Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

Spin

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη του spin: μετάπτωση μέσης τιμής παρουσία μαγνητικού πεδίου Σύνοψη - Ασκήσεις

Πειραματικές Μετρήσεις Στροφορμής: Μαγνητικό Πεδίο Ηλεκτρόνιο σε κυκλική τροχιά Τροχιακή Στροφορμή: r e, me, Ισοδύναμο ρεύμα: Επιφάνεια τροχιάς Μαγνητική Διπολική Ροπή: Τελεστής Μαγνητικής Διπολικής Ροπή: z συνιστώσα: Ενέργεια Αλληλεπίδρασης ηλεκτρονίου με μαγνητικό πεδίο: +5a

Πειραματικές Μετρήσεις Στροφορμής: Μαγνητικό Πεδίο Ενέργεια Αλληλεπίδρασης ηλεκτρονίου με μαγνητικό πεδίο: Μεταβολή ιδιοτιμής ενέργειας για μαγνητικό πεδίο στην διεύθυνση z: +5b όπου Μαγνητόνη Bohr Άρση εκφυλισμου m (2l+1) λόγω μαγνητικού πεδίου Πρόβλεψη: Τετραπλός εκφυλισμός υδρογόνου (p (l=1, m=-1,0,1) - s(l=0,m=0)) σπάει σε 3 ενεργειακά επίπεδα. Προβλεπόμενη διαφορά συχνοτήτων εκπεμπόμενων φωτονίων = (eb/2m e ). Πείραμα: p (l=1, m=-1,0,1) σπάει σε 4 ενεργειακά επίπεδα, s(l=0,m=0) σπάει σε 2 ενεργειακά επίπεδα! Υπόθεση: Υπάρχει και άλλη (ενδογενής) στροφορμή στο ηλεκτρόνιο: το spin (όχι ιδιοστροφορμή!)

Το πείραμα Stern-Gerlach Κλασική πρόβλεψη Πειραματική παρατήρηση Άτομα αργύρου Σε μη ομογενές πεδίο τα άτομα με μαγνητική διπολική ροπή δέχονται δύναμη: S Ανομοιογενές μαγνητικό πεδίο εκπομπός Αναμενόμενο αποτέλεσμα για άτομο σε κατάσταση l: Διαχωρισμός της δέσμης σε (2l+1) τμήματα N Πείραμα Stern-Gerlach: Άτομα με l=0 (βασική κατάσταση) δίνουν διαχωρισμό δέσμης σε δύο! Υπόθεση: Επιπλέον ενδογενής στροφορμή για το ηλεκτρόνιο με (2l+1)=2 (l s =1/2!!). Άρα m s =±1/2!!! (2l+1 παραμένει ακέραιος όπως θα έπρεπε αλλά τι γίνεται με την μονοτιμία της κυματοσυνάρτησης??)

Τελεστές Spin Το spin δεν έχει αναπαράσταση χώρου. Τελεστές S x, S y, S z χωρίς αναπαράσταση θέσης. Τελεστές δημιουργίας-καταστροφής:

Χώρος καταστάσεων Spin Μιγαδικός διανυσματικός χώρος υπερτιθέμενων καταστάσεων: Διάσταση χώρου: Αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων καταστάσεων spin του σωματίου Κατασκευή μιγαδικού διανυσματικού χώρου: Θετικό μέτρο Ιδιοκαταστάσεις τελεστή. Πραγματικές ιδιοτιμές Ορθοκανονικές καταστάσεις Πληρότητα βάσης

Ιδιοκαταστάσεις Spin Χρήση σχέσεων μετάθεσης και τελεστών δημιουργιας καταστροφής όπως με τροχιακή στροφορμή. Μετάθεση S z, S 2 κοινές ιδιοκατστάσεις Δράση Τελεστών S +, S - (από σχέσεις μετάθεσης): +5c Ορθοκανονικές καταστάσεις Εύρος τιμών m s : +5d

Ιδιοκαταστάσεις Spin Όμοια +5e Μελέτη προσήμων τριωνύμων +5f +5g

Ιδιοκαταστάσεις Spin Όμοια δείχνουμε ότι +5h Επομένως S S S ~ s, s s, s1 ~ s, s1 s, s2 ~ s, s1 s, s +5i s ακέραιος ή ημι-ακέραιος! Χωρίς περιορισμό μονοτιμίας αφού δεν έχουμε ανάγκη αναπαράστασης χώρου!

