ΑΣΚΗΣΗ (ΜΟΝΑΔΕΣ 5) Ένας κατασκευαστής αυτοκινήτων θέλει να προγραμματίσει για μια χρονική περίοδο την παραγωγή δύο μοντέλων αυτοκινήτου: του μοντέλου Α και του μοντέλου Β. Κάθε μοντέλο αυτοκινήτου απαιτεί δύο διαδικασίες: συναρμολόγηση και φινίρισμα. Οι απαιτούμενες ώρες για κάθε διαδικασία και το κέρδος για κάθε μοντέλο αυτοκινήτου δίνονται στον παρακάτω πίνακα: Συναρμολόγηση Φινίρισμα Κέρδος (σε χ.μ.) Μοντέλο Α 4 ώρες 6 ώρες 400 Μοντέλο Β 6 ώρες 3 ώρες 300 Για τη δεδομένη χρονική περίοδο υπάρχουν διαθέσιμες 70 ώρες στη συναρμολόγηση και 480 ώρες στο φινίρισμα. Λόγω παραγγελιών υπάρχουν απαιτήσεις κατασκευής τουλάχιστον 0 αυτοκινήτων του μοντέλου Α και τουλάχιστον 30 αυτοκινήτων του μοντέλου Β. Όλα τα αυτοκίνητα που θα κατασκευασθούν θα πουληθούν.. Δώστε την τυποποίηση του γραμμικού προβλήματος. Πόσα αυτοκίνητα μοντέλου Α και πόσα αυτοκίνητα μοντέλου Β πρέπει να κατασκευασθούν ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος, δοθέντων των περιορισμών; Η επίλυση να γίνει με δύο τρόπους: (i) Γραφικά και (ii) με το Excel (όπου θα πρέπει οι φοιτητές να δώσουν τρία φύλλα εργασίας: α) τα δεδομένα μετά την επίλυση, β) την αναφορά απάντησης (ans wer report) και γ) την αναφορά ευαισθησίας (sensitivity report). (0 μονάδες) (i) Πρόκειται για ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης κέρδους. Επομένως η αντικειμενική συνάρτηση κέρδους είναι z = 400 x + 300 x όπου x είναι τα παραχθέντα τεμάχια του μοντέλου αυτοκινήτου Α x είναι τα παραχθέντα τεμάχια του μοντέλου αυτοκινήτου Β Οι περιορισμοί που προκύπτουν είναι οι παρακάτω ος (αφορά τις ώρες συναρμολόγησης) : 4 x + 6 x 70 ος (αφορά τις ώρες φινιρίσματος) : 6 x + 3 x 480 3 ος (αφορά τις παραγόμενες μονάδες από το μοντέλο Α) : x 0 4 ος (αφορά τις παραγόμενες μονάδες από το μοντέλο Β) : x 30 Σε κάθε περίπτωση τίθεται και ο περιορισμός μη αρνητικότητας, Χ, Χ 0 όπου εδώ όμως υπερκαλύπτεται από τους περιορισμούς (3) και (4)

Για τη γραφική επίλυση του γραμμικού περιορισμού απαιτείται οι παραπάνω περιορισμοί να απεικονιστούν σε διάγραμμα. Για να σχηματίσουμε τις αντίστοιχες ευθείς θα πρέπει πρώτα να βρούμε τα σημεία τομής τους με τους άξονες. Έτσι έχουμε Για τον ο περιορισμό : 4 x + 6 x = 70 Αν x = 0 τότε 6 x = 70 x = 0 και Αν x = 0 τότε 4 x = 70 x = 80 Άρα ο περιορισμός (ώρες συναρμολόγησης) τέμνει τον κάθετο άξονα στο σημείο (0,0) και τον οριζόντιο στο σημείο (0,80) Για το ο περιορισμό : 6 x + 3 x = 480 Αν x = 0 τότε 3 x = 480 x = 60 και Αν x = 0 τότε 6 x = 480 x = 80 Άρα ο περιορισμός (ώρες φινιρίσματος) τέμνει τον οριζόντιο άξονα στο σημείο (80,0) και τον κάθετο στο σημείο (0,60) Για τον 3 ο περιορισμό : x = 0 Άρα ο περιορισμός 3 (παρα γωγή μοντέλου Α) τέμνει μόνο τον οριζόντιο άξονα στο σημείο (0,0) Για τον 4 ο περιορισμό : x = 30 Άρα ο περιορισμός 4 (παραγωγή μοντέλου Β) τέμνει μόνο τον κάθετο άξονα στο σημείο (0,30)

Γραφικά όλα τα παραπάνω απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα Χ 6 0 0 Α Β 30 Δ Γ 0 0 80 8 0 Η βέλτιστη λύση, δηλαδή η μεγιστοποίηση του κέρδους βρίσκεται σε μια από τις κορυφές Α Β Γ Δ. Το σχήμα που εσωκλείεται από τις τέσσερις αυτές κορυφές είναι το μόνο τμήμα του συνολικού διαγράμματος στο οποίο ικανοποιούνται και οι τέσσερις περιορισμοί γι αυτό και ονομάζεται εφικτή περιοχή. Χ Επομένως πρέπει να βρούμε τις συντεταγμένες κάθε σημείου και να τις αντικαταστήσουμε στην αντικειμενική συνάρτηση z = 400 x + 300 x Έτσι από την κορυφή Α διέρχονται οι ευθείες του έχουμε ου περιορισμού 4 x + 6 x = 70 και του 3 ου περιορισμού x = 0. Επομένως 4x 6x 70 4*0 6x 70 80 6x 70 6x 640 x 06, 67 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 Άρα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης στην κορυφή Α είναι z 400x 300x z 400*0 300*06,67 z 40.000 A A 3

Από την κορυφή Β διέρχονται οι ευθείες του έχουμε ου περιορισμού 4 x + 6 x = 70 και του ου περιορισμού 6 x + 3 x = 480. Επομένως 4x 6x 70 4x 6x 70 4x 6x 70 4x 6* 60 x 70 6x 3x 480 3x 480 6x x 60 x x 60 x 4x 960 x 70 8x 40 x 30 x 30 x 60 x x 60 x x 60 *30 x 00 Άρα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης στην κορυφή Β είναι z 400x 300x z B 400*30 300*00 z B 4.000 Από την κορυφή Γ διέρχονται οι ευθείες του έχουμε ου περιορισμού 6 x + 3 x = 480 και του 4 ου περιορισμού x = 30. Επομένως 6x 3x 480 6x 3*30 480 6x 390 x 65 x 30 x 30 x 30 x 30 Άρα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης στην κορυφή Γ είναι z 400x 300x z 400*65 300* 30 z 35.000 Η κορυφή Δ αντιστοιχεί σε Χ =0 και Χ =30 κι επομένως η τιμή της αντικειμενικής είναι: Z 400X 300X Z 400* 0 300*30 8.000 9.000 7.000 Καταλήγοντας συμπεραίνουμε ότι η βέλτιστη λύση βρίσκεται στην κορυφή Β με x = 30 και x = 00. Δηλαδή ο κατασκευαστής θα πρέπει να κατασκευάσει 30 αυτοκίνητα μοντέλου Α και 00 αυτοκίνητα μοντέλου Β. Έτσι το κέρδος του θα ανέλθει σε 4.000 χρηματικές μονάδες. 4

(ii) Από την επίλυση του γραμμικού προγραμματισμού μέσω Excel προέκυψαν τα παρακάτω συμπεράσματα Μεγιστοποίηση Αντικειμενικής συνάρτησης Α Β Συνολικό Κέρδος Μοντέλο Α 30 00 Μοντέλο Β 400 300 4.000 Τιμή Αντικειμενικής Περιορισμοί Συναρμολόγηση 4 6 70 70 Φινίρισμα 6 3 480 480 Ελάχιστο Α 0 30 0 Ελάχιστο Β 0 00 30 Κελί προορισμού (Μέγιστο) Κελί $F$6 Αναφορά Απάντησης Όνομα Αρχική τιμή Τελική τιμή Συνολικό Κέρδος.000 4.000 Ρυθμιζόμενα κελιά Κελί Όνομα Αρχική τιμή Τελική τιμή $B$5 Μοντέλο Α Α 30 30 $C$5 Μοντέλο Α Β 0 00 Περιορισμοί Κελί Όνομα Τιμή κελιού Τύπος Κατάσταση Απόκλιση $D$3 Ελάχιστο Α 30 $D$3>=$F$3 Μη υποχρεωτικός 0 $D$ Φινίρισμα 480 $D$<=$F$ Υποχρεωτικός 0 $D$ Συναρμολόγηση 70 $D$<=$F$ Υποχρεωτικός 0 $D$4 Ελάχιστο Β 00 $D$4>=$F$4 Μη υποχρεωτικός 70 5

Αναφορά Ευαισθησίας Ρυθμιζόμενα κελιά Περιορισμοί Τελική Ελαττωμένη Κελί Όνομα τιμή παράγωγος $B$5 Μοντέλο Α Α 30 0 $C$5 Μοντέλο Α Β 00 0 Τελική Τελεστής Κελί Όνομα τιμή Lagrange $D$3 Ελάχιστο Α 30 0 $D$ Φινίρισμα 480 50 $D$ Συναρμολόγηση 70 5 $D$4 Ελάχιστο Β 00 0 E-mail: info@onlineclassroom.gr 6