Υλικό σηµείο µάζας, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F (), η οποία ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης από το ελκτι κό κέντρο Ο, δηλαδή περιγράφεται από την σχέση: F () = k / όπου k θετική σταθερά και το µοναδιαίο διάνυσµα της επιβατικής ακτίνας του υλικού σηµείου ως προς το Ο. i) Εάν η στροφορµή του υλικού σηµείου περί το Ο είναι, να δείξετε ότι η ενεργός δυναµική του ενέργεια U ef () δίνεται από την σχέση: U ef () = k ii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση U ef () παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο η δε ελάχιστη τιµή της U in είναι ίση µε την µηχανική ενέργεια του υλι κού σηµείου, αν η τροχιά του εντός του πεδίου ήταν κυκλική και η στροφορµή του. iii) Εάν η µηχανική ενέργεια Ε του υλικού σηµείου ικανοποιεί την σχέση U in <E< και η στροφορµή του περί το Ο είναι διάφορη του µη δενός, να δείξετε την σχέση: = k/e όπου α µεγάλος ηµιάξονας της ελλειπτικής τροχιάς που διαγράφει. iv) Nα δείξετε ότι η εκκεντροτητα e της τροχιάς ικανοποιεί την σχέ ση: e = + E k Πoια είναι η εξίσωση της τροχιάς σε πολικές συντεταγµένες; ΛΥΣΗ: i) H µηχανική ενέργεια Ε του υλικού σηµείου κατά µια τυχαία χρονι κή στιγµή που η αποστασή του από το ελκτικό κέντρο Ο είναι εκφράζεται ως
άθροισµα της κινητικής του ενέργειας Κ και της δυναµικής του ενέργειας U(), δηλαδή ισχύει: E = K + U() = v ( + v ) + U() () όπου v, v η ακτινική αντιστοίχως η εγκάρσια συνιστώσα της ταχυτητάς του. Όµως ισχύουν οι σχέσεις: v = d dt, v = d dt και U() = k οπότε η () γράφεται: E = ( d * dt ) * d' + dt +, k () Εξάλλου το µέτρο της στροφορµής του υλικού σηµείου δίνεται από την σχέση: d d = v = ' ' dt dt = οπότε η () παίρνει την µορφή: E = ' d ) dt ( ) + *, +, k = d dt + k E = όπου τέθηκε: d dt + U ef () (3) U ef () = k, <<+ (4) H ποσότητα U ef () αποτελεί την λεγόµενη ενεργό δυναµική ενέργεια του υλικού σηµείου είναι δε για δεδοµένη στροφορµή συνάρτηση της απόστασης. Η συνάρτηση αυτή παρουσιάζει τις εξής ιδιότητες: α. U ef () = για = * : * = k * * = k β. li k U ef () = li ' = +(
γ. li + U ef () = li + k ( = ' δ. Εάν η U ef () η παρουσιάζει θέσεις τοπικών ακροτάτων, στις θέσεις αυτές θα µηδενίζεται η πρώτη παράγωγός της, δηλαδή θα έχουµε: du ef () d = = ' d ) d () k *, = +, = + k 3 = = 3 = k = k = * (5) H δεύτερη παράγωγος της U ef () στην θέση είναι: d U ef () d = = d ' d + k * ) ( 3, = 3 ' ) + = ( 4 k * 3, + = d U ef () d = 3 4 = k = 3 (5) k 4 d U ef () d = 3 k / k = 4 = > (6) 4 Σχήµα δηλαδή στην θέση η U ef () παρουσιάζει ελάχιστη τιµή U in για την οποία ισχύ ει: U in = [ U ef ()] = = k (5)
