Κεφάλαιο 7. Σειρές Οµάδων. 7.1 Σειρές σύνθεσης. G = G 0 G 1 G 2 G n... G = G 0 G 1 G r = {e}. (7.1.1)

Κεφάλαιο 7 Σειρές Οµάδων Συχνά στα µαθηµατικά προκειµένου να µελετήσουµε ένα µαθηµατικό αντικείµενο το αναλύουµε σε απλούστερα συστατικά του. Οι ακέραιοι αριθµοί για παράδειγµα αναλύονται σε γινόµενο πρώτων ακέραιων αριθµών. Ενα πολυώνυµο αναλύεται σε γινόµενο ανάγωγων πολυωνύµων. Στο κεφάλαιο 6 είδαµε ότι η ανάλυση µίας πεπερασµένα παραγόµενης αβελιανής οµάδας σε ευθύ άθροισµα κυκλικών οµάδων, έδωσε πλήρες ϕως στη µελέτη τους. υστυχώς πολύ λίγες οµάδες αναλύονται σε γινόµενο υποοµάδων τους και ϐέβαια είναι Ϲητούµενο πώς µία τυχαία οµάδα µπορεί να αναλυθεί σε γινόµενο υποοµάδων τους ή ιδιαίτερων υποοµάδων τους µε επιθυµητές ιδιότητες. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µας απασχολήσουν οι σειρές υποοµάδων της οµάδας που µελετούµε, οι οποίες ϑα µας οδηγήσουν σε ενδιαφέρουσες ιδιότητές της. Λέµε ότι οι υποοµάδες G 0, G 1, G 2,... µίας οµάδας G αποτελούν µία σειρά (series) της G αν G = G 0 G 1 G 2 G n... Θα αναζητήσουµε ιδιότητες στις υποοµάδες G i ώστε να οδηγηθούµε σε σειρά ή σειρές της G που να χαρακτηρίζονται για τη µοναδικότητά τους. Φυσικά ο στόχος της µελέτης των σειρών µίας οµάδας είναι να µπορέσουµε να «κτίσουµε» την οµάδα G µε δοµικά στοιχεία τις υποοµάδες της και ϑεωρίες που δηµιουργούνται από τις σειρές της. 7.1 Σειρές σύνθεσης Εστω G µία οµάδα. Κανονική σειρά (normal series) της G λέγεται µία σειρά υποοµάδων της G τέτοιων ώστε G = G 0 G 1 G r = {e}. (7.1.1) 163

164 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Ο ϕυσικός αριθµός r λέγεται µήκος (lengh) της σειράς, οι υποοµάδες G i, 1 i r, λέγονται όροι (members) της σειράς, ενώ οι οµάδες G i /G i+1, 0 i r 1, λέγονται παράγοντες (factors) της σειράς. Σε όλο αυτό το κεφάλαιο ϑα ασχοληθούµε µε κανονικές σειρές οµάδων. Ας παρατηρήσουµε ότι στη σειρά (7.1.1) απαιτούµε οι διαδοχικοί όροι να είναι διάφοροι µεταξύ τους. Κάθε οµάδα G {e} έχει τουλάχιστον µία κανονική σειρά την ακόλουθη G = G 0 G 1 = {e}. Υπάρχουν οµάδες που έχουν κανονικές σειρές µήκους 1. Αυτό ϑα συµβαίνει για µία οµάδα G που δεν έχει καµία κανονική υποοµάδα εκτός της {e} και του εαυτού της, δηλ. η G είναι απλή. Ετσι όσο µεγαλύτερο µήκος έχει µία κανονική σειρά της οµάδας G τόσο αυτή «απέχει» από το να είναι απλή. Παράδειγµα 7.1.1 Εστω G = g µία κυκλική οµάδα τάξης 30. Τότε µπο- ϱούµε να δηµιουργήσουµε τις επόµενες κανονικές σειρές i. G = g {e} ii. G = g g 10 {e} iii. G = g g 5 g 10 {e} iv. G = g g 2 g 6 {e} v. G = g g 3 g 6 {e}. Παρατηρούµε ότι για την οµάδα G ϐρίσκουµε πολλές κανονικές µε διαφορετικά µήκη και διαφορετικούς όρους και παράγοντες από σειρά σε σειρά. Η σειρά ii) έχει τους όρους της σειράς i) και έναν παραπάνω, ενώ η σειρά iii) περιέχει έναν όρο παραπάνω από τη σειρά ii). Οι σειρές iii), iv) και v) έχουν το ίδιο µήκος. Ας υπολογίσουµε τους παράγοντες αυτών των κανονικών σειρών. Οι παράγοντες της κανονικής σειράς iii) είναι οι : αφού ord(g 5 ) = G/ g 5 Z 5, 30 (5, 30) = 6 και G/ g5 = 5, g 5 / g 10 Z 2 και g 10 /{e} Z 3. Οµοια µπορούµε να υπολογίσουµε ότι οι παράγοντες της κανονικής σειράς iv) είναι οι : Z 2, Z 3, Z 5, ενώ της σειράς v) είναι οι : Z 3, Z 2, Z 5.

Κεφάλαιο 7 Εδάφιο 7.1 Σειρές σύνθεσης 165 Με άλλα λόγια ϐρίσκουµε τους ίδιους παράγοντες µε διαφορετική σειρά. Αυτές οι παρατηρήσεις δικαιολογούν καταρχήν τον επόµενο ορισµό. Ορισµός 7.1.2 Εστω G µία οµάδα µε µία κανονική σειρά της όπως στη σχέση (7.1.1). Αν G = H 0 H 1 H r+s = {e} (7.1.2) είναι µία κανονική σειρά της G που προκύπτει από τη σειρά (7.1.1) µε πα- ϱεµβολή νέων όρων µεταξύ διαδοχικών όρων της, τότε λέγεται λεπτότερη της (7.1.1). Ετσι στο Παράδειγµα 7.1.1 η κανονική σειρά iii) είναι λεπτότερη της ii) και η ii) είναι λεπτότερη της i). Ακόµη παρατηρούµε ότι οι κανονικές σειρές iii), iv), v) δεν είναι συγκρίσιµες ως προς τον όρο «λεπτότερη». Αυτό ϐέβαια προκύπτει από το ίδιο µήκος που συµβαίνει να έχουν, αλλά και από το γεγονός ότι όλοι οι όροι της µίας δεν είναι όροι της άλλης. ηµιουργείται αµέσως το ερώτηµα πότε µπορούµε να παρεµβάλλουµε έναν νέο όρο µεταξύ δύο διαδοχικών όρων µίας σειράς ; Για την απάντηση του ερωτήµατος ας ϑεωρήσουµε µία οµάδα G και H G. Θα εξετάσουµε πότε υπάρχει K G τέτοια ώστε H K G. Από τις σχέσεις K G και H K G προκύπτει ότι υπάρχουν οι οµάδες K/H, G/H, G/K και από Τρίτο Θεώρηµα Ισοµορφίας έπεται ότι (G/H)/(K/H) G/K. Με άλλα λόγια ικανή και αναγκαία συνθήκη για να υπάρχει η Η µε τις παραπάνω ιδιότητες είναι να υπάρχει η κανονική υποοµάδα H/K της G/K. Καταλήγουµε έτσι στο συµπέρασµα. Πρόταση 7.1.3 Εστω G µία οµάδα και H G. Υπάρχει K G ώστε H K G αν και µόνον αν η G/H δεν είναι απλή οµάδα. Ισοδύναµα η Η δεν είναι µέγιστη κανονική υποοµάδα της G. Ετσι η κανονική σειρά (7.1.1) δεν µπορεί να γίνει λεπτότερη αν και µόνον αν κάθε παράγοντάς της G i /G i+1, 0 i r 1, είναι απλή οµάδα. Παρατηρούµε έτσι ότι οι σειρές iii., iv. και v. στο Παράδειγµα 7.1.1 δεν µπορούν να γίνουν λεπτότερες αφού οι εµφανιζόµενοι παράγοντες Z 2, Z 3 και Z 5 είναι απλές οµάδες ως κυκλικές µε τάξη πρώτο αριθµό. Ας δούµε µερικά παραδείγµατα µέγιστων κανονικών υποοµάδων : i. Κάθε H < G µε [G H] = 2 (ϐλ. Πρόταση 3.2.5) ii. A 3 S 3.

