5. 5.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 04 ρωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι Ορθογώνια, ρόµβοι, i τετράγωνα, ποια όχι και γιατί; (α) 5 (β) 5 (γ) (δ) (ε) (ζ) φ 5 φ 5 φ φ (η) i (θ) 4 4 (ι) (κ) ίναι το (α) διότι οι διαγώνιες του διχοτοµούνται, άρα είναι παραλληλόγραµµο, είναι και ίσες οπότε είναι ορθογώνιο. ίναι το (β) διότι οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες, άρα είναι παραλληλόγραµµο, έχει και µία γωνία ορθή, άρα είναι ορθογώνιο εν είναι το (γ). εν ξέρουµε αν είναι παραλληλόγραµµο. ίναι το (δ) διότι τρείς γωνίες του είναι ορθές Ρόµβος είναι µόνο το (ζ), διότι είναι παραλληλόγραµµο αφού οι διαγώνιες του διχοτοµούνται και έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. Τα άλλα τετράπλευρα δεν είναι παραλληλόγραµµα i Τετράγωνο είναι µόνο το (ι), αφού οι διαγώνιες του διχοτοµούνται, είναι ίσες και τέµνονται κάθετα Το (θ) δεν ξέρουµε αν είναι παραλληλόγραµµο. Το (κ) ενώ είναι παραλληλόγραµµο µε κάθετες διαγώνιες δεν ξέρουµε αν αυτές είναι και ίσες.
. ε ποιους τρόπους µπορούµε να αποδείξουµε ότι ένα τετράπλευρο είναι Ορθογώνιο Ρόµβος πάντηση Ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο όταν ισχύει ένα από τα παρακάτω α) ίναι παραλληλόγραµµο µε µία γωνία ορθή β) ίναι παραλληλόγραµµο µε ίσες διαγώνιες γ) Έχει τρεις γωνίες ορθές δ) Όλες του οι γωνίες είναι ίσες Ένα τετράπλευρο είναι ρόµβος όταν ισχύει ένα από τα παρακάτω α) Όλες οι πλευρές του είναι ίσες β) ίναι παραλληλόγραµµο και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες γ) ίναι παραλληλόγραµµο και οι διαγώνιες του είναι κάθετες δ) ίναι παραλληλόγραµµο και µία διαγώνιος διχοτοµεί µία γωνία του.. Σε τι είδους τρίγωνα χωρίζονται τα παρακάτω σχήµατα από τις διαγώνιες τους ; Ορθογώνιο, Ρόµβος, i Τετράγωνο πάντηση Σε 4 ισοσκελή ανά δύο ίσα Σε 4 ορθογώνια ίσα µεταξύ τους i Σε τέσσερα ορθογώνια και ισοσκελή ίσα µεταξύ τους
4. Να αναφέρετε δύο οµοιότητες και δύο διαφορές που αφορούν πλευρές, γωνίες ή διαγώνιες µεταξύ των ζευγών των σχηµάτων Τετράγωνο ρόµβος Τετράγωνο ορθογώνιο i Ορθογώνιο Ρόµβος πάντηση Οµοιότητες: Ίσες πλευρές, κάθετες διαγώνιες ιαφορές: Στο τετράγωνο οι γωνίες είναι ορθές, ενώ στον ρόµβο δεν είναι Στο τετράγωνο οι διαγώνιες είναι ίσες ενώ στον ρόµβο όχι Οµοιότητες: Ορθές γωνίες, διαγώνιες διχοτοµούνται ιαφορές : Στο τετράγωνο οι διαγώνιες είναι κάθετες και διχοτοµούν τις γωνίες του, ενώ στο ορθογώνιο δεν συµβαίνει αυτό i Οµοιότητες: Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες και οι διαγώνιες διχοτοµούνται ιαφορές: Στο ρόµβο όλες οι πλευρές είναι ίσες και οι διαγώνιες του είναι κάθετες, ενώ στο ορθογώνιο δεν συµβαίνει τίποτα από τα δύο. 5. Σηµειώστε x σε κάθε σωστή πρόταση Οι διαγώνιοι του ρόµβου δεν είναι ίσες. x Όλες οι γωνίες του ρόµβου είναι ίσες i Ένας ρόµβος µε µία ορθή γωνία είναι τετράγωνο x iv) Κάθε τετράγωνο είναι ρόµβος. x σκήσεις µπέδωσης. Σε παραλληλόγραµµο φέρουµε και. Να αποδείξετε ότι το είναι ορθογώνιο. Z Άρα το τετράπλευρο έχει τέσσερις ορθές γωνίες, άρα είναι ορθογώνιο.