Θεώρημα Spin-Statistics (Pauli 1940) Τα φερμιόνια έχουν ημιακέραιο spin ενώ τα μποζόνια έχουν ακέραιο spin! Pauli Bohr Fierz

Η αναπαράσταση spin ½ του Pauli Για s=1/2 ο χώρος καταστάσεων έχει 2 διαστάσεις (m s =± ½) Ορθοκανονικότητα Γενική κατάσταση Αναπαράσταση με χρήση μιγαδικών δισδιάστατων διανυσμάτων: Θετικό μέτρο:

Η αναπαράσταση spin ½ του Pauli Αναπαράσταση με χρήση μιγαδικών δισδιάστατων διανυσμάτων: Θετικό μέτρο: Εσωτερικό γινόμενο: Δράση Τελεστή: Ερμητιανός Συζυγής Ορθοκανονική Βάση:

Η αναπαράσταση spin ½ του Pauli Ορθοκανονική Βάση: Αναπαράσταση Τελεστών Spin: +5j Πίνακες Pauli Γενική κατάσταση spin ½ (spinor):

Πλήρης μορφή κυματοσυνάρτησης Χαμιλτονιανή σε μαγνητικό πεδίο: 0 ( r) R ( r) Y ( ) n, l, m, s, m nl lm s, m s 1 0 1/ 2,1/ 2, 1/ 2, 1/ 2 0 1 ˆ B H H B (Lˆ gs) ˆ s g g 2( Θεωρια Dirac) 2.00231930437(Κβαντικη Ηλεκτροδυναμικη)

Γιατί το spin δεν έχει κλασσικό ανάλογο (ιδιοστροφρομή); Χαμιλτονιανή σε μαγνητικό πεδίο: ˆ B H H B (Lˆ gs) ˆ 0 g g 2( Θεωρια Dirac) 2.00231930437(Κβαντικη Ηλεκτροδυναμικη) Το spin παίρνει μόνο διακριτές τιμές Η γυρομαγνητικός λόγος δεν αντιστοιχεί στην κλασσικά αναμενόμενη τιμή 1 Το spin παίρνει ημιακέραιες τιμές σε αντίθεση με την τροχιακή στροφορμή

Μετάπτωση spin σε Μαγνητικό Πεδίο Είδαμε στην αρχή της διάλεξης ότι η τροχιακή στροφορμή του ηλεκτρονίου προκαλεί μαγνητική διπολική ροπή ως εξής: Ε: Τι είδους μαγνητική διπολική ροπή προκαλεί η στροφορμή spin? Έστω: g: γυρομαγνητικός λόγος Σχετικιστική Κβαντομηχανική όπου σταθερά λεπτής υφής Χρονική Εξέλιξη spin σε Μαγνητικό Πεδίο Χαμιλτονιανή: ˆk όπου

Μετάπτωση spin σε Μαγνητικό Πεδίο Χρονική Εξέλιξη spin σε Μαγνητικό Πεδίο Χαμιλτονιανή: όπου Όπου c + 2 πιθανότητα για spin πάνω (+1/2) και c - 2 πιθανότητα για spin κάτω (-1/2)

Μετάπτωση spin σε Μαγνητικό Πεδίο +5j Έστω αρχικές συνθήκες: +5k

Μετάπτωση spin σε Μαγνητικό Πεδίο Εξέλιξη αναμενόμενων τιμών: +5l +5m Όμοια δείχνουμε ότι: +5n Άρα έχουμε μετάπτωση της αναμενόμενης (μέσης) τιμής στου spin γύρω από τον άξονα του πεδίου με συχνότητα : Η αναμενόμενη τιμή του spin συμπεριφέρεται όπως η κλασσική στροφορμή αλλά η μέτρηση των S x, S y, S z μπορεί να δώσει μόνο δύο τιμές +ћ/2, -ћ/2. +5o

