ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους xi,,,, 4 4 3 Αποδείξτε ότι i L ( ) i ( x), όπου ( L ) ( x) i τα πολυώνυμα Lagrage (Υπόδειξη: αυτή η άσκηση λύνεται πολύ εύκολα αν θεωρήσετε ένα ειδικό πρόβλημα παρεμβολής) 4 Να βρείτε μια λογική εκτίμηση για το σφάλμα παρεμβολής όταν τριτοβάθμιο πολυώνυμο παρεμβολής προσεγγίζει τη συνάρτηση f ( x) διάστημα [/4, ] x σε ισαπέχοντα κομβικά σημεία στο 5 Έστω t f ( x) e dt x (α) Να βρεθεί το μήκος του ομοιόμορφου πλέγματος, έτσι ώστε όταν προσεγγίσουμε την f(x) στο διάστημα [, ] με κατά-τμήματα πρώτου βαθμού πολυώνυμο παρεμβολής το σφάλμα (σε οποιαδήποτε σημεία) να είναι το πολύ 6 (β) Να επαναλάβετε την άσκηση για κατά-τμήματα δευτέρου βαθμού πολυώνυμο παρεμβολής 6 Να υπολογίσετε το κατά-τμήματα δευτεροβάθμιο πολυώνυμο παρεμβολής για τη συνάρτηση f ( x) / 5x x / 3, x / 3, και x6 4 5, στα σημεία x, x / 3, x / 3, x3, 7 Θεωρούμε τα κομβικά σημεία a x x x x b και ορίζουμε τις κατά-τμήματα γραμμικές συναρτήσεις k, k σαν x xk xk x x x k, x x x k k k ( x), xk x xk xk xk k
Ορίζουμε, επίσης, το συναρτησιακό χώρο S { f C a, b : f ( a) f ( b) και f είναι κατά-τμήματα πολυώνυμο πρώτου βαθμού στο πλέγμα με κομβικά σημεία x, i,, i } Να δείξετε ότι S spa k k, δηλ τα k, k είναι μια βάση για τον χώρο γραμμικός συνδυασμός των k S και έτσι κάθε f S μπορεί να γραφτεί σαν 8 Να βρείτε το δευτεροβάθμιο πολυώνυμο ελάχιστων τετραγώνων που αντιπροσωπεύει τα δεδομένα (, 9), (, 7), (, 5), (, 5) και (, 3) 9 Να βρείτε το τριτοβάθμιο πολυώνυμο συνεχών ελάχιστων τετραγώνων που προσεγγίζει τη συνάρτηση f ( x) si( x) στο διάστημα [, ] (Πάρτε σαν συνάρτηση βάρους w(x) = ) Να προσεγγίσετε την συνάρτηση f ( x) /3 x στο [, ] με δευτεροβάθμιο πολυώνυμο ελάχιστων τετραγώνων (Πάρτε σαν συνάρτηση βάρους w(x) = ) Θέλουμε να προσαρμόσουμε ένα κύκλο στα δεδομένα (4, ), (35, 3), (5, 35), (5, 3), (, ), (5, ), (5, 5), (35, ) με τον εξής τρόπο: (α) Δείξτε ότι ax by c x y είναι η εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο το (a, b) και ακτίνα c a b (β) Δείξτε ότι αν αντικαταστήσουμε τα δοθέντα σημεία στην πιο πάνω εξίσωση του κύκλου, τότε παίρνουμε ένα υπερπροσδιορισμένο γραμμικό σύστημα εξισώσεων της μορφής Ad z όπου d [ a, b, c] (γ) Λύστε το σύστημα A Ad A z για να βρείτε τις σταθερές που δίνουν τον κύκλο και κάντε τη γραφική παράσταση του κύκλου (μαζί με τα δοθέντα σημεία) Έστω f(x) = si(x), x [, π] Να βρείτε το πολυώνυμο συνεχών ελάχιστων τετραγώνων βαθμού 4, χρησιμοποιώντας τα ορθογώνια πολυώνυμα (α) Legedre (β) Cebysev 3 Να βρείτε τρία πολυώνυμα τα οποία είναι ορθογώνια ως προς το εσωτερικό γινόμενο, ( ) ( ) f g x f x g x dx Στη συνέχεια, να τα χρησιμοποιήσετε για να βρείτε το
