ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ

Κεφάλαιο 8 ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ Θεωρούμε πάλι μία ΔΕ ẋ = f (x), όπου το διανυσματικό πεδίο f είναι κλάσεως C 1 σε ένα ανοιχτό υποσύνολο E του R n και έστω φ η ροή της. 8.1 Βασικοί ορισμοί Το Παράδειγμα 6.1.2 του Κεφαλαίου 6 υποβάλλει τους ορισμούς που ακολουθούν. Ορισμός 8.1.1. Ενα σύνολο S R n λέγεται αναλλοίωτο σύνολο της ροής φ αν για κάθε t και για κάθε x S, φ (t, x) S. Ειδικά ένα σύνολο S R n λέγεται θετικά αναλλοίωτο σύνολο της ροής φ αν για κάθε t 0 και για κάθε x S, φ (t, x) S. Παραδείγματα: (α) Αν x 0 είναι ένα σημείο ισορροπίας του συστήματος, τότε το μονοσύνολο {x 0 } είναι αναλλοίωτο σύνολο. (β) Οποιαδήποτε τροχιά είναι αναλλοίωτο σύνολο διότι για οποιοδήποτε x επί της τροχιάς, το σημείο φ (t, x) παραμένει στην ίδια τροχιά για κάθε t. (γ) Η εύρεση αναλλοίωτων συνόλων πέραν αυτών των τετριμμένων περιπτώσεων είναι σχετικά δύσκολη. Στο Παράδειγμα 6.2.1 είχαμε βρεί δύο τριγωνικές περιοχές αναλλοίωτα σύνολα του απλούστερου δυναμικού συστήματος που περιγράφει ανταγωνιστικά είδη. Ορισμός 8.1.2. Ενα σημείο p R n λέγεται ω-οριακό σημείο του x R n αν υπάρχει ακολουθία t n τέτοια ώστε lim n φ (t n, x) = p. 143

144 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ Ενα α-οριακό σημείο ορίζεται με παρόμοιο τρόπο θεωρώντας ακολουθία t n. Το σύνολο των ω-οριακών σημείων του x λέγεται ω-οριακό σύνολο του x και συμβολίζεται με ω (x). Παρόμοια ορίζεται το α-οριακό σύνολο του x. Το Σχήμα 8.1 σκιαγραφεί τον ορισμό. Ως τετριμμένο παράδειγμα, ένα σημείο ισορροπίας αποτελεί το α και ω-οριακό σημείο του εαυτού του. 3 0 1 0 2 0µ 0 0 1 1 2 0µ 1 Σχήμα 8.1: Η τροχιά φ ενός σημείου x και ένας ευσταθής οριακός κύκλος C. Η ακολουθία φ (t 1, x), φ (t 2, x),... συγκλίνει στο p. Το σημείο p C είναι ένα ω-οριακό σημείο του x και ω (x) = C. Γιατί στον ορισμό του ω-οριακού σημείου παίρνουμε το όριο της φ (, x) πάνω σε μία ακολουθία αντί να θεωρήσουμε απλώς το όριο lim t φ (t, x); Υπενθυμίζουμε ότι για x E η απεικόνιση φ (, x) : R E ορίζει την καμπύλη μιας λύσης που λέγεται τροχιά που περνάει από το x. Συχνά ταυτοποιούμε την καμπύλη φ (, x 0 ) που περνά από το x 0 με το γράφημα της, δηλαδή θεωρούμε το σύνολο Γ x0 = {x E : x = φ (t, x 0 ), t R}. Αν το σημείο x 0 δεν παίζει ρόλο συμβολίζουμε απλώς με Γ μία τροχιά του συστήματος. Το ω-οριακό σύνολο μιας τροχιάς Γ ορίζεται ως το ω-οριακό σύνολο οποιουδήποτε x Γ και συμβολίζεται με ω (Γ). Επανερχόμαστε στο Παράδειγμα 6.1.2, όπου ο κύκλος Γ είναι αναλλοίωτο σύνολο της ροής. Κάθε σημείο του κύκλου Γ είναι ω-οριακό σημείο οποιουδήποτε εσωτερικού σημείου του Γ εκτός της αρχής φυσικά. Επομένως Γ είναι