Μετάπτωση spin σε Μαγνητικό Πεδίο Άρα έχουμε μετάπτωση της αναμενόμενης (μέσης) τιμής στου spin γύρω από τον άξονα του πεδίου με συχνότητα :

Κλασσική Μετάπτωση Στροφορμής Η ροπή της δύναμης είναι στην διεύθυνση μεταβολής της στροφρομής. Η μεταβολή αυτή οδηγεί σε μετάπτωση γύρω από τον άξονα του βάρους: Ιδιοστροφορμή Κατεύθυνση Μετάπτωσης ΔL L i L f dl dt r F Διεύθυνση Ιδιοστροφής B B Η ροπή του βάρους προκαλεί μετάπτωση d d Τ Ίδια διεύθυνση με ροπή βάρους

Σύνοψη Έχει αποδειχτεί πειραματικά (πείραμα Stern-Gerlach) ότι τα σωμάτια στον μικρόκοσμο έχουν ένα ενδογενές χαρακτηριστικό που έχει ιδιότητες στροφορμής: το spin Tο spin δεν έχει κλασικό ανάλογο και αντιστοιχεί σε διανυσματικό κβαντικό τελεστή που ικανοποιεί τις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής. Στην περίπτωση του ηλεκτρονίου (s=1/2) εμφανίζεται σε δύο καταστάσεις: m s =1/2 και m s =-1/2. Ο τελεστής του spin στον χώρο καταστάσεων με s=1/2 (πχ ηλεκτρόνιο) μπορεί να αναπαρασταθεί με χρήση των 2x2 πινάκων του Pauli που δρουν σε δισδιάστατο μιγαδικό διανυσματικό χώρο. Η χρονική εξέλιξη του spin παρουσία μαγνητικού πεδίου αντιστοιχεί σε μετάπτωση του διανύσματος της μέσης τιμής του spin γύρω από τον άξονα του μαγνητικού πεδίου.

Άσκηση 1 Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli

Άσκηση 2 Βρείτε την δράση των τελεστών του spin S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις του S z +1/2>, =1/2> Η αναπαράσταση των S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις του S z +1/2>, =1/2> είναι: όπου Άρα έχουμε: +5p: Να γίνει με χρήση τελεστών δημιουργίας και καταστροφής

Άσκηση 3 Έστω ηλεκτρόνιo με z συνιστώσα του spin ίση με +ћ/2. Το spin ηλεκτρονίου μετράται κατά μηκος μιας διεύθυνσης z που σχηματίζει γωνία θ με την διεύθυνση z. Α. Βρείτε την πιθανότητα να δώσει μέτρηση τιμή +ћ/2 ή -ћ/2. Β. Ποιά είναι μέση τιμή του spin κατά μήκος της z ; Ο τελεστής spin κατά μήκος της διεύθυνσης z είναι: όπου Επομένως: Για τις ιδιοκαταστάσεις του S z έχουμε:

Άσκηση 3 +5q

Άσκηση 3 +5r +5r Από την κανονικοποίηση του +1/2> έχουμε

Άσκηση 3 Άρα (Η φάση είναι αυθαίρετη και την επιλέγουμε ίση με την αζιμουθιακή γωνία.) Ακόμα έχουμε

Άσκηση 3 ορθογωνιότητα 1 1 i ' ' ccos d sin e 0 2 2 2 2 Κανονικοποίηση: c i tan e d 2 i c tan e d 2 i c sin e d 2 d cos 2 1 i 1 1 ' sin e cos 2 2 2 2 2 Αυθαιρεσία φάσης d cos 2 i c sin e d 2

Άσκηση 3 1 i 1 1 ' sin e cos 2 2 2 2 2 Μέση τιμή του spin κατά μήκος της z για την κατάσταση +ћ/2>: +5s 1 i 1 1 ' sin e cos 2 2 2 2 2

Άσκηση 3 1 i 1 1 ' sin e cos 2 2 2 2 2 +5t: Να βγει και με άλλο τρόπο Είναι το κλασσικά αναμενόμενο αποτέλεσμα

