ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α ) η μ + συν = γ ) εφ + =, ¹ κπ+ sun hm β ) εφ =, ¹ κπ+ sun sun δ ) σφ =, ¹ κπ. hm ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ α ) ημ(α ± β) = ημα συνβ ± ημβ συνα γ ) συν(α ± β) = συνα συνβm ημα ημβ sfa sfb m ε ) σφ(α ± β) =. sfb ± sfa efa + efb β ) εφ(α+β) = - efa efb efa - efb δ ) εφ(α-β) = + efa efb ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α α ) ημα = ημα συνα ìsun a -hm a efa ï γ ) εφα = β ) συνα = í sun a - - ef a ï î - hm a ΤΥΠΟΙ ΑΠΟΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΥ α ) συν + sun = γ ) εφ -sun =. + sun β ) ημ -sun = α ) ημα = ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΤΥΠΟΙ efa β ) συνα = + ef a - ef a + ef a
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Γωνία ημ συν εφ 0 0 0 0 0 0 ή 6 5 0 ή 60 0 ή 90 0 ή 0 Δεν ορίζεται 80 0 ή π 0-0 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ημ = α ( - α αλλιώς η εξίσωση είναι αδύνατη ). Βρίσκω γωνία θ ώστε ημθ = α τότε : ημ = α Þ ημ = ημθ Þ ì í î = k + q, κ Î Z = k + - q συν = α ( - α ). Βρίσκω γωνία θ ώστε συνθ = α και έχω : συν = α Þ συν = συν θ Þ ì í î = k + q = k - q, κ Î Z εφ = α, ( α Î Â ), ομοίως με πριν : εφ = α Þ εφ = εφ θþ = κπ + θ, κ Î Z. ΤΥΠΟΣ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗΣ ΑΚΤΙΝΙΩΝ ΣΕ ΜΟΙΡΕΣ Ακτίνιο ονομάζουμε τη γωνία που όταν γίνει επίκεντρη κύκλου βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Η σχέση που συνδέει μοίρες και ακτίνια είναι : a m 0 = 80
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Να εκφραστεί : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ι ) γωνία 75 0 σε ακτίνια, ιιι ) γωνία rad σε μοίρες, ιι ) γωνία rad σε μοίρες, 5 ιν ) γωνία -5 0 σε rad.. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας : ι ) 70 0 ιι ) -00 0 ιιι ) 990π rad ιν ) 6 rad. 6. Αν ημ = -, και 70 0 < < 60 0, να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί α- 5 ριθμοί της γωνίας rad.. Αν συν = - και 80 0 < < 70 0, να βρεθούν οι άλλοι αριθμοί της γωνίας rad. 5. Αν εφ = - και 90 0 < < 80 0, να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας rad. 6. Αν 90 0 < < 80 0 και ισχύει : 9 ημ = 8 (- ημ), να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad. 7. Αν εφ = και 90 0 < < 80 0, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : Α = + 6 hm hm - sun 8. Αν ημ + συν = α, να υπολογίσετε με τη βοήθεια του α ( συναρτήσει του α ) τις παραστάσεις : ι ) ημ συν ιι ) ημ συν + ημ συν. 9. Δείξτε ότι ισχύει : ι ) (εφ + σφ ) = + ιι ) συν - συν ψ = ημ ψ -ημ hm sun ιιι ) (εφ ημ ) + (-συν ) = ( -) ιν ) εφ + σφ =. sun hm sun 0. Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών : ι ) 95 0 ιι ) -680 0.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αν ημ7 0 = -, να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 7 0.. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ, δείξτε ότι : ι ) εφ Α+εφ (Β+Γ) = 0 ιι ) εφ B + G = ιιι ) εφα + εφβ + εφγ = εφα εφβ εφγ ιν ) σφα + σφ(β+γ) = 0 A ν ) συν + B + G συν = νι ) σφα σφβ + σφβ σφγ + σφγ σφα = A B G A B G νιι ) σφ + sf + sj = sj sf sf. Να απλοποιηθεί η παράσταση : hm( - w) sun ( - w) ef( + w) sf( - w) sun ( - w) Α = sun ( + w) hm( + w) ef( - w) ef( + w). Δείξτε ότι : ι ) εφ 0 εφ 0 εφ 8 0 εφ 9 0 = ιι ) εφ 0 εφ9 0 εφ 0 εφ9 0 = 5. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, επίσης να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή κάθε συνάρτησης καθώς και την περίοδο τους : ι ) f ( ) = ημ ιι ) g () = -ημ ιιι ) ψ() = + συν ιν ) g () = ημ(-) ν ) f ( ) = συν(-) νι ) ψ() = ημ νιι ) κ( ) = συν νιιι ) λ( ) = + συν 6. Η τάση ρεύματος στην Αθήνα είναι της μορφής : Τ= 0 ημ t, όπου t ο χρόνος σε δευτερόλεπτα και Τ η τάση σε Βολτ. ι ) Να βρείτε τη διαφορά ανάμεσα στη μέγιστη και ελάχιστη τάση. ιι ) Να βρείτε τη περίοδο της τάσης. ιιι ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για 0 7. Να λυθούν οι εξισώσεις : ι ) ημ = ιι ) ημ = 0 ιιι ) ημ = - ιν ) ημ = - ν ) συν + =0 νι ) εφ + = 0 t.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 5 8. Ομοίως : ι ) (συν -) (ημ+ )=0 ιι ) ημ (συν -)=0 ιιι ) ημ = ημ(- ) ιν ) συν(+π) = συν( - ) 9. Ομοίως : ν ) συν + συν = 0 νι ) ημ = συν( - ) ι ) συν = ιι ) συν = - ιν ) ημ(- )+ =0 ν ) εφ( - ) +εφ = 0 ιιι ) ημ( - ) = 0. Ομοίως : ι ) συνχ + ημχ - = 0 ιι ) -ημ χ = ημ ιιι ) συνχ = συν χ 5 ιν ) ημχ = εφχ ν ) εφ( - ) = σφ νι ) ημ +συν = 0 6 5 νιι ) εφ +σφ = 0 νιιι ) ν ) εφ5 σφ0 =. Να λυθούν οι εξισώσεις : ι ) 7hm - hm - hm - 7 + hm + = - 5 5 0 ιι ) ημ + 5ημ - =0 ιιι ) συν + = 5ημ ιν ) - ημ = 5ημ -συν. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης : f ( ) = ημ( + ), 0 < < π και τις τιμές του για τις οποίες παρουσιάζονται.. Αν 90 0 < α < 80 0, 70 0 < β < 60 0 5 και ημα =, συν β =, να υπολογισ- 7 τούν οι παραστάσεις : ημ(α-β) και εφ (α+β).. Να λυθούν οι εξισώσεις : ι ) συν ( + 6 ) = ημ ιι ) ημ = ημ συν 5. Να λυθεί η εξίσωση : ημ + εφα συν = και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση : ημ - συν = 6.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 6 6. Δείξτε ότι : (συν ημ ) ( συν ημ ) = συν ημ. 7. Αν α + β + γ = 80 0, να αποδείξετε ότι : εφα+εφβ+εφγ = εφα εφβ εφγ. 8. Αν ημ = 5 και 90 0 < < 80 0, να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των τόξων και. 9. Αν εφ = - και 0 < < 90 0, να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί εφ, ημ, συν. 0. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του τόξου και του. 8. Δείξτε ότι : 5 7 ι ) hm + hm + hm + hm = 8 8 8 8 ιι ) συν 8 ιιι ) συν 7 + συν + συν 8 συν 7 συν 7 5 + συν 8 = - 8 7 = 8 ιν ) συν 5 συν 5 συν 5 6 7 sun sun sun sun = 5 5 5 5 5 8. Να χαρακτηρίσετε κάθε μια από τις παρακάτω σχέσεις ως Σωστές ή Λάθος.. συν συν ημ ημ = συν Σ Λ Σ Λ. ημ συν = 6 6 Σ Λ. ημ συν = 8 8 Σ Λ. -ημ = + Σ Λ 5. ημ = Σ Λ - = 7. 6. συν ef + ef 7 = ef - ef ef Σ Λ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 7. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων : ι ) συν55 0 συν0 0 + ημ55 0 ημ0 0 ιι ) συν 5 0 - ιιι ) ημ5 0 συν5 0 0 0 ef0 + ef5 ιν ) 0 0 - ef0 ef5 ν ) συν98 0 ημ8 0 ημ98 0 συν8 0 νι ) ημ συν - συν ημ 0 5 0 5 0 0 ef80 - ef0 νιι ) 0 0 + ef80 ef0. Να λυθούν οι εξισώσεις : ιχ ) ef + ef 7 - ef ef 7 ι ) ημ -συν = 5 ιι ) συν + συν = 5 ιιι ) συν + ημ = 0 ιν ) ημ - ημ -συν + =0 5. α ) Να αποδείξετε ότι : συν - συν = ημ. β ) Γράψτε στο τετράδιο σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: Μια λύση της εξίσωσης : συν - συν = είναι η : Α: Β: 0 Γ: 6 Δ:. 