U in = 4 / k k / k = k k Mε βάση τις παραπάνω ιδιότητες που παρουσιάζει η συνάρτηση U ef () / <<+ + = k < (7) η γραφική της παράσταση έχει την µορφή του σχήµατος (). Στην περίπτωση που οι αρχικές συνθήκες κίνησης της µάζας την αναγκάζουν να διαγράψει κυκλική τροχιά, η κεντρική δύναµη αποτελεί κεντροµόλο δύναµη για την µάζα αυτή, δηλαδή θα ισχύει: k R = V R V = k R R = k R R = k = (8) όπου R η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς και V το µέτρο της ταχύτητάς της. Εξάλλου η ενεργός δυναµική ενέργεια Ε ef (R) της µάζας επί της κυκλικής τροχιάς της είναι: (7) E ef (R) = E ef ( ) = U in E ef (R) = k (9) H αντίστοιχη µηχανική ενέργεια Ε(R) της µάζας είναι: E(R) = V k R = k R k R = k R (8) E(R) = k / k = k (9) E(R) = E ef (R) () δηλαδή για κυκλική τροχιά της µάζας η ενεργός της δυναµική ενέργεια απο βαίνει ελάχιστη και ίση µε την µηχανική της ενέργεια. ii) Όταν η µηχανική ενέργεια Ε της µάζας ικανοποιεί την σχέση U in <E< και η στροφορµή της είναι διάφορη του µηδενός, τότε η τροχιά της είναι ελ λειπτική και µια της εστία συµπίπτει µε το ελκτικό κέντρο Ο. Στην περίπτωση αυτή θα υπάρχουν δύο θέσεις = και = της µάζας για τις οποίες θα ισχύ ει Ε=U ef () (βλέπε σχηµα ) που σηµαίνει ότι στις θέσεις αυτές η ακτινική συνι στώσα d/dt της ταχύτητάς της µηδενίζεται, όπως προκύπτει από την σχέση: E = d dt + U ef () Οι θέσεις, αντιστοιχούν στην ελάχιστη και στην µέγιστη απόσταση από το ελκτικό κέντρο Ο, προκύπτουν δε ως ρίζες της εξίσωσης: E = k E = k E + k =
Οι ρίζες αυτές είναι: και µε = k 4E + 4k + 8E 4E = k 4E 4k + 8E 4E k + E / > = k E + = k E διότι E < U in = k k + E / E k + E / E = in = ax Εάν α είναι ο µεγάλος ηµιάξονας της ελλειπτικής τροχιάς θα ισχύει: = in + ax = k E E = k () Σχήµα Εξάλλου, εάν f είναι η εστιακή απόσταση της ελλειπτικής τροχιάς θα έχουµε: ax in = f k + E / E = f () k + E / = ee k + E / = e ( k/ ) k + E = e k e = + E k e = + E k < διότι Ε< () όπου e η εκκεντρότητα της ελλειπτικής τροχιάς. Τέλος η εξίσωση της τροχιάς σε πολικές συντεταγµένες (, φ) µε πόλο το κέντρο Ο έχει την µορφή: = p + e / (3)
η οποία εφαρµοζόµενη για το εγγύτερο προς την εστία Ο σηµείο Α της τροχιάς και για το απώτατο σηµείο της Α δίνει: in = p/( + e) ax = p/( e) (+ ) in + ax = p + e + p e = p e p = ( ) e (4) και η (3) γράφεται: = ( ) e + e (5) Όµως ακόµη έχουµε: ( ) = k e ( ' * E E ) * ' k +, k = ' ' k = k οπότε η (5) γράφεται: = / k + e () = / k + + ( E /k ) P.M. fysikos Υλικό σηµείο µάζας κινείται µέσα σε δυναµικό πεδίο δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F (), που περιγράφεται από την σχέση: / ke F () = () όπου k, α θετικές σταθερές ποσότητες, η απόσταση του υλικού ση µείου από το ελκτικό κέντρο Ο και το µοναδιαίο διάνυσµα της επι βατικής του ακτίνας ως προς το Ο. i) Eάν είναι η σταθερή στροφορµή του υλικού σηµείου περί το Ο, να δείξετε την σχέση: d dt + ke / 3 = ii) Eάν οι αρχικές συνθήκες κίνησης του υλικού σηµείου επιβάλουν
