Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Εκτίµηση Φάσµατος ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 47/8) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής CEID 7-8 Μη παραµετρικές µέθοδοι: Περιοδόγραµµα Φάσµα ισχύοςµιας WSS διαδικασίας: + P( e ) = r( k) e k= k Υπολογισµός της αυτοσυσχέτισης µιας εργοδικής, ως προς r ( k ), διαδικασίας: rˆ ( k) = ( n+ k) ( n) n= Από Ν δείγµατα του σήµατος παράγω Ν- τιµές αυτοσυσχέτισης. ; k > k rˆ ( k) = ( n+ k) ( n) ; k =,,, n= rˆ ( k) ; k = +, +,, per ˆ k P ( e ) = rˆ ( k) e Περιοδόγραµµα k= + CEID 7-8

Μη παραµετρικές µέθοδοι: Περιοδόγραµµα Ορίζουµε τοσήµα ( n ) πεπερασµένου µήκους: n ( ) ; n ( n) = ( n) = ( n) wr( n) ; n ;αλλού όπου w ( R n ) τετραγωνικό παράθυρο µήκους : Υπολογίζουµε τοπεριοδόγραµµα του ( n) : w R ( n) = ; n ;αλλού k + n= n= rˆ ( k) = ( n+ k) ( n) = ( n+ k) ( n) = ( k) ( k) Άρα: + ˆ k P ˆ per( e ) = r( k) e = X( e ) X( e ) = X( e ) k= + + n n ( n) e ( n) wr( n) e n= n= = = CEID 7-8 Μη παραµετρικές µέθοδοι: Περιοδόγραµµα 4 amplitude 3 - - -3 - - - - - =3-4 samples -3..4.6.8 % number of samples s=; % noise mean m=; % noise variance v=; % white Gaussian noise =m+sqrt(v)*randn(,s); - - - - - =8-3..4.6.8 CEID 7-8

Μη παραµετρικές µέθοδοι: Περιοδόγραµµα Εφόσον το περιοδόγραµµα, ˆ j Pper ( e ω ), είναι µια συνάρτηση των τυχαίων µεταβλητών (), (),, (-), θέλουµε να εξετάσουµετησύγκλιση ως προς την πραγµατική τιµή τουφάσµατος. Ειδικότερα, ενδιαφερόµαστε για τη σύγκλιση µε βάσητοκριτήριο του µέσου τετραγώνου, δηλαδή: { ˆ per } lim E P ( e ) P( e ) = Για να εξασφαλίζεται η σύγκλιση ως προς το παραπάνω κριτήριο, αρκεί το περιοδόγραµµαναείναισυνεπής (consistent) εκτιµητής του φάσµατος, δηλαδή:. Να είναι ασυµπτωτικά αµερόληπτος (asymptotically unbiased) εκτιµητής: { ˆ per } lim E P ( e ) = P( e ). Η διασπορά της εκτίµησης να τείνει στο µηδέν καθώς : { ˆ j Pper e ω } lim var ( ) = CEID 7-8 Μη παραµετρικές µέθοδοι: Περιοδόγραµµα ιερεύνηση της απόκλιση (bias) του περιοδογράµµατος: ; k > k rˆ ( k) = ( n+ k) ( n) ; k =,,, n= rˆ ( k) ; k = +,, ; k > k k k E{ rˆ ( k) } = E{ ( n+ k) ( n) } = r( k) = r( k) ; k =,,, n= n= k E{ rˆ ( k) } = r( k) ; k = +,, k k E rˆ ( k) = E ( n k) ( n) = r ( k) = r ( k) + k { } { } n= n= CEID 7-8