6. Για τη γωνία α ισχύει ότι : 5 συνα - συνα -7 =0. α ) να αποδείξετε ότι συνα = - 5 β ) Αν επιπλέον ισχύει : 80 0 a 70 0, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς : ημα, συνα, εφα. 7. Έστω Ρ ( ) = -, Î Â. α ) Να αποδείξετε ότι : Ρ (συνα ) = συνα, για κάθε αî Â. β ) Να λύσετε την εξίσωση : Ρ(Ρ(συν )) =. 8. Αν δίνεται ότι : εφα = - με 0 < α <, τότε : α ) να αποδείξετε ότι εφα = β ) να λύσετε την εξίσωση : εφ (+α) = εφ +. 9. Έστω γωνία α 0 με 90 < α < 80 0, για την οποία ισχύει : συν (α+0 0 )+ημ(α+0 0 ) = - 5 6.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 8 α ) να αποδείξετε ότι : συν α = - 5 β ) να βρείτε : ι ) ημα ιι ) εφ a γ ) να λύσετε την εξίσωση : συνα συν( +α) + ημα ημ(+α) =. 0. Για κάθε πραγματικό αριθμό να αποδείξετε ότι ισχύει : συν ( ημ+ημ ) = ( συν+συν+) ημ και να βρείτε εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: συν + συν + = 0 [ Πανελλήνιες Εξετάσεις 00 ]. Αν για τις οξείες γωνίες α, β ισχύει ότι συνα = και ημβ =, τότε: α ) να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημα και συνβ, β ) να υπολογίσετε το συν(α β) και γ ) να αποδείξετε ότι 6 sun ( a b ) + hm( a b ) =. [ Εξετάσεις Εσπερινών Λυκείων 00 ]. Να βρείτε τις γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ, αν δίνεται ότι ισχύει η σχέση : + συνα + συνβ + συνγ = συνβ συνγ. Για τα τόξα α, β Î[ 0, ] δίνεται ότι : - sun a + -sun b = + sun a, Να αποδείξετε ότι : ημα + ημβ = συνα. Έστω η συνάρτηση : f ( ) = (ημ -ημ )συν, Î Â. α ) να αποδείξετε ότι : f ( ) = ημ. β ) να βρείτε την τιμή της παράστασης : f ( ) f ( - ). γ ) να λύσετε την εξίσωση : f ( ) = f ( - ). 5. Δίνονται οι συναρτήσεις : f ( ) = ( κ-λ ) συν[(κ+λ) ] και g ( ) = ( κ-λ+) συν[(κ+λ+5) ], όπου κ, λ θετικοί αριθμοί. Να βρεθούν τα κ, λ ώστε οι παραπάνω συναρτήσεις να έχουν ίδια μέγιστη τιμή και η περίοδος της f ( ) είναι διπλάσια της περιόδου της g ( ).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 9 6. Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) = συν ( - ) -hm ( - ) α ) να αποδείξετε ότι : f ( ) = ημ β ) να λύσετε την εξίσωση : f ( ) - f ( - ) =, στο [ 0, π ] 7. Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) = ημ συν - ημ συν α ) να αποδείξετε ότι : f ( ) = - ημ β ) να βρείτε την περίοδο της f ( ) γ ) να αποδείξετε ότι : f ( ) f ( 8 - ) f ( 8 δ ) να λύσετε την εξίσωση : f ( + ) - f ( - ) = 0. - ) f ( 8 - ) = ημ8 8. Έστω 0 < < π και ημ + συν =. α ) να υπολογίσετε το ημ β ) να αποδείξετε ότι η γωνία είναι γωνία του δευτέρου τεταρτημορίου γ ) για την γωνία να δείξετε ότι : συν < ημ 7 δ ) να αποδείξετε ότι : συν ημ = - ε ) να υπολογίσετε το συν και την εφ. 9. Δίνεται η παράσταση : Α() = ημ συν, Î Â α ) να λύσετε την εξίσωση : Α( ) = - β ) Αν Α() = α, όπου α Î Â, να αποδείξετε ότι : ι ) ημ = -α ιι ) - a 50. Δίνεται η παράσταση : Α() = ημ - συν( - ) α ) να αποδείξετε ότι: Α() = - συν β ) να λύσετε την εξίσωση : Α( ) Α() = - γ ) να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση : (+ημ) εφ( - ) = Α() 5. Να λύσετε την εξίσωση : ημ συν = συν - 5. Να λύσετε την εξίσωση στο διάστημα [ 0, π ] : συν = ημ συν