ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη με τη μορφή X Θεωρούμε, επίσης, ένα ενδομορφισμό f : V V, και έστω A (a ij ) ο πίνακας του f ως προς κάποια βάση του V. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο του f (ή τουa) είναι το πολυώνυμο a t a a a n a a t a a n X f (t) (ή X A (t))........ a n a n a n a nn t Ιδιοτιμή ή χαρακτηριστική τιμή του f (ή του A) είναι κάθε ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου που ανήκει στο R. (Αν έχουμε C-διανυσματικό χώρο, πρέπει να ανήκει στο C.) Αν λ είναι μια ιδιοτιμή του f (ή του A), τότε ικανοποιείται η σχέση. n f() λ ή AX λx, για κάποιο μη μηδενικό διάνυσμα, το οποίο λέγεται ιδιοδιάνυσμα του f (ή τουa) που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Τέλος, το σύνολο E(λ) { V/f() λ} ή E(λ) X /AX λx. n λέγεται ιδιοχώρος του f (ή τουa) που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ, και είναι υποχώρος του V. Ο ενδομορφισμός f (ή οπίνακαςa) διαγωνιοποιείται αν και μόνον αν κάθε ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου ανήκει στο R (ή στοc), και η πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιμή είναι ίση με τη διάσταση του αντίστοιχου ιδιοχώρου. Ασκήσεις Παράδειγμα Θεωρούμε τον τελεστή f : R R, που ορίζεται με τη σχέση f(, y, ) ( +y, y, y), για κάθε, y, R. Ο πίνακας του f ως προς τη συνήθη βάση του R βρίσκεταιμετογνωστότρόπο, και είναι ο M(f)
Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του τελεστή f είναι το t t t t t t ( t)(t +), και όπως βλέπουμε έχει απλές και διαφορετικές ρίζες στο σύνολο R. Αυτό σημαίνει ότι οι ιδιοτιμές του f είναι,, και. Επομένως, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, ο τελεστής f διαγωνιοποιείται, δηλαδή υπάρχει μια βάση του R, ως προς την οποία ο πίνακας του τελεστή είναι διαγώνιος. Για να βρούμε μια τέτοια βάση πρέπει να υπολογίσουμε τους ιδιοχώρους που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές,, και. Έχουμε E() {(, y, ) R /f(, y, ) (, y, ) } {(, y, ) R /( +y, y, y) } {(, y, ) R / +y, y, y } {(, y, ) R /y, } {(,, )/ R}. Κάθε μη μηδενικό διάνυσμα του E() είναι ιδιοδιάνυσμα του f, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή. Από όλα αυτά επιλέγουμε το διάνυσμα ε (,, ), το οποίο θα αποτελέσει το πρώτο διάνυσμα της νέας βάσης. E() {(, y, ) R /f(, y, ) (, y, )} {(, y, ) R /( +y, y, y) (, y, )} {(, y, ) R / +y, y y, y } {(, y, ) R / y} {(y, y, y)/y R}. Από τα μη μηδενικά διανύσματα του ιδιοχώρου E() επιλέγουμε το διάνυσμα ε (,, ), σαν δεύτερο διάνυσμα της βάσης που ζητάμε. Τέλος, θα έχουμε E( ) {(, y, ) R /f(, y, ) (, y, )} {(, y, ) R /( +y, y, y) (, y, )} {(, y, ) R / +y, y y, y } {(, y, ) R /, y} {(,y,y)/y R}. Από τα μη μηδενικά διανύσματα του ιδιοχώρου E( ) επιλέγουμε το ε (,, ), ως το τελευταίο διάνυσμα της ζητούμενης βάσης. Γνωρίζουμε, από τα προηγούμενα, ότι ο πίνακας του τελεστή f, ως προς τη βάση {ε, ε, ε } είναι ο διαγώνιος πίνακας Μπορούμε, επίσης, να υπολογίσουμε τον πίνακα του f ως προς τη νέα βάση με το γνωστό τρόπο.