8.2. ΤΟ ΘΕ ΩΡΗΜΑ POINCARÉ-BENDIXSON 145 το ω-οριακό σύνολο κάθε σημείου x με 0 < x < 1. Αλλά και οποιοδήποτε σημείο στο εξωτερικό του Γ έχει ως ω-οριακό σύνολο το Γ. Επιπρόσθετα ο Γ αποτελεί ο ίδιος τα ω και α οριακά σύνολα του. Προφανώς η αρχή είναι το α-οριακό σύνολο οποιουδήποτε σημείου στο εσωτερικό του Γ. Τα αναλλοίωτα σύνολα είναι πολύ σημαντικά στην μελέτη ενός δυναμικού συστήματος. Πράγματι, ο περιορισμός της ροής σε ένα αναλλοίωτο σύνολο που εν γένει είναι μικρότερης διάστασης από τον πλήρη χώρο των φάσεων απλοποιεί κατά πολύ το πρόβλημα. Η παρακάτω πρόταση παρέχει ένα απλό τρόπο εύρεσης αναλλοιώτων συνόλων. Πρόταση 8.1.1. Εστω φ t η ροή της ΔΕ ẋ = f(x). Υποθέτουμε ότι μία C 1 συνάρτηση Z : R n R ικανοποιεί την ΔΕ Ż = αz, όπου η βαθμωτή συνάρτηση α : R n R είναι συνεχής και η παράγωγος Ż είναι κατά μήκος των τροχιών της ΔΕ. Τότε τα υποσύνολα του R n που ορίζονται ως Z > 0, Z = 0, Z < 0 είναι αναλλοίωτα σύνολα της ροής φ t. Απόδειξη. Εστω x Z + := {x R n : Z (x) > 0} και θεωρούμε την τροχιά φ t (x). Με ολοκλήρωση της Ż = αz, προκύπτει Z (φ t (x)) = Z (x) exp t 0 α, επομένως Z (φ t (x)) Z +. Ομοια αποδεικνύεται ότι τα Z = 0 και Z < 0 είναι αναλλοίωτα σύνολα της ροής. Παράδειγμα 8.1.1. Ως εφαρμογή της Πρότασης 8.1.1, θεωρούμε το σύστημα ẋ = xm (x, y), ẏ = yn (x, y), (8.1.1) όπου M και N είναι αρκούντως ομαλές συναρτήσεις. Οι x (t) και y (t) ικανοποιούν τις υποθέσεις για την Z της Πρότασης 8.1.1, επομένως τα σύνολα x = 0 και y = 0 είναι αναλλοίωτα σύνολα της ροής. Επιπλέον επαναλαμβάνοντας την επιχειρηματολογία της Παρατήρησης 6.2.1, το πρώτο τεταρτημόριο x 0, y 0 του επιπέδου είναι επίσης αναλλοίωτο σύνολο. Επομένως μία τροχιά που ξεκινάει στο πρώτο τεταρτημόριο παραμένει σε αυτό για κάθε t. Η ιδιότητα αυτή που έχει η οικογένεια συστημάτων (8.1.1) καθιστά τα συστήματα αυτά κατάλληλα για την περιγραφή μοντέλων αλληλεπίδρασης πληθυσμών, βλ. π.χ. την Παράγραφο 10.4. 8.2 Το Θεώρημα Poincaré-Bendixson Τα μέχρι τώρα παραδείγματα υποδεικνύουν ότι σε δύο διαστάσεις η τροχιά ενός ομαλού σημείου μπορεί

