HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 10/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen Τι είδαµε µέχρι τώρα Προτάσεις (ατοµικές, σύνθετες) Τελεστές (not, and, or, xor, εάν...τότε) Πίνακες αληθείας Ταυτολογίες / αντιφάσεις Ισοδυναµία προτάσεων (µε βάση τους πίνακες αληθείας) 2/12/2017 1 1 2/12/2017 3 3 Πάλι πίσω στη φυσική γλώσσα Προτασιακός Λογισµός (συνέχεια...) αν στην καθοµιλουµένη πούµε: (1) αν έρθει η Μαρία, θα πάω στο πάρτυ µάλλον εννοούµε (2) Θα πάω στο πάρτυ αν και µόνο ανη Μαρία πάει στο πάρτυ Τι νόηµα έχει στον προτ. λογ. η παρακάτω πρόταση; έρθει η Μαρία θα πάω στο πάρτυ Αν έρθει η Μαρία, τότε θα πάω στο πάρτυ. Η πρόταση αυτή όµως είναι αληθής ακόµα κι αν δεν έρθειη Μαρία στο πάρτυ Η (2) έχει άλλο νόηµα: Αν έρθει η Μαρία θα πάω στο πάρτυ αλλά και ταυτόχρονα, αν δεν έρθει η Μαρία, δεν θα πάω στο πάρτυ Εποµένως, για να αποδώσουµε το νόηµα της (2), χρειαζόµαστε ένα τελεστή διαφορετικό από τον («εάν τότε») 2/12/2017 2 2 2/12/2017 4 4 1

Τελεστής «αν και µόνο αν» Η διαφορά µεταξύ και Η πρόταση p qείναι αληθής αν η pκαι η qέχουν την ίδια τιµή αληθείας. Η p qδενσηµαίνει ότι η pκαι η qείναι αληθείς. Η p qδενσηµαίνει ότι ηµία από αυτές είναι η αιτία της άλλης Σηµειώστε ότι αυτός ο πίνακας αληθείας είναι η άρνηση της αποκλειστικής διάζευξης ηλαδή, p q (p q) p q p q F F T F T F T F F T T T Έστω σύνθετες προτάσεις P και Q. Η πρόταση P Q είναι µία σύνθετη πρόταση. Η πρόταση P Q σηµαίνει ότι η πρόταση P Q είναι ταυτολογία. H P Q είναι µία πρόταση για µία πρόταση Αντίστοιχη είναι και η διαφορά µεταξύ του τελεστή και της λογικής συνεπαγωγής 2/12/2017 5 5 2/12/2017 7 7 Ας δούµε... Η διαφορά µεταξύ και...την αλήθεια της p q, όπου 1. p= Η Κρήτη βρίσκεται στην Ελλάδα q= 2+2 =4 ΑΛΗΘΗΣ 2. p= Η Κρήτη δεν βρίσκεται στην Ελλάδα q= 2+2 =5 ΑΛΗΘΗΣ 3. p= Η Κρήτη βρίσκεται στην Ελλάδα q= Το Τόκυο βρίσκεται στην Ελλάδα ΨΕΥ ΗΣ Η P Qλέει αν η Pκαι η Q έχουντην ίδια τιµή αληθείας. Η P Q λέει ότι καµία εκχώρηση τιµών αληθείας στις P και Q δεν µπορεί να κάνει την P Qψευδή Εποµένως, η P Qµπορεί µόνο να ισχύει µεταξύ επιλεγµένων σύνθετων προτάσεων Pκαι Q.... Με άλλα λόγια, η P Q έχει την έννοια ότι Η P Qείναι ταυτολογία για οποιαδήποτε εκχώρηση τιµών στις ατοµικές προτάσεις που συνθέτουν τις P, Q. 2/12/2017 6 6 2/12/2017 8 8 2

Σχετικά µε την πρόταση p q Για µία πρόταση της µορφής p q: Ηαντίστροφήτης είναι: q p Η αντιθετική της είναι: p q Η αντιστροφοαντίθετή της είναι: q p Είναι κάποια από αυτές ισοδύναµη µε την p q; Επίσης: p q q p p q q p p q q p F F T T T T T T F T F T T F F T T F T F F T T F T T F F T T T T Εποµένως, η αντίστροφη και η αντιθετική µιας πρότασης, είναι λογικά ισοδύναµες µεταξύ τους 2/12/2017 9 9 2/12/2017 11 11 Ας δούµε ένα παράδειγµα Απόδειξη της ισοδυναµίας της p q και της αντιστροφοαντίθετήςτης, χρησιµοποιώντας πίνακες αληθείας: p q q p p q q p p q q p F F T T T T T T F T F T T F F T T F T F F T T F T T F F T T T T Έστω p = το τρίγωνο Τ είναι ισόπλευρο Έστω q = το τρίγωνο Τ είναι ισοσκελές p q: Αν το Τ είναι ισόπλευρο, τότε είναι και ισοσκελές q p:αν το Τδεν είναι ισοσκελές, τότε δεν είναι ισόπλευρο q p: Αν το Τ είναι ισοσκελές, τότε είναι και ισόπλευρο p q:αν το Τδεν είναι ισόπλευρο, τότε δεν είναι και ισοσκελές 2/12/2017 10 10 2/12/2017 12 12 3