δευτεροβάθμιο πολυώνυμο p ( ) x που ελαχιστοποιεί την ποσότητα 3 x si( x / ) p( x) dx 4 Έστω τα πολυώνυμα Berstei k k! B ( x, f ) f x ( x) f x ( x) k k k k!( k)! k k k k όπου f(x) δοθείσα συνεχής συνάρτηση στο [, ] Να δείξετε τα εξής: k k! ( )! (α) B(x, x) = x (Υπόδειξη: για k, ισχύει k k!( k)! ( k )!( k)! k (β) (, ) B x x x x (Υπόδειξη: για k, ισχύει ) k k k k k k k, ενώ για k, ισχύει k k k k k k ) (γ) k k k x( x) x x ( x) k k 5 Να βρείτε προσεγγίσεις για τα πιο κάτω ολοκληρώματα με τους απλούς και τους σύνθετους κανόνες του Τραπεζίου και Simpso Για τους σύνθετους κανόνες να χρησιμοποιήσετε = 6 υποδιαστήματα (α) dx (β) 4 x x e dx (γ) x 3 dx 6 Ο Κανόνας του Μέσου Σημείου για την προσέγγιση του I( f ) f ( x) dx είναι a b a b I ( f ) I( p ) p ( x) dx f dx ( b a) f a b b (Δηλαδή, χρησιμοποιούμε πολυώνυμο βαθμού για την προσέγγιση της f) (α) Να βρεθεί μια παράσταση για το σφάλμα E( f ) I( f ) I( p), όπως επίσης και ο βαθμός ακρίβειας του κανόνα a b a
4 (β) Να βρείτε τον τύπο για τον Σύνθετο Κανόνα του Μέσου Σημείου για ισαπέχοντα κομβικά σημεία, όπως επίσης και μια παράσταση για το σφάλμα στον κανόνα αυτό Τι είναι ο (ασυμπτωτικός) ρυθμός σύγκλισης του κανόνα; (γ) Να βρεθεί ο αριθμός των υποδιαστημάτων που χρειάζονται για την προσέγγιση του si( x ) με τον Σύνθετο Κανόνα του Μέσου Σημείου έτσι ώστε το σφάλμα να είναι το πολύ dx 7 Ένα αυτοκίνητο χρειάζεται 84 δευτερόλεπτα για να κάνει το γύρο μιας πίστας Η ταχύτητα του αυτοκινήτου (σε πόδια ανά δευτερόλεπτο) μετριέται με ραντάρ κάθε 6 δευτερόλεπτα και δίνεται από τον πιο κάτω πίνακα Να βρεθεί μια προσέγγιση για το μήκος της πίστας Χρόνος 6 8 4 3 36 4 48 54 6 66 7 78 84 4 34 48 56 47 33 9 99 85 78 89 4 6 3 Ταχύτητα 8 Έστω ότι p(x) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού 3 που ικανοποιεί p() = 3/ και p(5) = 7/4 Υπολογίστε το 3 3 p ( x ) dx ακριβώς 3 3 9 Έστω η f μια συνεχής συνάρτηση στο [, ], η οποία ικανοποιεί f ( x) f (3 x) 4 για x 3 (α) Να δείξετε ότι f ( x) dx 6 3 (β) Να δείξετε ότι ο Κανόνας το Τραπεζίου υπολογίζει το 3 f ( x) dx ακριβώς Να δείξετε ότι ένας συμμετρικός πίνακας A είναι θετικά ορισμένος αν και μόνο αν 4 οι ιδιοτιμές του είναι όλες αυστηρά θετικές Είναι ο A θετικά ορισμένος; Έστω ο πενταδιαγώνιος πίνακας
6 6 6 A 6 6 6 Να δείξετε ότι ο Α είναι αντιστρέψιμος και να βρείτε ένα άνω φράγμα για τον δείκτη κατάστασης του, στη άπειρη νόρμα 5 Έστω ο πίνακας A Να δείξετε ότι ο αντίστροφος A ισούται με j i, i j A i, j, i j και, επίσης, να υπολογίσετε τον δείκτη κατάστασης του A, στη άπειρη νόρμα (Υπόδειξη: απλώς βεβαιωθείτε ότι A A A A I ) 3 Να κάνετε 3 επαναλήψεις με τις μεθόδους Jacobi και Gauss-Seidel για τα πιο κάτω συστήματα: (α) 3x x x 4x 5 (β) 4x x 6 3x 5x (Χρησιμοποιείστε σαν αρχική εκτίμηση το μηδενικό διάνυσμα) 4 Θεωρούμε το διάνυσμα ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) u [ x, y, z ] του οποίου τα στοιχεία ικανοποιούν την επαναληπτική σχέση ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) 4x x y z ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) 6y x y z ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) 4z x y z 4