Συμβολίζουμε με M (f) τον πίνακα του f στη νέα βάση {ε, ε, ε }. Είναι γνωστό ότι οι δύο αυτοί πίνακες M(f) και M (f) του τελεστή f συνδέονται με τη σχέση M (f) P M(f)P, όπου P είναιοπίνακαςμετάβασηςαπότησυνήθηβάσητουr στη βάση {ε, ε, ε }. Ο πίνακας αυτός είναι ο P ενώ ο αντίστροφος του P είναι Άραθαέχουμε P M (f) P M(f)P Η διάταξη των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου θα αλλάξει, αν γίνει κάποια αλλαγή στην διάταξη της βάσης {ε, ε, ε }. Παράδειγμα Θεωρούμε τον τελεστή f : R R, που ορίζεται με τη σχέση f(, y, ) ( y, +y, 5), για κάθε, y, R. Ο πίνακας του f ως προς τη συνήθη βάση του R βρίσκεταιμετογνωστότρόπο, και είναι ο A 5 Επομένως το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του τελεστή f θα είναι t t 5 t t +t 5t +5( t)(t 5). Παρατηρούμε ότι οι ιδιοτιμές του f είναι 5 και, πολλαπλότητας και αντίστοιχα. Θα υπολογίσουμε τους αντίστοιχους ιδιοχώρους. E() {(, y, ) R /f(, y, ) (, y, )} {(, y, ) R /( y, +y, 5) (, y, )} {(, y, ) R / y, +y y,5 } {(, y, ) R / y, } {(,, ) R / R} {(,, )/ R}.
Επίσης θα έχουμε E(5) {(, y, ) R /f(, y, ) 5(, y, )} {(, y, ) R /( y, +y, 5) 5(, y, )} {(, y, ) R / y 5, +y 5y, 5 5} {(, y, ) R /y } {(,, ) R /, R} {(,, ) +(,, )/, R}. Είναι προφανές ότι η διάσταση του κάθε ιδιοχώρου είναι ίση με την πολλαπλότητα της αντίστοιχης ιδιοτιμής, οπότε ο τελεστής f διαγωνιοποιείται. Ο διαγώνιος πίνακας θα βρεθεί αν επιλέξουμε μια βάση από τον κάθε ιδιοχώρο. Από τη μορφή που έχουν οι ιδιοχώροι βλέπουμε ότι το σύστημα {(,, )} αποτελεί βάση του E(), ενώ το σύστημα {(,, ), (,, )} αποτελεί μια βάση του E(5). Ο πίνακας του f ως προς τη βάση είναι διαγώνιος, και συγκεκριμένα ο πίνακας {(,, ), (,, ), (,, )} D 5 5 Όπως ξέρουμε ο πίνακας A και ο πίνακας D συνδέονται με μια σχέση της μορφής D P AP, όπου P είναι ο πίνακας μετάβασης από τη συνήθη βάση στη βάση των ιδιοδιανυσμάτων, δηλαδή ο πίνακας P Ο αντίστροφος του πίνακα P είναι ο πίνακας οπότε θα έχουμε D P AP P 5 5 5 δηλαδή ξαναβρίσκουμε τον προηγούμενο διαγώνιο πίνακα. Παράδειγμα Θεωρούμε τον πίνακα A 5 6 6 4 6 4 4
με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A είναι 5 t 6 6 X A (t) 4 t 6 4 t t +5t 8t +4( t)(t ). Παρατηρούμε ότι οι ιδιοτιμές και του A ανήκουν στο σύνολο R, επομένως η πρώτη συνθήκη του προηγουμένου θεωρήματος ικανοποιείται. Θα υπολογίσουμε, τώρα, τους αντίστοιχους ιδιοχώρους. Έχουμε E() X M /AX X 5 6 6 X M / 4 6 4 5 6y 6 X M / +4y + 6y 4 y {X M /5 6y 6, +4y + y, 6y 4 } M / y, y y /y R y/y R. y Επίσης θα έχουμε E() X M /AX X 5 6 6 X M / 4 6 4 5 6y 6 X M / +4y + 6y 4 y {X M /5 6y 6, +4y + y, 6y 4 } M / y + y + /y, R y + /y, R. Από τις προηγούμενες πράξεις βλέπουμε ότι ο ιδιοχώρος E() έχει διάσταση, εφόσον μια βάση 5
