X ( Ω 5. j Ω

7 w [::5]*pi/5; % [, pi] άξονας διαιρείται σε 5 σημεία. X p(j*w./ (p(j*w -.5*os(,5; magx abs(x; % Υολογίζεται το μέτρο του μετασχηματισμού. agx agl(x; % Υολογίζεται η φάση ralx ral(x; % Υολογίζεται το ραγματικό μέρος imagx imag(x; % Υολογίζεται το φανταστικό μέρος % Η γραφική αράσταση του Μέτρου subplot(,,; plot(w/pi,magx; grid labl('η συχνότητα σε μονάδες '; titl('το μέτρο'; ylabl('μέτρο' % Η γραφική αράσταση της Φάσης subplot(,,3; plot(w/pi,agx; grid labl(' Η συχνότητα σε μονάδες '; titl( Φάση '; ylabl( Rads ' ylabl( Μέτρο '

8 Το μέτρο Το ραγματικό μέρος.5.5 Μέτρο Μέτρο Rads.5.5 Η συχνότητα σε μονάδες Φάση Η συχνότητα σε μονάδες Μέτρο.5.5 Η συχνότητα σε μονάδες Φανταστικό μέρος Η συχνότητα σε μονάδες

9 Οι χαμηλές συχνότητες αντιστοιχούν με διαστήματα γύρω αό τη θέση θέσεις Ω Ω±, ή λόγω της εριοδικότητας γύρω αό τις. Οι υψηλές συχνότητες τοοθετούνται κοντά Ω± Ω± ( + σε εριοχές όου, ή. ( X ( Ω 3 3 Ω ( X ( Ω 3 3 Ω

10 Να υολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourir του τετραγωνικού αλμού:, (, > L ( L Αάντηση X( Ω X( Ω si[ Ω( Ν+ ] si[ Ω( ] + + Ω

11 Σήμα είναι εερασμένης έκτασης. ( Ας υοθέσουμε ότι η ακολουθία έχει Ν δείγματα μεταξύ των τιμών. και θέλουμε να υολογίσουμε τις τιμές του μετασχηματισμού Fourir του σήματος στις συχνότητες: Ωκ, K,,, Μ οι οοίες είναι ( Μ + ισαέχουσες συχνότητες στο διάστημα [, ]

12 Αν εφαρμόσουμε τη αραάνω σχέση για έχουμε,k,, ( ( ( ( j j j X + + Ω K ( ( ( ( X + + K ( ( ( ( j j j X + + Ω K ( ( ( ( j j j X + + Ω K O + + ( ( X l l j l,,,, K Ω Ο μετασχηματισμός Fourir μορεί να γραφεί

13 ή με τη μορφή ινάκων ( ( Ω ( X X X Ω X Ω ( K K O j j j j j j j j j ( ( ( 3 ( Αν θέσουμε w j ( ( Ω ( X X X Ω X Ω ( έχουμε K w w K w w w K w O w w K w ( ( ( 3 ( Τελικά X W

14 Η τελευταία σχέση ραγματοοιείται με τη βοήθεια του ATLAB χρησιμοοιόντας γινόμενο ίνακα εί διάνυσμα, ράγματι: >> [ : ] ; >> [ : ] ; >> X * ( p (-j * pi /. ^ ( * ; Παράδειγμα: Να υολογιστεί, με τη βοήθεια του ATLAB, ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir του σήματος: ή ( ( ( ( (,, 3, 4, 3 5 ( σε 5 ισαέχοντα σημεία στο διάστημα {, 345,,, } [, ] φάση το ραγματικό και το φανταστικό του μέρος. και να σχεδιάσετε το μέτρο τη