να κινείται µέσα στο κεντρικό δυναµικό πεδίο επί κυκλικής τροχιάς κέντρου Ο και ακτίνας R, να δείξετε ότι η τροχιά αυτή είναι ευστα θής όταν R<α, ενώ είναι ασταθής όταν R>α. ΛΥΣΗ: i) Eφαρµόζοντας για το υλικό σηµείο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση της ακτίνας της επίπεδης τροχιάς που διαγράφει παίρνο µε την σχέση: a = F ( () d dt d * ' dt ) * d dt d ' dt F() = () + = F(), d dt + ke / d ( dt' = () όπου a η ακτινική επιτάχυνση του υλικού σηµείου. Όµως για το µέτρο της σταθερής στροφορµής ισχύει η σχέση: = v = d ' d dt dt = όπου v η εγκάρσια συνιστώσα της ταχύτητας του υλικού σηµείου. H () λόγω της (3) γράφεται: (3) d dt + ke / ' = d dt + ke / 3 = (4) H (4) αποτελεί την αποδεικτέα σχέση: ii) Για κυκλική τροχιά του υλικού σηµείου κέντρου Ο και ακτίνας R, η (4) δίνει: R / ke + R R = 3 ke R / = / R (5) Eξάλλου η ενεργός δυναµική ενέργεια U ef () του υλικού σηµείου είναι: U ef () = U() + du () ef d = du() d 3 du ef () d = F() () 3 du ef () d = ke / 3 (6) όπου U() η δυναµική ενέργεια του υλικού σηµείου, που συνδέεται µε την κέν τρική δύναµη µέσω της σχέσεως F()=dU()/d. H (6) για =R δίνει:
du ef () d =R = ke R /' R R 3 (5) du ef () d =R = R 3 R 3 = (7) H σχέση (7) εκφράζει ότι στα σηµεία της κυκλικής τροχιάς η U εν () παρουσιάζει ακρότατο και υπό την έννοια αυτή τα σηµεία αυτά βρίσκονται σε µια ιδιότυπη ισορροπία. Αν η δεύτερη παράγωγος της U εν () στα σηµεία =R είναι θετική η ισορροπία της κυκλικής τροχιάς είναι ευσταθής, δηλαδή µια µικρή εκτροπή από την κυκλική τροχιά θα προκαλέσει νέα κίνηση που είναι φραγµένη και εποµέ νως θα διαφέρει πολύ λίγο από την αρχική κυκλική τροχιά. Αν όµως η δεύτερη παράγωγος της U εν () στα σηµεία =R είναι αρνητική, η κυκλική τροχιά είναι ασταθής που σηµαίνει ότι µια µικρή εκτροπή από την τροχιά αυτή θα προκα λέσει νέα κίνηση που αποκλίνει από την κυκλική τροχιά. Eξάλλου παραγωγί ζοντας ως προς την σχέση (6) έχουµε: d U ef () d = k d d e / ' + 3 = k e / ( 4 4 * ) + e / + 3, 4 d U ef () d = ke / ke / 3 + 3 4 d U ef () d =R R /' ke = R ' ke R /' R 3 + 3kRe R /' R 4 = ke R /' R ' +ke R /' R 3 (8) Για ευσταθή κυκλική τροχιά η (8) δίνει: ke R / R +ke R / R 3 > ke R / > ke R / R 3 R R < Για ασταθή κυκλική τροχιά η (8) δίνει: ke R / R +ke R / R 3 < ke R / < ke R / R 3 R R > P.M. fysikos Υλικό σηµείο κινείται σε ελλειπτική τροχιά