21/11/2016 Στατιστική Ι 8 η Διάλεξη (Κεντρικό Οριακό Θεώρημα) 1
2 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Αν Χ 1, Χ 2,, Χ Ν ανεξάρτητες τ.μ. που ακολουθούν την ίδια κατανομή με E X i = μ και Var X i = σ 2, τότε για μεγάλα N, κατά προσέγγιση, ισχύει: Χ = ή ισοδύναμα S N = N i=1 Ν N i=1 X i X i σ2 ~N μ, Ν ~N Nμ, Νσ 2
3 Παράδειγμα 1 ο Μας είναι γνωστό ότι τα μήλα στάρκιν που παράγονται στο οροπέδιο της Τεγέας έχουν μέσο βάρος μ=220 gr με τυπική απόκλιση σ=80 gr Στο συσκευαστήριο του τοπικού συνεταιρισμού τα μήλα συσκευάζονται σε κιβώτια των 60 μήλων και προωθούνται στα ψυγεία και την αγορά Μπορούμε να υπολογίσουμε ποιο ποσοστό (κατά προσέγγιση) των κιβωτίων περιέχει μήλα με μέσο βάρος μεταξύ 200 και 250 gr;
4 Παράδειγμα 2 ο Η ποσότητα ραδιενέργειας που δέχεται κάθε μέρα ένας ερευνητής είναι τ.μ. με μέση τιμή μ=0.1 μονάδες και τυπική απόκλιση σ=0.01 μονάδες Ποια είναι η πιθανότητα το συνολικό ποσό ραδιενέργειας που θα δεχθεί ο ερευνητής σε 100 ημέρες να ξεπερνάει τις 10.02 μονάδες;
Προσέγγιση Διωνυμικής κατανομής από την κανονική (Θεώρημα De Moivre Laplace) Αν X B(N, p), τότε για μεγάλα Ν (θεωρητικά Ν + ), κατά προσέγγιση, X~N Np, Np 1 p 5 Η προσέγγιση είναι ικανοποιητική αν Np 5 και Ν(1-p) 5
6 Παράδειγμα 3 ο Ο ιδανικός αριθμός πρωτοετών φοιτητών σε ένα πανεπιστημιακό τμήμα είναι 150 Το τμήμα, γνωρίζοντας από προηγούμενη εμπειρία ότι από τους φοιτητές που γίνονται δεκτοί για εγγραφή μόνο το 30% παρακολουθεί τα μαθήματα, κάνει δεκτούς 450 φοιτητές Ποια είναι η πιθανότητα από τους 450 πρωτοετείς φοιτητές να παρακολουθούν τελικά τα μαθήματα περισσότεροι από 150;
7 Παράδειγμα 4 ο Προκειμένου να εκτιμήσουμε το ποσοστό p των ατόμων που έχουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα (π.χ. καπνίζουν, είναι άνεργοι, ψηφίζουν ένα συγκεκριμένο κόμμα, κλπ.) χρησιμοποιούμε ένα δείγμα μεγέθους n Πόσο πρέπει να είναι το n έτσι ώστε το ποσοστό των ατόμων του δείγματος που έχουν την ιδιότητα να διαφέρει, κατ απόλυτη τιμή, από το (άγνωστο) πραγματικό ποσοστό p λιγότερο από 1% με πιθανότητα τουλάχιστον 95%;
8 Παράδειγμα 5 ο (1) Ένας αστρονόμος θέλει να μετρήσει (σε έτη φωτός) την απόσταση μεταξύ του αστεροσκοπείου που εργάζεται και ενός άστρου Αν και εφαρμόζει μια αναγνωρισμένη μέθοδο μέτρησης, γνωρίζει ότι κάθε φορά που μετράει την απόσταση δεν παίρνει την πραγματική τιμή της αλλά μόνο μια εκτίμησή της Γι αυτό σχεδιάζει να κάνει έναν αριθμό μετρήσεων n, να υπολογίζει τη μέση τιμή τους και να τη χρησιμοποιήσει ως εκτίμηση της άγνωστης πραγματικής απόστασης d
9 Παράδειγμα 5 ο (2) Αν οι n μετρήσεις Χ 1, Χ 2,, Χ n, είναι ανεξάρτητες τ.μ. που ακολουθούν την ίδια (άγνωστη) κατανομή με μέση τιμή d (την άγνωστη πραγματική απόσταση) και διακύμανση 4 έτη φωτός, πόσες μετρήσεις πρέπει να κάνει ο αστρονόμος ώστε η μέση τιμή τους να διαφέρει κατ απόλυτη τιμή, από την άγνωστη πραγματική απόσταση d, λιγότερο από 0.5 έτη φωτός με πιθανότητα 95%;
10 Προσέγγιση της κατανομής Poisson από την κανονική Αν X P(λ), τότε για μεγάλα λ, κατά προσέγγιση, X~N λ, λ Η προσέγγιση είναι ικανοποιητική αν λ 10
11 Παράδειγμα 6 ο Σε μια καλλιέργεια κηπευτικών, έχει παρατηρηθεί ότι ο αριθμός των φυτών που δεν αναπτύσσονται (ξεραίνονται) είναι τ.μ. Που ακολουθεί την κατανομή Poisson με μέση τιμή λ=100 φυτά / καλλιεργητική περίοδο Ποια είναι η πιθανότητα σε μια καλλιεργητική περίοδο ο αριθμός των φυτών που δε θα αναπτυχθούν να είναι τουλάχιστον 120;
12 Κατανομή χ 2 με n βαθμούς ελευθερίας Αν Ζ i, i = 1, 2,..., n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τ.μ., τότε η κατανομή Z 1 2 + Z 2 2 + Z n 2 ονομάζεται κατανομή «χι-τετράγωνο» με n βαθμούς ελευθερίας και συμβολίζεται με χ n 2 Για μεγάλα n προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την Ν(n, 2n)
13 Κατανομή χ 2 με n βαθμούς ελευθερίας καμπύλη P(X>χ 2 n;a)=a
14 Η κατανομή t (ή Student) με n βαθμούς ελευθερίας Αν Z, S n ανεξάρτητες τ.μ. με Z N(0,1) και S n χ n2, τότε η κατανομή της τ.μ. Z S n n ονομάζεται κατανομή t (ή κατανομή Student) με n βαθμούς ελευθερίας και συμβολίζεται με t n Για μεγάλα n προσεγγίζεται ικανοποιητικά n από τη Ν 0, n 2
15 Η κατανομή t (ή Student) με n βαθμούς ελευθερίας καμπύλη
16 Η κατανομή F με n και m βαθμούς ελευθερίας Αν S m, S n δύο ανεξάρτητες τ.μ. με S n χ n 2 και S m χ m2, τότε η κατανομή της τ.μ. S n n S mm = m n S n S m ονομάζεται κατανομή F με n και m βαθμούς ελευθερίας και συμβολίζεται με F n;m
17 Η κατανομή F με n και m βαθμούς ελευθερίας καμπύλη