146 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ 1. να πλησιάζει το άπειρο καθώς t, 2. να πλησιάζει ένα σημείο ισορροπίας καθώς t, 3. να πλησιάζει ένα οριακό κύκλο καθώς t, 4. να είναι η ίδια περιοδική, π.χ. ένας οριακός κύκλος. Το επόμενο θεώρημα μας λέει ότι ουσιωδώς αυτές είναι οι μόνες δυνατότητες για διδιάστατα συστήματα. Θεώρημα 8.2.1 (Το Θεώρημα Poincaré-Bendixson). Θεωρούμε μία ΔΕ ẋ = f (x) με f C 1 (E), όπου E είναι ανοιχτό υποσύνολο του R 2. Εστω μία τροχιά Γ που περιέχεται σε ένα συμπαγές υποσύνολο του E που δεν περιέχει κανένα σημείο ισορροπίας. Τότε, ω (Γ) είναι περιοδική τροχιά. Ως πόρισμα του Θεωρήματος Poincaré-Bendixson προκύπτει ότι αν μία τροχιά Γ κείται εξ ολοκλήρου μέσα σε ένα συμπαγές χωρίο του επιπέδου, τότε είτε η Γ πλησιάζει ένα σημείο ισορροπίας, είτε πλησιάζει μία περιοδική τροχιά, ή η ίδια είναι περιοδική. Παράδειγμα 8.2.1. Το σύστημα ẋ = y + x x 3 1 2 xy2, ẏ = x + y y 3 x 2 y, έχει μοναδικό σημείο ισορροπίας την αρχή. Θα προσπαθήσουμε να βρούμε ένα χωρίο D (δακτύλιο), με εσωτερικό κύκλο C 1 και εξωτερικό κύκλο C 2 τέτοιους ώστε κάθε τροχιά που τέμνει τον C 1 ή τον C 2 να εισέρχεται στον D. Επομένως καμία τροχιά που εισέρχεται στον D μπορεί να διαφύγει εκτός του δακτυλίου (trapping region). Εστω n = (x, y) το διάνυσμα θέσης στο (x, y) (r, θ) με φορά προς τα έξω του κύκλου ακτίνας r και f το διανυσματικό πεδίο του συστήματος. Επομένως n f είναι θετικό ή αρνητικό, αναλόγως του αν το f δείχνει προς τα έξω ή προς τα μέσα. Εκτελώντας το εσωτερικό γινόμενο βρίσκουμε n f = r 2 r 1 4 1 2 cos2 θ sin 2 θ, που είναι θετικό για r = 1/2 και αρνητικό για r = 2 για κάθε θ. Συνεπώς ο δακτύλιος D = x R 2 : 1/2 x 2 περιέχει μία περιοδική τροχιά, Σχήμα 8.2. Ο εντοπισμός της θέσης του οριακού κύκλου με μεγαλύτερη ακρίβεια απαιτεί λεπτότερα επιχειρήματα.

8.2. ΤΟ ΘΕ ΩΡΗΜΑ POINCARÉ-BENDIXSON 147 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 Σχήμα 8.2: Ο δακτύλιος D : 1/2 r 2 περιέχει ένα οριακό κύκλο. Εν γένει είναι δύσκολη η εύρεση οριακού κύκλου ενός δυναμικού συστήματος και ακόμα δυσκολότερος ο εντοπισμός της θέσης του. Το επόμενο θεώρημα παρέχει ένα αρνητικό κριτήριο για την απουσία οριακών κύκλων σε διδιάστατα συστήματα. Θεώρημα 8.2.2 (Bendixson). Εστω f = (f 1, f 2 ) C 1 (E), όπου E είναι ένα απλά συνεκτικό χωρίο του R 2. Αν f δεν είναι παντού μηδέν και δεν αλλάζει πρόσημο μέσα στο E, τότε η ΔΕ, ẋ = f (x) δεν έχει κλειστή τροχιά κείμενη εξ ολοκλήρου μέσα στο E. Απόδειξη. Θα δείξουμε το θεώρημα με απαγωγή σε άτοπο. Υποθέτουμε ότι η ΔΕ έχει κλειστή τροχιά, Γ : x = x (t), t [0, T ] κείμενη εξ ολοκλήρου μέσα στο E. Αν D είναι το εσωτερικό της Γ, τότε από το Θεώρημα Green προκύπτει D fdxdy = = T 0 T (f 1 dy f 2 dx) = Γ (f 1 f 2 f 2 f 1 ) dt = 0. 0 (f 1 ẏ f 2 ẋ) dt Αφού το f δεν αλλάζει πρόσημο το διπλό ολοκλήρωμα πρέπει να είναι είτε θετικό είτε αρνητικό, πράγμα άτοπο.