15 % Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir ακολουθίας εερασμένης διάρκειας. -:3; :5; % Η ακολουθία ( :5; w (pi/5*; % [, pi] άξονας διαιρείται σε 5 σημεία. X * (p(-j*pi/5.^ ('*; magx abs(x; agx agl(x; ralx ral(x; imagximag(x; % Η γραφική αράσταση του Μέτρου subplot(,,; plot(w/pi,magx; grid labl(' Η συχνότητα σε μονάδες '; titl(' Το μέτρο '; ylabl(' Μέτρο ' % Η γραφική αράσταση της Φάσης subplot(,,3; plot(w/pi,agx; grid labl(' Η συχνότητα σε μονάδες '; titl(' Φάση '; ylabl(' Rads ' % Η γραφική αράσταση του Πραγματικού μέρους subplot(,,; plot(w/pi,ralx; grid labl(' Η συχνότητα σε μονάδες '; titl(' Το ραγματικό μέρος '; ylabl(' Μέτρο ' % Η γραφική αράσταση του Φανταστικού μέρους subplot(,,4; plot(w/pi,imagx; grid labl(' Η συχνότητα σε μονάδες '; titl(' Φανταστικό μέρος '; ylabl(' Μέτρο '

16 Λύση: Οι γραφικές αραστάσεις είναι: 5 Το μέτρο 5 Το ραγματικό μέρος Μέτρο 5 Μέτρο 5 Rads.5 Η συχνότητα σε μονάδες Φάση Η συχνότητα σε μονάδες Μέτρο -5.5 Η συχνότητα σε μονάδες Φανταστικό μέρος Η συχνότητα σε μονάδες

17 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER ( h ( y ( Η κρουστική αόκριση για συστήματα τα οοία χαρακτηρίζονται αό γραμμικές εξισώσεις διαφορών με σταθερούς συντελεστές a y ( b ( Ηαόκριση συχνότητας του ΓΧΑ συστήματος είναι y ( ( h ( H ( Ω h ( jω H( Ω Y X ( Ω ( Ω K K b a jω jω

18 Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα διακριτού χρόνου, το οοίο αρχικά βρίσκεται σε ηρεμία, και χαρακτηρίζεται αό την εξίσωση διαφορών y ( a y ( ( με a < Η κρουστική αόκριση του συστήματος είναι h ( a u ( Ηαόκριση του συστήματος στο μοναδιαίο βήμα είναι + a y ( h ( u ( a u (

19 Η έξοδος y(t ενός Γ.Χ.Α συστήματος το οοίο χαρακτηρίζεται αό την εξίσωση διαφορών a y ( b ( Όταν η είσοδός του είναι το διακριτό σήμα (t βρίσκεται σε εριβάλλον atlab ως b a [ b, b, K, b ] [ a, a, K, a ] y filtr( b, a, ; ; ; Παράδειγμα Δίνεται το σύστημα του οοίου η είσοδος και η έξοδος συνδέονται με την εξίσωση διαφορών y ( y( +,9 y( ( Να βρεθούν η κρουστική αόκριση του συστήματος και η αόκριση όταν η είσοδος του είναι το μοναδιαίο βήμα

20 b[]; a[, -,.9]; [,]impsq(,-,; hfiltr(b,a,; subplot(, stm(, subplot(, stm(,h fuctio[,]impsq(,, [:]; [(-];

21 b[]; a[, -,.9]; [,]stpsq(,-,; yfiltr(b,a,; subplot(, stm(, subplot(, stm(,y fuctio[,]stpsq(,, [:]; [(->];

22 Για να ελέγξουμε αν το σύστημα είναι ευσταθές >> a[,-,.9]; >> zroots(a z i i >> magabs(z mag >>

23 Παράδειγμα Ένα γραμμικό χρονικά αναλλοίωτο (LTI σύστημα ορίζεται αό την εξίσωση διαφορών y (,8 y ( + ( α Να βρεθεί η αόκριση συχνότητας του συστήματος και β να υολογιστεί και να σχεδιασθεί η μόνιμη κατάσταση της έξοδου του συστήματος όταν το σήμα εισόδου είναι Λύση ( cos ( 5, Η αόκριση συχνότητας ενός συστήματος είναι H( Ω Ηαόκριση συχνότητας του συστήματος για 8, j Ω Ω, 5 είναι jω j 5, 8, 8, H ( Ω H ( 5, 49, j5377, και η έξοδος του συστήματος θα είναι [ ] ( 498, cos ( 5, 5377, 498, cos 5, ( 34. y

24 ( cos(,5 H ( Ω jω,8 y ( 4,9 cos[,5 ( 3,4 ] ( Σήμα εισόδου y( ,4 8 4,9-5 Σήμα εξόδου