166 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων iii. Η υποοµάδα pz της Z, όπου p είναι πρώτος ϕυσικός αριθµός. Η επόµενη πρόταση δίνει µία πληροφορία για τις µέγιστες κανονικές υποο- µάδες µίας οµάδας. Πρόταση 7.1.4 Εστω G µία οµάδα και Κ, Η δύο διακεκριµένες µέγιστες κανονικές υποοµάδες της. Τότε η K H είναι µέγιστη κανονική υποοµάδα της Κ και της Η. Απόδειξη Από το εύτερο Θεώρηµα Ισοµορφίας προκύπτει ότι H/(H K) (HK)/K και K/(H K) (HK)/H. (7.1.3) Από τη σχέση H HK G, το γεγονός ότι η Η είναι µέγιστη κανονική υποοµάδα της G και τη σχέση H K, έπεται ότι HK = G. Ετσι οι σχέσεις (7.1.3) γίνονται H/(H K) G/K και K/(H K) G/H και αφού οι Η και Κ είναι µέγιστες κανονικές υποοµάδες της G οι ισοµορ- ϕίες αυτές οδηγούν στο συµπέρασµα ότι η H K είναι η µέγιστη κανονική υποοµάδα και της Η και της Κ. Από τα παραπάνω ο επόµενος ορισµός είναι δικαιολογηµένος. Ορισµός 7.1.5 Η κανονική σειρά (7.1.1) για µία οµάδα G γίνεται σειρά σύν- ϑεσης (composition series) αν κάθε παράγοντάς της G i /G i+1, 0 i r 1, είναι απλή οµάδα. Στο σηµείο αυτό ας παρατηρήσουµε ότι οι όροι G i, 2 i r 1, για την κανονική σειρά (7.1.1) δεν είναι απαραίτητο να είναι κανονικές υποοµάδες της G (ϐλ. Συµπέρασµα 3.2.8 στο Παράδειγµα 3.2.7.2). Φυσικά αυτό συµβαίνει αν η οµάδα G είναι αβελιανή. Παραδείγµατα 7.1.6 Οι επόµενες είναι σειρές σύνθεσης. i. S 3 A 3 {e} ii. D 2 4 α α 2 {e} iii. D 2 4 α 2, β α 2 {e} iv. D 2 4 α 2, β β {e} (ϐλ. Ορισµός 3.1.15) v. Z 12 2 4 {0}

Κεφάλαιο 7 Εδάφιο 7.1 Σειρές σύνθεσης 167 vi. Z 12 3 6 {0}. Από τα παραπάνω παραδείγµατα είναι ϕανερό ότι µία οµάδα έχει πε- ϱισσότερες από µία σειρές σύνθεσης, οι οποίες είναι οι κανονικές µέγιστου µήκους, όπως είδαµε. Εποµένως, το ερώτηµα που οφείλουµε να αντιµετωπίσουµε είναι : ποιά σχέση έχουν οι σειρές σύνθεσης µίας οµάδας ; Ξεκινούµε τη µελέτη µας αυτή µε έναν ορισµό. Ορισµός 7.1.7 ύο κανονικές σειρές µίας οµάδας G λέγονται ισοδύναµες (equivalent) αν έχουν το ίδιο µήκος και τους ίδιους παράγοντες µε προσέγγιση ισοµορφίας. Από τα Παραδείγµατα 7.1.5 παρατηρούµε ότι οι σειρές σύνθεσης της ο- µάδας D 2 4 που εµφανίζονται στα ii), iii) και iv) είναι ισοδύναµες αφού έχουν το ίδιο µήκος και οι παράγοντες είναι οι : Z 2, Z 2, Z 2. Στα Παραδείγµατα 7.1.5, v) και vi) οι σειρές σύνθεσης της Z 12 είναι επίσης ισοδύναµες µε µήκος τρία και παράγοντες : Z 2, Z 2, Z 3. Είναι εύκολο να διαπιστώσει ο αναγνώστης ότι η ισοδυναµία µεταξύ των κανονικών σειρών µίας οµάδας είναι σχέση ισοδυναµίας. Το επόµενο ϑεώρηµα ϑα οδηγήσει στη µοναδικότητα της σειράς σύνθεσης, όταν ϐέβαια αυτή υπάρχει, µε προσέγγιση ισοµορφίας. Θεώρηµα 7.1.8 (Schreier) ύο κανονικές σειρές µίας οµάδας G έχουν λεπτότερες κανονικές σειρές που είναι ισοδύναµες. Απόδειξη Ας υποθέσουµε ότι η οµάδα G έχει τις κανονικές σειρές : και G = A 0 A 1 A m = {e} (7.1.4) G = B 0 B 1 B n = {e}. (7.1.5) Μεταξύ δύο διαδοχικών όρων A i, A i+1 της σειράς (7.1.4) µπορούµε να παρεµ- ϐάλλουµε νέους όρους που προκύπτουν από τις οµάδες A i και A i+1 και των όρων της σειράς (7.1.5) ως εξής : A i = Γ i0 Γ i1 Γ ik = A i+1, (7.1.6) όπου Γ ij = (A i B j )A i+1. Οµοια µπορούµε να παρεµβάλλουµε νέους όρους µεταξύ των όρων B j και B j+1 ως εξής : B j = j0 j1 jν = B j+1, (7.1.7)

168 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων όπου ji = (B j A i )B j+1. Επειδή οι σειρές (7.1.4) και (7.1.5) είναι κανονικές έπεται ότι οι σειρές (7.1.6) και (7.1.7) είναι πράγµατι κανονικές, αλλά δεν µπορούµε να αποκλείσουµε την ισότητα µεταξύ κάποιων διαδοχικών όρων. Θα αποδείξουµε ότι Γ ij /Γ i,j+1 ji / j,i+1. (7.1.8) Από την απόδειξη της σχέσης (7.1.8) προκύπτει ότι οι κανονικές σειρές που προκύπτουν από τις σειρές (7.1.4) και (7.1.5) µε την παρεµβολή των νέων όρων και χωρίς την επανάληψη ίσων όρων είναι ισοδύναµες. Αποδεικνύουµε τον ισοµορφισµό της σχέσης (7.1.8). Από το εύτερο Θεώρηµα Ισοµορφίας προκύπτει ότι Γ ij /Γ i,j+1 = (A i B i )A i+1 /(A i B j+1 )A i+1 (A i B j )/(A i B j+1 )(A i B j A i+1 ) = και ji / j,i+1 = (A i B j )/(A i B j+1 )(A i+1 B j ) = (B j A j )B j+1 /(B j A i+1 )B j+1 (B j A i )/(B j A i+1 )(B j A i B j+1 ) = = (B j A i )/(B j A i+1 )(B j+1 A i ). Από την ισότητα των τελευταίων µελών των παραπάνω σχέσεων προκύπτει ο ισοµορφισµός της σχέσης (7.1.8). Τώρα µπορούµε να οδηγηθούµε στη µοναδικότητα των σειρών σύνθεσης, ϕυσικά όταν υπάρχουν. Θεώρηµα 7.1.9 (Jordan - Hölder) ύο οποιεσδήποτε σειρές σύνθεσης µίας οµάδας G είναι ισοδύναµες. Απόδειξη Οι σειρές σύνθεσης µίας οµάδας έχουν το µέγιστο δυνατό µήκος, δηλ. δεν µπορούν να παρεµβληθούν νέοι όροι µεταξύ διαδοχικών όρων τους. Άρα σύµφωνα µε το Θεώρηµα του Schreier είναι ισοδύναµες. Στα προηγούµενα παραδείγµατα είδαµε ότι υπάρχουν οµάδες που έχουν σειρές σύνθεσης, όπως η D 2 4, η Q και η Z 12. Το επόµενο ϑεώρηµα ενοποιεί αυτά τα παραδείγµατα. Θεώρηµα 7.1.10 Κάθε πεπερασµένη οµάδα έχει σειρά σύνθεσης. Απόδειξη Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα. Θα αποδείξουµε το Θεώρηµα επαγωγικά ως προς την τάξη της G. Για G = 1, το ϑεώρηµα ισχύει. Υποθέτουµε ότι κάθε οµάδα µε τάξη αυστηρά µικρότερη της G έχει σειρά σύνθεσης

Κεφάλαιο 7 Εδάφιο 7.1 Σειρές σύνθεσης 169 και ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα για την τάξη της G. Αν η G είναι απλή οµάδα τότε η G έχει τη σειρά σύνθεσης G {e}. Ας υποθέσουµε ότι η G δεν είναι απλή, δηλαδή έχει µία κανονική υποοµάδα Η, µε {e} H G. Τότε οι οµάδες Η και G/H έχουν τάξη αυστηρά µικρότερη της G και από την υπόθεση της µαθηµατικής επαγωγής έχουν σειρά σύνθεσης. Εστω και H = H 0 H 1 H r = {e} G/H = G 0 /H G 1 /H G s /H = {H} σειρές σύνθεσης των Η και G/H αντίστοιχα. Τότε µπορούµε να δηµιουργήσουµε την κανονική σειρά Παρατηρούµε ότι G = G 0 G 1 G s = H = H 0 H 1... H r = {e}. (7.1.9) G i /G i+1 (G i /H)/(G i+1 /H), 0 i s 1 λόγω του Τρίτου Θεωρήµατος Ισοµορφίας, άρα οι οµάδες αυτές είναι απλές. Ετσι από την (7.1.9) προκύπτει ότι η σειρά G = G 0 G 1 G s 1 H H 1... H r = {e} είναι σειρά σύνθεσης της G και αποδείχθηκε το ϑεώρηµα. Ως συνέπεια του Θεωρήµατος 7.1.10 προκύπτει µία άλλη απόδειξη του Θε- µελιώδους Θεωρήµατος της Αριθµητικής. Θεώρηµα 7.1.11 (Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αριθµητικής) Κάθε ϕυσικός αριθµός n > 1 αναλύεται σε γινόµενο πρώτων αριθµών µοναδικά µε προσέγγιση αντιµετάθεσης των παραγόντων. Απόδειξη Εστω n > 1 ένας ϕυσικός αιρθµός και G µία κυκλική οµάδα τάξης n. Σύµφωνα µε το Θεώρηµα 7.1.10 η G έχει µία σειρά σύνθεσης, έστω την G = G 0 G 1 G 2 G r = {e}. Τότε η οµάδα G i /G i+1, 0 i r 1, είναι απλή αβελιανή οµάδα (γιατί η G είναι αβελιανή). Οµως, οι µόνες απλές αβελιανές οµάδες είναι οι κυκλικές οµάδες τάξης πρώτου αριθµού (ϐλ. Παράδειγµα 5.3.12.6). Άρα G i /G i+1 = p i+1, 1 i r 1. Οµως G = G 0 /G 1... G r 1 /G r = p 1 p 2... p r,

170 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων όπως προκύπτει από το Θεώρηµα Lagrange (άσκηση 7.1.4), εποµένως n = p 1 p 2... p r. Η µοναδικότητα της ανάλυσης του n σε γινόµενο πρώτων παραγόντων προκύπτει από τη µοναδικότητα της σειράς σύνθεσης µε προσέγγιση ισοδυναµίας. Ας δούµε τώρα την περίπτωση µίας οµάδας που δεν έχει σειρά σύνθεσης. Πρόταση 7.1.12 Μία αντιµεταθετική οµάδα άπειρης τάξης δεν µπορεί να έχει σειρά σύνθεσης. Απόδειξη Εστω G µία άπειρη αβελιανή οµάδα και ας υποθέσουµε ότι έχει µία σειρά σύνθεσης, έστω τη σειρά G = G 0 G 1 G r = {e}. Τότε οι οµάδες G 0 /G 1,..., G r 1 /G r είναι απλές αβελιανές οµάδες, άρα κυκλικές τάξης πρώτου αριθµού. Με το επιχείρηµα του Θεωρήµατος 7.1.11 προκύπτει ότι G = G 0 /G 1... G r 1 /G r <, άτοπο γιατί G =. Εποµένως η G δεν µπορεί να έχει σειρά σύνθεσης. Ασκήσεις 1. Να υπολογίσετε όλες τις σειρές σύνθεσης των οµάδων D 2 4 και Q. 2. Εστω G µία οµάδα και H G. Να αποδείξετε ότι από µία κανονική σειρά της G µπορείτε να λάβετε µία κανονική σειρά της Η. (Υποδ. Να πάρετε την τοµή κάθε όρου της σειράς της G µε την Η.) 3. Μία οµάδα λέγεται πολυκυκλική (polycyclic) αν έχει µία κανονική σειρά µε παράγοντες κυκλικές οµάδες. Να εξετάσετε ποιές από τις οµάδες D 2 4, Q, Z 12, C p n είναι πολυκυκλικές. 4. Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα και H 1, H 2,..., H r είναι οι παράγοντες µίας σειράς σύνθεσης της G. Να αποδείξετε ότι G = H 1 H 2... H r. 5. Να αποδείξετε ότι κάθε πεπερασµένη p-οµάδα έχει σειρά σύνθεσης µε παράγοντες κυκλικές οµάδες τάξης p, όπου p είνα πρώτος ϕυσικός αριθµός. 7.2 Επεκτάσεις οµάδων Στόχος αυτού του εδαφίου είναι να εξετάσουµε τι µπορούµε να αποκοµίσουµε από τη ϑεωρία των κανονικών σειρών και ιδιαίτερα από τις σειρές σύνθεσης

Κεφάλαιο 7 Εδάφιο 7.2 Επεκτάσεις οµάδων 171 µίας οµάδας για τη µελέτη της ίδιας της G ή την ταξινόµηση των πεπερασµένων οµάδων. Εστω G µία οµάδα και N G. Οπως γνωρίζουµε τότε ορίζεται η οµάδα G/N και η δοµή της προκύπτει από αυτήν των G και Ν. Το αντίστροφο αυτού του προβλήµατος συνιστά το λεγόµενο πρόβληµα επέκτασης οµάδας (group extension problem), δηλ. αν δοθούν δύο οµάδες Ν και Η µπορούµε να ϐρούµε µία οµάδα G µε την ιδιότητα G/N H; Και ακόµη περισσότερο µπορούµε να προσδιορίσουµε όλες τις οµάδες G µε αυτήν την ιδιότητα ; Η οµάδα G µε την ιδιότητα G/N H για δύο δοσµένες οµάδες Ν και Η λέγεται επέκταση της Ν µέσω της Η. Η έννοια της σειράς σύνθεσης καθώς και το Θεώρηµα των Jordan - Hölder δίνει µία προσέγγιση επίλυσης του προβλήµατος επέκτασης οµάδας. Ας υποθέσουµε ότι η σειρά στη σχέση 7.1.1 είναι µία σειρά σύνθεσης της οµάδας G µήκους r και µε παράγοντες τις οµάδες : H 1 G 0 /G 1, H 2 G 1 /G 2,..., H r G r 1 /G r. Οπως είδαµε στο προηγούµενο εδάφιο οι οµάδες H 1, H 2,..., H r ορίζονται µοναδικά για τη G και ο ϕυσικός r είναι µία αναλλοίωτη ποσότητα για τη G (ϐλ. Θεώρηµα 7.1.9). Παρατηρούµε ότι H r G r 1 και H r 1 G r 2 /G r 1 δηλ. η G r 2 είναι επέκταση της G r 1 µέσω της H r 1. Οµοια από τον ισοµορφισµό H r 2 G r 3 /G r 2 η οµάδα G r 3 είναι επέκταση της G r 2 µέσω της H r 2. Συνεχίζοντας έτσι µετά από συνολικά r πλήθους ϐήµατα ϐρίσκουµε την G ως επέκταση της G 1 µέσω της H 1. Εποµένως αν γνωρίζουµε την επίλυση του προβλήµατος επέκτασης οµάδας και όλες τις α- πλές οµάδες ϑα µπορούσαµε να οδηγηθούµε στην ταξινόµηση εκείνων των οµάδων που έχουν σειρά σύνθεσης. Για τις πεπερασµένες οµάδες, που όπως γνωρίζουµε έχουν σειρές σύνθεσης (Θεώρηµα 7.1.10) τα πράγµατα ϕαίνονται πιο ελπιδοφόρα µετά την ταξινόµηση των απλών πεπερασµένων οµάδων. Η πλήρης απόδειξη αυτής της ταξινόµησης δόθηκε το 2004 µετά από µία γιγαντιαία προσπάθεια ερευνητών που αποτυπώθηκε σε πάνω από 10000 σελίδες ερευνητικών περιοδικών από περίπου 100 ερευνητές που παρουσίασαν πολλές εκατοντάδες άρθρα, άλλα και που απαιτήθηκαν για την ολοκλήρωσή τους πολλές χιλιάδες ώρες εργασίας ηλεκτρονικών υπολογιστών. Πρωτοπόρος της Θεωρίας των απλών πεπερασµένων οµάδων ϑεωρείται ο Richard Brauer που ξεκίνησε τη µελέτη των απλών πεπερασµένων οµάδων στο τέλος της δεκαετίας 1940-1950 και ήταν ο πρώτος που διαπίστωσε τη ϑεµελιώδη σχέση µεταξύ της δοµής της οµάδας και του κεντροποιητή στοιχείου της οµάδας µε τάξη 2. Μεγάλη ώ- ϑηση στο πρόγραµµα αυτό έδωσαν το 1952 οι W.Feit και J.Thompson όταν απόδειξαν ότι κάθε µη αβελιανή πεπερασµένη απλή οµάδα έχει τάξη άρτιο α- ϱιθµό. Ενα ενδιαφέρον άρθρο για την πορεία αυτού του προγράµµατος είναι το άρθρο του M. Aschbacher, The Stasus of the Classification of the Finite

172 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Simple Groups, Notices of the AMS 51(7), pp.736-740. Επίσης ϐλ. Wikipedia, the free encyclopedia http://en.m.wikipedia.org wiki classification of finite simple groups. Το πρόβληµα, όµως, της επέκτασης οµάδας είναι ακόµη πιο δύσκολο, έτσι ϐρισκόµαστε πολύ µακριά από τη ταξινόµηση των πεπερασµένων οµάδων, πολύ περισσότερο των άπειρων. Οµως, το πρόβληµα της επέκτασης οµάδας και η επίλυσή του οδήγησαν στη δηµιουργία του κλάδου της Οµολογικής Άλγεβρας. Ας εξετάσουµε λεπτοµερέστερα την έννοια της επέκτασης οµάδας. Εστω G µία οµάδα και N G έτσι ώστε G/N H, για µία οµάδα Η. Τότε υπάρχει ένας επιµορφισµός οµάδων f G H µε πυρήνα την οµάδα Ν, όπως προκύπτει από το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφίας οµάδων. Αν g N G, n n είναι η εµφύτευση της Ν στη G, τότε µπορούµε να σχηµατίσουµε την ακολουθία οµοµορφισµών οµάδων {e} ε N g G f H t {e}, (7.2.1) όπου η πρώτη απεικόνιση απεικονίζει το e στον εαυτό του και η τελευταία απεικονίζει καάθε στοιχείο της Η στο e. Παρατηρούµε ότι στην ακολουθία (7.2.1) η εικόνα κάθε οµοµορφισµού ισούται µε τον πυρήνα του αµέσως επόµενου οµοµορφισµού. Ετσι Imε = Kerg = {e}, Img = N = Kerf, Imf = H = Kert. Από τα παραπάνω είναι ακαγκαίος ο επόµενος ορισµός. Ορισµός 7.2.1 Βραχεία ακριβής ακολουθία (short exact sequence) οµο- µορφισµών οµάδων είναι µία ακολουθία {e} f 1 N f 2 G f 3 H f 4 {e}, όπου οι N, G, H είναι οµάδες και οι f i, i = 1, 2, 3, 4, είναι οµοµορφισµοί οµάδων µε την ιδιότητα Imf i = Kerf i+1, i = 1, 2, 3, 4. Από τον Ορισµό 7.2.1 προκύπτει ότι ο οµοµορφισµός f 2 είναι µονοµορ- ϕισµός οµάδων, αφού Kerf 1 = {e}. Ακόµη ο f 3 είναι επιµορφισµός οµάδων, αφού Imf 3 = Kerf 4 = H. Εποµένως από το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφίας Οµάδων προκύπτει ότι G/f 2 (N) Q. Παραδείγµατα 7.2.2

Κεφάλαιο 7 Εδάφιο 7.2 Επεκτάσεις οµάδων 173 1 Εστω Κ, Η δύο οµάδες, τότε η K H είναι επέκταση της Κ µέσω της Η, αφού η ακολουθία {e} K f K H g H {e}, όπου f(k) = (k, e) και g(k, h) = h, για k K και h H, είναι µία ϐραχεία ακριβής ακολουθία. Επίσης η K H είναι επέκταση της Η µεσω της Κ, όπως προκύπτει αν στην παραπάνω ακολουθία στη ϑέση της οµάδας Κ ϑέσουµε την οµάδα Η και στη ϑέση της Η την Κ. 2 Η S 3 είναι επέκταση της (123) µέσω της (12). Πράγµατι, η (123) S 3 και S 3 / (123) (12). Ακόµη (123) Z 3 και (12) Z 2. Άρα έχουµε την ϐραχεία ακριβή ακολουθία 0 Z 3 S 3 Z 2 0, δηλ. η S 3 είναι επέκταση της Z 3 µέσω της Z 2. 3 Θεωρούµε την κυκλική οµάδα Z 6 παρατηρούµε ότι 2 Z 6, Z 6 / 2 Z 2, όπου 2 Z 6, και 2 Z 3. Άρα προκύπτει η ϐραχεία ακριβής ακολουθία 0 2 f g Z 6 Z 6 / 2 0, όπου 2 f Z 6 και g(ᾱ) = ᾱ + 2. Εποµένως, έχουµε την ϐραχεία ακριβή ακολουθία 0 Z 3 Z 6 Z 2 0. Συγκρίνοντας αυτήν την ακριβή ακολουθία µε τη ϐραχεία ακριβή ακολου- ϑία του πρώτου παραδείγµατος, παρατηρούµε ότι η επέκταση οµάδας της Z 3 µέσω της Z 2 δεν ορίζεται µοναδικά, αφού S 3 / Z 6. 4 Από τον Ορισµό 7.2.1 της επέκτασης οµάδας και τον ισοµορφισµό G/N H προκύπτει ότι όλες οι επεκτάσεις της N µέσω της H είναι οµάδες που έχουν την ίδια τάξη. Ορισµός 7.2.3 Μία οµάδα G είναι το ηµιευθύ γινόµενο (semidirect product) των υποοµάδων της N και K αν i. G = NK ii. N G iii. N K = {e} και συµβολίζεται G = N K.

174 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Από τον Ορισµό 7.2.2 και το δεύτερο Θεώρηµα Ισοµορφίας προκύπτει ότι G/N NK/N K/K N K. Ετσι, για την G = N K προκύπτει η ϐραχεία ακριβής ακολουθία {e} N G K {e}. Παραδείγµατα 7.2.4 1 Η S n είναι το ηµιευθύ γινόµενο των υποοµάδων της A n και (12). 2 Η διεδρική οµάδα D 2n είναι το ηµιευθύ γινόµενο των υποοµάδων της ρ και ε (ϐλ. Ορισµός 3.1.15). 3 Οι οµάδες S 3 και Z 6 είναι ισόµορφες µε το ηµιευθύ γινόµενο µίας κυκλικής οµάδας τάξης 3 και µίας οµάδας τάξης 2. Πράγµατι, (123) S 3, (123) (12) = {e}, S 3 = (123) (12). Άρα, S 3 = (123) (12), δηλαδή S 3 Z 3 Z 2. Εποµένως, το ηµιευθύ γινόµενο δεν ορίζεται µοναδικά από τους παράγοντές του, όπως συµβαίνει µε το ευθύ γινόµενο. Παρατηρούµε ότι ο ορισµός του ηµιευθέως γινοµένου είναι γενικότερος αυτού του ευθέως γινοµένου. Ακόµη, κάθε οµάδα που περιέχει µία κανονική υποοµάδα µπορεί να παρασταθεί ως επέκταση κάποιων υποοµάδων τους. Ετσι, οι µόνες οµάδες που δεν µπορούν να ϑεωρηθούν επεκτάσεις άλλων οµάδων είναι οι απλές οµάδες. Στη συνέχεια δίνουµε έναν ορισµό που συνδέει την έννοια της ϐραχείας ακρι- ϐούς ακολουθίας και την έννοια του ηµιευθέως γινοµένου. Ορισµός 7.2.5 Μία ϐραχεία ακριβής ακολουθία οµοµορφισµών οµάδων {e} N g G f H 0 λέγεται διασπώµενη (split) αν υπάρχει οµοµορφισµός οµάδων h H G τέτοιος ώστε fh = 1 H.

Κεφάλαιο 7 Εδάφιο 7.2 Επεκτάσεις οµάδων 175 Θεώρηµα 7.2.6 Εστω {e} N g G f H 0 h µία διασπώµενη ϐραχεία ακριβής ακολουθία οµοµορφισµών οµάδων, δηλαδή fh = 1 H. Τότε, η G είναι το ηµιευθύ γινόµενο των υποοµάδων g(n) και h(h). Απόδειξη Αφού g(n) = Kerf έπεται ότι g(n) G. Εποµένως το γινόµενο των υποοµάδων g(n) και h(h) είναι επίσης υποοµάδα της G. Μένει να δείξουµε ότι G = g(n)h(h) και g(n) h(h) = {e}. (7.2.2) Εστω K = g(n)h(h). Είναι ϕανερό ότι K G. Ακόµη έχουµε f(k) = fg(n)fh(h) και αφού fh = 1 H και fg(n) = {e}, έπεται ότι f(k) = H. Οµως, H = f(g). Άρα f(k) = f(g). Αυτό σηµαίνει ότι αν α είναι τυχόν στοιχείο της G, τότε υπάρχει x K ώστε f(α) = f(x) f(αx 1 ) = e αx 1 Kerf = g(n) α g(n)x G g(n)k = K. Εποµένως G = H, δηλαδή G = g(n)h(h). Εστω, τώρα, α g(n) h(h). Τότε, υπάρχουν στοιχεία n N και y H ώστε α = g(n) και α = h(y). Από τη σχέση α = g(n) έπεται ότι f(α) = f g(n), δηλαδή f(α) = e. Ά- ϱα e = f(α) = fh(y) = y y = e. Εποµένως, α = h(y) = e, δηλαδή g(n) h(h) = {e}. Συνεπώς αποδείχθηκαν οι σχέσεις 7.2.2 και αποδείχθηκε το Θεώρηµα. Θα κατασκευάσουµε τώρα µία διασπώµενη ακριβή ακολουθία οµάδων, όπως αυτή του Θεωρήµατος 7.2.6. Αν η οµάδα G είναι το ηµιευθύ γινόµενο των υποοµάδων της N, H µε N G, δηλ. G = N H, τότε G = NH, άρα κάθε στοιχείο της G γράφεται ως nh για n N και h H. Εστω n 1 h 1, n 2 h 2 G µε n i N και h i H για i = 1, 2. Παρατηρούµε ότι n 1 h 1 n 2 h 2 = n 1 (h 1 n 2 h 1 1 )h 1 h 2 και (h 1 n 2 h 1 1 ) N, αφού N G. Η συνάρτηση φ H Aut(N), h φ h όπου η φ h N N ορίζεται από τη σχέση φ h (n) = hnh 1.

176 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Είναι ϕανερό ότι η συνάρτηση φ είναι οµοµορφισµός οµάδων και η συνάρτηση φ h είναι εσωτερικός αυτοµορφισµός της N. Θα κατασκευάσουµε, τώρα, ένα ηµιευθύ γινόµενο µε αφορµή την παραπάνω παρατήρηση. Θεωρούµε δύο οµάδες N και H και έναν οµοµορφισµό φ H Aut(N) και συµβολίζουµε µε φ h = φ(h). Στο σύνολο N H ορίζουµε την πράξη (n 1, h 1 )(n 2, h 2 ) = (n 1 φ h1 (n 2 ), h 1 h 2 ). (7.2.3) Συµβολίζουµε µε N φ H το καρτεσιανό γινόµενο N H εφοδιασµένο µε την πράξη 7.2.3. Θεώρηµα 7.2.7 Εστω N και H δύο οµάδες και G = N φ H, όπου φ N Aut(H) είναι ένας οµοµορφισµός. Τότε 1. Η αλγερική δοµή G είναι οµάδα. 2. {e} H G, N {e} G. 3. Η οµάδα G είναι µία διασπώµενη επέκταση της N µέσω της H. 4. (e, h)(n, e)(e, h 1 ) = φ h (n), για h H n N. Απόδειξη 1. Το (e, e) είναι ουδέτερο στοιχείο της G. Παρατηρούµε ότι (φ h 1(n 1 ), h 1 )(n, h) = (e, e) = (n, h)(φ h 1(n 1 ), h 1 ), άρα υπάρχει το αντίστροφο κάθε στοιχείου της G. Ο έλεγχος για την προσεταιριστικότητα της πράξης αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη. 2. Είναι ϕανερό ότι N < G και H < G. Εστω, τώρα, η συνάρτηση Παρατηρούµε ότι f N φ H H, f(n, h) = h. f[(n 1, h 1 )(n 2, h 2 )] = f(n 1 φ h1 (n 2 ), h 1 h 2 ) = h 1 h 2 = f(n 1 h 1 )f(n 2 h 2 ), δηλ. η συνάρτηση f είναι οµοµορφισµός οµάδων. Ακόµη ϐλέπουµε ότι Kerf = N {e}, άρα N {e} G. 3. Θεωρούµε τη συνάρτηση g H G g(h) = (e, h). Είναι ϕανερό ότι η g είναι ένας οµοµορφισµός και f g = 1 H. Άρα η ακολουθία {e} N i N φ H f g H {e},

Κεφάλαιο 7 Εδάφιο 7.3 Επιλύσιµες οµάδες 177 όπου i N N φ H, ακολουθία. 4. Παρατηρούµε ότι n (n, e), είναι µία διασπώµενη ϐραχεία ακριβής (e, h)(n, e)(e, h) 1 = (e, h)(n, e)(e, h 1 ) = (φ h (n), h)(e, h 1 ) = (φ h (n), e), όπου h H και n N. Από το Θεώρηµα 7.2.7 προκύπτει ότι ταυτίζοντας την οµάδα N {e} µε την οµάδα N, τότε η οµάδα N φ H είναι ηµιευθύ γινόµενο των οµάδων N και H, όπου ο φ είναι ο αναφερόµενος εσωτερικός αυτοµορφισµός. Άρα κάθε ηµιευθύ γινόµενο περιγράφεται όπως στο Θεώρηµα 7.2.7. Ασκήσεις 1. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο επεκτάσεις της οµάδας Z 3 µέσω της οµάδας Z 2. 2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς µία αβελιανή οµάδα επέκταση της οµάδας Z n µέσω της οµάδας Z m, όπου (n, m) = 1. 3. Να αποδείξετε ότι η οµάδα Z p n, όπου p είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός και n ένας ϕυσικός αριθµός δεν είναι ηµιευθύ γινόµενο γνησίων υποοµάδων της. 4. Να αποδείφετε ότι αν µία οµάδα G είναι το ηµιευθύ γινόµενο των υποο- µάδων της N και H, δηλαδή G = N H και N G, τότε υπάρχει διασπώµενη ϐραχεία ακριβής ακολουθία {e} N G H {e}. 5. Να αποδείξετε ότι στις µη αβελιανές οµάδες τάξης 8, η µία είναι διασπώµενη επέκταση και η άλλη είναι µη διασπώµενη επέκταση υποοµάδων της. Να παρατηρήσετε ότι στις επεκτάσεις αυτές, ενώ η κανονική υποοµάδα N και η οµάδα G/N είναι ίδιες και στις δύο περιπτώσεις, οι επεκτάσεις τους δεν είναι ισόµορφες. 7.3 Επιλύσιµες οµάδες Στο εδάφιο αυτό ϑα εξετάσουµε τις επιλύσιµες οµάδες οι οποίες παίζουν ση- µαντικό ϱόλο στη ϑεωρία Galois για την επίλυση των αλγεβρικών εξισώσεων. Ορισµός 7.3.1 Μία οµάδα G λέγεται επιλύσιµη (solvable) αν έχει µία κανονική σειρά {e} = G 0 G 1... G r = G

178 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων τέτοια ώστε οι παράγοντες G i /G i 1 για 1 i r, να είναι αβελιανές οµάδες. Μία τέτοια σειρά λέγεται επιλύσιµη σειρά (solvable series). Παραδείγµατα 7.3.2 1 Κάθε αβελιανή οµάδα είναι επιλύσιµη ϐλ. Ορισµό 3.2.17 και σχόλια µετά από αυτόν. Άρα υπάρχουν επιλύσιµες οµάδες άπειρης τάξης. 2 Η κανονική σειρά της S 4 {e} (12)(34) K A 4 S 4. όπου K = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} είναι επιλύσιµη. Γιατί σkσ 1 = K, για κάθε σ S 4, δηλ. K S 4 και τότε K A 4. Αργότερα µε την Πρόταση 8.1.10 προκύπτει αµέσως ότι K S 4, χωρίς πράξεις. Άρα η S 4 είναι επιλύσιµη. Τό επόµενο ϑεώρηµα συνδέει τις επιλύσιµες οµάδες µε τις σειρές σύνθεσης. Θεώρηµα 7.3.3 Μία πεπερασµένη οµάδα είναι επιλύσιµη αν και µόνον αν έ- χει µία κανονική σειρά µε παράγοντες κυκλικές οµάδες τάξης πρώτου αριθµού. Απόδειξη Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα. Αν η G είναι επιλύσιµη, τότε έχει µία επιλύσιµη σειρά {e} = G 0 G 1... G r = G (7.3.1) της οποίας όλοι οι παράγοντες G i /G i 1, 1 i r είναι αβελιανές οµάδες. Οµως, αφού η G είναι πεπερασµένη, κάθε παράγοντας της σειράς (7.3.1) είναι πεπερασµένη αβελιανή οµάδα και εποµένως έχει µία σειρά σύνθεσης (ϐλ. Θεώρηµα 7.1.10). Εστω ότι για ένα συγκεκριµένο i {1,..., r} η οµάδα G i /G i 1 έχει τη σειρά σύνθεσης {e} = G i 1 /G i 1 H 1 /G i 1... H k /G i 1 = G i /G i 1. (7.3.2) Τότε, αφού οι µόνες απλές αβελιανές οµάδες είναι οι κυκλικές τάξης πρώτου αριθµού, έπεται ότι (H v /G i 1 )/(H v 1 /G i 1 ) = P v, (7.3.3) όπου P v είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός, 1 v k. Από τη σχέση (7.3.3) και το Τρίτο Θεώρηµα Ισοµορφίας προκύπτει ότι H v 1 H v και H v /H v 1 = P v, 1 v k.

Κεφάλαιο 7 Εδάφιο 7.3 Επιλύσιµες οµάδες 179 Καταλήγουµε έτσι ότι από τις κανονικές σειρές (7.3.1) και (7.3.2) προκύπτει η κανονική σειρά {e} = G 0 G 1... G i 1 H 1... H k G i+1... G r = G. (7.3.4) Επαναλαµβάνοντας για κάθε i {1,..., r} τη διαδικασία που ακολουθήσαµε για τον i και τη σειρά (7.3.4), λαµβάνουµε για την οµάδα G µία σειρά σύν- ϑεσης µε παράγοντες οµάδες τάξης πρώτου αριθµού. Το αντίστροφο είναι ϕανερό. Στη συνέχεια ϑα εξετάσουµε µερικές ιδιότητες των επιλύσιµων οµάδων. Θεώρηµα 7.3.4 Κάθε υποοµάδα επιλύσιµης οµάδας είναι επιλύσιµη. Απόδειξη Εστω G µία επιλύσιµη οµάδα. Τότε σύµφωνα µε τον Ορισµό 7.3.1 η G έχει µία επιλύσιµη σειρά, δηλαδή µία κανονική σειρά {e} = G 0 G 1... G r = G µε παράγοντες G i /G i 1, 1 i r, αβελιανές οµάδες. Εστω H G, σχηµατί- Ϲουµε τη σειρά {e} = G 0 H G 1 H... G r H = H (7.3.5) της υποοµάδας H. Από την Πρόταση 3.2.11 προκύπτει ότι η σειρά (7.3.5), αν εξαιρέσουµε τους επαναλαµβανόµενους όρους, είναι κανονική. Από το εύτερο Θεώρηµα Ισοµορφίας προκύπτει ότι G i H G i 1 H = G i H G i 1 (G i H) G i 1(G i H) < G i, G i 1 G i 1 1 i r. Η οµάδα, όµως, G i /G i 1, 1 i r, είναι αβελιανή, άρα και κάθε υποοµάδα της είναι αβελιανή. Εποµένως η (G i H)/(G i 1 H) είναι αβελιανή, για 1 i r, και συνεπώς η H έχει µία επιλύσιµη σειρά, δηλαδή είναι επιλύσιµη. Θεώρηµα 7.3.5 Εστω G µία οµάδα και H G. Αν οι οµάδες H και G/H είναι επιλύσιµες, τότε η G είναι επιλύσιµη. Απόδειξη Αφού η H είναι επιλύσιµη, τότε έχει µία επιλύσιµη σειρά {e} = H 0 H 1... H r = H. (7.3.6)

180 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Οµοια, η G/H έχει µία επιλύσιµη σειρά Οµως, {e} = H/H G 1 /H... G s 1 /H G s /H = G/H. (7.3.7) (G i /H)/(G i 1 /H) G i /G i 1, 1 i s. Άρα η οµάδα G i /G i 1 είναι αβελιανή οµάδα, για 1 i s. Από τις κανονικές σειρές (7.3.6) και (7.3.7) δηµιουργούµε τη σειρά {e} = H 0 H 1... H r = H = G 0 G 1... G s 1 G s = G, η οποία είναι επιλύσιµη αν εξαιρέσουµε τους επαναλαµβανόµενους όρους. Πρόταση 7.3.6 Εστω H και K δύο επιλύσιµες οµάδες. Τότε η H K είναι επιλύσιµη οµάδα. Απόδειξη Θέτουµε G = H K και παρατηρούµε ότι H H {e} G και G/(H {e}) K. Άρα σύµφωνα µε το Θεώρηµα 7.3.5 η G είναι επιλύσιµη. Πρόταση 7.3.7 Κάθε πεπερασµένη p-οµάδα είναι επιλύσιµη, όπου p είναι έ- νας πρώτος ϕυσικός αριθµός. Απόδειξη Εστω G µία πεπερασµένη p-οµάδα. Τότε G = p r για κάποιον r N, όπου p είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός (ϐλ Πρόταση 5.3.11). Αν η G είναι αβελιανή, τότε είναι επιλύσιµη (ϐλ. Παράδειγµα 7.3.2.1). Υποθέτου- µε ότι η G δεν είναι αβελιανή, οπότε Z(G) G. Θα αποδείξουµε την πρόταση επαγωγικά ως προς τον εκθέτη r. Φυσικά για r = 0 η Πρόταση είναι ϕανερή. Εστω ότι η πρόταση ισχύει για κάθε p-οµάδα µε τάξη µικρότερη της G. Σύµ- ϕωνα µε το Θεώρηµα 5.1.9 και την Πρόταση 3.2.13, η οµάδα G/Z(G) έχει τάξη αυστηρά µικρότερη της G, οπότε είναι επιλύσιµη από την υπόθεση της µαθηµατικής επαγωγής και η Z(G) είναι επιλύσιµη ως αβελιανή. Εποµένως από το Θεώρηµα 7.3.5 προκύπτει ότι η G είναι επιλύσιµη. Ασκήσεις 1. Να αποδείξετε ότι κάθε λεπτότερη σειρά µίας επιλύσιµης σειράς είναι επίσης επιλύσιµη. 2. Να αποδείξετε ότι µία επιλύσιµη οµάδα, η οποία έχει σειρά σύνθεσης, είναι πεπερασµένη. 3. Να αποδείξετε ότι η διεδρική οµάδα D 2n είναι επιλύσιµη. 4. Να αποδείξετε ότι µία οµάδα τάξης p 2 q, όπου p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι ϕυσικοί αριθµοί, είναι επιλύσιµη.

Κεφάλαιο 7 Εδάφιο 7.4 Η Οµάδα µεταθετών και επιλύσιµες οµάδες 181 7.4 Η Οµάδα µεταθετών και επιλύσιµες οµάδες Στο εδάφιο αυτό ϑα εξετάσουµε την οµάδα µεταθετών µίας οµάδας, η οποία είναι εξίσου ενδιαφέρουσα µε το κέντρο µίας οµάδας. Σκοπός µας είναι να αποδείξουµε ένα κριτήριο ώστε µία οµάδα να είναι επιλύσιµη. Ορισµός 7.4.1 Μεταθέτης (commutator) ενός διατεταγµένου Ϲεύγους (α, β) στοιχείων µίας οµάδας G λέγεται το στοιχείο α 1 β 1 αβ και συµβολίζεται [α, β]. Παραδείγµατα 7.4.2 1 [(123), (12)] = (123) 1 (12)(123)(12) = (123). [(12), (13)] = (12)(13)(12)(13) = (1). 2 Αν αβ = βα για δύο στοιχεία α, β µίας οµάδας G, τότε [α, β] = e. 3 Εστω G µία οµάδα και α, β, γ G. Τότε, [α, β] 1 = [β, α] και γ[α, β]γ 1 = [γαγ 1, γβγ 1 ]. Πράγµατι, Ακόµη, και [α, β] 1 = β 1 α 1 βα = [β, α]. γ[α, β]γ 1 = γα 1 β 1 αβγ 1 [γαγ 1, γβγ 1 ] = γα 1 γ 1 γβ 1 γ 1 γαγ 1 γβγ 1 = γα 1 β 1 αβγ 1. Ορισµός 7.4.3 Η οµάδα µεταθετών (commutator group) µίας οµάδας G είναι η υποοµάδα της G η οποία παράγεται από όλους τους µεταθέτες της G και συµβολίζεται µε G ή G 1. Παραδείγµατα 7.4.4 1 S 3 = (123). Πράγµατι, η S 3 έχει µόνο έξι στοιχεία έτσι µπορούµε να υπολογίσουµε όλους τους µεταθέτες της S 3 και ϐρίσκουµε ότι είναι τα στοιχεία {e}, (123), (132). Άρα S 3 = {e}, (123), (132) = (123). Ετσι ϐλέπουµε ότι η S 3 αποτελείται ακριβώς από τους µεταθέτες της S 3. Αυτό, όµως, δεν συµβαίνει πάντα. Ακόµη, το σύνολο των µεταθετών µίας οµάδας δεν αποτελεί πάντα υποοµάδα της.

182 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων 2 Αν G είναι µία αβελιανή οµάδα τότε G = {e}. Ετσι µπορούµε να πούµε ότι η οµάδα G «µετράει» πόσο απέχει η G από το να είναι αβελιανή. 3 ηµιουργώντας τον πίνακα Cayley της οµάδας A 5 των άρτιων µεταθέσεων της S 5, µπορούµε, µε υπολογισµούς στα στοιχεία της A 5, να δούµε ότι A 5 = A 5 Πρόταση 7.4.5 Εστω G µία οµάδα. Η οµάδα G είναι το σύνολο όλων των πεπερασµένων γινοµένων µεταθετών της G, δηλαδή G = {[α 1, β 1 ] [α n, β n ] α i, β i G, 1 i n, n N}. Απόδειξη Εστω A το σύνολο όλων των πεπερασµένων γινοµένων µεταθετών της G. Επειδή [α, β] 1 = [β, α], για α, β G (ϐλ Παραδείγµατα 7.4.2.3), έπεται ότι το σύνολο A είναι το σύνολο όλων των πεπερασµένων γινοµένων µεταθετών της G και αντιστρόφων τους, δηλαδή η υποοµάδα της G που πα- ϱάγεται από όλους τους µεταθέτες της G. Εποµένως, A = G. Συνεχίζουµε µε µερικές ϐασικές ιδιότητες της G για µία οµάδα G. Θεώρηµα 7.4.6 Εστω G µία οµάδα και H G. Η οµάδα G/H είναι αβελιανή αν και µόνον αν G H. Απόδειξη Ας υποθέσουµε ότι H G. Παρατηρούµε ότι η G/H είναι αβελιανή αν και µόνον αν ισχύει αβh = αhβh = βhαh = βαh α 1 β 1 αβh = H [α, β] H, για κάθε α, β G < [α, β] α, β G > H G H. Εποµένως η G/H είναι αβελιανή αν και µόνον αν G H. Από το Θεώρηµα 7.4.6 προκύπτει η επόµενη αξιόλογη ιδιότητα της οµάδας µεταθετών G. Θεώρηµα 7.4.7 Εστω G µία οµάδα. Η G G και η οµάδα G/G είναι αβελιανή. Απόδειξη Θα αποδείξουµε ότι G G. Τότε το δεύτερο σκέλος ϑα προκύπτει από το προηγούµενο ϑεώρηµα. Εστω α G. Από την Πρόταση 7.4.5 το α είναι ένα πεπερασµένο γινόµενο µεταθετών της G, δηλαδή α = [α 1, β 1 ] [α n, β n ],

Κεφάλαιο 7 Εδάφιο 7.4 Η Οµάδα µεταθετών και επιλύσιµες οµάδες 183 όπου α i, β i G, 1 i n. Τότε, για κάθε g G, από το Παράδειγµα 7.4.2.3 προκύπτει ότι gαg 1 = g[α 1, β 1 ] [α n, β n ]g 1 = g[α 1, β 1 ]g 1 g g 1 g[α n, β n ]g 1 = ανήκει στην οµάδα G. Άρα G G. [gα 1 g 1, gβ 1 g 1 ] [γα n g 1, gβ n g 1 ] Άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος 7.4.6 είναι η επόµενη πρόταση. Πρόταση 7.4.8 Εστω G µία οµάδα. Η οµάδα G µεταθετών της G είναι η τοµή όλων των κανονικών υποοµάδων H της G που έχουν την ιδιότητα : η οµάδα G/H να είναι αβελιανή. Παραδείγµατα 7.4.9 1 Ολες οι υποοµάδες της Q 8 είναι κανονικές, ϐλ. Παράδειγµα 3.2.7. Ακόµη, {e} H Q τότε Q/H είναι αβελιανή, αφού οι δυνατές τάξεις των οµάδων Q/H είναι 2 ή 4. Άρα Q = 1, ως τοµή των υποοµάδων i, j και i j της Q. 2 Εστω G µία οµάδα και H G. Θα απόδείξουµε ότι H G, δηλαδή gxg 1 H, για κάθε x H. Πράγµατι, αν x H, τότε x = [α 1, β 1 ] [α n, β n ], για κάποια α i, β i H, 1 i n και για κάποιον ϕυσικό αριθµό n. Άρα gxg 1 = [gα 1 g 1, gβ 1 g 1 ] [gα n g 1, gβ n g 1 ]. Οµως, gα i g 1, gβ i g 1 H, αφού H G. Εποµένως gxg 1 H. Εστω G µία οµαδα. Η G είναι µία (κανονική) υποοµάδα της G, εποµένως µπορούµε να ορίσουµε την (G ) την οποία συµβολίζουµε ως G (2). Οµοια ορίζονται οι υποοµάδες G (3), G (4),..., G (n),... της G, για οποιονδήποτε ϕυσικό αριθµό n. Ετσι δηµιουργείται η κανονική σειρά της G: G G (1) G (2)... G (n)... (7.4.1) Η κανονική σειρά (7.4.1) λέγεται παράγωγος (derivative) σειρά της οµάδας G. Είναι ϕανερό ότι αν για κάποιον ϕυσικό αριθµό s συµβεί G (s) = G (s+1), τότε G (k) = G (s), για κάθε k s. Παραδείγµατα 7.4.10 1 Ας υπολογίσουµε την παράγωγο σειρά της S 3. Η µόνη κανονική υποο- µάδα της S 3 είναι η A 3 =< (123) > και S 3 /A 3 Z 2. Άρα A 3 = S 3 σύµφωνα µε

184 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων την Πρόταση 7.4.8. Βέβαια η < (e) > S 3, όµως η S 3 /{e} δεν είναι αβελιανή, αφού η S 3 δεν είναι αβελιανή. Ακόµη A 3 = 1, αφού η A 3 είναι αβελιανή οµάδα. Ετσι η παράγωγος σειρά της S 3 είναι η : S 3 S 3 = A 3 S (2) 3 = A 3 = {1}. Στη συνέχεια µε τις οµάδες G (s) µίας οµάδας G, ϑα ϐρούµε µία ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε µία οµάδα να είναι επιλύσιµη. Θεώρηµα 7.4.11 Μία οµάδα G είναι επιλύσιµη αν και µόνον αν υπάρχει ϕυσικός αριθµός k, τέτοιος ώστε G (k) = {e}. Με άλλα λόγια αν η παράγωγος σειρά (7.4.1) της G τερµατίζεται, δηλαδή G G (1)... G (k 1) G (k) = {e}. Απόδειξη Υποθέτουµε ότι η G είναι επιλύσιµη. Τότε, έχει µία κανονική σειρά G = H r H r 1... H 0 = {e} µε παράγοντες αβελιανές οµάδες. Αφού η οµάδα πηλίκο H r /H r 1 είναι α- ϐελιανή οµάδα, τότε H r 1 G (1), ϐλ. Θεώρηµα 7.4.6. Οµοια από την αντιµεταθετικότητα της H r 1 /H r 2 προκύπτει ότι H r 2 H r 1 (G ) = G (2). Συνέχίζοντας µε αυτόν τον τρόπο οδηγούµαστε στη σχέση H 0 G ( r), δηλαδή G (r) = {e}. Αντίστροφα τώρα, αν G (k) = {e}, για κάποιον ϕυσικό αριθµό k, τότε µπορούµε να σχηµατίσουµε την κανονική σειρά G G (1) G (2)... G (k 1) G (k) = {e}, η οποία είναι µία επιλύσιµη σειρά, αφού G i. /G(i + 1), 0 i k 1, είναι αβελιανή οµάδα, ϐλ. Θεώρηµα 7.4.7. Θεώρηµα 7.4.12 Η οµοµορφική εικόνα µίας επιλύσιµης οµάδας είναι επιλύσιµη. Απόδειξη Εστω G µία επιλύσιµη οµάδα και f G H ένας οµοµορφισµός οµάδων. Παρατηρούµε ότι αν α, β G, τότε f([α, β]) = f(α 1 β 1 αβ) = f(α 1 )f(β 1 )f(α)f(β) = [f(α), f(β)]. Άρα f(g ) (f(g)). Οµοια αποδεικνύεται ότι (f(g)) f(g ) Εποµένως, f(g ) = (f(g)) = f(g)

Κεφάλαιο 7 Εδάφιο 7.4 Η Οµάδα µεταθετών και επιλύσιµες οµάδες 185 και ανάλογα f(g) (k) = f(g (k) ) για κάθε k N. Αφού η G είναι επιλύσιµη, από το Θεώρηµα 7.4.11 έπεται υπάρχει ένας ϕυσικός αριθµός k ώστε G (k) = {e}. Άρα f(g) (k) = f(g (k) ) = f({e}) = {e}, δηλαδή η f(g) είναι επιλύσιµη. Παρατήρηση 7.4.13 Θα αναφέρουµε µερικά στοιχεία που δικαιολογούν την ονοµασία των επιλύσιµων οµάδων. Εστω K ένα σώµα, υπόσωµα του C, π.χ. K = Q, και f(x) ένα πολυώνυµο µε συντελεστές από το το K, δηλάδη f(x) K[x]. Από το Θεµελειώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας, το f(x) αναλύεται σε γινόµενο γραµ- µικών παραγόντων στο C[x], δηλαδή όλες οι ϱίζες του f(x) ανήκουν στο C. Εστω f(x) = (x α 1 )(x α 2 ) (x α n ). Σχηµατίζουµε το πιο µικρό σώµα L που περιέχει το K και τις ϱίζες του f(x). Το L λέγεται σώµα αναλύσεως (splitting field) του f(x). Το f(x) λέγεται επιλύσιµο µε ϱιζικά (solvable by radicals) αν υπάρχει µία ακολουθία σωµάτων τέτοια ώστε K = K 0 K 1... K v και L K v K 1 = K 0 ( n 1 β1 ), K 2 = K 1 ( n 2 β2 ),..., K v = K v 1 ( nv βv ), για κάποιους ϕυσικούς αριθµούς n 1,..., n v και στοιχεία β 1 K 0, β 2 K 1,..., β v K v 1. Οταν ένα πολυώνυµο είναι επιλύσιµο µε ϱιζικά, τότε µπορούµε να περιγράψουµε τις ϱίζες του µε τύπους που δίνονται µε εξαγωγή ϱιζικών, πρόσθεση και διαίρεση των συντελεστών του f(x). Π.χ. όταν το f(x) είναι δευτέρου ϐαθµού, τότε έχουµε τους τύπους που δίνουν τις ϱίζες του f(x) σε συνάρτηση µε τους συντελεστές του f(x). Ο τρόπος περιγραφής των ϱιζών ενός πολυωνύµου ϐαθµού n µε ανάλογους τύπους, απασχόλησε τους µαθηµατικούς για χιλιετίες. Ο Evatiste Galois(1811-1832) σε ηλικία 20 ετών απέδειξε το επόµενο ϑεώρηµα (ϐλ. [4], [15], [17]) η απόδειξη του οποίου ξεφεύγει από τον σκοπό µας. Θεώρηµα (Galois) 7.4.14 Το f(x) K[x] µε K υπόσωµα του C είναι επιλύσιµο µε ϱιζικά αν και µόνον αν η οµάδα G = Aut K (L), δηλαδή η οµάδα Galois του f(x), είναι επιλύσιµη. Η ονοµασία της επιλύσιµης οµάδας προκύπτει από τον ϱόλο της στη ϑεω- ϱία της επιλυσιµότητας των πολυωνύµων. Για τον συµβολισµό Aut K (L), ϐλ. Παράρτηµα Γ και άσκηση 6.

186 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Ασκήσεις 1. Εστω G µία οµάδα και α, β, γ G. Να αποδείξετε τις σχέσεις : i. [αβ, γ] = β 1 [α, γ]β[β, γ], ii. [α 1, β] = α[β, α]α 1 2. Να αποδείξετε ότι S n = A n, για κάθε n N {0}. 3. Να αποδείξετε ότι η οµάδα µεταθετών του ευθέως εσωτερικού γινονένου οµάδων είναι το ευθύ εσωτερικό γινόµενο των µεταθετών παραγόντων. Ισχύει το συµπέρασµα αυτό για το ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων ; 4. Να ϐρείτε την παράγωγο σειρά της S 4. 5. Να αποδείξετε ότι η επέκταση µίας επιλύσιµης οµάδας µέσω επιλύσιµης οµάδας είναι επίσης επιλύσιµη. 6. Να αποδείξετε ότι Aut K (L) Aut(L).