148 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ 8.3 Το σύστημα Lorentz Το Θεώρημα Poincaré-Bendixson ουσιωδώς οφείλεται στο γεγονός ότι μία τροχιά ενός δυναμικού συστήματος δεν αυτοτέμνεται. Αφού λοιπόν η τροχιά παραμένει στο επίπεδο, δεν μπορεί να παραμένει σε μία περιοχή K του επιπέδου για κάποιο διάστημα και αφού πλανηθεί αλλού να επανέρχεται στην K χωρίς να αυτοτμηθεί. Σε τρεις διαστάσεις όμως, ακόμα και αν μία τροχιά Γ περιέχεται σε ένα συμπαγές υποσύνολο K του R 3 που δεν περιέχει σημεία ισορροπίας, αυτή μπορεί να παραμένει για πεπερασμένο χρόνο σε μία περιοχή του K και να επανέρχεται περιοδικά σ αυτήν επ άπειρον χωρίς να αυτοτέμνεται. Επομένως η δομή των οριακών συνόλων σε δυναμικά συστήματα διάστασης μεγαλύτερης του δύο είναι πολύ πολύπλοκη. Τριδιάστατα συστήματα μπορούν ακόμα να έχουν παράξενους ελκυστές. Το πρότυπο τέτοιων συστημάτων είναι το σύστημα Lorentz. Οι εξισώσεις Lorenz προέκυψαν το 1963 ως μία υπερπλούστευση ενός μετεωρολογικού μοντέλου. Εγιναν διάσημες πολύ αργότερα διότι μέσω αυτών κατεδείχθη ότι ένα δυναμικό σύστημα με διάσταση μεγαλύτερη του δύο μπορεί να έχει λύσεις με χαοτική συμπεριφορά. Το σύστημα Lorenz είναι ẋ = σ (y x), ẏ = rx y xz, (8.3.1) ż = bz + xy, όπου οι παράμετροι σ, r, b είναι μη αρνητικές. Ο ίδιος ο Lorenz με αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων παρετήρησε για μεγάλο εύρος των παραμέτρων ακανόνιστες ταλαντώσεις που δεν επαναλαμβάνονται, βλ. Σχήμα 8.3. Στην παράγραφο αυτή θα θίξουμε μερικές μόνο πτυχές της χαοτικής συμεριφοράς των λύσεων του (8.3.1) χωρίς να επιζητούμε αυστηρή παρουσίαση. Η σχετική βιβλιογραφία για το σύστημα αυτό ανέρχεται σε χιλιάδες άρθρα με θεωρητική αλλά και αριθμητική προσέγγιση, βλ. [11]. Κάποιες πρώτες ιδιότητες του συστήματος (8.3.1) προκύπτουν σχετικά εύκολα, βλ. [12]. Η αρχή (0, 0, 0) είναι ευσταθές σημείο ισορροπίας και έλκει όλες τις τροχιές για r < 1. Για r > 1 η αρχή παραμένει σημείο ισορροπίας, αλλά γίνεται σάγμα. Για r > 1 δύο άλλα σημεία ισορροπίας εμφανίζονται που ο χαρακτήρας τους εξαρτάται από τις παραμέτρους. Ογκοι του χώρου των φάσεων συστέλλονται υπό τη ροή του (8.3.1). Το αποτέλεσμα αυτό είναι συνέπεια του Θεωρήματος Liouville, σύμφωνα

8.3. ΤΟ Σ ΥΣΤΗΜΑ LORENTZ 149 20 10 10 20 30 40 10 20 Σχήμα 8.3: Η λύση y (t) του συστήματος Lorenz με αρχική συνθήκη (0, 1, 0), όπως προκύπτει με αριθμητική ολοκλήρωση. Οι τιμές των παραμέτρων είναι σ = 10, r = 28 και b = 8/3. με το οποίο αν θεωρήσουμε ένα υποσύνολο του χώρου των φάσεων ενός δυναμικού συστήματος ẋ = f (x) με όγκο V (t), τότε dv/dt = fdv. Στην περίπτωση μας είναι, f = σ 1 b < 0, V επομένως dv/dt < 0. Για μία στοιχειώδη απόδειξη του Θεωρήματος Liouville βλ. [12] και για μία γενικότερη απόδειξη βλ. [13]. Αποδεικνύεται ότι οι τροχιές του συστήματος