Ανασκόπηση των τελεστών Για να σκεφτούµε τώρα... Είδαµε τον τελεστή άρνησης και πέντε δυαδικούς τελεστές: p q p p q p q p q p q p q F F T F F F T T F T T F T T T F T F F F T T F F T T F T T F T T Κάθε γραµµή του πίνακα αληθείας µπορεί να είναι T ή F, εποµένως µπορούµε να έχουµε 2x2x2x2=16 δυαδικούς τελεστές p q Τελεστής F F? F T? T F? T T? 2/12/2017 13 13 2/12/2017 15 15 Για να σκεφτούµε τώρα... Τελικά, πόσοιδυαδικοί τελεστές µπορούν να οριστούν; Ανασκόπηση των τελεστών p q F F F T F T F T F T F T F T F T F T F T F F T T F F T T F F T T F F T T T F F F F F T T T T F F F F T T T T T T F F F F F F F F T T T T T T T T 2/12/2017 14 14 2/12/2017 16 16 4

p q p τελεστής q F F T F T F T F T T Παράδειγµα F F Ανασκόπηση των τελεστών Όλοι οι τελεστές µπορούν να γραφούν ισοδύναµα µε χρήση µόνο των τελεστών άρνησης και σύζευξης. Πως µπορούµε να το δείξουµε αυτό; Έχουµε ήδη δείξει ότι έχοντας την άρνηση και την σύζευξη, µπορούµε να εκφράσουµε την διάζευξη. p q ( p q) Εποµένως, χρησιµοποιώντας αυτούς τους τρεις πλέον τελεστές, µπορούµε να «εκφράσουµε» τον κάθε πίνακα αληθείας πως;;; 2/12/2017 17 17 2/12/2017 19 19 Παράδειγµα p q p τελεστής q σύγκριση µε: p q F F T F F T F T T F F T T T F T Όνοµα: NOR Ανασκόπηση των τελεστών περιγράφοντας τον πίνακα αληθείας του τελεστή. Π.χ., για τον τελεστή Ζ : p q p Z q F F F F T T T F F T T T p Ζ q ( p q) (p q) 2/12/2017 18 18 2/12/2017 20 20 5

Η γλώσσα του προτασιακού λογισµού ορισµένη πιό τυπικά Ατοµικές προτάσεις: p 1, p 2, p 3,.. Προτάσεις: Όλες οι ατοµικές προτάσεις είναι προτάσεις Για κάθε έκφρασηα, αν ηαείναι πρόταση, τότε η α είναι επίσης πρόταση Για κάθε έκφρασηακαιβ, εάνοι α,βείναι προτάσεις, και εάν ο Lείναι κάποιος δυαδικός τελεστής, τότε και η (α L β) είναι πρόταση Απλοποιώντας τα πράγµατα... Σύµβαση 1:οι εξωτερικές παρενθέσεις µπορούν να παραλειφθούν: Σύµβαση 2:η προσεταιριστικότηταµας επιτρέπει να παραλείψουµε κι άλλες παρενθέσεις, π.χ. οι p 1 p 2 p 3 και p 1 p 2 p 3 είναι πλέον προτάσεις 2/12/2017 21 21 2/12/2017 23 23 Η γλώσσα του προτασιακού λογισµού ορισµένη πιό τυπικά Ποιές από τις παρακάτω εκφράσεις είναι προτάσεις σύµφωνα µε τον τυπικό αυτό ορισµό; Η γλώσσα του προτασιακού λογισµού ορισµένη πιό τυπικά Ποιές από τις παρακάτω είναι προτάσεις, όταν χρησιµοποιούµε αυτές τις δύο συµβάσεις; p 1 p 2 (p 1 p 2 ) (p 9 p 8 ) (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 (p 2 p 3 )) ΟΧΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ p 1 p 2 (p 1 p 2 ) (p 9 p 8 ) (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 (p 2 p 3 )) ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ 2/12/2017 22 22 2/12/2017 24 24 6