του είναι το διάνυσμα στήλη και ο ιδιοχώρος E() έχει διάσταση, εφόσον τα στοιχεία και αποτελούν μια βάση του. Έτσι, ικανοποιείται και η δεύτερη συνθήκη του θεωρήματος, επομένως ο πίνακας A διαγωνιοποιείται. Όπως είδαμε και στην περίπτωση των γραμμικών τελεστών, ο διαγώνιος πίνακας B, με τον οποίο είναι όμοιος ο πίνακας A, μπορεί να βρεθεί αν τοποθετήσουμε πάνω στην κύρια διαγώνιο τις ιδιοτιμές του πίνακα A. ηλαδή πρόκειται για τον πίνακα diag(,, ). Αν όμως θέλουμε να βρούμε τον αντιστρέψιμο πίνακα P, για τον οποίο ισχύει η σχέση B P AP, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη βάση των ιδιοδιανυσμάτων, και συγκεκριμένα τα ιδιοδιανύσματα και Έτσι ο πίνακας P θα είναι P Η διάταξη των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου στον διαγώνιο πίνακα, όπως και στους τελεστής, εξαρτάται από τη διάταξη της βάσης των ιδιοδιανυσμάτων. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα P βρίσκουμε ότι ισχύει η σχέση 6 5 5 6 6 4 6 4 Αν αλλάξουμε τη διάταξη των στηλών του πίνακα P, θα αλλάξει η διάταξη των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου στον διαγώνιο πίνακα. Παράδειγμα 4 Θεωρούμε τον πίνακα A 4 4 4 4 με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, και ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε τις δυνάμεις A k, για κάθε φυσικό αριθμό k. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A είναι X A (t) t 4 t 4 4 4 t t +6t 96t + 96 (6 t)(t ) (t 8). 6
Παρατηρούμε ότι όλες οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου ανήκουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, και μάλιστα είναι απλές. Επομένως ο πίνακας διαγωνιοποιείται, και μάλιστα ο διαγώνιος πίνακας είναι ο πίνακας 6 B 8 Για να μπορέσουμε να βρούμε τις δυνάμεις A k είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε τον αντιστρέψιμο πίνακα P, για τον οποίο ισχύει B P AP. Όπως ξέρουμε ο πίνακας P έχει σαν στήλες ιδιοδιανύσματα του πίνακα A. Άρα πρέπει να βρούμε τους ιδιοχώρους του A. E(6) X y M /AX 6X X M / X M / 4 4 4 4 + y +4 +y +4 4 +4y + 6 6 {X M / + y +4 6, +y +4 6y, 4 +4y + 6} {X M /, y } M / R / R. E() X y M /AX X X M / X M / 4 4 4 4 + y +4 +y +4 4 +4y + {X/ + y +4, +y +4 y,4 +4y + } {X M / y, } M / R / R. 7
Τέλος θα έχουμε E(8) X y M /AX 8X X M / X M / 4 4 4 4 + y +4 +y +4 4 +4y + 8 8 {X/ + y +4 8, +y +4 8y,4 +4y + 8} {X M /, y } M / R / R. Επομένως ο πίνακας P θα είναι ενώ ο αντίστροφός του είναι ο πίνακας P 6 6 P Επομένως, όπως ξέρουμε, θα ισχύει η σχέση B P AP. Από τη σχέση αυτή προκύπτει B (P AP )(P AP )P A P, B B B (P A P )(P AP )P A P. Αν τώρα υποθέσουμε ότι ισχύει B k P A k P, για κάποιο φυσικό αριθμό k, τότε θα έχουμε B k+ B k B (P A k P )(P AP )P A k+ P, οπότε θα ισχύει B k P A k P, για κάθε φυσικό αριθμό k. Από την τελευταία ισότητα είναι προφανές ότι θα έχουμε A k PB k P, δηλαδή μπορούμε να βρούμε τη δύναμη A k, για κάθε φυσικό αριθμό k. Το πλεονέκτημα της νέας ισότητας είναι ότι η δύναμη B k υπολογίζεται εύκολα, εφόσον ο B είναι διαγώνιος, οπότε η εύρεση της δύναμης A k ανάγεται στον υπολογισμό του γινομένου τριών πινάκων. Στη συγκεκριμένη περίπτωση θα έχουμε 6 k A k k 6 6 8 k 6 6k + k + 8k 6 6k k + 8k 8k 6k 6 6k k + 8k 6 6k + k + 8k 8k 6k 8k 6k 8k 6k 6k + 8k 8
Παράδειγμα 5 Θεωρούμε τον τετραγωνικό πίνακα A 4 και το πολυώνυμο ψ() + 5 +4, και ας υποθέσουμε ότι μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε τη δύναμη ψ(a). Επειδή το πολυώνυμο είναι βαθμού, θα πρέπει να υπολογίσουμε όλες τις μικρότερες ή ίσες του δυνάμεις του πίνακα A, και στη συνέχεια να αντικαταστήσουμε τις ανάλογες τιμές στο πολυώνυμο ψ(). Είναι προφανές ότι πρόκειται για μια χρονοβόρα διαδικασία. Μπορούμε, όμως, να εκμεταλευτούμε την παρουσία του Θεωρήματος Cayley-Hamilton. Θα βρούμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A. X A () 4 + + +. ιαιρούμε το πολυώνυμο ψ() με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A, οπότε βρίσκουμε ως πηλίκο το πολυώνυμο π() 7 6 5 5 4 9 9 74, και ως υπόλοιπο το πολυώνυμο υ() 5 +5 + 5. Αυτό σημαίνει ότι θα ισχύει η σχέση ψ() X A () π()+υ(). Αν στην ταυτότητα αυτή αντικαταστήσουμε τη μεταβλητή με τον πίνακα A, θα πάρουμε ψ(a) X A (A) π(a)+υ(a) υ(a), εφόσον ισχύει X A (A). Άρα έχουμε να υπολογίσουμε κατά πολύ μικρότερες δυνάμεις του A. Επειδή A 4 4 9 5 6 θα έχουμε τελικά ψ(a) 5A + 5A + 5 459 989 54 458 985 5 7 5954 459 ιαπιστώνουμε δηλαδή ότι το Θεώρημα Cayley-Hamilton είναι μια σημαντική βοήθεια. Με τη βοήθεια του θεωρήματος Cayley-Hamilton μπορούμε να βρούμε και τον αντίστροφο ενός αντιστρέψιμου πίνακα. Ας δούμε ένα παράδειγμα. Παράδειγμα 6 Θεωρούμε τον πίνακα A με στοιχεία από το σύνολο R των πραγματικών αριθμών. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A είναι t X A (t) t t t + t +t. 9
ΑπότοθεώρημαCayley-Hamilton προκύπτει ότι ο πίνακας A μηδενίζει το πολυώνυμο αυτό, επομένως θα πρέπει να ισχύει A + A +A I, I A + A +A A( A + A +I ). Άρα ο αντίστροφος πίνακας του A θα δίνεται από τη σχέση A ( A + A +I ), οπότε βρίσκουμε A + +I Παράδειγμα 7 Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Cayley-Hamilton να υπολογίσετε τον αντίστροφο του πίνακα A 4 και να εκφράσετε τον A 4 σαν γραμμικό συνδυασμό των πινάκων A, A και I. Απόδειξη. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A είναι t X A (t) t 4 t t t +7t +, οπότε από το Θεώρημα Cayley-Hamilton προκύπτει X A (A) A A +7A +I A A A +7I I A A A +7I I A A +A 7I I. Επομένως ο αντίστροφος του A θα είναι A A 7 6 6 +A 7I 4 4. 6 6 Από το Θεώρημα Cayley-Hamilton προκύπτει επίσης A A +7A +I A 4 A A +7A +I A +7A +A ( A +7A +I )+7A +I A 4A I, δηλαδή ο A 4 έγινε γραμμικός συνδυασμός των πινάκων A, A και I.