παραμένουν σε μία φραγμένη περιοχή του R 3. Επίσης το σύστημα δεν έχει σχεδόν περιοδικές τροχιές, βλ. Κεφ. 8 στο [12]. Παρά τη φαινομενική αθωότητα των εξισώσεων η μη γραμμικότητα εμφανίζεται μόνο στους όρους xz και xy το σύστημα έχει ένα παράξενο ελκυστή (strange attractor) για ορισμένες τιμές των παραμέτρων. Σε αντίθεση με τα ευσταθή σημεία ισορροπίας και τους ευσταθείς οριακούς κύκλους ο παράξενος ελκυστής δεν είναι σημείο, καμπύλη ή επιφάνεια, αλλά είναι fractal, με διάσταση μεταξύ 2 και 3. Η τροχιά σε τρεις διαστάσεις έχει αποτελέσει αντικείμενο καλλιτεχνικών απεικονίσεων στο διαδίκτυο και φαίνεται στο Σχήμα 8.4. Η κατασκευή του πορτραίτου φάσεων με τη Mathematica έγινε με την εντολή lorenz = NDSolve[{x [t] == 3(y[t] x[t]), y [t] == 26.5x[t] y[t] x[t]z[t], z [t] == z[t] + x[t]y[t], x[0] == 0, z[0] == 0, y[0] == 1}, {x, y, z}, {t, 0, 200}, MaxSteps > 20000]; ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t], y[t], z[t]}/.lorenz], {t, 0, 200}, PlotPoints > 1000]

150 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ Σχήμα 8.4: Πορτραίτο φάσεων με αρχική συνθήκη (0, 1, 0) και τιμές των παραμέτρων σ = 3, r = 26.5, b = 1. Για να κατανοήσουμε το Σχήμα 8.4 θεωρούμε διαδοχικές απεικονίσεις της τροχιάς για όλο και μεγαλύτερα χρονικά διαστήματα, βλ. Σχήμα 8.5. Η τροχιά ξεκινάει κοντά στην αρχή, στρίβει δεξιά και στη συνέχεια επισκέπτεται το κέντρο της αριστερής σπείρας. Κινείται σπειροειδώς προς τα έξω, επανέρχεται στο δεξιό λοβό, κινείται σπειροειδώς και ξαναεπισκέπτεται τον αριστερό λοβό κ.ο.κ. επ άπειρον. Ο αριθμός των περιστροφών σε κάθε κύκλο είναι τυχαίος, δηλαδή η ακολουθία του αριθμού των περιστροφών σε κάθε λοβό έχει τα χαρακτηριστικά μιας τυχαίας ακολουθίας (random sequence). Το σύστημα Lorenz εμφανίζει ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες. Αυτό σημαίνει ότι γειτονικές τροχιές αποκλίνουν σε πεπερασμένο χρόνο. Ακριβέστερα, για κάθε δ > 0, αν θεωρήσουμε δύο λύσεις x (t) και u (t) με x (0) u (0) < δ, τότε για κάποιο ε > 0 υπάρχει τ > 0 : x (t) u (t) > ε t > τ, πρβλ. τον ορισμό του ασταθούς σημείου ισορροπίας. Συμβολίζουμε με δ 0 την αρχική απόσταση των λύσεων και με δ (t) την απόσταση τους τη στιγμή t, δηλαδή δ 0 = x (0) u (0) και δ (t) = x (t) u (t). Αριθμητικές μελέτες του συστήματος Lorenz δείχνουν ότι προσεγγιστικά δ (t) = O δ 0 e λt, όπου λ είναι της τάξης του 0.9 (ακριβέστερα, λ είναι συνάρτηση του χρόνου με τιμές πολύ κοντά στο 0.9). Επομένως οι τροχιές απομακρύνονται εκθετικά