Να αποδείξετε ότι η πιο πάνω σχέση ορίζει μια ακολουθία u ( k) k η οποία συγκλίνει για 6 κάθε () () () () u [ x, y, z ] Στη συνέχεια, βρείτε το όριο αυτής της ακολουθίας 5 Έστω AB, με Α αντιστρέψιμο Θεωρούμε τις εξής εξισώσεις: Az Bz b Bz Az b οι οποίες προσδιορίζουν τα z, z όπου τα b, b είναι γνωστά (α) Να δώσετε αναγκαίες και ικανές συνθήκες κάτω από τις οποίες η επαναληπτική μέθοδος ( m) ( m) Az b Bz ( m) ( m) Az b Bz, m συγκλίνει (β) Να κάνετε το ίδιο για την εξής επαναληπτική μέθοδο: ( m) ( m) Az b Bz ( m) ( m) Az b Bz, m (γ) Ποια από τις δύο μεθόδους συγκλίνει γρηγορότερα; (Υπόδειξη: Ίσως σας χρειαστεί η εξής ταυτότητα που δίνει την ορίζουσα ενός πίνακα του A A A A οποίου τα στοιχεία είναι πίνακες: det det A det A A A A ) 6 Να δείξετε ότι τα διαγώνια στοιχεία ενός θετικά ορισμένου πίνακα, είναι θετικά 7 Έστω A αντιστρέψιμος με λ μια ιδιοτιμή και x το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα Υποθέτουμε, επίσης ότι τα ιδιοδιανύσματα του Α αποτελούν μια ορθοκανονική βάση για τον (α) Με μ μια σταθερά που δεν είναι ιδιοτιμή του Α, να βρείτε τις ιδιοτιμές του πίνακα A I, συναρτήσει των λ και μ (β) Να δείξετε ότι τα ιδιοδιανύσματα των Α και A I είναι τα ίδια (γ) Θεωρούμε την μέθοδο της Αντίστροφης Επανάληψης, για τον προσδιορισμό της κυρίαρχης ιδιοτιμής λ (και του αντίστοιχου ιδιοδιανύσματος x ) του πίνακα οποία ορίζεται ως εξής: () Με () x μια αρχική εκτίμηση για το ιδιοδιάνυσμα, θέτουμε A, η
( m) ( m z A I x ), m,,, 7 όπου μ μια παράμετρος που δεν είναι ιδιοτιμή του Α (αλλά μπορεί, και ίσως πρέπει, να είναι κοντά σε μια ιδιοτιμή) Στην πράξη, δεν υπολογίζουμε τον αντίστροφο πίνακα, αλλά A I z x για το λύνουμε το σύστημα ( m ) ( m ), z ( m ) () Θέτουμε x ( m) z z ( m) ( m) (3) Υπολογίζουμε ( m ) ( m ) ( m ) x z Να δείξετε ότι η πιο πάνω μέθοδος συγκλίνει όταν το m Τι είναι ο ρυθμός σύγκλισης; 8 Να βρείτε άνω και κάτω φράγματα για τις ιδιοτιμές του πίνακα / / 4 / 5 A 7 / / 4 Βάση αυτών που βρήκατε, τι μπορείτε να πείτε για την πιθανή σύγκλιση της Μεθόδου των Δυνάμεων για τον προσδιορισμό της κυρίαρχης ιδιοτιμής του Α; 9 Έστω κάποιο v P ένας πίνακας μετασχηματισμού Houseolder, δηλ P I Να δείξετε ότι ο Ρ είναι συμμετρικός, ορθογώνιος και ότι vv για P vv I 3 Έστω x x x x P,,, [,,,] και a [ x4,, x8] Να βρείτε ένα πίνακα τέτοιο ώστε,, 3,,,,, 9, Px x x x a x x,,3, a,,,,9, Πως μπορείτε να πάρετε το ίδιο αποτέλεσμα, χωρίς να υπολογίσετε τον πίνακα Ρ; mm 3 Έστω U ένας πίνακας μετασχηματισμού Houseolder, και I ο ( m) ( m) ταυτοτικός πίνακας Να δείξετε ότι ο πίνακας U, I U U, είναι επίσης ένας πίνακας μετασχηματισμού Houseolder
6 3 3 Έστω A 8 3 Να βρείτε την παραγοντοποίηση A = QR, χρησιμοποιώντας την 8 6 3 μέθοδο των μετασχηματισμών Houseolder 8 33 Έστω H ένας πίνακας σε μορφή Hesseberg και έστω R ένας άνω τριγωνικός πίνακας Να δείξετε ότι τα γινόμενα HR και RH είναι σε μορφή Hesseberg 4 34 Έστω A 4 Να κάνετε 3 επαναλήψεις του Αλγόριθμου QR, δηλ να βρείτε τον Α3 (ο οποίος θα είναι σχεδόν άνω τριγωνικός, ή ίσως και σχεδόν διαγώνιος) Να επαναλάβετε χρησιμοποιώντας τον Αλγόριθμο QR με μετατόπιση (μια με απλή και μια με Wilkiso ) 35 Να δείξετε ότι ο αντίστροφος ενός τριγωνικού πίνακα (άνω ή κάτω) είναι επίσης τριγωνικός (άνω ή κάτω) 36 Να βρείτε πίνακες UV, έτσι ώστε το γινόμενο U AV να είναι δυ-διαγώνιος πίνακας, όπου 6 3 A 8 3 8 6 3