4. ίνεται παραλληλόγραµµο µε κέντρο Ο και =. ν, είναι τα µέσα των Ο και Ο αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το είναι ορθογώνιο. Το Ο είναι µέσο των, και = = O Έτσι, οι διαγώνιοι και του διχοτοµούνται και είναι ίσες, άρα είναι ορθογώνιο.. Να αποδείξετε ότι, αν οι διχοτόµοι των γωνιών παραλληλογράµµου δε συντρέχουν, τότε σχηµατίζουν ορθογώνιο. Έστω και οι διχοτόµοι των Â, ˆ ίναι Κ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ + 80 0 + = + = = = 90 Ν A Άρα, στο τρίγωνο Κ, έχουµε ˆΚ = 90 ο Οµοίως ==Ν= ˆ ˆ ˆ 90 0. Άρα ΚΝ ορθογώνιο. 4. Να αποδείξετε ότι, ένα παραλληλόγραµµο είναι ρόµβος, αν και µόνο αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες. Έστω το παρ/µµο και Κ, οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του. Κ υθύ: Όταν Κ = Τα τρίγωνα Κ και είναι ίσα, διότι είναι ορθογώνια και έχουν Κ = και = ˆ ˆ. Άρα =, οπότε το παρ/µµο είναι ρόµβος. ντίστροφο: Όταν ρόµβος. Τα τρίγωνα Κ και είναι ίσα, διότι είναι ορθογώνια και έχουν = και = ˆ ˆ. Άρα Κ =
5 5. ίνεται ρόµβος µε κέντρο Ο. Παίρνουµε δύο σηµεία και της, ώστε Ο = Ο = Ο = Ο. Να αποδείξετε ότι το είναι τετράγωνο. O Στο οι διαγώνιοί του: διχοτοµούνται, άρα είναι παρ/µµο και είναι κάθετες, άρα είναι ρόµβος και είναι ίσες, άρα και ορθογώνιο. Άρα τετράγωνο. 6. ίνεται τετράγωνο. Στις πλευρές,, και παίρνουµε σηµεία Κ,, και Ν αντίστοιχα, ώστε Κ = = = Ν. Να αποδείξετε ότι το ΚΝ είναι τετράγωνο. Τα τρίγωνα ΚΝ, Κ είναι ορθογώνια και K έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες. Άρα είναι ίσα. ˆK = ˆ και ΚΝ = Κ Όµως, από το ορθ. τρίγωνο Κ έχουµε Ν ˆ + ˆΚ = 90 ο Άρα ˆK + ˆΚ = 90 ο. Τότε ˆK = 90 ο Οµοίως για τις άλλες γωνίες και τις πλευρές του τετραπλεύρου ΚΝ. Έχει, λοιπόν, ορθές γωνίες και ίσες πλευρές, άρα είναι τετράγωνο.