8.3. ΤΟ Σ ΥΣΤΗΜΑ LORENTZ 151 10 20 y 10 0 x 5 0 5 10 y y 40 30 z 20 10 0 z z x x Σχήμα 8.5: Η τροχιά του συστήματος για χρονικά διαστήματα 7, 10 και 20 μονάδες χρόνου. Η αρχική συνθήκη είναι πάντα (0, 1, 0) και οι τιμές των παραμέτρων είναι σ = 3, r = 26.5 και b = 1. γρήγορα. Η εκθετική απομάκρυνση φυσικά σταματά όταν γίνει συγκρίσιμη με τις διαστάσεις του ελκυστή δεδομένου ότι οι τροχιές παραμένουν φραγμένες. Οπως έχει τονισθεί στην Παράγραφο 2.3, η γνώση των αρχικών συνθηκών προκύπτει από μετρήσεις, άρα υπόκειται σε σφάλματα. Ας υποθέσουμε ότι σε κάποιο πείραμα το σφάλμα της μετρούμενης από την ακριβή αρχική κατάσταση είναι δ 0 > 0. Συμβολίζουμε με δ (t) > 0 την διαφορά της πρόβλεψης από την ακριβή τελική κατάσταση. Επομένως η πρόβλεψή μας καθίσταται μη αποδεκτή όταν η διαφορά αυτή υπερβεί κάποια ανεκτή τιμή, έστω a > 0 δηλαδή όταν δ (t) a. Αυτό συμβαίνει μετά από χρόνο ln (a/δ0 ) τ = O. λ Για να κατανοήσουμε το αποτέλεσμα αυτό ας θέσουμε αυθαίρετα δ 0 = 10 2 και a = 1, οπότε 2 ln 10 τ = O. λ Ακόμα και αν βελτιώσουμε την αρχική μέτρηση κατά τρεις τάξεις μεγέθους, δηλαδή θεωρήσουμε δ 0 = 10 5, βρίσκουμε ότι η πρόβλεψή μας μπορεί να επεκταθεί μέχρι χρόνο τ = 2.5τ. Επιχειρήματα αυτού του τύπου δείχνουν τη δυσκολία πρόβλεψης της συμπεριφοράς ενός χαοτικού συστήματος. Για παράδειγμα η μακρά πρόβλεψη του καιρού δεν μπορεί να υπερβεί κάποιο χρονικό διάστημα.

152 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ 8.4 Ταξινόμηση οριακών συνόλων Τα παρακάτω δύο θεωρήματα χαρακτηρίζουν τα οριακά σύνολα μιας τροχιάς. Για την απόδειξη τους παραπέμπουμε στη βιβλιογραφία, π.χ. [5]. Θεώρημα 8.4.1. Το οριακό σύνολο ω (Γ) είναι κλειστό υποσύνολο του E. Αν επιπλέον η τροχιά Γ κείται σε συμπαγές υποσύνολο του R n, τότε ω (Γ) είναι μη κενό, συνεκτικό και συμπαγές σύνολο. Θεώρημα 8.4.2. Αν p είναι ω-οριακό σημείο της τροχιάς Γ, τότε όλα τα σημεία της τροχιάς που περνά από το p είναι επίσης οριακά σημεία της Γ, δηλαδή αν p ω (Γ), τότε Γ p ω (Γ). Σκιαγράφιση της απόδειξης. Αν p ω (Γ) όπου Γ είναι η τροχιά της φ (, x 0 ), τότε υπάρχει ακολουθία t n τέτοια ώστε lim n φ (t n, x 0 ) = p. Αν q είναι ένα σημείο της τροχιάς φ (, p), τότε υπάρχει τ R : q = φ (τ, p). Λόγω της συνέχειας της φ θα έχουμε φ (t n + τ, x 0 ) = φ (τ, φ (t n, x 0 )) φ (τ, p) = q, καθώς n. Ανάλογες προτάσεις ισχύουν για το α-οριακό σημείο μιας τροχιάς Γ. Ά- μεσο πόρισμα του παραπάνω θεωρήματος είναι το εξής. Πόρισμα 8.4.3. Το ω (Γ) είναι αναλλοίωτο σύνολο της ροής φ. Οι απλούστερες λύσεις είναι τα σημεία ισορροπίας, δηλαδή τροχιές που αποτελούνται από ένα σημείο x 0 με φ (t, x 0 ) = x 0 για κάθε t R. Προφανώς για τις τροχιές αυτές είναι ω (Γ) = α (Γ) = Γ. Τέτοια σημεία λέγονται και ανώμαλα σημεία (singular points), διότι το διανυσματικό πεδίο μηδενίζεται στα σημεία αυτά, f (x 0 ) = 0. Μία άλλη κατηγορία λύσεων που οι τροχιές τους ταυτίζονται με τα οριακά τους σύνολα (ω (Γ) = α (Γ) = Γ) είναι οι περιοδικές λύσεις φ (t, x) = φ (t + T, x), x Γ, για κάποιο T > 0. Προφανώς η τροχιά μιας περιοδικής λύσης είναι μία κλειστή καμπύλη στον R n.

