250 7. Οµάδες µεταθέσεων µετατάξεων 7.1. Οι πρώτες έννοιες. Ας είναι A ένα µη κενό σύνολο και S A το σύνολο των «ένα προς ένα» και «επί» απεικονίσεων από το σύνολο A στον εαυτό του. Πρόταση 7.1. Το σύνολο S A µαζί µε την πράξη της σύνθεσης απεικονίσεων αποτελεί µια οµάδα. : S A S A S A, σ, τ σ τ Απόδειξη. Επειδή το A, ορίζεται η ταυτοτική απεικόνιση : Id A A, a Id A a := a, η οποία ως «ένα προς ένα» και «επί» απεικόνιση ανήκει στο S A. Η σύνθεση απεικονίσεων ορίζει µια πράξη επί του S A, αφού η σύνθεση δύο «ένα προς ένα» και «επί» απεικονίσεων είναι επίσης µια «ένα προς ένα» και «επί» απεικόνιση. Επίσης είναι γνωστό ότι η σύνθεση απεικονίσεων είναι προσεταιριστική. Η ταυτοτική απεικόνιση Id A έχει την ιδιότητα σ S A, Id A σ = σ = σ Id A και γι αυτό είναι το ταυτοτικό στοιχείο της υποψήφιας οµάδας S A,. Τέλος για κάθε σ S A, δηλαδή για κάθε απεικόνιση σ : A A που είναι «ένα προς ένα» και «επί», ορίζεται απεικόνιση τ : A A, a b, όπου b είναι εκείνο το στοιχείο του A µε σb = a. Υπενθυµίζουµε ότι για κάθε a A, υπάρχει πάντοτε ένα τέτοιο b µε σb = a, επειδή η σ είναι «επί» και κάθε τέτοιο b είναι µοναδικό επειδή η σ είναι «ένα προς ένα». Τώρα, για κάθε b A είναι τ σb = b και επίσης για κάθε a A είναι σ τa = a. Εποµένως, τ σ = Id A και σ τ = Id A. Ωστε η απεικόνιση τ είναι το αντίστροφο 23 του στοιχείου σ στο σύνολο S A και γι αυτό το Ϲεύγος A, είναι µια οµάδα. Ορισµός 7.2. Η οµάδα S A, ονοµάζεται η συµµετρική οµάδα του συνόλου A. Οταν το A έχει πεπερασµένο το πλήθος στοιχεία, ας πούµε ότι A = n, και επειδή το είδος των στοιχείων του A δεν έχει κανένα ουσιαστικό ϱόλο στην κατασκευή της S A, τότε δεχόµαστε ότι το σύνολο A έχει ως στοιχεία τους ϕυσικούς αριθµους 1, 2,..., n, δηλαδή ότι A = {1, 2,..., n}, ονοµάζουµε την οµάδα S A, συµµετρική οµάδα στα n στοιχεία και τη συµβολίζουµε µε S n, ή απλώς S n. Επιπλέον, ονοµάζουµε τα στοιχεία της S n µεταθέσεις ή µετατάξεις. Τέλος, παριστάνουµε µε Id n το ταυτοτικό στοιχείο της S n. Παρατήρηση 7.3. Εστω ότι A είναι ένα πεπερασµένο σύνολο µε n στοιχεία και ότι σ : A A είναι µια απεικόνιση. Από τη Στοιχειώδη Θεωρία Συνόλων είναι γνωστό ότι τα επόµενα είναι ισοδύναµα : 1 Η σ είναι µια «ένα προς ένα» απεικόνιση. 2 Η σ είναι µια «ένα προς ένα» και «επί» απεικόνιση. 3 Η σ είναι µια «επί» απεικόνιση. 23 Προσέξτε ότι όπως κατασκευάστηκε η τ = σ 1, είναι η απεικόνιση που είναι η αντίστροφη της σ όπως τη γνωρίζουµε απο τη Θεωρία Συνόλων και ταυτοχρόνως είναι το αντίστροφο στοιχείο της σ όπως αυτό ορίζεται στη Θεωρία Οµάδων.
251 Λήµµα 7.4. Το πλήθος των στοιχείων της οµάδας S n, ισούται µε n! Απόδειξη. Ας είναι σ ένα στοιχείο της S n. Η απεικόνιση σ προσδιορίζεται πλήρως από τις τιµές σ1, σ2,..., σi, σi + 1,..., σn. Το στοιχείο σ1 µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή από το σύνολο {1, 2,..., n}. Συνεπώς, για το σ1 υπάρχουν n το πλήθος επιλογές. Το στοιχείο σ2 µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή από το σύνολο {1, 2,..., n} \ {σ1}, αφού η σ είναι µια «ένα προς ένα» απεικόνιση. Συνεπώς, για το σ2 υπάρχουν n 1 το πλήθος επιλογές. Τώρα, το στοιχείο σ3 µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή από το σύνολο {1, 2,..., n} \ {σ1, σ2}. Συνεπώς, για το σ2 υπάρχουν n 2 το πλήθος επιλογές. Συνεχίζοντας µε τον τρόπο αυτό διαπιστώνουµε ότι για το στοιχείο σi+1 υπάρχουν n i επιλογές, αφού το σi+1 µπορεί να είναι οποιοδήποτε στοιχείο από το σύνολο {1, 2,..., n} \ {σ1, σ2,..., σi}. Γι αυτό το πλήθος των στοιχείων της S n ισούται µε n n 1... n i... 2 1 = n! Οπως παρατηρήσαµε στο προηγούµενο λήµµα, κάθε στοιχείο σ της S n,, δηλαδή κάθε µετάθεση µετάταξη περιγράφεται πλήρως από τις τιµές σ1, σ2,..., σi, σi + 1,..., σn 1, σn. Ετσι ένας τρόπος για να παραστήσουµε µια σ S n είναι ο εξής : 1 2... i i + 1... n 1 n σ = σ1 σ2... σi σi + 1... σn 1 σn όπου στην πρώτη γραµµή του προηγούµενου σχήµατος ϐρίσκονται τα στοιχεία του συνόλου A, δηλαδή τα 1, 2,..., i, i + 1,..., n 1, n και στη δεύτερη γραµµή ϐρίσκονται οι αντίστοιχες εικόνες τους σ1, σ2,..., σi, σi + 1,..., σn 1, σn Ετσι λοιπόν γράφοντας 5 6 7 8 9 σ = 9 3 2 5 7 6 1 4 8 δηλώνουµε τη µετάθεση σ της S 9, η οποία απεικονίζει τα στοιχεία του A = {1, 2,..., 9} ως εξής : Αν τώρα 1 σ1 = 9, 2 σ2 = 3, 3 σ3 = 2, 4 σ4 = 5, 5 σ5 = 7, 6 σ6 = 6, 7 σ7 = 1, 8 σ8 = 4, 9 σ9 = 8. τ = 1 2... i i + 1... n 1 n τ1 τ2... τi τi + 1... τn 1 τn είναι ακόµα ένα στοιχείο της S n, τότε η σύνθεση σ τ ισούται µε 1 2... i i + 1... n 1 n σ τ = στ1 στ2... στi στi + 1... στn 1 στn Για παράδειγµα, αν τ είναι η µετάθεση της S 9 : 5 6 7 8 9 τ =, 8 3 2 1 4 5 6 9 7 τότε 5 6 7 8 9 σ τ = στ1 στ2 στ3 στ4 στ5 στ6 στ7 στ8 στ9 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 = = σ8 σ3 σ2 σ1 σ4 σ5 σ6 σ9 σ7 4 2 3 9 5 7 6 8 1
252 και 5 6 7 8 9 τ σ = τσ1 τσ2 τσ3 τσ4 τσ5 τσ6 τσ7 τσ8 τσ9 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 = = τ9 τ3 τ2 τ5 τ7 τ6 τ1 τ4 τ8 7 2 3 4 6 5 8 1 9 Παράδειγµα 7.5. Η συµµετρική οµάδα S 4, του συνόλου A = {1, 2, 3, 4}. Η S 4 αποτελείται τις «ένα προς ένα» και «επί» απεικονίσεις από το σύνολο A στον εαυτό του και η τάξη της S 4 ισούται µε 4! = 24. Γράφουµε τα στοιχεία της S 4 χρησιµοποιώντας τη σηµειογραφία που είδαµε προηγουµένως : Id 4 =, τ 1 =,τ 1 2 4 3 2 =, τ 1 3 2 4 3 =, 1 4 3 2 τ 4 =, τ 2 1 3 4 5 =,τ 3 2 1 4 6 =, 4 2 3 1 σ 1 =, σ 1 4 2 3 2 =,σ 1 3 4 2 3 =, σ 3 1 2 4 4 =, 4 1 3 2 σ 5 =, σ 2 3 1 4 6 =,σ 4 2 1 3 7 =, σ 2 4 3 1 8 =, 3 2 4 1 ρ 1 =, ρ 4 1 2 3 2 =,ρ 3 1 4 2 3 =, 2 4 1 3 ρ 4 =, ρ 4 3 1 2 5 =,ρ 2 3 4 1 6 =, 3 4 2 1 δ 1 =, δ 2 1 4 3 2 = 3 4 1 2,δ 3 = 4 3 2 1 Ας εφαρµόσουµε την πράξη τής οµάδας, που εδώ είναι η σύνθεση των απεικονίσεων, πάνω σε κάποια Ϲεύγη στοιχείων : Για να υπολογίσουµε τη σύνθεση τ 5 σ 2 οφείλουµε να λογαριάσουµε τις τιµές της πάνω στα στοιχεία 24 1, 2, 3, 4 τού A. Εχουµε : τ 5 σ 2 1 = τ 5 1 = 3, τ 5 σ 2 2 = τ 5 3 = 1, τ 5 σ 2 3 = τ 5 4 = 4, τ 5 σ 2 4 = τ 5 2 = 2. ηλαδή, η τ 5 σ 2 απεικονίζει το 1 στο 3, το 2 στο 1, το 3 στο 4 και το 4 στο 3. Συνεπώς, η σύνθεση τ 5 σ 2 είναι το στοιχείο ρ 2 = τής S 3 1 4 2 4. Παρόµοια για τη σύνθεση σ 2 τ 5 έχουµε : σ 2 τ 5 1 = σ 2 3 = 4, σ 2 τ 5 2 = σ 2 2 = 3, σ 2 τ 5 3 = σ 2 1 = 1, σ 2 τ 5 4 = σ 2 4 = 2. Συνεπώς, η σύνθεση σ 2 τ 5 είναι το στοιχείο ρ 4 = τής S 4 3 1 2 4. Επειδή τ 5 σ 2 = ρ 2 ρ 4 = σ 2 τ 5 διαπιστώνουµε ότι η S 4, δεν αποτελεί µια µεταθετική αβελιανή οµάδα. 24 Για να υπολογίσουµε τις τιµές µιας «ένα προς ένα» και «επί»απεικόνισης από ένα σύνολο µε n στοιχεία στον εαυτό του, είναι αρκετό να υπολογίσουµε µόνο τις πρώτες n 1 τιµές, αφού η τελευταία τιµή είναι ακριβώς εκείνο το στοιχείο που δεν εµφανίζεται µεταξύ των πρώτων n 1 τιµών..
Θα υπολογίσουµε τώρα το αντίστροφο στοιχείο τού σ 2 =, δηλαδή το σ 1 1 3 4 2 2 και κατόπιν το αντίστροφο στοιχείο τού τ 5 =, δηλαδή το τ 1 3 2 1 4 5. Παρατηρούµε ότι αφού το στοιχείο σ2 1 είναι η αντίστροφη απεικόνιση τής σ 2 και αφού σ 2 1 = 1, ϑα πρέπει να ισχύει σ2 1 1 = 1. Ανάλογα, αφού σ 22 = 3, ϑα πρέπει να ισχύει σ2 1 3 = 2, αφού σ 23 = 4, ϑα πρέπει να ισχύει σ2 1 4 = 3 και τέλος αφού αφού σ 24 = 2, ϑα πρέπει να ισχύει σ2 1 2 = 4. Εποµένως, το στοιχείο σ2 1 ισούται µε το στοιχείο, δηλαδή µε το σ 1 1 4 2 3 2 = σ 1. Εργαζόµενοι µε τον ίδιο τρόπο ϐλέπουµε ότι τ5 1 1 1 1 1 = 3, τ5 2 = 2, τ5 3 = 1 και τ5 4 = 4. Εποµένως, το στοιχείο τ5 1 ισούται µε το στοιχείο, δηλαδή µε τον εαυτό του τ 3 2 1 4 5! 25 253 7.2. Τροχιές και ανάλυση σε κύκλους. Αρχίζουµε µε το ακόλουθο : Λήµµα 7.6. Ας είναι σ S n µια µετάθεση µετάταξη του συνόλου A = {1, 2,..., n} και φ σ το υποσύνολο του A A που ορίζεται ως a, b φ σ z Z, µε σ z a = b. Η σχέση φ σ είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου A. Απόδειξη. Πράγµατι, a A είναι 26 aφ σ a, αφού σ 0 a = a. Ωστε το σύνολο φ σ διαθέτει την ανακλαστική ιδιότητα. Αν a, b A µε aφ σ b, τότε z Z µε σ z a = b. Συνεπώς, σ z b = a και γι αυτό bφ σ a. Ωστε το σύνολο φ σ διαθέτει τη συµµετρική ιδιότητα. Αν a, b, c A µε aφ σ b και bφ σ c, τότε z 1, z 2 Z µε σ z 1 a = b και σ z 2 b = c. Συνεπώς, σ z 2+z 1 a = σ z 2 σ z 1 a = σ z 2 b = c και γι αυτό aφ σ c. Ωστε το σύνολο φ σ διαθέτει τη µεταβατική ιδιότητα. Επειδή λοιπόν ικανοποιούνται οι ανωτέρω τρεις ιδιότητες το φ σ είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου A. Τώρα το σύνολο A διαµερίζεται στις κλάσεις ισοδυναµίας της φ σ. Ορισµός 7.7. Ονοµάζουµε σ τροχιά του στοιχείου a A την κλάση ισοδυναµίας του a ως προς τη σχέση ισοδυναµίας φ σ. Συνήθως, η σ τροχιά του στοιχείου a A συµβολίζεται µε O σ,a. Παράδειγµα 7.8. Θα προσδιορίσουµε τις τροχιές των στοιχείων του A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} για κάθε µια από τις επόµενες µεταθέσεις µετατάξεις: 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 σ =, τ =, 9 3 2 5 7 6 1 4 8 8 3 2 1 4 5 6 9 7 5 6 7 8 9 ρ =, 9 3 2 4 5 6 7 8 1 25 Αυτό δεν πρέπει να µας εκπλήσσει, αφού το έχουµε ήδη συναντήσει στη Γραµµική Άλγεβρα. Ο αντίστροφος τού πίνακα 1 0, ως προς τον πολλαπλασιασµό πινάκων, είναι ο εαυτός του. 0 1 26 Οταν ϑέλουµε να δηλώσουµε ότι ένα Ϲεύγος a, b A A ανήκει σε ένα υποσύνολο φ A, τότε γράφουµε aφb.
254 Παρατηρούµε ότι 1 σ 9 σ 8 σ 4 σ 5 σ 7 σ 1, 2 σ 3 σ 2, 6 σ 6 Γι αυτό η σ διαθέτει τρεις τροχιές τις : O σ,1 = {1, 9, 8, 4, 5, 7}, O σ,2 = {2, 3}, και O σ,6 = {6}. Παρατηρούµε ότι 1 τ 8 τ 9 τ 7 τ 6 τ 5 τ 4 τ 1, 2 τ 3 τ 2. Γι αυτό η τ διαθέτει δύο τροχιές τις : Παρατηρούµε ότι 1 ρ 9 ρ 1, 2 O τ,1 = {1, 8, 9, 7, 6, 5, 4}, και O τ,2 = {2, 3}. ρ 3 Γι αυτό η ρ διαθέτει επτά τροχιές τις : ρ 2, 4 ρ 4, 5 ρ 5, 6 ρ 6, 7 ρ 7, 8 ρ 8. O ρ,1 = {1, 9}, O ρ,2 = {2, 3}, O ρ,4 = {4}, O ρ,5 = {5}, O ρ,6 = {6}, O ρ,7 = {7} και O ρ,8 = {8}. Παρατήρηση 7.9. Εστω ότι σ S n, ότι a A και ότι O σ,a = {σ z a z Z} είναι η σ τροχιά του a. Επειδή O σ,a A και επειδή A = n, έπεται ότι το πλήθος των στοιχείων της O σ,a είναι πεπερασµένο. Ετσι συµπεραίνουµε ότι δεν είναι δυνατόν όλες οι ακέραιες δυνάµεις σ z a να είναι διαφορετικές µεταξύ τους, αφού τότε το πλήθος των στοιχείων της O σ,a ϑα ήταν άπειρο. Γι αυτό υπάρχουν z 1, z 2 Z µε z 1 z 2, ας πούµε z 1 > z 2 και σ z 1 a = σ z 2 a. Εποµένως, σ z 1 z 2 a = a µε z 1 z 2 N. Ετσι συµπεραίνουµε ότι το σύνολο Mσ, a = {m N σ m a = a} είναι διαφορετικό από το κενό σύνολο και γι αυτό διαθέτει ένα ελάχιστο στοιχείο s := min Mσ, a. Ωστε το s είναι ο ελάχιστος ϕυσικός αριθµός µε σ s a = a. Ισχυριζόµαστε ότι O σ,a = {a, σa, σ 2 a,..., σ i a, σ i+1 a,..., σ s 1 a}. Πράγµατι, τα σ i a, 0 i s 1 είναι ανά δύο διαφορετικά, αφού αν, σ i a = σ j a, 0 i, j s 1 µε i j, ας πούµε i > j, τότε σ i j a = a. Αυτό όµως αντίκειται στο ότι το s είναι το ελάχιστο του Mσ, a, αφού i j N, i j < s και σ i j a = a. Επιπλέον, κάθε στοιχείο σ z a O σ,a ισούται µε κάποιο από τα σ i a, 0 i s 1, αφού εκτελώντας την ευκλείδεια διαίρεση του z δια s έχουµε z = λs + υ, όπου υ = 0, 1,..., s 1 και γι αυτό σ z a = σ λs+υ a = σ υ σ λs a = σ υ a Αφού λ Z, το σ λs a = a, όπως διαπιστώνουµε αµέσως παρακάτω : Για λ = 0, σ λs a = σ 0 a = Id n a = a Για λ > 0 είναι σ λs a = } σ n σ s {{ σ} s a = a, αφού σ s a = a λ -ϕορές και για λ < 0 είναι σ λs a = } σ s σ s {{ σ s }a = a, αφού σ s a = a, λ -ϕορές επειδή όταν σ s a = a, τότε και σ s a = a.
255 Παρατηρούµε ότι κάθε τροχιά O σ,a µιας µετάθεσης µετάταξης σ µπορεί να αναπαρασταθεί µε τη ϐοήθεια ενός προσανατολισµένου γραφήµατος. Το γράφηµα αυτό αποτελείται από κορυφές και προσανατολισµένες ακµές 27. Κορυφές του γραφήµατος είναι τα στοιχεία της τροχιάς O σ,a. Υπάρχει µια προσανατολισµένη ακµή µε αρχή την κορυφή i και τέλος την κορυφή j, ακριβώς όταν j = σi. Σύµφωνα µε την αµέσως προηγούµενη παρατήρησή µας οι κορυφές του γραφήµατος της τροχιάς O σ,a είναι τα a, σa, σ n 1 a. Κάθε κορυφή σ i a συνδέεται µε µια προσανατολισµένη ακµή µε την κορυφή σ i+1 a, όταν 0 i n 2 και επιπλέον η κορυφή σ n 1 a συνδέεται µε την κορυφή σ n a = a. Συνεπώς, το γράφηµα είναι κυκλικό. Παράδειγµα 7.10. Ας δούµε τα γραφήµατα των τροχιών των µεταθέσεων σ, τ και ρ του Παραδείγµατος 7.8. 8 9 2 4 1 6 Η τροχιά O σ,6 5 7 3 Η τροχιά O σ,1 Η τροχιά O σ,2 Σχήµα 4. Τα γραφήµατα των τροχιών του σ, Παράδειγµα 7.8 Ορισµός 7.11. Μια µετάθεση µετάταξη της S n, ονοµάζεται κύκλος της S n, αν διαθέτει το πολύ µια τροχιά µε περισσότερα του ενός στοιχεία. Ορισµός 7.12. Μήκος ενός κύκλου ονοµάζουµε το πλήθος των στοιχείων εκείνης της τροχιάς του, που έχει το µεγαλύτερο πλήθος στοιχείων. Για παράδειγµα η µετάθεση µ = 5 6 7 8 S 2 3 4 5 6 7 8 1 8 27 ηλαδή, τµήµατα γραµµών που το ένα σηµείο τους ϑεωρείται η αρχή και το άλλο το τέλος.
256 9 8 2 7 1 6 5 4 3 Η τροχιά O τ,1 Η τροχιά O τ,2 Σχήµα 5. Τα γραφήµατα των τροχιών του τ, Παράδειγµα 7.8 1 2 4 6 Η τροχιά O ρ,4 Η τροχιά O ρ,6 8 5 7 Η τροχιά O ρ,8 9 3 Η τροχιά O ρ,5 Η τροχιά O ρ,7 Η τροχιά O ρ,1 Η τροχιά O ρ,2 Σχήµα 6. Τα γραφήµατα των τροχιών του ρ, Παράδειγµα 7.8 είναι ένας κύκλος της S 8 αφού O µ,1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Το µήκος του µ είναι 8. Αλλά και η ν = 5 6 7 8 S 1 8 2 4 5 6 7 3 8 είναι επίσης ένας κύκλος της S 8 αφού O ν,1 = {1}, O ν,2 = {2, 8, 3}, O ν,4 = {4}, O ν,5 = {5}, O ν,6 = {6} και O ν,7 = {7}. Το µήκος του ν είναι 3. Αντίθετα, η µετάθεση 5 6 7 8 ξ = S 2 1 4 3 5 6 7 8 8 δεν είναι ένας κύκλος της S 8, αφού έχει περισσότερες από µία τροχιές µε περισσότερα του ενός στοιχεία. Πράγµατι, O ξ,1 = {1, 2} και O ξ,3 = {3, 4}. Εδώ δεν ορίζεται το µήκος της ξ, αφού η ξ δεν είναι κύκλος.
Παρατήρηση 7.13. 1 Το ταυτοτικό στοιχείο της S n, δηλαδή το 1 2... i i + 1... n Id n = 1 2... i i + 1... n είναι ένας κύκλος αφού κάθε τροχιά του αποτελείται από ακριβώς ένα στοιχείο. Αλλά και αντίστροφα αν, κάθε τροχιά µιας µεταθεσης σ S n αποτελείται από ακριβώς ένα στοιχείο, τότε η σ ισούται µε το Id n. 2 Αν µια µετάθεση σ S n είναι ένας κύκλος, ο οποίος δεν ισούται µε το ταυτοτικό στοιχείο Id n, τότε υπάρχει κάποιο a A = {1, 2,..., n} µε σa a. Γι αυτό ο σ διαθέτει ακριβώς µια τροχιά, την O σ,a, η οποία αποτελείται από περισσότερα του ενός στοιχεία και µάλιστα O σ,a = {a, σa, σ 2 a,..., σ i a, σ i+1 a,..., σ s 1 a}, όπου, σύµφωνα µε την Παρατήρηση 7.9, ο s είναι ο µικρότερος ϕυσικός µε σ s a = a. Συνεπώς, Το µήκος ενός κύκλου σ Id n ισούται µε τον µικρότερο ϕυσικό s µε σ s a = a, όπου a είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της τροχιάς του σ που έχει περισσότερα από ένα στοιχεία. Χαρη σε αυτήν την παρατήρηση µπορούµε να παραστήσουµε έναν κύκλο σ που διαθέτει µια τροχιά µε περισσότερα από ένα στοιχεία, ας πούµε την O σ,a = {a, σa, σ 2 a,..., σ i a, σ i+1 a,..., σ s 1 a}, s 2, για κάποιο a A = {1, 2,..., n} 257 ως εξής : σ = a σa σ 2 a... σ i a σ i+1 a... σ s 1 a, ερµηνεύοντας την ανωτέρω σηµειογραφία κατά τον εξής τρόπο : Εστω x A = {1, 2,..., n}, τότε x, αν x σ i a, 1 i s 1, δηλαδή όταν x / O σ,a σx = σ i+1 a, αν x = σ i a, 1 i s 2 a, αν x = σ s 1 a * Παράδειγµα 7.14. 1 Θεωρούµε τη µετάθεση 5 6 7 8 9 10 11 12 σ = S 1 4 3 6 5 8 7 10 9 12 11 2 12. Η σ είναι κύκλος, αφού έχει ακριβώς µια τροχιά µε περισσότερα του ενός στοιχεία, πρόκειται για την τροχιά O σ,2 = {2, σ 1 2 = 4, σ 2 2 = 6, σ 3 2 = 8, σ 4 2 = 10, σ 5 2 = 12} Το µήκος του κύκλου σ είναι 6 και χρησιµοποιώντας τη νέα σηµειογραφία που εισαγάγαµε προηγουµένως έχουµε : σ = 2 4 6 8 10 12 Προσέξτε ότι ϑα µπορούσαµε να είχαµε κατασκευάσει την προηγούµενη τροχιά αρχίζοντας από κάποιο άλλο στοιχείο της, ας πούµε το 10. Τώρα έχουµε : O σ,10 = {10, σ 1 10 = 12, σ 2 10 = 2, σ 3 10 = 4, σ 4 10 = 6, σ 5 10 = 8} και ο κύκλος γράφεται σ = 10 12 2 4 6 8 Η σειρά εµφάνισης των στοιχείων στις δύο προηγούµενες παραστάσεις είναι διαφορετική, ωστόσο αυτές ορίζουν το ίδιο στοιχείο της S 12, δηλαδή το σ.
258 2 Ας δούµε ποιο στοιχείο σ της S 12 παριστάνει το 8 5 11 3. Σύµφωνα µε την ερµηνεία της σηµειογραφίας που δόθηκε στην Παρατήρηση 7.13,2* έχουµε : σi = i, i {1, 2,..., 11, 12} \ {8, 5, 11, 3}, σ8 = 5, σ 2 8 = σ5 = 11, σ 3 8 = σ11 = 3, σ 4 8 = σ3 = 8. Συνεπώς, η συγκεκριµένη µετάθεση σ είναι η 5 6 7 8 9 10 11 12 σ = 1 4 8 6 11 8 7 5 9 12 3 2. Ορισµός 7.15. Οι κύκλοι της S n, µήκους s ονοµάζονται s κύκλοι. Οι κύκλοι της S n, µήκους 2, δηλαδή οι 2 κύκλοι, ονοµάζονται αντιµεταθέσεις. Παρατήρηση 7.16. 1 Κάθε 1 κύκλος της S n παριστάνει το ταυτοτικό στοιχείο Id n. Πράγµατι, ας είναι a A = {1, 2,..., n} και ας ϑεωρήσουµε τον 1 κύκλο τ = a. Σύµφωνα µε την Παρατήρηση 7.13.2* έχουµε, { x, αν x A \ {a} τx = a, αν x = a. Ωστε στην S n όλοι οι 1 κύκλοι είναι ίσοι µεταξύ τους αφού είναι όλοι ίσοι µε το ταυτοτικό στοιχείο Id n. 2 Ενας κύκλος µήκους 2 ονοµάζεται αντιµετάθεση επειδή εναλλάσσει δύο διαφορετικά στοιχεία του συνόλου A = {1, 2,..., n}. Πράγµατι, αν τ = a b, όπου a, b A = {1, 2,..., n}, a b, τότε x, αν x A \ {a, b} τx = b, αν x = a a, αν x = b Ορισµός 7.17. ύο κύκλοι της Sn, ονοµάζονται αποσυνδετοί ή ξένοι, αν οι τροχιές τους µε το µεγαλύτερο πλήθος στοιχείων δεν έχουν κοινά στοιχεία. Παρατήρηση 7.18. Από τον προηγούµενο ορισµό προκύπτει ότι για να είναι δύο κύκλοι της S n αποσυνδετοί πρέπει να έχουν και οι δύο µήκος 2, αφού αν ένας από τους δύο έχει µήκος 1, τότε αυτός είναι το ταυτοτικό στοιχείο Id n της S n. Αλλά τώρα κάθε τροχιά του Id n έχει µήκος 1, δηλαδή είναι µια τροχιά που έχει το µεγαλύτερο πλήθος στοιχείων, και είναι σαφές ότι όποιος και αν είναι ο άλλος κύκλος, η τροχιά του µε το µεγαλύτερο πλήθος στοιχείων έχει µη κενή τοµή µε κάποια από τις τροχιές του Id n. Παράδειγµα 7.19. Οι κύκλοι σ = 1 9 8 και τ = 11 1 12 της S 12 δεν είναι αποσυνδετοί. Η µοναδική τροχιά του σ µε µήκος > 1 είναι η O σ,1 = {1, 9, 8}. Η µοναδική τροχιά του τ µε µήκος > 1 είναι η O τ,11 = {11, 1, 12} και O σ,1 O τ,11 = {1}. Αντίθετα οι κύκλοι σ = 1 9 8 και ρ = 6 3 7 της S 12 είναι αποσυνδετοί, αφού O ρ,6 = {6, 3, 7} και O σ,1 O ρ,6 =.
259 Πρόταση 7.20. Κάθε στοιχείο της S n, ή είναι ένας κύκλος ή είναι µια σύνθεση κύκλων αποσυνδετών ανά δύο, όπου το µήκος εκάστου είναι 2. Απόδειξη. Εστω µια µετάθεση µετάταξη σ της S n. Εάν η σ είναι ένας κύκλος δεν χρειάζεται να αποδειχθεί τίποτα. Ας υποθέσουµε ότι η σ δεν είναι κύκλος. Τότε η σ διαθέτει τουλάχιστον δύο τροχιές µε περισσότερα του ενός στοιχεία. Εστω ότι οι τροχιές της σ µε περισσότερα του ενός στοιχεία είναι οι O 1 = O σ,a11 = {a 11, a 12,..., a 1t1 }, O 2 = O σ,a21 = {a 21, a 22,..., a 2t2 },..., O i = O σ,ai1 = {a i1, a i2,..., a iti },..., O s = O σ,as1 = {a s1, a s2,... a sts }. Για κάθε i, 1 i s ορίζουµε τη µετάθεση γ i ως εξής { σa, αν a O i, γ i a = a, αν a / O i Συνεπώς για κάθε i, 1 i s, η γ i ισούται µε τον κύκλο a i1 a i2... a iti. Προσέξτε ότι το µήκος του γ i είναι 2, αφού ισούται µε το πλήθος t i των στοιχείων της τροχιάς O i. Ισχυριζόµαστε ότι σ = γ 1 γ 2 γ i γ s. Αν το a είναι ένα στοιχείο του {1, 2,..., n} \ O 1 O 2 O s, τότε σa = a και γ 1 γ 2 γ i γ s a = a, αφού το a δεν εµφανίζεται σε κανέναν από τους κύκλους γ i. Αν το a είναι ένα στοιχείο από το σύνολο O 1 O 2 O s, τότε το a ανήκει σε ακριβώς µία τροχιά, ας πούµε την O i, αφού τα σύνολα O 1, O 2,..., O s είναι ανά δύο αποσυνδετά ξένα. Ετσι έχουµε γ 1 γ 2 γ i 1 γ i γ s a = γ 1 γ 2 γ i 1 γ i γ s 1 a = γ 1 γ 2 γ i 1 γ i a, αφού γ s a = a, γ s 1 a = a,..., γ i+1 a = a. Τώρα παρατηρούµε ότι από τον ορισµό του γ i και επειδή το στοιχείο a ανήκει στην τροχιά O i, έπεται ότι το στοιχείο γ i a ισούται µε σa, που επίσης ανήκει στην τροχιά O i και γι αυτό το σa δεν ανήκει σε καµιά από τις τροχιές O i 1,..., O 2, O 1. Συνεπώς, γ i 1 σa = σa, γ i 2 σa = σa,... γ 2 σa = σa, γ 1 σa = σa. Ετσι παίρνουµε γ 1 γ 2 γ i 1 γ i a = γ 1 γ 2 γ i 1 σa = γ 1 γ 2 γ i 2 σa = γ 1 σa = σa. Ωστε τελικώς, γ 1 γ 2 γ i 1 γ i γ s a = σa. Αποδείξαµε λοιπόν ότι a {1, 2,..., n}, σa = γ 1 γ 2 γ i γ s a. Συνεπώς, σ = γ 1 γ 2 γ i γ s, όπου i, 1 i s το µήκος του γ i είναι 2, όπως ακριβώς ισχυριστήκαµε. Λήµµα 7.21. Εστω ότι γ και δ είναι δύο αποσυνδετοί κύκλοι της S n,, τότε οι κύκλοι µετατίθενται µεταξύ τους, δηλαδή γ δ = δ γ. Απόδειξη. Σύµφωνα µε την Παρατήρηση 7.18 αµφότεροι οι γ και δ έχουν µήκος 2. Εστω ότι γ = c 1 c 2... c r, δ = d1 d 2... d t, όπου r, t 2. Για κάθε a {1, 2,..., n} \ {c 1, c 2,..., c r } {d 1, d 2,..., d t } είναι Για κάθε a {c 1, c 2,..., c r } είναι γ δa = a = δ γa. γ δa = γδa = γa = δγa = δ γa,
260 αφού a {c 1, c 2,..., c r } συνεπάγεται ότι επίσης γa {c 1, c 2,..., c r } και γι αυτό a και γa / {d 1, d 2,..., d t }, επειδή οι γ, δ είναι αποσυνδετοί κύκλοι. Ετσι δa = a και δγa = γa. Ακριβώς ανάλογα αποδεικνύεται ότι, για κάθε a {d 1, d 2,..., d t } είναι γ δa = γδa = δa = δγa = δ γa, αφού a = γa και δa = γδa. Πόρισµα 7.22. Αν γ 1, γ 2,..., γ s είναι κύκλοι της S n, ανά δύο αποσυνδετοί, τότε γ 1 γ 2 γ s = γ i1 γ i2 γ is, όπου i 1, i 2,..., i s είναι µια οποιαδήποτε αναδιάταξη των 1, 2,..., s. Πρόταση 7.23. Εστω ότι σ είναι ένα στοιχείο της S n,. 1 Αν το σ είναι ένας κύκλος της S n µε µήκος lσ, τότε η τάξη σ ισούται µε lσ. 2 Αν το σ ισούται µε µια σύνθεση γ 1 γ 2 γ i γ s κύκλων µε πλήθος s 2, αποσυνδετών ανά δύο και µήκους lγ i 2, i, 1 i s, τότε η τάξη σ ισούται µε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των µηκών lγ i, 1 i s. Απόδειξη. 1 Αν ο σ είναι ένας κύκλος µήκους lσ = 1, τότε σ = Id n και συνεπώς, σ = 1 = lσ. Εστω ότι ο σ = a 1 a 2... a t είναι ένας κύκλος µήκους lσ = t 2. Παρατηρούµε ότι i, 1 i t 1, σ i a 1 = a i+1 και ότι σ t a 1 = a 1. * Συνεπώς, i N, 1 i t 1 µε σ i = Id n, αφού σ i a 1 a 1. Θα δείξουµε τώρα ότι σ t = Id n και τότε επειδή ο t = lσ είναι ο µικρότερος ϕυσικός µε αυτήν την ιδιότητα, συµπεραίνουµε ότι t = σ. Ηδη γνωρίζουµε από την ότι σ t a 1 = a 1. Θα δείξουµε ότι i, 2 i t είναι σ t a i = a i. Επειδή i 2 έχουµε, λόγω της, ότι a i = σ i 1 a 1. Εποµένως, σ t a i = σ t σ i 1 a 1 = σ i 1 σ t a 1 = σ i 1 a 1 = a i. Ωστε, σ t = Id n. 2 Θα αποδείξουµε πρώτα ότι αν, για κάποιο r N είναι γ 1 γ 2 γ i γ s r = Id n, τότε i, 1 i s, είναι γ r i = Id n. Παρατηρούµε ότι από το Πόρισµα 7.22 προκύπτει ότι γ 1 γ 2 γ i γ s r = γ r 1 γ r 2 γ r i γ r s 1 γ r s = Id n. ** αφού οι γ 1, γ 2,..., γ s 1, γ s είναι ανά δύο αποσυνδετοί κύκλοι, Ας είναι O 1, O 2,..., O s 1, O s οι αντίστοιχες, ανά δύο αποσυνδετές, τροχιές των γ 1, γ 2,..., γ s 1, γ s. Θεωρούµε την ένωσή τους U = O 1 O 2 O s 1 O s Αν a {1, 2,..., n} \ U, τότε i, 1 i s, γ r i a = a. Υπολείπεται να δείξουµε ότι αν, a U, τότε και πάλι i, 1 i s, είναι γi r a = a. Αλλά όταν a U, τότε υπάρχει ακριβώς ένας δείκτης j, 1 j s µε a O j, αφού οι τροχιές είναι ανά δύο αποσυνδετές. Αν j = 1, τότε έχουµε γ 2 a = a,..., γ s a = a και γι αυτό και γ2 ra = a,..., γr sa = a. Συνεπώς, από την παίρνουµε a U, γ r 1 γ r 2 γ r i γ r s 1 γ r sa = γ r 1a = Id n a = a. Αν j > 1, τότε έχουµε i j, 1 i s, γ i a = a και γι αυτό και i j, 1 i s, γi r a = a. Τώρα από την παίρνουµε a U, γ r 1 γ r 2 γ r j γ r s 1 γ r sa = γ r 1 γ r 2 γ r j a = Id n a = a και κατόπιν a U, γ r j a = γ r j 1 γ r j 2 γ r 1 a. ***
261 Οµως, επειδή, i j, 1 i s είναι γ i a = a και κατόπιν γi r a = a, έπεται ότι i j, 1 i s είναι επίσης γ r i a = a. Γι αυτό η δίνει a U, γ r j a = γ r j 1 γ r j 2 γ r 1 a = γ r j 1 γ r j 2 γ r 2 a = = γ r j 1 a = a. Αποδείξαµε λοιπόν ότι a {1, 2,..., n} και i, 1 i n έχουµε γ r i a = a, δηλαδή γr i = Id n. Ωστε, όταν σ = γ 1 γ 2 γ i γ s και σ r = γ 1 γ 2 γ i γ s r = Id n, r N, όπου οι γ i είναι αποσυνδετοί κύκλοι, τότε i, 1 i s, γ r i = Id n. Επιπλέον, αν για κάποιο r N είναι γ 1 γ 2 γ i γ s r = Id n, τότε η τάξη γ i = lγ i είναι διαιρέτης του r, αφού i, 1 i s, γ r i = Id n. Συνεπώς, και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο ɛ των τάξεων γ i = lγ i, 1 i s είναι επίσης διαιρέτης του r. Γι αυτό αν, κατορθώσουµε να αποδείξουµε ότι σ ɛ = γ 1 γ 2 γ i γ s ɛ = Id n, τότε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο ɛ είναι η τάξη του σ, αφού για κάθε άλλο r N µε σ r = Id n, έπεται ότι το ɛ διαιρεί το r, δηλαδή το ɛ είναι ο µικρότερος ϕυσικός αριθµός µε την ιδιότητα αυτή. Αλλά σ ɛ = γ 1 γ 2 γ i γ s ɛ = γ ɛ 1 γ ɛ 2 γ ɛ i γ ɛ s = Id n, αφού το ɛ ως πολλαπλάσιο οποιασδήποτε τάξης γ i = lγ i έχει την ιδιότητα γi ɛ = Id n. Ωστε, όταν σ = γ 1 γ s, όπου οι γ i είναι κύκλοι µήκους 2 και αποσυνδετοί ανά δύο, τότε η τάξη σ ισούται µε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο ɛ των τάξεων των κύκλων γ i. Παράδειγµα 7.24. Η τάξη του είναι 7 αφού σ = 5 6 7 8 9 10 S 7 6 3 4 5 1 10 9 2 8 10 σ = 1 7 10 8 9 2 6, δηλαδή είναι ένας κύκλος µήκους 7. Η τάξη του 5 6 7 8 9 10 τ = S 9 1 4 5 3 7 6 10 2 8 10 είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων των κύκλων 1 9 2, 3 4 5, 6 7 και 8 10, αφού τ = 1 9 2 3 4 5 6 7 8 10. Εποµένως τ = 6. Η τάξη του σ τ δεν είναι σ τ = 7 6 = 42. Για να υπολογίσουµε τη συγκεκριµένη τάξη πρέπει να εκφράσουµε το σ τ ως σύνθεση αποσυνδετών κύκλων. Εχουµε σ τ1 = σ9 = 2 σ τ2 = σ1 = 7 σ τ3 = σ4 = 4 σ τ4 = σ5 = 5 σ τ5 = σ3 = 3 σ τ6 = σ7 = 10 σ τ7 = σ6 = 1 σ τ8 = σ10 = 8 σ τ9 = σ2 = 6 σ τ10 = σ8 = 9. Εποµένως, σ τ = 5 6 7 8 9 10 = 1 2 7 3 4 5 6 10 9 S 2 7 4 5 3 10 1 8 6 9 10 Γι αυτό, η τάξη του στ είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων 1 2 7 = 3, 3 4 5 = 3 και 6 10 9 = 3, δηλαδή σ τ = 3.
262 Συµπληρώνουµε την παρούσα υποενότητα µε τα ακόλουθα : Πρόταση 7.25. Ο k κύκλος γ = a 1 a 2... a k, k 2 της Sn,, n 2 έχει ως αντίστροφο στοιχείο τον k κύκλο δ = a k a k 1... a 1. Απόδειξη. Είναι αρκετό να αποδείξουµε ότι δ γ = Id n,, αφού τότε έχουµε δ γ γ 1 = Id n γ 1 δ Id n = γ 1 δ = γ 1. Για να αποδείξουµε την, πρέπει να διαπιστώσουµε ότι x {1, 2,..., n} ισχύει δ γx = x. Αν x {1, 2,..., n} \ {a 1, a 2,..., a k }, τότε δ γx = a 1 a 2... a k ak a k 1... a 1 x = a1 a 2... a k x = x. Αν x {a 1, a 2,..., a k }, τότε a 1 a 2... a k δγx = και για i = 1 a 1 a 2... a k a k a k 1... a 1 a i = a 1 a 2... a k a i 1 = a i αν, i 1 a k a k 1... a 1 a 1 = a 1 a 2... a k a k = a 1. Ετσι διαπιστώνουµε ότι η είναι αληθής και συνεπώς δ = a k a k 1... a 1 = γ 1. Πρόταση 7.26. Εστω ότι σ είναι µια µετάθεση µετάταξη της S n,, n 2 και ότι γ = a 1 a 2... a k είναι ένας k κύκλος, k 1. Τότε σ γ σ 1 = σ a 1 a 2... a k σ 1 = σa 1 σa 2... σa k. Απόδειξη. Θα δείξουµε ότι x {1, 2,..., n} είναι σ γ σ 1 x = σa 1 σa 2... σa k x. * ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις : I Αν, x {1, 2,..., n} \ {σa 1, σa 2,..., σa k }, τότε σa1 σa 2... σa k x = x. Αφού x / {σa 1, σa 2,..., σa k } και σ 1 είναι η αντίστροφη της σ, έχουµε ότι σ 1 x / {a 1, a 2,..., a k } και γι αυτό και σ γ σ 1 x = σ σa 1 σa 2... σa k σ 1 x = σ [ σa 1 σa 2... σa k σ 1 x ] = σσ 1 x = x. Ωστε, όταν x {1, 2,..., n} \ {σa 1, σa 2,..., σa k }, τότε η είναι αληθής. II Αν, x {σa 1, σa 2,..., σa k }, ας πούµε x = σa i, 1 i k, τότε σa1 σa 2... σa k x = σa 1 σa 2... σa k σa i = { σa i+1, αν, 1 i k 1 σa 1, αν, i = k σ γ σ 1 x = σ a 1 a 2... a k σ 1 σa i = σ [ a 1 a 2... a k ai ] = { σa i+1, αν, 1 i k 1. σa 1, αν, i = k Ωστε, όταν x {σa 1, σa 2,..., σa k }, τότε η είναι και πάλι αληθής. Εποµένως, x {1, 2,..., n} η είναι αληθής. Η απόδειξη της πρότασης έχει ολοκληρωθεί.
263 7.3. Εκτιµώντας τις τάξεις των µεταθέσεων µετατάξεων της S n,. ιαµερίσεις του n. Προκειµένου να υπολογίσουµε την τάξη µιας µετάθεσης σ S n, πρέπει σύµφωνα µε Προτάσεις 7.20 και 7.23, να εκφράσουµε τη σ ως σύνθεση αποσυνδετών κύκλων και κατόπιν να υπολογίσουµε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο από τα µήκη των κύκλων. Εστω ότι σ είναι ένα στοιχείο της S n και ότι σ = γ 1 γ 2 γ s είναι µια ανάλυση της σ ως σύνθεση αποσυνδετών κύκλων. Παρατηρούµε ότι µπορούµε να συµπληρώσουµε την ανάλυση µε κύκλους αν υπάρχουν µήκους 1, οι οποίοι αντιστοιχούν ακριβως στις τροχιές της σ που αποτελούνται από ένα και µόνο στοιχείο. Για παράδειγµα αν, τότε η σ εκφράζεται και ως σ = 4 12 8 2 7 9 11 S 12, σ = 1 3 5 6 10 4 12 8 2 7 9 11. Γενικά αν, σ = γ 1 γ 2 γ s είναι µια ανάλυση της σ S n ως σύνθεση αποσυνδετών κύκλων γ i = a i1 a i2... a iti, 1 i s µε αντίστοιχα µήκη lγi = t i, τότε µπορούµε να συµπληρώσουµε την ανάλυση µε m = [n t 1 + t 2 + + t s ] το πλήθος 1 κύκλους b 1, b2,..., bm, όπου και συνεπώς j, 1 j m, b j {1, 2,..., n} \ s {a i1, a i2,..., a iti }. σ = γ 1 γ 2 γ s = b 1 b2 bm γ1 γ 2 γ s. Παρατηρούµε τώρα ότι το άθροισµα όλων των µηκών των κύκλων της προηγούµενης ανάλυσης ισούται µε n. Επειδή αποσυνδετοί κύκλοι µετατίθενται, ϐλ. Πόρισµα 7.22, µπορούµε επιπλέον να δεχθούµε ότι οι κύκλοι γ i, 1 i s είναι διατεταγµένοι µε αύξουσα σειρά ως προς τα µήκη τους, δηλαδή αν i < j, τότε lγ i = t i t j = lγ j. Ετσι έχουµε i=1 n = } 1 + 1 + {{ + 1 } + t 1 + t 2 + + t s m ϕορές Ορισµός 7.27. Κάθε ακολουθία ϕυσικών αριθµών n 1, n 2,..., n r µε n 1 n 2 n r και n 1 + n 2 + + n r = n ονοµάζεται µια διαµέριση του ϕυσικού αριθµού n N. Ωστε, κάθε σ S n χορηγεί µια διαµέριση του n, αλλά και αντίστροφα κάθε διαµέριση n 1, n 2,..., n r του n χορηγεί µια µετάθεση όχι απαραίτητα µοναδική της S n, αφού µπορούµε να προσδιορίσουµε r κύκλους µήκους n i, οι οποίοι µάλιστα µπορεί να είναι αποσυνδετοί ανά δύο για κάθε n i 2. Για παράδειγµα, η διαµέριση 1, 2, 3, 3, 3 του 12 δίνει τη µετάθεση σ = 4 5 6 3 11 12 1 7 8 2 10 9 καθώς επίσης και τη µετάθεση τ = 5 2 7 4 8 10 3 6 9 1 11 12 Οι σ και τ επειδή προκύπτουν από την ίδια διαµέριση του 12, δηλαδή την 1, 1, 3, 3, 4, έχουν την ίδια ταξη, αφού το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των µηκών των αποσυνδετών κύκλων τους είναι το ίδιο, δηλαδή ισούται µε 2 3 = 6.
264 Ορισµός 7.28. Ονοµάζουµε κυκλικό τύπο µιας µετάθεσης σ S n, την αντίστοιχη διαµέριση του n, που προκύπτει αναλύοντας την σ σε γινόµενο αποσυνδετών κύκλων γ i, 1 i s διατεταγµένων µε αύξουσα σειρά, συµπληρώνοντας αν είναι απαραίτητο την αρχή της ακολουθίας µε τόσες µονάδες, όση είναι η διαφορά n s i=1 lγ i. Για παράδειγµα ο κυκλικός τύπος της 5 σ = = 1 2 4 5 S 2 1 3 5 4 5 είναι 1, 2, 2 ενώ της είναι 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2. τ = 5 6 7 8 9 = 1 2 4 5 S 2 1 3 5 4 6 7 8 9 9 Πρόταση 7.29. Αν ο κυκλικός τύπος µια µετάθεσης µετάταξης σ S n είναι n 1, n 2,..., n t, τότε η τάξη σ ισούται µε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθµών n 1, n 2,..., n t. Απόδειξη. Ηδη γνωρίζουµε ότι η τάξη της σ ισούται µε το ελάχιστο κοινό πολαπλάσιο των µηκών των αποσυνδετών κύκλων µήκους 2 που εµφανίζονται σε µια ανάλυσή της. Αν συµβεί και κάποιοι από τους ϕυσικούς αριθµούς που εµφανίζονται στην αρχή της n 1, n 2,..., n t είναι ίσοι µε 1, αυτό δεν επηρρεάζει τον υπολογισµό του ελάχιστου κοινού πολλαπλασίου. Μέγιστη Τάξη Αν λοιπόν ϑέλουµε να υπολογίσουµε ποια είναι η µέγιστη τάξη των στοιχείων της S n, οφείλουµε να υπολογίσουµε όλες τις διαµερίσεις n 1, n 2,..., n t του συγκεκριµένου n και κατόπιν να προσδιορίσουµε για κάθε µια το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθµών του συνόλου {n 1, n 2,..., n t }. Το µεγαλύτερο ελάχιστο κοινό πολλαπλασιο δίνει και τη µέγιστη τάξη των στοιχείων της S n, πρόκειται δηλαδή για τον αριθµό m = max{ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιοn 1, n 2,..., n t n 1, n 2,..., n t διαµέριση του n} Για παράδειγµα οι διαµερίσεις του ϕυσικού αριθµού 5 είναι οι : 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 3 2 3 1 4 5 Συνεπώς, η µέγιστη τάξη ενός στοιχείου της S 5 είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 2 και 3, δηλαδή το 6. Τα στοιχεία της S 5 που έχουν τάξη 6 είναι ακριβώς τα στοιχεία που είναι συνθέσεις δύο αποσυνδετών κύκλων µήκους 2 και 3 αντιστοίχως. Ετσι τα σ 1 = 1 2 3 4 5, σ 2 = 3 4 1 2 5, σ 3 = 4 5 1 2 3 είναι στοιχεία της S 5 τάξης 6. Φυσικά, γνωρίζοντας όλες τις διαµέρισεις του n γνωρίζουµε και όλες τις τάξεις των στοιχείων της S n. Γι αυτό οι τάξεις των στοιχείων της S 5 είναι οι 1, 2, 3, 6, 4, 5 αφού αυτοί οι αριθµοί είναι ακριβώς τα διαφορετικά ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια που προκύπτουν από τις διαµερίσεις του 5. Συνεπώς ο προσδιορισµός όλων των τάξεων των στοιχείων της S n ανάγεται στον υπολογισµό όλων των δυνατών διαµερίσεων του n. Αυτό δεν είναι καθόλου απλό, επειδή δεν υπάρχει τύπος που να δίνει το
265 Φυσικός n 5 6 7 8 9 10 Πλήθος ιαµερίσεων P n 1 2 3 5 7 11 15 22 30 42 Πίνακας 1. Οι διαµερίσεις του n = 1, 2,..., 10 πλήθος P n των διαµερίσεων ενός ϕυσικού n, το οποίο σηµειωτέον ότι αυξάνει πολύ γρήγορα, όπως διαπιστώνει κανείς και από τους επόµενους δύο πίνακες : Φυσικός n 100 200 300 400 Πλήθος ιαµερίσεων P n 190569292 3972999029388 9253082936723602 6727090051741041926 Πίνακας 2. Οι διαµερίσεις του n = 100, 200, 300 7.4. Αρτιες και περιττές µεταθέσεις µετατάξεις. Λήµµα 7.30. Κάθε k κύκλος γ = a 1 a 2... a k της Sn,, n 2 είναι σύνθεση αντιµεταθέσεων. Αν k 2, τότε ο γ είναι σύνθεση k 1 το πλήθος αντιµεταθέσων. Απόδειξη. Αν ο κύκλος γ έχει µήκος k = 1, τότε ισούται µε την ταυτοτική απεικόνιση Id n, και γ = Id n = 1 2 1 2. Αν ο κύκλος γ έχει µήκος k 2, τότε ισχύει ότι γ = a 1 a 2... a k = a1 a k a1 a k 1 a1 a i+1 a1 a i a1 a 3 a1 a 2. * Αφού όταν, x {1, 2,..., n} \ {a 1, a 2..., a k }, τότε γx = x και a1 a k a1 a k 1 a1 a i+1 a1 a i a1 a 3 a1 a 2 x = x. Οταν x {a 1, a 2..., a k }, x a k, ας πούµε x = a i µε i k, τότε γa i = a i+1 και a1 a k a1 a k 1 a1 a i+1 a1 a i a1 a 3 a1 a 2 ai = a1 a k a1 a k 1 a1 a i+1 a1 a i ai = a1 a k a1 a k 1 a1 a i+1 a1 = a 1 a k a1 a k 1 a1 a i+2 ai+1 = a i+1. Τέλος, όταν x = a k, τότε γa k = a 1 και a1 a k a1 a k 1 a1 a i+1 a1 a i a1 a 3 a1 a 2 ak = a1 a k ak = a 1. Εποµένως, a {1, 2,..., n}, γa = a 1 a k a1 a k 1 a1 a i+1 a1 a i a1 a 3 a1 a 2 a και συνεπώς η είναι αληθής. Προφανώς, το πλήθος των αντιµεταθέσεων είναι k 1. Πρόταση 7.31. Κάθε στοιχείο σ S n, n 2 είναι σύνθεση αντιµεταθέσεων. Απόδειξη. Σύµφωνα µε την Πρόταση 7.23 κάθε µετάθεση µετάταξη είναι σύνθεση κύκλων και σύµφωνα µε το προηγούµενο Λήµµα κάθε κύκλος είναι σύνθεση αντιµεταθέσεων. Εποµένως, κάθε µετάθεση είναι σύνθεση αντιµεταθέσεων.
266 Για την απόδειξη του επόµενου ϑεωρήµατος είναι απαραίτητο να ανακαλέσει ο αναγνώστης στη µνήµη του την έννοια της ορίζουσας deta ενός n n πίνακα A, καθώς και ότι η ορίζουσα ενός πίνακα A αλλάζει πρόσηµο όταν εναλλάξουµε δύο γραµµές της. Επιπλέον, χρειάζεται να οριστεί το πως δρουν τα στοιχεία της οµάδας S n, πάνω στο σύνολο M n R των n n πινάκων. Αν σ είναι ένα στοιχείο της S n και A M n R είναι ένας πίνακας µε γραµµές τις A 1, A 2,..., A n, τότε ορίζουµε ως σa τον n n πίνακα µε i οστή γραµµή την A σi, i, 1 i n. Για παράδειγµα, αν 5 11 12 13 14 15 σ = 1 3 5 2 4 6 7 8 9 10 16 17 18 19 20 και A = 11 12 13 14 15, τότε σa = 21 22 23 24 25 16 17 18 19 20 6 7 8 9 10. 21 22 23 24 25 5 Παρατηρούµε ότι Αν σ, τ είναι δύο στοιχεία της S n και A είναι ένας n n πίνακας, τότε σ τa = στa. Αυτό είναι αληθές, αφού για κάθε i, 1 i n, η i οστή γραµµή του σ τa είναι η A στi και η i οστή γραµµή του στa είναι η A στi. Επειδή όµως i, 1 i n, σ τi = στi, οι δύο αυτές γραµµές είναι για κάθε i, ίσες και γι αυτό σ τa = στa. Θεώρηµα 7.32. εν υπάρχει στοιχείο σ S n, n 2, το οποίο να είναι σύνθεση ταυτοχρόνως και αρτίου και περιττού πλήθους αντιµεταθέσεων. Απόδειξη. Εστω ένα σ S n, το οποίο είναι σύνθεση 2κ, κ N αντιµεταθέσεων µ i, 1 i 2κ και σύνθεση 2λ + 1, λ N αντιµεταθέσεων ν j, 1 j 2λ + 1. Θεωρούµε τον ταυτοτικό n n πίνακα I n = δ ij, όπου δ ij, 1 i, j n είναι το σύµβολο του Kronecker 28. Παρατηρούµε ότι για οποιαδήποτε αντιµετάθεση τ = s t, 1 s, t n, s t, η ορίζουσα detτi n του πίνακα τi n ισούται µε deti n = 1, αφού ο τi n προκύπτει από τον ταυτοτικό πίνακα I n κατόπιν εναλλαγής της s οστής µε την t οστή γραµµή. Συνεπώς αν, σ = µ 1 µ 2κ, τότε detσi n = detµ 1 µ 2κ I n = 1 2κ = 1. Ενώ αν, σ = ν 1 ν 2λ+1, τότε detσi n = detν 1 ν 2λ+1 I n = 1 2λ+1 = 1. Ετσι καταλήγουµε στο ότι detσi n = 1 και detσi n = 1. Πράγµα, άτοπο. Ωστε, οποιοδήποτε στοιχείο σ S n είναι σύνθεση ή µόνο από άρτιου πλήθους ή µόνο από περιττού πλήθους αντιµεταθέσεις. Ορισµός 7.33. Μια µετάθεση µετάταξη σ της συµµετρικής οµάδας S n,, n 2 ονοµάζεται άρτια αντιστοίχως περιττή αν, είναι σύνθεση άρτιου αντιστοίχως περιττού πλήθους αντιµεταθέσεων. Παράδειγµα 7.34. Η µετάθεση µετάταξη 5 6 7 8 9 10 σ = S 9 1 4 5 3 7 6 10 2 8 10 είναι άρτια, αφού σ = 1 9 2 3 4 5 6 7 8 10 = 1 2 1 9 3 5 3 4 6 7 8 10. Η µετάθεση µετάταξη τ = 28 δ ij = 1, όταν i = j και δ ij = 0, όταν i j 5 6 7 8 9 10 S 2 7 4 5 3 10 1 8 9 6 10
267 είναι περιττή, αφού τ = 1 2 7 3 4 5 6 10 = 1 7 1 2 3 5 3 4 6 10 Παρατήρηση 7.35. Ενας k κύκλος γ = a 1 a 2... a k µήκους k 2 είναι άρτια αντιστοίχως πε- ϱιττή µετάθεση, όταν το µήκος του k είναι περιττό αντιστοίχως άρτιο, αφού από το Λήµµα 7.30 γνωρίζουµε ότι ένας k κύκλος είναι σύνθεση k 1 το πλήθος αντιµεταθέσων. Αλλά και κάθε 1 κύκλος της S n, n 2 είναι µια άρτια µετάθεση, αφού κάθε 1 κύκλος ισούται µε το ταυτοτικό στοιχείο Id n της S n και Id n = 1 2 1 2. Πρόταση 7.36. Το υποσύνολο της S n,, n 2 αποτελεί µια υποοµάδα της S n. A n = {σ S n σ άρτια µετάθεση } Απόδειξη. Λόγω του Λήµµατος ;;, για να αποδείξουµε ότι το A n είναι µια υποοµάδα της S n, είναι επαρκές να δείξουµε ότι το A n είναι κλειστό ως προς τη πράξη της S n, δηλαδή είναι κλειστό ως προς τη σύνθεση των απεικονίσεων, αφού πρόκειται για ένα πεπερασµένο σύνολο. Αλλά όταν τα σ, τ είναι στοιχεία του A n, τότε και η σύνθεσή τους σ τ ανήκει επίσης στο A n, αφού όταν δύο µεταθέσεις µετατάξεις σ, τ είναι σύνθεση άρτιου πλήθους αντιµεταθέσεων, ας πούµε αντίστοιχα 2κ και 2λ, τότε η µετάθεση σ τ είναι σύνθεση 2κ + 2λ = 2κ + λ πλήθους αντιµεταθέσεων, δηλαδή είναι επίσης µια άρτια µετάθεση. Εποµένως, η A n είναι µια υποοµάδα της S n. Ορισµός 7.37. Η υποοµάδα A n της S n, ονοµάζεται η εναλλάσσουσα υποοµάδα της S n. Παρατήρηση 7.38. Στην προηγούµενη απόδειξη διαπιστώσαµε πολύ εύκολα ότι η σύνθεση δύο άρτιων µεταθέσεων µετατάξεων είναι µια άρτια µετάταξη. ιαπιστώνεται επίσης πολύ εύκολα, µετρώντας το πλήθος των αντιµεταθέσεων, ότι η σύνθεση µια περιττής µετάθεσης µετάταξης µε µια άρτια καθώς και η σύνθεση µιας άρτιας µε µια περιττή δίνει µια περιττή µετάθεση. Τέλος η σύνθεση µια περιττής µετάθεσης µε µια περιττή, δίνει µια άρτια µετάθεση. Τα προηγούµενα εκφράζονται συνοπτικά αντιστοιχώντας σε κάθε µετάθεση σ S n το λεγόµενο πρόσηµο ɛσ {1, 1} Z της σ ως εξής : { 1 αν, η σ είναι άρτια ɛσ = 1 αν, η σ είναι περιττή. Τώρα γνωρίζουµε ότι, για οποιαδήποτε δύο στοιχεία σ, τ S n είναι : ɛσ τ = ɛσ ɛτ. Πρόταση 7.39. Η τάξη της υποοµάδας A n της S n,, n 2 ισούται µε n! 2. Απόδειξη. Από το Λήµµα 7.4 γνωρίζουµε ότι η τάξη της S n ισούται µε n!. Επιπλέον γνωρίζουµε ότι η S n ισούται µε την αποσυνδετή ένωση S n = A n S n \ A n, αφού κάθε µετάθεση της S n είναι ή άρτια, δηλαδή ανήκει στην A n, ή περιττή, δηλαδή ανήκει στο S n \ A n. Γι αυτό S n = A n + S n \ A n. * Θα δείξουµε ότι το πλήθος A n της υποοµάδας A n ισούται µε το πλήθος S n \ A n του συνόλου S n \ A n.
268 Θεωρούµε την αντιµετάθεση µ = 1 2. Επειδή η σύνθεση µιας περιττής µετάθεσης µε µια άρτια δίνει µια περιττή µετάθεση, ορίζεται µε τη ϐοήθεια της µ η απεικόνιση φ : A n S n \ A n, σ µ σ. Επειδή η σύνθεση µιας περιττής µετάθεσης µε µια περιττή δίνει µια άρτια µετάθεση, ορίζεται µε τη ϐοήθεια της µ και η απεικόνιση ψ : S n \ A n A n, τ µ τ. Αλλά οι φ ψ και ψ φ είναι οι ταυτοτικές απεικονίσεις των συνόλων S n \ A n και A n, αφού και τ S n \ A n : φ ψτ = φµ τ = µ µ τ = µ 2 τ = 1 2 2 τ = Idn τ = τ σ A n : ψ φσ = ψµ σ = µ µ σ = µ 2 σ = 1 2 2 σ = Idn σ = σ. Εποµένως, η φ είναι µια «1 1» και «επί» απεικόνιση και γι αυτό A n = S n \ A n. Τώρα η δίνει S n = 2 A n A n = S n 2 = n! 2. Με τη ϐοήθεια της έννοιας της διαµέρισης ενός ϕυσικού n, ϐλ. Υποενότητα 7.3, µπορούµε να περιγράψουµε τον κυκλικό τύπο των στοιχείων της S n που ανήκουν στην υποοµάδα A n. Εστω σ µια µετάθεση µετάταξη S n και η ανάλυσή του σε γινόµενο αποσυνδετών κύκλων. Αφού σ = γ 1 γ 2... γ s ɛσ = ɛγ 1 γ 2... γ s = ɛγ 1 ɛγ 2 ɛγ s, µπορεί κανείς να υπολογίσει το αν η σ είναι άρτια η περιττή, υπολογίζοντας τα ɛγ i, 1 i s, όπου υπενθυµίζουµε ότι ένας κύκλος µε άρτιο µήκος αντίστοιχα περιττό είναι περιττή άρτια µετάθεση! Παράδειγµα 7.40. Θα προσδιορίσουµε τον κυκλικό τύπο και τις τάξεις των στοιχείων της A 7. Οι διαµερίσεις του 7 είναι οι : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 3 1 1 2 3 1 3 3 1 1 1 4 1 1 5 1 6 1 2 4 2 2 3 2 5 3 4 7
269 Παρατηρούµε ότι οι µεταθέσεις της S 7 που ανήκουν στην A 7 έχουν κυκλικό τύπο 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 3, 1, 1, 5, 1, 2, 4, 2, 2, 3, 3, 4, 7. Γι αυτό οι αντίστοιχες τάξεις των στοιχείων της A 7 είναι : ε.κ.π.1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 = 1, ε.κ.π.1, 1, 1, 2, 2 = 2, ε.κ.π.1, 1, 1, 1, 3 = 3, ε.κ.π.1, 3, 3 = 3, ε.κ.π.1, 1, 5 = 5, ε.κ.π.1, 2, 4 = 4, ε.κ.π.2, 2, 3 = 6, ε.κ.π.7 = 7.