Μερικοί εναλλακτικοί συµβολισµοί Όνοµα: not and or xor implies iff : Άλγεβρα Boole: p pq + C/C++/Java (λέξεις):! &&!= == C/C++/Java (bitwise): ~ & ^ Λογικές πύλες: Ένα πρόβληµα A: Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό ή ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα B: Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό και ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα Τότε ο Α λέει: Α: O B λέει ψέµατα! Ο Β ξαναπαίρνει το λόγο και λέει: Β: Αν η πρωτεύουσα είναι στο βουνό τότε ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα Ο Κώστας σηµειώνει κάτι σε ένα κοµµάτι χαρτί και αποφασίζει τελικά να πάρει τον αριστερό δρόµο ΕΚΑΝΕ ΚΑΛΑ;;;;; 2/12/2017 25 25 2/12/2017 27 27 Ένα πρόβληµα Ο Κώστας βρίσκεται σε µία χώρα που κατοικείται από δύο τύπους ανθρώπων, κάποιους που λένε πάντα την αλήθεια, και κάποιους που λένε πάντα ψέµατα. Θέλει να φτάσει στην πρωτεύουσα της χώρας, αλλά, φτάνοντας σε κάποια διασταύρωση, είναι σε δίλληµα για το εάν θα πρέπει να πάει δεξιά ή αριστερά. Για καλή του τύχη, βλέπει δύο ανθρώπους και αποφασίζει να τους ρωτήσει τι να κάνει. Αυτοί, θέλοντας να τον ταλαιπωρήσουν λίγο, του δίνουν τις εξής απαντήσεις: Ένα πρόβληµα A: Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό ή ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα B: Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό και ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα Α: O B λέει ψέµατα! Β: Αν η πρωτεύουσα είναι στο βουνό τότεο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα 2/12/2017 26 26 2/12/2017 28 28 7

και η λύση του και η λύση του Έστω p = Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό Έστω q= O δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα Έστω r= O Β λέει ψέµατα p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T Ο Β λέει πάντα την αλήθεια ή λέει πάντα ψέµατα p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T 2/12/2017 29 29 2/12/2017 31 31 και η λύση του και η λύση του Ξέρουµε ότι όλοι οι κάτοικοι αυτής της χώρας, και εποµένως και ο Β λέει πάντα αλήθεια ή πάντα ψέµατα p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T Ο Β λέει πάντα την αλήθεια ή λέει πάντα ψέµατα p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T 2/12/2017 30 30 2/12/2017 32 32 8

και η λύση του και η λύση του Ο Α φαίνεται να λέει πάντα την αλήθεια p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T Άρα, p αληθής, q ψευδής δηλ. η πρόταση q= Oδρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα είναι ψευδής, κι εποµένως ο Κώστας έκανε καλά που έστριψε αριστερά! p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T 2/12/2017 33 33 2/12/2017 35 35 και η λύση του Ο Α φαίνεται να λέει πάντα την αλήθεια εποµένως η πρόταση του Α r= O B λέει ψέµατα! είναι αληθής!!! p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T Έχουµε µάθει για: Τελεστές προτασιακού λογισµού Συµβολισµούς Γλωσσικά ανάλογα Πίνακες αληθείας Λογική ισοδυναµία Θα µάθουµε ακόµα: Περισσότερα για λογικές ισοδυναµίες. Πως να τις αποδεικνύουµε 2/12/2017 34 34 2/12/2017 36 36 9

Νόµοι ισοδυναµίας Παρόµοιοι µε τις ταυτότητες στην άλγεβρα Πρότυπα που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να ταιριάξουµε ένα τµήµα µιάς άλλης πρότασης ΣΥΝΤΜΗΣΕΙΣ: T τυχαία ταυτολογία F τυχαία αντίφαση Κι άλλοι νόµοι ισοδυναµίας Επιµεριστική: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) De Morgan s: (p q) p q (p q) p q Ταυτολογία/αντίφαση: p p T p p F Augustus De Morgan (1806-1871) 2/12/2017 37 37 2/12/2017 39 39 Νόµοι ισοδυναµίας - παραδείγµατα Ουδέτερο στοιχείο: p T p p F p Απορροφητικό στοιχείο: p T T p F F p p p p p p ιπλή άρνηση: p p Αντιµεταθετική: p q q p p q q p Προσεταιριστική: (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) Εναλλακτικοί ορισµοί τελεστών µέσω ισοδυναµιών Μερικές ισοδυναµίες µπορούν να θεωρηθούν ως ορισµοί ενός τελεστή βάση άλλων: XOR: Εάν...τότε: p q (p q) (p q) p q (p q) (q p) p q p q Αν και µόνο αν: p q (p q) (q p) p q (p q) 2/12/2017 38 38 2/12/2017 40 40 10

