Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1
Ασάφεια (Fuzziness) Ποσοτικοποίηση της ποιοτικής πληροφορίας Οφείλεται κυρίως σε μη ακριβή δεδομένα Π.χ. «ο Νίκος είναι ψηλός» δεν προσδιορίζει με ακρίβεια το ύψος του Νίκου, αλλά επιτρέπει την εξαγωγή κάποιων σχετικών συμπερασμάτων ή τη λήψη σχετικών αποφάσεων Το πρόβλημα πηγάζει όχι από τις έννοιες που χρησιμοποιούνται, αλλά από την αντίληψη που έχει ο καθένας για λεκτικούς προσδιορισμούς ποσοτικών μεγεθών (σημασιολογική ασάφεια, εγγενές χαρακτηριστικό της γλώσσας) Είναι δυνατό να αποδοθούν συγκεκριμένες τιμές για να περιοριστεί η ασάφεια, αλλά κάτι τέτοιο οδηγεί συχνά σε λάθος κρίσεις (π.χ. ψηλός είναι όποιος έχει ύψος πάνω από 1.95μ, άρα αυτός που έχει 1.94 δεν είναι ψηλός) 2
Ασαφής Λογική Ασαφή Σύνολα Ασαφής Λογική: υπερσύνολο της κλασικής λογικής, με επεκτάσεις ώστε να μπορεί να χειριστεί τιμές αληθείας μεταξύ του «απολύτως αληθούς» και του «απολύτως ψευδούς». Ένα ασαφές σύνολο (fuzzy set) Α ορίζεται ως ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών (x, u A (x)) όπου x X και u A (x) [0,1]. X: universe of discourse Η τιμή u A (x) λέγεται βαθμός αληθείας (degree of truth) και συμβολίζει τον βαθμό της συγγένειας του x στο Α, δηλαδή κατά πόσο το στοιχείο x μπορεί να θεωρηθεί ότι ανήκει στο σύνολο Α. Η συνάρτηση u A ονομάζεται συνάρτηση συγγένειας (membership function). Η συνάρτηση συγγένειας προέρχεται από υποκειμενικές εκτιμήσεις, προκαθορισμένες και απλοποιημένες μορφές, συχνότητες εμφανίσεων και πιθανότητες, φυσικές μετρήσεις, διαδικασίες μάθησης και προσαρμογής. Στη κλασική θεωρία συνόλων u A (x) {0, 1} 3
Αναπαράσταση ασαφών συνόλων Αναλυτική έκφραση της συνάρτησης συγγένειας Τμηματικώς γραμμική απεικόνιση συνάρτησης συγγένειας Σύνολο ζευγών u A (x)/x ψηλός = {0/1.7, 0/1.75, 0.33/1.8, 0.66/1.85, 1/1.9, 1/1.95} 4
Ασαφείς μεταβλητές, ασαφείς αριθμοί Ασαφής μεταβλητή: η μεταβλητή της οποίας οι τιμές ορίζονται με ασαφή σύνολα π.χ. μεταβλητή ύψος με τιμές τα ασαφή σύνολα κοντός, μεσαίος, ψηλός λεκτική μεταβλητή και πρωταρχικές λεκτικές τιμές Ασαφείς αριθμοί: ασαφή υποσύνολα του συνόλου των πραγματικών αριθμών π.χ. η συνάρτηση συγγένειας του αριθμού «ασαφές 3» 7
Ασαφείς προτάσεις, ασαφείς κανόνες Μια ασαφής πρόταση θέτει τιμή σε μια ασαφή μεταβλητή «η ταχύτητα είναι μέτρια» Ένας ασαφής κανόνας είναι μια υπό συνθήκη έκφραση που συσχετίζει δύο ή περισσότερες ασαφείς προτάσεις «εάν η ταχύτητα είναι μέτρια τότε η πίεση στα φρένα πρέπει να είναι μέτρια» Ένας ασαφής κανόνας περιγράφεται αναλυτικά με μια σχέση συνεπαγωγής (implication relation) if x is A then y is B R(x, y) = φ(u A (X), u B (Y)) φ: τελεστής συνεπαγωγής 8
Αρχή της Επέκτασης Μαθηματική μέθοδος που επιτρέπει την επέκταση των εννοιών και των υπολογιστικών τεχνικών των κλασικών μαθηματικών στο πλαίσιο των ασαφών. Επιτρέπει σε υπαρκτούς αλγόριθμους που έχουν οριστεί για σαφή δεδομένα, να χρησιμοποιηθούν στην περίπτωση των ασαφών Έστω συνάρτηση f που απεικονίζει το σύνολο Χ={x 1, x 2,, x n ) στο σύνολο Υ=(y 1, y 2,, y n } έτσι ώστε y i =f(x i ). Έστω ασαφές σύνολο Α ορισμένο στα στοιχεία του Χ: Α={u A (x 1 )/x 1, u A (x 2 )/x 2,, u A (x n )/x n }. Η αρχή της επέκτασης επιτρέπει τον υπολογισμό του ασαφούς συνόλου Β που προκύπτει από την εφαρμογή της f στο A και ορίζεται ως Β=f(A)={u A (x 1 )/f(x 1 ), u A (x 2 )/f(x 2 ),, u A (x n )/f(x n )} 11
Ειδικές περιπτώσεις Σε περιπτώσεις συναρτήσεων που απεικονίζουν πολλά-προςένα, άρα περισσότερα του ενός x απεικονίζονται στο ίδιο y, η αρχή της επέκτασης ορίζει ότι ως βαθμός συγγένειας αυτού του y στο B επιλέγεται η μέγιστη τιμή συγγένειας των x. Αν για κάποιο y 0 δεν υπάρχει x 0 τέτοιο ώστε y 0 =f(x 0 ), τότε ο βαθμός συγγένειας του y 0 στο Β είναι 0. 12
Αρχή της επέκτασης - Παράδειγμα Πρόσθεση ασαφών αριθμών ασαφές 3 : {0/1, 0.5/2, 1/3, 0.5/4, 0/5} ασαφές 7 : {0/5, 0.5/6, 1/7, 0.5/8, 0/9} Κατασκευάζεται ο πίνακας Σύμφωνα με την αρχή της επέκτασης είναι 13
Αρχή της επέκτασης - Παράδειγμα Έστω z=9 Η τιμή συγγένειας του 9 στο ασαφές σύνολο C=A+B ισούται με το μέγιστο των ελαχίστων τιμών συγγένειας των κελιών που αντιστοιχούν στους δύο συνδυασμούς που δίνουν 9. u A+B (9) = max( min(u A (3),u B (6), min( u A (2),u B (7)))= max (min(1, 0.5), min(0.5, 1)) = max (0.5, 0.5) = 0.5 14
Αρχή της επέκτασης - Παράδειγμα Με παρόμοιο τρόπο προκύπτει u A+B (z) = {0.5/8, 0.5/9, 1/10, 0.5/11, 0.5/12} 15
Ασαφής Συλλογιστική Εξαγωγή συμπερασμάτων με χρήση ασαφών κανόνων. Στάδια: Υπολογισμός της συνάρτησης συνεπαγωγής για κάθε ασαφή κανόνα Παραγωγή επιμέρους αποτελεσμάτων μέσω κάποιας συλλογιστικής διαδικασίας Συνάθροιση των επιμέρους αποτελεσμάτων Αποσαφήνιση των αποτελεσμάτων 16
Ενδεικτική Βιβλιογραφία Ενότητες 14.1 και 14.2 (εισαγωγή) του βιβλίου «Τεχνητή Νοημοσύνη», Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας και Η. Σακελλαρίου. 17