υπό την επίδραση κεντρικής δύναµης, η οποία απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας U() της µορφής: U() = k/ όπου k θετική σταθερά και η απόστασή του εκ του κέντρου Ο της δύναµης. i) Να αποδείξετε ότι η ταχύτητα του υλικού σηµείου στο περίκεντρο είναι µεγαλύτερη της ταχύτητάς του σε κυκλική τροχιά ακτίνας ίσης µε την απόσταση του περικέντρου από το κέντρο Ο, η δε ταχύτητά
του στο απόκεντρο είναι µικρότερη της ταχύτητάς του σε κυκλική τρο χιά κέντρου Ο και ακτίνας ίσης µε την απόσταση του απόκεντρου από το Ο. ii) Εάν αρχικά το υλικό σηµείο κινείται σε κυκλική τροχιά και η στα θερά k ελαττωθεί στο µισό, ποια θα είναι η µορφή της νέας τροχιάς που θα ακολουθήσει το υλικό σηµείο; ΛΥΣΗ: i) Kατά την κίνηση του υλικού σηµείου επί της ελλειπτικής τροχιάς του η µηχανική του ενέργεια Ε παραµένει σταθερή και ίση µε k/α, όπου α το µήκος του µεγάλου ηµιάξονα της ελλείψεως (βλέπε η άσκηση). Εάν v είναι η ταχύτητα του υλικού σηµείου στο απόκεντρο Α της τροχιάς του και in η απόσταση του Α από το κέντρο Ο της δύναµης θα ισχύει: v k = k in v = k ' () in Eξάλλου εάν το υλικό σηµείο αναγκαζόταν να κινηθεί επί κυκλικής τροχιάς ακτίνας in και κέντρου Ο, τότε η κεντρική δύναµη θα λειτουργούσε ως κεν τροµόλος δύναµη για το υλικό σηµείο, δηλαδή θα ίσχυε η σχέση: k = v K in in v K = k in () όπου v K η ταχύτητά του επί της κυκλικής τροχιάς. Αν δεχθούµε ότι ισχύει v >v K, τότε µε βάση τις () και () θα πρέπει: in > in > in in > in > in, η οποία όµως ισχύει. Με τον ίδιο τρόπο σκεπτόµενοι βρίσκουµε ότι το µέτρο της ταχύτητας v του υλικού σηµείου στο απόκεντρο σηµείο Α της τροχιάς του προκύπτει από την σχέση: v = k ' (3) ax όπου ax η απόσταση του Α από το Ο, το δε µέτρο της αντίστοιχης ταχύτητας v K επί κυκλικής τροχιάς ακτίνας ax ικανοποιεί την σχέση: v K = k ax (4) Αν δεχθούµε ότι ισχύει v <v K, τότε µε βάση τις (3) και (4) θα πρέπει να έχουµε:
ax < ax < ax ax > ax ax >, η οποία όµως ισχύει. ii) Aς υποθέσουµε ότι το υλικό σηµείο µε κατάλληλες αρχικές συνθήκες κίνη σης διαγράφει υπό την επίδραση της κεντρικής δύναµης κυκλική τροχιά ακτί νας R. Tότε το µέτρο της ταχύτητάς του v K θα ικανοποιεί την σχέση: k R = v K R v K = k R (5) Σχήµα 4 Aν κάποια στιγµή η σταθερά k µεταβαλλόταν απότοµα στην τιµή k/, η µεν κινητική ενέργεια του υλικού σηµείου την στιγµή αυτή θα ήταν v K /, η δε δυναµική του ενέργεια θα ήταν ίση µε k/r, δηλαδή η αντίστοιχη µηχανική του ενέργεια θα ήταν: E = v K k (5) R E = k R k R = (6) H (6) δηλώνει ότι το υλικό σηµείο θα κινηθεί αµέσως µετά την µεταβολή της σταθεράς k επί παραβολικής τροχιάς, που η εστία της συµπίπτει µε το ελκτικό κέντρο Ο