8.4. ΤΑΞΙΝ ΟΜΗΣΗ ΟΡΙΑΚ ΩΝ ΣΥΝ ΟΛΩΝ 153 Οι τροχιές ταξινομούνται βάσει των οριακών τους συνόλων σε τέσσερις ξένες μεταξύ τους κλάσεις που θα συμβολίσουμε με I, II, III, IV. Γ ω (Γ) = I ω (Γ) = αποκλίνουσα τροχιά II ω (Γ) = ασυμπτωτική τροχιά Τροχιές τύπου I τείνουν στο άπειρο στον R n όταν t + και λέγονται αποκλίνουσες τροχιές. Τροχιές τύπου II πλησιάζουν τα ω-οριακά σύνολα τους καθώς t + και λέγονται ασυμπτωτικές τροχιές. Παραδείγματα τροχιών τύπου II είναι τροχιές που πλησιάζουν ασυμπτωτικά ένα σημείο ισορροπίας, ή μία περιοδική τροχιά, δηλαδή έναν οριακό κύκλο. Γ ω (Γ) = III Γ = ω (Γ) σημείο ισορροπίας ή περιοδική τροχιά IV Γ = ω (Γ) = Γ επανερχόμενη κατά διαστήματα τροχιά Τροχιές τύπου IV έχουν την ιδιότητα ότι για κάθε x Γ, η Γ επανέρχεται οσοδήποτε κοντά στο x καθώς t + και λέγονται επανερχόμενες κατά διαστήματα τροχιές (recurrent orbits). Με Γ συμβολίζουμε το κλειστό περίβλημα (closure) του συνόλου Γ, βλ. Παράρτημα. Στον R 2 δεν υπάρχουν επανερχόμενες κατά διαστήματα τροχιές: Πρόταση 8.4.4. Εστω Γ μία τροχιά ενός δυναμικού συστήματος στον R 2. Αν Γ και ω (Γ) έχουν ένα κοινό σημείο, τότε Γ = ω (Γ), δηλαδή η Γ είναι σημείο ισορροπίας ή περιοδική τροχιά. Απόδειξη. Η απόδειξη περιέχεται στο τρίτο Λήμμα για την απόδειξη του Θεωρήματος Poincaré-Bendixson στο [5]. Η επόμενη πρόταση παρέχει ένα ισχυρό εργαλείο για τον αποκλεισμό τροχιών τύπου III και IV. Πρόταση 8.4.5. Εστω S R n ένα αναλλοίωτο σύνολο για τη ροή του δυναμικού συστήματος. Αν υπάρχει συνεχής συνάρτηση Z : S R που είναι γνησίως μονότονη κατά μήκος των τροχιών στο S, τότε το S δεν περιέχει σημεία ισορροπίας, περιοδικές τροχιές, ή επανερχόμενες κατά διαστήματα τροχιές. Απόδειξη. Αν υπάρχει τροχιά Γ στο S με Γ ω (Γ) =, τότε η Z δεν θα μπορούσε να είναι γνησίως μονότονη κατά μήκος της Γ.