6 ποδεικτικές σκήσεις. ίνεται τρίγωνο, η διχοτόµος του και το µέσο της. πό το φέρουµε παράλληλη προς τη, που τέµνει την στο. ν η τέµνει τη στο, να αποδείξετε ότι το είναι ρόµβος. Συγκρίνουµε τα τρίγωνα και ˆ = ˆ ως εντός εναλλάξ ˆ = ˆ κατά κορυφή = Άρα είναι ίσα =, αλλά και. Άρα το είναι παρ/µµο. Η διαγώνιος είναι διχοτόµος της γωνίας ˆB, άρα το παρ/µµο γίνεται ρόµβος.. Στις πλευρές και τετραγώνου παίρνουµε σηµεία και αντίστοιχα, ώστε =. Να αποδείξετε ότι = AZ Κ Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν κάθετες πλευρές ίσες, άρα είναι ίσα = και ˆ = ˆ λλά ˆ + ˆ = 90 ο Άρα ˆ + ˆ = 90 Ο Τότε, στο τρ.κ έχουµε ˆΚ = 90 ο, δηλ. AZ
7. Σε ορθογώνιο, και είναι τα µέσα των και αντίστοιχα. ν Η είναι το σηµείο τοµής των και και Θ το σηµείο τοµής των και, να αποδείξετε ότι το ΘΗ είναι ρόµβος. Η Φέρουµε την. ορθογώνιο Η = Η () = παρ/µµο Η Θ () Θ = παρ/µµο Η Θ () () και () ΘΗ παρ/µµο. Και λόγω της () ρόµβος. 4. Να αποδείξετε ότι, αν δύο κάθετα τµήµατα έχουν τα άκρα τους στις απέναντι πλευρές τετραγώνου, τότε είναι ίσα. Κ Έστω Κ και Ν τα κάθετα τµήµατα. Φέρουµε ΚΚ και ΝΝ Τότε ΚΚ = ΝΝ = πλευρά του τετραγώνου Ν Κ Ν Τα ορθογώνια τρίγωνα ΚΚ, ΝΝ είναι ίσα, διότι έχουν ΚΚ =ΝΝ και Kˆ = Nˆ (οξείες µε πλευρές κάθετες). Άρα Κ = Ν.
8 Σύνθετα Θέµατα. ίνεται παραλληλόγραµµο µε ˆB = 45 ο. πό το µέσο της φέρουµε κάθετο πάνω στη και έστω και τα σηµεία στα οποία αυτή τέµνει τις και αντίστοιχα (ή τις προεκτάσεις τους). Να αποδείξετε ότι το είναι τετράγωνο. Τα ορθογώνια τρίγωνα, είναι ίσα διότι ˆ = ˆ = ˆB = 45 ο (εντός εναλλάξ) και = Άρα = Έτσι, οι, διχοτοµούνται, είναι και κάθετες άρα το είναι ρόµβος ρκεί να αποδείξουµε ότι έχει και ίσες διαγώνιες. Το ορθογώνιο τρίγωνο έχει ˆ = 45 ο, άρα είναι και ισοσκελές µε = άρα και =.. Σε ορθογώνιο φέρουµε. ν η διχοτόµος της γωνίας τη στο, να αποδείξετε ότι =. Ο ˆ τέµνει ρκεί να αποδείξουµε ότι ˆ = ˆ + ˆ ˆ είναι εξωτερική του τριγώνου, άρα ˆ = ˆ + ˆ. Οπότε αρκεί να αποδείξουµε ότι ˆ + ˆ = ˆ + ˆ, δηλαδή ότι ˆ = ˆ, Πράγµα που ισχύει αφού Ο = Ο ˆ = ˆ και ˆ = ˆ ως οξείες µε πλευρές κάθετες.
9. Να αποδείξετε ότι : το άθροισµα των αποστάσεων τυχαίου σηµείου της βάσης ισοσκελούς τριγώνου από τις ίσες πλευρές του είναι σταθερό (και ίσο µε ένα από τα ύψη του). το άθροισµα των αποστάσεων τυχαίου σηµείου, που βρίσκεται στο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου, από τις πλευρές του, είναι σταθερό (και ίσο µε το ύψος του). το τυχαίο σηµείο της βάσης MK, οι αποστάσεις από τις, ύψος Θα αποδείξουµε ότι Κ + = Φέρουµε Ν Ν Κ Ν ορθογώνιο (τρεις γωνίες ορθές) = Ν M ρκεί, λοιπόν, να αποδείξουµε ότι Κ = Ν. Συγκρίνουµε τα τρίγωνα Ν, Κ. ίναι ορθογώνια µε κοινή την υποτείνουσα και NM= ˆ ˆ (εντός εναλλάξ) = ˆ. ίναι, λοιπόν, ίσα, άρα Κ = Ν. το τυχαίο εσωτερικό σηµείο MK,, Ρ οι αποστάσεις από τις πλευρές Κ Φέρουµε το ύψος και Η Τότε τρ. ισόπλευρο και Ρ = Η () Η φαρµόζουµε το στο τρ., οπότε Ρ Κ + = Η () (το ισόπλευρο τρίγωνο έχει ίσα ύψη) () + () Κ + + Ρ =