και θα φθάσει οριακά στο άπειρο µε µηδενική ταχύτητα (σχ. 4). P.M. fysikos Yλικό σηµείο µάζας κινείται υπό την επίδραση κεντρικής ελκτικής δύναµης F (), που περιγράφεται από την σχέση: F () = k / όπου k θετική σταθερά, η απόσταση του υλικού σηµείου από το ελκτικό κέντρο O και το µοναδιαίο διάνυσµα της επιβατικής ακτί νας του ως προς το O. Αν η απόσταση του σηµείου εκτόξευσης του υλικού σηµείου από το Ο είναι, ο φορέας της ταχύτητας εκτόξευξης
v είναι κάθετος στην επιβατική του ακτίνα και η τροχιά του ελλει πτική, να βρείτε κάτω από ποιες συνθήκες το σηµείο εκτόξευσης απο τελεί περίκεντρο ή απόκεντρο της τροχιάς. ΛYΣH: Επειδή η ταχύτητα εκτόξευσης v τoυ υλικού σηµείου είναι κάθετη στην αντίστοιχη επιβατική ακτίνα OA του σηµείου Α από το οποίο εκτοξεύε ται, το σηµείο αυτό αποτελεί περίκεντρο ή απόκεντρο της ελλειπτικής τροχιάς που διαγράφει, οπότε το αντιδιαµετρικό του σηµείο Α θα αποτελεί απόκεντρο ή περίκεντρο της τροχιάς. Όµως κατά την κίνηση του υλικού σηµείου η µηχανι κή του ενέργεια διατηρείται σταθερή, οπότε µπορούµε να γράψουµε την σχέση: v k = v k v v = k () όπου v η ταχύτητα του υλικού σηµείου στο Α και, oι αποστάσεις των Α, Α αντιστοίχως από το ελκτικό κέντρο Ο, που αποτελεί την µία εκ των δύο εστι ών της ελλείψεως. Εξάλλου και η στροφορµή του υλικού σηµείου περί το κέντρο Ο διατηρείται, δηλαδή ισχύει η σχέση: v = v v = v / () Σχήµα 5 Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () παίρνουµε: v v = k ( ) = k v v ( + ) = k v + v = k v = k v = v k/ v = v (3) k/ v H σχέση (3) έχει νόηµα εφ όσον ισχύει: k/ v > v < k/ v < k/ (4)
To σηµείο Α είναι περίκεντρο όταν: (3) > v > k/ v v > k/ v v > k/ v > k/ (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) παρατηρούµε ότι το σηµείο εκτόξευσης Α του υλικού σηµείου αποτελεί περίκεντρο της ελλειπτικής τροχιάς του εφ όσον ισχύει: k/ < v < k/ (6) Εξάλλου τo σηµείο Α είναι απόκεντρο όταν ισχύει: (3) < v < k/ v v < k/ v v < k/ v < k/ (7) Ο συνδυασµός των σχέσεων (4), (7) εξασφαλίζει ότι το σηµείο εκτόξευσης Α αποτελεί απόκεντρο της ελλειπτικής τροχιάς εφ όσον: v < k/ P.M. fysikos Υλικό σηµείο µάζας κινείται εντός κεντρικού δυναµικού πεδίου σε τροχιά, η οποία σε πολικές συντεταγµένες (, φ) περιγράφεται από την σχέση: = ke όπου k, α σταθερές ποσότητες, φ η πολική του γωνία και η απόστα σή του εκ του κέντρου Ο από το οποίο εκπορεύεται η ασκούµενη στο υλικό σηµείο δύναµη. i) Να βρεθεί η συνάρτηση που περιγράφει την κεντρική δύναµη. ii) Εάν οι αρχικές συνθήκες κίνησης του υλικού σηµείου το ανάγκά ζουν να κινείται επί κυκλικής τροχιάς κέντρου Ο και ακτίνας, ποια θα είναι η µηχανική του ενέργεια; ΛΥΣΗ: i) Η κίνηση του υλικού σηµείου µέσα στο κεντρικό δυναµικό πεδίο είναι επίπεδη, µε επίπεδο κίνησης διερχόµενο από το κέντρο Ο και κάθετο στο σταθερό διάνυσµα της στροφορµής του περί το Ο. H διαφορική εξίσωση της τροχιάς του έχει την µορφή:
d u d + u = F() () u όπου F() η αλγεβρική τιµή της κεντρικής δύναµης που δέχεται του υλικό σηµείο, u το αντίστροφο της απόστασής του από το Ο και φ η πολική του γω νία. Όµως έχουµε: u = = ke = e k () η οποία µε διπλή παραγώγιση ως προς φ δίνει: du d = e k d u d = e k (3) Συνδυάζοντας την () µε τις () και (3) παίρνουµε: ( + ) e k = k e F() = ( + ) F() = ( + ) k 3 e 3 F() F() = ( + ) e k 3 e 3 (4) H πιο πάνω σχέση (4) δηλώνει ότι, η κεντρική δύναµη που δέχεται το υλικό ση µείο κατευθύνεται προς το κέντρο Ο, δηλαδή είναι ελκτική και ακολουθεί τον νόµο του αντίστροφου κύβου της απόστασης από το Ο. ii) Eάν η τροχιά του υλικού σηµείου είναι κυκλική ακτίνας µε κέντρο το Ο, τότε η δύναµη F ( ) ενεργεί ως κεντροµόλος δύναµη για το υλικό σηµείο, δη λαδή θα έχουµε την σχέση: F( ) = v ( ) (4) + ( ) = v v 3 = + (5) όπου v η ταχύτητά του. Εξάλλου η µηχανική ενέργεια του υλικού σηµείου επί της κυκλικής τροχιάς θα είναι: E( )=K( )+U( )= v (5) +U( ) E( ) = ( + ) + U( ) (6) Όµως η δυναµική ενέγεια U() του υλικού σηµείου η συνδεδεµένη µε την κεν τρική δύναµη F (), υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: F() = du() d (4) ( + ) 3 = du() d
du() = ( + ) U() = ( + ) d U() = 3 d + C = + 3 ( ) ( + ) d + C Εάν συµβατικά δεχθούµε µηδενική την δυναµική ενέργεια του υλικού σηµείου σε άπειρη απόσταση από το Ο, τότε η σταθερά ολοκλήρωσης C είναι µηδενική οπότε από την παραπάνω σχέση θα έχουµε: U( ) = ( + ) Συνδυάζοντας την (6) µε την (7) παίρνουµε: E( ) = ( + ) + C (7) ( + ) = Aπό την πιο πάνω σχέση παρατηρούµε ότι η µηχανική ενέργεια Ε( ) είναι ανεξάρτητη της ακτίνας της κυκλικής τροχιάς. P.M. fysikos 3 Ένα υλικό σηµείο µάζας δέχεται κεντρική δύνα µη F (), υπό την επίδραση της οποίας διαγράφει επίπεδη τροχιά. i) Να δείξετε ότι η διαφορική εξίσωση της τροχιάς σε πολικές συντε ταγµένες (, φ) µε πόλο το κέντρο Ο από το οποίο εκπορεύεται η δύ ναµη, έχει την µορφή: d d d ' d = 4 F() (a) όπου το µέτρο της σταθερής στροφορµής του υλικού σηµείου περί το κέντρο Ο. ii) Eάν η εξίσωση της τροχιάς σε σύστηµα πολικών συντεταγµένων έχει την µορφή: = ( + 6 /) (b) όπου α θετική σταθερή ποσότητα, να δείξετε, χρησιµοποιώντας την σχέση (a), ότι η δύναµη F () ακολουθεί τον νόµο:
F () = 3 + 4 3 5 ' όπου το µοναδιαίο διάνυσµα της επιβατικής ακτίνας του υλικού σηµείου ως προς το κέντρο Ο της δύναµης. ΛΥΣΗ: Επειδή το υλικό σηµείο δέχεται κεντρική δύναµη, θα έχει µόνο ακτινι κή επιτάχυνση και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, θα ισχύει κατά την ακτινική διεύθυνση της τροχιάς η σχέση: (c) ( d dt d * ' dt ) * +, = F() d dt d ' dt = F() () Όµως για το σταθερό µέτρο της στροφορµής ισχύει η σχέση: d = ' d dt dt = οπότε η () γράφεται: d dt 4 = F() d dt 3 = F() () Εάν η εξίσωση της τροχιάς σε πολικές συντεταγµένες έχει την µορφή =(φ), τότε θα έχουµε: d dt = d d d dt = d d (3) Παραγωγίζοντας την (3) ως πρός τον χρόνο t παίρνουµε την σχέση: d dt = d d dt d ' = d d d d ' d dt d dt = ( d * ) d + d d ' d + d, d dt = d d 4 5 d ' d (4) Συνδυάζοντας τις () και (4) παίρνουµε: d d 4 5 d ' d 3 = F()
4 ( d d d * ' d ) * +, = F() d d d ' d = 4 F() (5) ii) Εκ του προβλήµατος έχουµε την σχέση: = (+ 6/) d d = 6µ (6) Παραγωγίζοντας την (6) ως προς φ έχουµε: d d = 6 (7) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5), (6) και (7) παίρνουµε: 6 6 µ 4 = 4 F() 6 3 ( ) = 4 F() (8) Όµως ισχύει και η σχέση: = 6/ ( ) =3 / οπότε η (8) γράφεται: ( ) 3 ( ) 3 ' = 4 F() + 3 + ( ) = 4 F() + 3 + 3 + ( + ) = 4 F() + + 4 ) = 4 F()
Σχήµα 6 4 3 = F() F() = 4 + 3 ' F() = 3 + 4 3 5 ' F () = 3 + 4 3 5 ' δηλαδή καταλήξαµε στην αποδεικτέα σχέση (c). P.M. fysikos Yλικό σηµείο µάζας έλκεται από σταθερό κέν τρο Ο µε δύναµη της µορφής: F () = k 4 3 3 ' όπου το µοναδιαίο διάνυσµα της επιβατικής του ακτίνας, ως πρός το Ο και k, α θετικές σταθερές ποσότητες. Το υλικό σηµείο εκτο ξεύεται σε σηµείο Α, που βρίσκεται σε απόσταση α από το Ο, µε ταχύτητα v της οποίας η εγκάρσια και η ακτινική συνιστώσα έχουν το ίδιο µέτρο k. Να βρεθεί η εξίσωση της τροχιάς του υλικού ση µείου σε πολικές συντεταγµένες. ΛΥΣΗ: Επειδή το υλικό σηµείο δέχεται κεντρική δύναµη, η τροχιά του είναι επίπεδη και µάλιστα βρίσκεται στο επίπεδο που καθορίζει η αρχική του ταχύ τητα v και το ελκτικό κέντρο Ο. Στην διάρκεια της κίνησης αυτής η στρο φορµή του υλικού σηµείου περί το Ο διατηρείται σταθερή, το δε µέτρο της δί νεται από την σχέση: = v, = k ()
όπου v ( ) η αρχική εγκάρσια ταχύτητά του. Εξάλλου εάν, θ είναι οι πολικές συντεταγµένες του υλικού σηµείου κατά µια τυχαία χρονική στιγµή, θα ισχύει η διαφορική εξίσωση: d u d + u = F(u) () u µε u=/. Λαµβάνοντας υπ όψη την () και την δοθείσα σχέση που εκφράζει την δύναµη F (), η () παίρνει την µορφή: d u d + u = ) 3 ( k 4 3 3, + k' 3 (. * + '. d u d + u = 4 3 3 3 3 ( d u ' d + u = 4 3 d u d + u + 3u = 4 d u d + () u = 4 (3) Η διαφορική εξίσωση (3) δέχεται λύση της µορφής: u = A( + ) + / / = A( + ) + / όπου Α, φ στεθερές ολοκλήρωσης που θα προκύψουν από τις αρχικές συνθή κες κίνησης. Επειδή για φ= είναι =α, η (4) δίνει: Σχήµα 7 / = A + / A = = / Εξάλλου ισχύει η σχέση: v = d dt = d d d dt = d d ( ) = d / d