Χρήση ισοδυναµιών: Παράδειγµα (1) Χρησιµοποιείστε ισοδυναµίες για να αποδείξετε ότι: ( r s) s r. Χρήση ισοδυναµιών: Παράδειγµα (2) Χρησιµοποιείστε ισοδυναµίες για να αποδείξετε ότι: (p q) (p r) p q r. (p q) (p r) [Χρήση του ορισµού του ] (p q) (p r) [Χρήση του ορισµού της ] (p q) ((p r) (p r)) [DeMorgan] ( p q) ((p r) (p r)) συνεχίζεται... 2/12/2017 41 41 2/12/2017 43 43 ( r s) Χρήση ισοδυναµιών: Παράδειγµα (1) [De Morgan] r s [ ιπλή άρνηση] r s [Αντιµεταθετική] s r. 2/12/2017 42 42 παράδειγµα, συνεχίζεται... ( p q) ((p r) (p r)) [ αντιµεταθ.] (q p) ((p r) (p r)) [ προσεταιρ.] q ( p ((p r) (p r))) [επιµεριστική] q ((( p (p r)) ( p (p r))) [προσεταιρ.] q ((( p p) r) ( p (p r))) [ταυτολογία] q ((T r) ( p (p r))) [απορ. στοιχείο] q (T ( p (p r))) [ουδέτερο στοιχείο] q ( p (p r)) συνεχίζεται... 2/12/2017 44 44 11

Τέλος παραδείγµατος q ( p (p r)) [DeMorgan] q ( p ( p r)) q (( p p) r) [p p p] [Προσεταιριστική] q ( p r) (q p) r p q r Ο.Ε.. (όπερ έδει δείξαι το οποίο έπρεπε να δείξουµε...) [Προσεταιριστική] [Αντιµεταθετική] K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα εν έχουµε ατυχήµατα Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο 2/12/2017 45 45 2/12/2017 47 47 Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον προτασιακό λογισµό για να αποδείξουµε την αλήθεια συγκεκριµένων προτάσεων Έστω οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα εν έχουµε ατυχήµατα Τότε µπορώ να οδηγηθώ στο συµπέρασµα εν έχει κρύο Πως; K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα εν έχουµε ατυχήµατα Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο 2/12/2017 46 46 2/12/2017 48 48 12

K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα Χ Α εν έχουµε ατυχήµατα Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα Χ Α εν έχουµε ατυχήµατα Α Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο K 2/12/2017 49 49 2/12/2017 51 51 K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα Χ Α εν έχουµε ατυχήµατα Α Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο Με αυτά τα δεδοµένα, αρκεί να δείξουµε ότι : ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ 2/12/2017 50 50 2/12/2017 52 52 13

και µε βάση αυτά που λέγαµε νωρίτερα, αρκεί να δείξουµε ότι στον προτασιακό λογισµό η πρόταση: ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ αποτελεί ταυτολογία! Μπορούµε να το κάνουµε είτε µε πίνακα αληθείας, είτε χρησιµοποιώντας λογικές ισοδυναµίες Θα επιχειρήσουµε το 2 ο Απόδειξη ( Κ Α Χ) Κ ( Κ Α Χ) Κ K A X Κ (K Κ) (A X) T (A X) T [Ο.Ε..] 2/12/2017 53 53 2/12/2017 55 55 Απόδειξη ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ ((Κ Χ) ( Χ Α) Α) Κ ((Κ Χ) ( Α ( Χ Α)) Κ ((Κ Χ) (( Α Χ) ( Α Α)) Κ ((Κ Χ) (( Α Χ) F) Κ ((Κ Χ) ( Α Χ)) Κ (( Κ Χ) ( Α Χ)) Κ (( Κ ( Α Χ)) (Χ ( Α Χ))) Κ (( Κ Α Χ) (Χ Α Χ)) Κ (( Κ Α Χ) F) Κ ( Κ Α Χ) Κ Απόδειξη µε άλλο τρόπο Αλλιώς 1. εν έχουµε ατυχήµατα (δεδοµένο) 2. Εάν χιονίζει έχουµε ατυχήµατα (δεδοµένο) ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν έχουµε ατυχήµατα δεν χιονίζει (αντιστροφοαντίθετητης 2) 3. ΕΠΟΜΕΝΩΣ δεν χιονίζει 4. Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει (δεδοµένο) ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν χιονίζει δεν έχει κρύο (αντιστροφοαντίθετη της 4) 5. ΕΠΟΜΕΝΩΣ εν έχει κρύο [Ο.Ε..] 2/12/2017 54 54 2/12/2017 56 56 14