Άσκηση 4 Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές του τελεστή S x +S y για σωμάτιο με σπιν s=1/2. ˆ ˆ ˆ 0 1 i A Sx S y 1 i 0 Για τις ιδιοτιμές έχουμε: Άρα οι ζητούμενες ιδιοτιμές είναι: +5u

Άσκηση 4 Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές του τελεστή S x +S y για σωμάτιο με σπιν s=1/2. ˆ 0 1 i A 1 i 0 Έστω ιδιοκαταστάσεις της μορφής: Για την ιδιοτιμή +ћ/2 έχουμε:

Άσκηση 4 Για την ιδιοτιμή +ћ/2 έχουμε: Άρα η ιδιοκατάσταση είναι: +5v Όμοια βρίσκουμε για την ιδιοτιμή : +5w

Άσκηση 5

Άσκηση 6

Άσκηση 7 Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές των τελεστών S x, S y, S z. Για τον S z έχουμε δείξει ότι οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι: Για τον S x οι ιδιοτιμές γράφονται ως ћλ/2 και προκύπτουν ως λύση της εξίσωσης: Άρα για τον S x οι ιδιοτιμές είναι ±ћ/2

Άσκηση 7 Άρα για τον S x οι ιδιοτιμές είναι ±ћ/2 Για τις ιδιοκαταστάσεις έχουμε: Άρα για την ιδιοτιμή + ћ/2 έχουμε: Αντίστοιχα για την ιδιοτιμή - ћ/2 χρησιμοποιούμε ορθογωνιότητα και κανονικοποίηση για να βρούμε: +5x

Άσκηση 7 Όμοια για τον S y οι ιδιοτιμές γράφονται ως ћλ/2 και προκύπτουν ως λύση της εξίσωσης: Άρα και για τον S y οι ιδιοτιμές είναι ±ћ/2 Για τις ιδιοκαταστάσεις έχουμε: Άρα για την ιδιοτιμή + ћ/2 έχουμε:

Άσκηση 7 Άρα για την ιδιοτιμή + ћ/2 έχουμε: Αντίστοιχα για την ιδιοτιμή - ћ/2 χρησιμοποιούμε ορθογωνιότητα και κανονικοποίηση: Άρα για S x : Και για S y :

Άσκηση 8 Σωμάτιο με spin ½ βρίσκεται σε μαγνητικό πεδίο με Χαμιλτονιανή H=(eB/mc)S z. Την στιγμή t=0 το σωμάτιο βρίσκεται σε ιδιοκατάσταση του τελεστή S x με ιδιοτιμή +ћ/2. Βρείτε την κατάσταση του σωματίου για t>0. t=0 t>0 1 1 1 2 2 2 eb eb i t i t mc 2 mc 2 ( t) e z e z

Άλυτες Ασκήσεις 1. Βρείτε τις αναπαραστάσεις των Sx, Sy, Sz για ένα σωμάτιο με spin 1. 2. Ηλεκτρόνιο βρίσκεται στην κατάσταση Κανονικοποιήστε την κατάσταση. Βρείτε τα πιθανά αποτελέσματα μιας μέτρησης του S z και τις αντίστοιχες πιθανότητες. Ποια είναι η μέση τιμή του S z. Επαναλάβετε για τις συνιστώσες S y. 3. Ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο της μορφής Βρείτε την Χαμιλτονιανή του συστήματος. Το ηλεκτρόνιο έχει αρχικά spin `πανω στην κατεύθυνση του άξονα x. Βρείτε την κατάσταση χ(t) του ηλεκτρονίου την χρονική στιγμή t. Βρείτε την πιθανότητα να δώσει μια μέτρηση του S x, την τιμή -ћ/2 την χρονική στιγμή t. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του B 0 απαιτείται για πλήρη αναστροφή της κατεύθυνσης του S x ;

Άλυτες Ασκήσεις 4. Αποδείξτε τις σχέσεις που δεν αποδείξαμε στο μάθημα: Άσκηση 4 Άσκηση 7