v = du d () v = A k µ ( + /) (4) Επειδή για φ= έχουµε v = k η (4) δίνει: k = A k µ (/) A = / Άρα η εξίσωση της τροχιάς του υλικού σηµείου σε πολικές συντεταγµένες έχει την µορφή: = ( + /) + = ( µ ) = µ Η γραφική παράσταση της (5) φαίνεται στο σχήµα (7). (5) P.M. fysikos Yλικό σηµείο µάζας κινείται υπό την επίδραση κεντρικής ελκτικής δύναµης F (). Eάν το µέτρο της ταχύτητας v του υλικού σηµείου µεταβάλλεται µε την απόσταση από το κέντρο Ο της δύναµης σύµφωνα µε την σχέση v=α/, όπου α σταθερή θετική ποσό τητα να δείξετε ότι: i) η κεντρική δύναµη έχει την µορφή: F () = / 3 όπου το µοναδιαίο διάνυσµα της επιβατικής ακτίνας του υλικού ση µείου ως προς το O. ii) Εάν το µέτρο της στροφορµής του υλικού σηµείου περί το κέν τρο Ο ικανοποιεί την σχέση <α, να βρείτε την εξίσωση της τροχι άς του σε πολικές συντεταγµένες. ΛYΣH: i) Εφαρµόζοντας για το υλικό σηµείο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την ακτινική διεύθυνση της τροχιάς του παίρνουµε την σχέση: ( a = F() d dt d * ' dt ) * + = F() (), όπου a η ακτινική του επιτάχυνση. Κατά την κίνηση του υλικού σηµείου η στροφορµή του περί το ελκτικό κέντρο Ο διατηρείται σταθερή και το µέτρο της ικανοποιέι την σχέση:
( ) = d = v ' dt d = 4 ' dt d ' dt = 3 () όπου v η εγκάρσια συνιστώσα της ταχύτητάς του. Εξάλλου για το µέτρο της ταχύτητας του υλικού σηµείου ισχύει η σχέση: d v = v + v = v + ' dt () = v + 4 v = = ' = ( (3) όπου v η ακτινική συνιστώσα της ταχύτητάς του, ενώ τέθηκε = /. Παραγωγίζοντας την (3) ως προς τον χρόνο παίρνουµε: v dv dt = 3 d dt d d dt dt = 3 d dt d dt = 3 (4) Συνδυάζοντας την () µε τις () και (4) έχουµε: 3 4 ' = F() + 3 3 3 ' = F() F() = 3 (5) H σχέση (5) δηλώνει ότι η κεντρική δύναµη F () είναι ελκτική και ακολουθεί τον νόµο του αντίστροφου κύβου της απόστασης του υλικού σηµείου από το ελκτικό κέντρο Ο. ii) Aπό την σχέση (3) προκύπτει: d dt = d = dt = t + C (6) H σταθερά ολοκλήσωσης C θα βρεθεί εκ της αρχικής συνθήκης κίνησης του υλι κού σηµείου θεωρώντας ότι για t= είναι ()=, οπότε η (6) δίνει C= / µε αποτέλεσµα να παίρνει την µορφή: = t + (7) Εξάλλου από την () έχουµε: d dt = (7) d dt = ( ) t +
dt d = t + ( ) = d( t + ) t + = ( ) + ln t + C = ln + C = ln + C (8) Aν δεχθούµε ότι για t= είναι φ=, τότε η σταθερά ολοκλήρωσης C είναι: C = ln και η (8) παίρνει την µορφή: Σχήµα 8 = ln ln = ln ln = = e / (9) H (9) αποτελεί την εξίσωση της τροχιάς του υλικού σηµείου σε πολικές συντε ταγµένες και έχει την µορφή µιας επίπεδης λογαριθµικής έλικας (σχ. 8). P.M. fysikos