ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ 1. Χωρίς να λάβουμε υπόψη το πρόσημο: Αν οι δυο γωνιές έουν άθροισμα ή διαφορά, 18, 6 μοίρες τότε ο τριγωνομετρικός αριθμός δεν αλλάζει: ημ ημ, συν συν, εφ εφ, σφ σφ, τεμ τεμ, στεμ στεμ Αν οι δυο γωνιές έουν άθροισμα ή διαφορά 9, 7 μοίρες τότε τριγωνομετρικός αριθμός αλλάζει ως εξής: ημ συν, εφ σφ, τεμ στεμ. Το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας καθορίζεται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας. ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1) Να ανάγετε τους πιο κάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς σε τριγωνομετρικούς αριθμούς οξειών γωνιών: 16 β) 15 γ) 15 δ) ( 1 ) ε) 75 στ) 15 ζ) η) 5 θ) 1. () Να κάνετε αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο και στη συνέεια να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των πιο κάτω γωνιών: 5 1 β) 15 γ) 1 δ) ε). () Να αποδείξετε τις πιο κάτω ισότητες: 16 17 11 1 1 8 β) 1 19 1. () Να αποδείξετε τις πιο κάτω τριγωνομετρικές ταυτότητες: ( 18 ) (18 ) (9 ) (6 ) 1 β) (18 ) (9 ) (18 ) γ) ( ) (18 ) ( ) (18 ). (5) Αν και, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 5 1 (18 ) (18 ). (6) Αν Α, Β, Γ είναι γωνίες τριγώνου, να δείξετε ότι: β) ( ) γ) ( ). (7) Να αποδείξετε ότι 1... 87 88 89 1.
Ασκήσεις από διαγωνίσματα: (1) Να βάλετε σε κύκλο την σωστή απάντηση: π ( Η γωνία σε μοίρες ισούται με Α) 6 Β) 18 Γ) Δ) 9 (β) Η γωνία 1 σε ακτίνια ισούται με Α) π Β) π Γ) π Δ) 6 π (γ) Αν ισύει ημ και συν, τότε η γωνία βρίσκεται στο πιο κάτω τεταρτημόριο Α) 1 Β) Γ) Δ) (δ) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο τότε το άθροισμα ημ ημ ημ ισούται με: Α) Β) 1 Γ) Δ) 1 (ε) Αν (,ψ) και θ, ρ ψ τότε η εφθ ισούται με: Α) ρ Β) ρ ψ Γ) ψ Δ) ψ (στ) Αν A ημ 5, τότε: Α) A 7 Β) A 7 Γ) A 5 Δ) A 5 () Να βρεθεί σε ποιό τεταρτημόριο βρίσκεται η τελική πλευρά των γωνιών. β) 19 γ) 1 δ) () Να συμπληρώσετε τα κενά. εφ 1... β) ημ συν... γ)... σφ δ) ημ......... () Να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς αν ημθ και 5 9 θ 18 (5) Να αποδείξετε τις ταυτότητες: συν ημ στεμ ημ
β) σφ συν συν στεμ 1 ημ (6) Να δειθούν οι σέσεις: ημ(7 ημ(18 ω) συν(9 ω) ω) συν(18 ω) 1 ημωσυνω εφ(18 ) εφ(9 ) ημ(7 ) β) ημσυν τεμ( ) σφ(18 ) (7) Να λύσετε τις τριγωνομετρικές εξισώσεις στο διάστημα 6. [ β.] ημ β) εφ Ασκήσεις από τελικές εξετάσεις: 1. Δίνονται τα σημεία Α(,-) και Β(-1,1). Όπως φαίνεται και στο σήμα που ακολουθεί, η ευθεία (ε) έει θετική κλίση, περνά από το σημείο Β και το σημείο Α απέει από την ευθεία απόσταση ίση με 5 μονάδες. Επιπλέον, το σημείο Γ είναι το ίνος της καθέτου. ( Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε).
. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g και h,. ( να μετατρέψετε τα κλάσματα και παρανομαστές επιβεβαιώνοντας ότι f και g. σε ισοδύναμα με ρητούς (β) να δείξετε ότι: f h g h (γ) να συγκρίνετε τους αριθμούς f 5, h 9, g 6 6, ωρίς τη ρήση υπολογιστικής μηανής. Να δείξετε πως εργαστήκατε.. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς, ισύει ότι 1 1 και 1 1 να δείξετε ότι για την παράσταση 8 ισύει ότι 6 9.. Αν Α= και Β= να δείξετε ότι. 5. Ρόμβος ΑΒΓΔ έει εξίσωση πλευράς ΑΒ:, εξίσωση διαγωνίου ΑΓ:. Μία από τις κορυφές του έει συντεταγμένες (6,-) και Κ είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του ρόμβου και του σημείου Κ. β) Αν Κ (,) να βρείτε την απόσταση του σημείου Κ από την πλευρά ΑΒ. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του ρόμβου.
6. Στο πιο κάτω τραπέζιο ΑΒΓΔ δίνονται, και Ε το σημείο τομής των διαγωνίων του. Το σημείο Γ έει συντεταγμένες, το Δ έει συντεταγμένες και η εξίσωση της πλευράς ΒΓ είναι. Αν η εξίσωση της μίας διαγωνίου του τραπεζίου είναι, να βρείτε: α. την εξίσωση της άλλης διαγωνίου, β. το εμβαδόν του τριγώνου ΓΔΕ, γ. το μέτρο των γωνιών του τριγώνου ΒΓΕ κατά προσέγγιση δεκάτου, δ. το ύψος του τραπεζίου ΑΒΓΔ. 7. Αν 9 18 και 9 18 να δείξετε ότι: β) ωρίς να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας ˆ, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 1 1 8. Ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ η εξίσωση της ΑΒ είναι x + ψ = 1, η κορυφή Β(1, ) και το σημείο τομής των διαγωνίων του Κ(1/, ). Υπολογίστε τις συντεταγμένες της κορυφής Δ. Από το σημείο Κ φέρουμε κάθετο ΚΘ στην πλευρά ΑΒ καθώς και κάθετο ΚΛ στην πλευρά ΒΓ. β) Να υπολογίσετε το μήκος των ευθυγράμμων τμημάτων ΚΘ και ΚΛ 9. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, η πλευρά ΑΒ έει εξίσωση x ψ 1 και η ΑΔ έει εξίσωση x ψ. ( Αν μια από τις κορυφές έει συντεταγμένες ( 7, ), να αποδείξετε ότι είναι η κορυφή Γ. (β) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΒΓ. (γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Α, Β και Δ. (δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ.