Ο αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1

Ο αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1 Ιάκωβος Ανδρουλιδάκης users.uoa.gr/ iandroul iandroul@math.uoa.gr Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Μαθηματικών, Τομέας Άλγεβρας-Γεωμετρίας Περίληψη Στη διάλεξη αυτη εισάγουμε τον τελεστή Dirac για μία συμπαγή και προσανατολίσιμη πολλαπλότητα Riemann, και αποδεικνύουμε ότι ο σχετικός αναλυτικός δείκτης δίνει τη χαρακτηριστική Euler της πολλαπλότητας. Στο παράρτημα δίνουμε μια εισαγωγή στις διαφορικές μορφές και τη συνομολογία de Rham, κατα βάση από το βιβλίο του Spivak Analysis on manifolds. Συμβουλεύουμε τον αναγνώστη που δεν είναι εξοικειωμένος με τις έννοιες αυτές να δει πρώτα το παράρτημα. Περιεχόμενα 1 Ένα εσωτερικό γινόμενο για τις διαφορικές μορφές 1 2 Το θεώρημα Hodge 2 3 Εφαρμογές του θεωρήματος Hodge 3 3.1 Η χαρακτηριστική Euler.................................... 3 3.2 Ο δυϊσμός του Poincaré..................................... 4 4 Παράρτημα 4 4.1 Πολλαπλότητες......................................... 4 4.2 Διαφορικές μορφές....................................... 4 4.2.1 Διαφορικές μορφές σε ένα διανυσματικό χώρο.................... 4 4.2.2 Διαφορικές μορφές σε ανοικτά υποσύνολα του R m.................. 5 4.2.3 Συνομολογία de Rham................................. 5 1 Ένα εσωτερικό γινόμενο για τις διαφορικές μορφές Έστω μια κλειστή και προσανατολίσιμη C πολλαπλότητα διάστασης m και g μια μετρική Riemann στην. Αυτή ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο σε οποιαδήποτε διανυσματική δέσμη επί της, ειδικά στον διανυσματικό χώρο Λ p (T x ): < α I dx I β J dx J >= (p!)g i 1j 1... g ipjp α I β J όπου I = (i 1,..., i p ), J = (j 1,..., j p ) και g ij =< dx i dx j >. Επίσης, η μετρική Riemann ορίζει μια κανονική μορφή όγκου vol = gdx 1... dx m 1 Εισαγωγικές διαλέξεις του σεμιναρίου Θεωρία δείκτη για φυλλώδεις δομές, Αθήνα 2011-12. 1

Ορισμός 1.1. Ο τελεστης Hodge : Ω p () Ω m p () ορίζεται ως εξής: Έστω α Ω p (). Ορίζουμε α να είναι η μοναδική (n p)-μορφή τέτοια ώστε για κάθε p-μορφή β να ισχύει (α, β)vol = β ( α) όπου (α, β) ειναι το κατά σημείο εσωτερικό γινόμενο των α και β (άρα είναι συνάρτηση επί του ). Παράδειγμα 1.2. Στο R 3 όπου vol = dx dy dz, έχουμε dx = dy dz, dy = dx dz, dx dy = dz, dx dz = dy Το επόμενο αποτέλεσμα αποδεικνύεται εύκολα από τους ορισμούς, έτσι το αφήνουμε στον αναγνώστη σαν άσκηση. Λήμμα 1.3. Έχουμε α = ( 1) mp+p α για κάθε α Ω p (). Παρατηρούμε ότι το διαφορικό και ο τελεστής Hodge συνδέονται με το διάγραμμα: Ω p () Ω m p () d Ω m p+1 () Ω p 1 () Πρόταση-Ορισμός 1.4. Αν α είναι μια p-μορφή ορίζουμε δ : Ω p () Ω p 1 () Αφού d 2 = 0 έχουμε δ 2 = 0. δα = ( 1) mp+m+1 d α Ο τελεστης δ είναι ο συζυγής του d. για να το δούμε αυτό, έστω α και β δύο μορφές στο Ω p (). Ορίζουμε το ολικό τους εσωτερικό γινόμενο: < α, β >= (α, β)vol = β α = α β Πρόταση 1.5. Αν α Ω p () και β Ω p 1 () τότε < α, dβ >=< δα, β > Απόδειξη. Θα χρησιμοποιήσουμε ολοκλήρωση κατά παράγοντες. Από το θεώρημα του Stokes έχουμε: 0 = d(β α) = dβ α + ( 1) p 1 β d α =< dβ, α > +( 1) mp+m < β, d α > Το τελευταίο προκύπτει γιατι η διαφορική μορφη γ = d α Ω m p+1 () οπότε από το 1.3 έχουμε γ = ( 1) mp+m+p+1 γ. Με αυτον τον τύπο μετατρέπουμε το δεύτερο ολοκλήρωμα σε εσωτερικό γινόμενο. Έτσι καταλήγουμε στο ζητούμενο. Παρατήρηση 1.6. Ο συζυγής τελεστής d υπάρχει για κάθε πολλαπλότητα Riemann. Η προσανατολισιμότητα μας χρειάζεται για να πάρουμε τον τύπο που συνδέει τα d, d με τον τελεστη Hodge. 2

2 Το θεώρημα Hodge Θεώρημα 2.1 (Hodge). Έστω συμπαγής πολλαπλότητα Riemann. Για κάθε p έχουμε Ω p () = ker(d) Im(d ) και Ω p () = ker(d ) Im(d) Απόδειξη. SketchyΚατ αρχήν, παρατηρούμε ότι τα αθροίσματα είναι πράγματι ευθεία. Για παράδειγμα, αν α ker(d) και β = d γ Im(d ) τότε < α, β >=< α, d γ >=< dα, γ >= 0. Το πρόβλημα είναι αν τα αθροίσματα πραγματι δίνουν ολόκληρο το Ω p (). Αυτό είναι ένα πρόβλημα PDEs. Δηλαδή, αυτο που πρέπει να δείξουμε είναι ότι για κάθε διαφορική μορφή β ώστε β ker(d) υπάρχει λύση της PDE d γ = β. Θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Hodge 2.1 για να δείξουμε ότι η χαρακτηριστική Euler της είναι ο δείκτης Fredholm ενός διαφορικού τελεστη της. Για τον σκοπό αυτό εισάγουμε τον τελεστη Dirac: Ορισμός 2.2. Έστω Ω() = m p=1ω p (). Ο τελεστής Dirac D : Ω() Ω() είναι Dω = dω + d ω. Λήμμα 2.3. ker(d) = ker(d) ker(d ). Απόδειξη. Αφού d 2 = 0 και (d ) 2 = 0 έχουμε D 2 = dd + d d. Έτσι παίρνουμε Dω 2 =< D 2 α, α >=< (d d + dd )α, α >= dα 2 + d α 2 Το λήμμα 2.3 οδηγεί στον επόμενο ορισμό. Ορισμός 2.4. Μια διαφορική μορφή α σε μια συμπαγή πολλαπλότητα Riemann λέγεται αρμονική αν dα = 0 και d α = 0. Πρόταση 2.5. Έστω συμπαγής πολλαπλότητα Riemann. κάθε συνομολογική κλάση de Rham περιλαμβάνει ακριβώς μία αρμονική μορφή. Συνεπώς, υπάρχει ένας κανονικός ισομορφισμός ker(d) p H p dr (). Απόδειξη. Έστω dα = 0. από την ανάλυση Ω p () = ker(d ) Im(d) του θεωρήματος Hodge μπορούμε να γράψουμε α = α 1 + dβ, όπου d α 1 = 0. Αφού α 1 = α dβ προκύπτει ότι το α 1 αναπαριστά την ίδια συνομολογική κλάση με το α, και είναι αρμονικό διότι dα 1 = dα ddβ = 0. Για την μοναδικότητα, παρατηρούμε ότι αν α 1, α 2 είναι αρμονικά και η συνομολογική κλάση του α 1 α 2 μηδενίζεται, τότε α 1 α 2 Im(d). Όμως α 1 α 2 ker(d ), και αφού τα ker(d ) και Im(d) είναι ορθογώνια έχουμε α 1 α 2 = 0. Λήμμα 2.6. Το θεώρημα Hodge ισοδυναμεί με την ανάλυση Ω() = ker(d) Im(D). Απόδειξη. Ξεκινάμε από τον εγκλεισμό ker(d) Im(D) Ω(). Έστω α ker(d) Im(D), δηλαδή α = α 1 +dα 2 +d α 3, όπου α 1 ker(d), α 2 Ω p 1 και α 3 Ω p+1 (). Αφού ker(d) = ker(d) ker(d ) μπορούμε να υποθέσουμε ότι το α 1 Ω() ανήκει στο Ω p (). Τώρα, αφού d 2 = 0 έχουμε Im(d) ker(d), οπότε α 1 + dα 2 ker(d). Συνεπώς, από το θεώρημα του Hodge έχουμε α ker(d) Im(d ) = Ω p (). Ο αντίστροφος εγκλεισμός αποδεικνύεται παρόμοια. Το αφήνουμε σαν άσκηση. 3

3 Εφαρμογές του θεωρήματος Hodge 3.1 Η χαρακτηριστική Euler Παρατηρούμε τώρα ότι ο τελεστής D απεικονίζει το Ω even = p Ω 2p () στο Ω odd = p Ω 2p+1 (). Έτσι, από τα προηγούμενα προκύπτει ότι όπου χ() είναι η χαρακτηριστική Euler του : Index(D) := dim(ker(d)) dim(ker(d )) = χ() χ() = p ( 1) p dimh p () Έτσι παιρνουμε μια αναπαράσταση μιας ενδιαφέρουσας τοπολογικής αναλλοίωτης σαν τον δεικτη ενός διαφορικού τελεστη. 3.2 Ο δυϊσμός του Poincaré Έστω μια συμπαγής, προσανατολίσιμη πολλαπλότητα διάστασης m. Τότε, για κάθε p η απεικόνιση P : H p () H m p () R, ([α], [β]) α β είναι μη εκφυλισμένη. Πράγματι, αρκεί να δείξουμε ότι αν P([α], [β]) = 0 για κάθε [β] τότε [α] = 0. Από την 2.5 αρκεί να περιοριστούμε σε αρμονικές μορφές. Αν α είναι αρμονική, τότε η β = α ειναι επίσης αρμονική και έχουμε < α, α >= α α = 0 α = 0 α = 0 Έτσι παίρνουμε το εξής αποτέλεσμα: Θεώρημα 3.1 (Δυϊσμός Poincaré). Υπάρχει κανονικός ισομορφισμός H p () Hom(H m p (), R) 4 Παράρτημα 4.1 Πολλαπλότητες TO BE DONE, T x, T, X (), T, E... 4.2 Διαφορικές μορφές 4.2.1 Διαφορικές μορφές σε ένα διανυσματικό χώρο Έστω V διανυσματικός χώρος διάστασης m. Για κάθε k N συμβολίζουμε J k (V ) το σύνολο των πλειογραμμικών απεικονίσεων ϕ : V k R (τέτοιες απεικονίσης λέγονται k-τανυστές). Ορίζεται το γινόμενο : J k (V ) J l (V ) J k+l (V ), ϕ ψ(v 1,..., v k, v k+1,..., v k+l ) = ϕ(v 1,..., v k ) ψ(v k+1,..., v k+l ) 4

Για παράδειγμα, J 1 (V ) = V και ορίζουμε J 0 (V ) = R. Αν λ J 0 (V ) ορίζουμε λ ϕ = λϕ = ϕ λ. Γενικά όμως έχουμε ϕ ψ ψ ϕ. Επίσης, αν f : V W είναι μια γραμμική απεικόνιση, ορίζεται f : J k (W ) J k (V ) με (f ϕ)(v 1,..., v k ) = ϕ(f(v 1 ),..., f(v k )). Ισχύει f (ϕ ψ) = f ϕ f ψ. Έστω {v 1,..., v m } μια βάση του V. Τότε ο J k (V ) είναι διανυσματικός χώρος με βάση {v i 1,..., v i k : 1 i 1,..., i k m}, δηλαδή η διάσταση του J k (V ) είναι m k. Παράδειγμα 4.1. Η ορίζουσα det : (R m ) m R ειναι στοιχείο του J m (R m ). Παρατηρούμε ότι είναι αντισυμμετρική απεικόνιση. Πρόταση-Ορισμός 4.2. Το σύνολο Λ k (V ) των αντισυμμετρικών k-τανυστών του V είναι γραμμικός υπόχωρος του V. Πρόταση 4.3. Το Λ k (V ) είναι η εικόνα του J k (V ) μέσω της απεικόνισης a : J k (V ) J k (V ), aϕ(v 1,..., v k ) = 1 (sgnπ)ϕ(v k! π(1),..., v π(k) ) π S k Για παράδειγμα, aϕ(v 1, v 2 ) = 1 2 (ϕ(v 1, v 2 ) ϕ(v 2, v 1 )) Ορισμός 4.4. Ορίζεται το εξωτερικό γινόμενο : Λ k (V ) Λ l (V ) Λ k+l (V ) με ω θ = (k l)! a(ω θ) k! l! Αποδεικνύεται ότι το εξωτερικό γινόμενο έχει τις ιδιότητες: α) (ω 1 + ω 2 ) θ = ω 1 θ + ω 2 θ β) ω (θ 1 + θ 2 ) = ω θ 1 + ω θ 2 γ) (λω) θ = ω (λθ) = λ(ω θ) δ) (ω θ) η = ω (θ η) (άρα μπορούμε να γράφουμε ω θ θ) Αποδεικνύεται ότι ο Λ k (V ) είναι διανυσματικός χώρος με βάση {vi 1... vi k : 1 i 1,..., i k m}, ( ) m δηλαδή η διάτασή του είναι k Παρατήρηση 4.5. Έπεται ότi ο Λ m (V ) είναι μονοδιάστατος, συνεπώς κάθε μη μηδενικό στοιχειο του w είναι της μορφής λdet για κάποιο λ R. 4.2.2 Διαφορικές μορφές σε ανοικτά υποσύνολα του R m θα δώσουμε εδώ την έννοια της διαφορικής μορφης σε ένα ανοικτό υποσύνολο A του R m. Χρησιμοποιώντας χάρτες, εύκολα γενικεύονται σε οποιαδήποτε πολλαπλότητα. Για x A θεωρούμε τον διανυσματικό χωρο T x A = {x} R m. Λέγεται εφαπτόμενος χώρος του A στο σημείο x. Επίσης, θεωρούμε T A = x A T x A = A R m. Πρόταση-Ορισμός 4.6. Ένα διανυσματικό πεδίο στο A είναι μια συνάρτηση ξ : A T A ώστε ξ(x) T x A για κάθε x A. Για κάθε ξ υπάρχει μοναδική συνάρτηση f : A R m ώστε ξ(x) = (x, f(x)) για κάθε x A (κύριο μέρος του ξ). Λέμε ότι το ξ είναι C ανν η f είναι C συνάρτηση. Ορισμός 4.7. Έστω Λ k (A) = x A Λ k (T x A). Μια k-διαφορική μορφη στο A είναι μια συνάρτηση ω : A Λ k (A) ώστε ω(x) Λ k (T x A) για κάθε x A. Γράφουμε Ω k (A) για το σύνολο των διαφορικών μορφών στο A. 5

4.2.3 Συνομολογία de Rham Έστω f : A R μία C -συνάρτηση. Τότε Df(x) Λ 1 (R m ) για κάθε x A. Ορισμός 4.8. Η 1-μορφή df με τύπο df(x)(v) = Df(x)(v) λέγεται διαφορικό της f. Για παράδειγμα, ας θεωρησουμε την προβολή στην i-συντεταγμένη π i : A R, 1 i m. Τότε Dπ i (x) = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) για κάθε x A (το 1 στην προηγούμενη βρισκεται στην i-θέση). Άρα, αν v = (v 1,..., v m ) R m τότε dπ i (x)(v) = Dπ i (x)(v) = v i. Συνεπώς dπ i (x)(e j (x)) = δ ij για κάθε 1 i, j m. Άρα dπ i (x) = e i (x). Ορισμοί και ορολογία 4.9. Συμβολίζουμε dπ i = dx i για κάθε 1 i m. Έτσι, κάθε k-μορφή ω γράφεται μονοσήμαντα ω = a i1...i k dx i1... dx ik 1 i 1 <...<i k Ειδικά για την df έχουμε df(x)(v) = Df(x)(v) = m i f(x) v i = 1 dx 1 +... + m dx m i=1 Παρατήρηση 4.10. Προκύπτει ότι για κάθε ω Ω m (A) υπάρχει μοναδική C -συνάρτηση g : A R ώστε ω = g dx 1... dx m Τώρα, για κάθε k ορίζουμε την γραμμική απεικόνιση d : Ω k (A) Ω k+1 (A), dω = 1 i 1 <...<i k da i1...i k dx i1... dx ik Θεώρημα 4.11. Η d : Ω k (A) Ω k+1 (A) είναι η μοναδική γραμμική απεικόνιση που ικανοποιεί: α) Αν f Ω 0 (A) τότε df ειναι το διαφορικό της f. β) Αν ω Ω k (A), θ Ω l (A), τότε d(ω θ) = dω θ + ( 1) k ω dθ γ) d d = 0, δηλαδή d(dω) = 0 για κάθε ω Ω k (A). Πρόταση-Ορισμός 4.12. Μια μορφή ω λέγεται κλειστή αν dω = 0 και ακριβής αν υπάρχει θ ώστε ω = dθ. Κάθε ακριβής μορφη είναι κλειστη. Το αντίστροφο ισχύει μόνο αν το σύνολο A είναι αστρόμορφο, δηλαδή αν υπάρχει x 0 A ώστε για κάθε x A το ευθύγραμμο τμήμα [x 0, x] περιέχεται στο A. Έχουμε έτσι ένα σύμπλεγμα Ω 0 (A) d 0 Ω 1 (A) d 1... d k 2 Ω k 1 (A) d k 1 Ω k (A) Αφού d d = 0 έχουμε Imd k 1 ker d k. Έτσι, για κάθε 0 k m, ορίζουμε το πηλίκο H k (A, R) = ker d k Imd k 1 Παρατηρούμε ότι αν ω Ω k (A) με ω = dη τότε η κλάση [ω] στο H k dr (A) ειναι μηδέν. Επίσης, H0 dr (A) = {f : A R : df = 0} = οι σταθερές συναρτήσεις = R. 6