Μη παραµετρικές µέθοδοι: Περιοδόγραµµα Συνεπώς, µπορούµεναγράψουµε: { } E rˆ ( k) = w ( k) r ( k) ; k B όπου w ( B n ) παράθυρο Bartlett µήκους. amplitude.9.8.7.6..4.3.. DTFT k ; k wb ( k) = ;αλλού ( ω ) ( ω ) j sin / WB ( e ω ) = sin / rˆ ( k) - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 normalized frequency Άρα, ησυνάρτηση πουέχουµεχρησιµοποιήσει δεν είναι αµερόληπτος εκτιµητής της αυτοσυσχέτισης. magnitude - - - samples 9 8 7 6 4 3 CEID 7-8 Μη παραµετρικές µέθοδοι: Περιοδόγραµµα Υπολογίζουµετηναναµενόµενη τιµή του περιοδογράµµατος: { ˆ per ( )} = ˆ ( ) { ˆ = ( )} E P e E r k e E r k e k= + k= + k k + k = [ wb( k) r( k) ] e = P( e ) WB ( e ) π k= Καθώς ( j W ) ( ) B e ω =δ ω συνέλιξη Άρα: { ˆ per } lim E P ( e ) = P( e ) Συνεπώς, το περιοδόγραµµα δεν είναι αµερόληπτος εκτιµητής του φάσµατος, όµως είναι ασυµπτωτικά αµερόληπτος εκτιµητής. CEID 7-8

Μη παραµετρικές µέθοδοι: Περιοδόγραµµα Έστω, ητυχαίαδιαδικασία ( n) = Asin( ω n+φ ) + u( n), όπου Α =, ω = 4π, φείναιτυχαίαφάσηµεοµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα π φ π και u(n) λευκός θόρυβος µε διασπορά. { } σ = +π jθ per B B π π π E Pˆ ( e ) = P( e ) W ( e ) = W ( e ) P e dθ +π +π u jθ A jθ B B π π π u j( ω θ) ( ) +π jθ A A = WB( e ) σ u + πδ( ω ω θ ) + πδ( ω+ω θ) dθ π π σ = W ( e ) dθ+ W ( e ) δ( ω ω θ) dθ+ 4 =σ + u A W B 4 +π j( ω ω) A j( ω+ω) ( e ) + WB ( e ) 4 A jθ + WB ( e ) δ( ω ω +θ) dθ 4 π CEID 7-8 Μη παραµετρικές µέθοδοι: Περιοδόγραµµα 4 3 - - -3-4 Overlay of plots Ν = 64 4 3 3 - Average -..4.6.8 4 3 - - -3-4 -..4.6.8 CEID 7-8 Ν = 6 -..4.6.8 4 3 3 - -..4.6.8

Μη παραµετρικές µέθοδοι: Περιοδόγραµµα Ονοµάζουµε διακριτική ικανότητα (resolution) του εκτιµητή φάσµατος, την ελάχιστη απόσταση (στη συχνότητα) µεταξύ δύο ηµιτόνων, ή γενικά δύο τυχαίων διαδικασιών στενής ζώνης (narrowband), ώστε να µπορούν να αναγνωριστούν από τη µέθοδο εκτίµησης του φάσµατος. Ορίζουµε τη διακριτική ικανότητα του περιοδογράµµατος ως το εύρος του κύριου λοβού στο φάσµα του τετραγωνικού παραθύρου, W ( R e ), στα σηµεία 3dB: π ω =.89 ( n) = sin(.4 π n+φ ) + sin(.4 π n+φ ) + u( n) Παράδειγµα: Θέλουµε ω.π 36 CEID 7-8 Μη παραµετρικές µέθοδοι: Περιοδόγραµµα 4 3 - - -3-4 Overlay of plots Ν = 4 4 3 3 - Average -..4.6.8 4 3 - - -3-4 -..4.6.8 CEID 7-8 Ν = 64 -..4.6.8 4 3 3 - -..4.6.8

Μη παραµετρικές µέθοδοι: Περιοδόγραµµα Η διασπορά του περιοδογράµµατος µιας Gaussian τυχαίας διαδικασίας είναι: { ˆ per } var P ( e ) P ( e ) εν εξαρτάται από το Ν. Συνεπώς, το περιοδόγραµµα δεν είναι συνεπής εκτιµητής του φάσµατος. CEID 7-8 Μη παραµετρικές µέθοδοι: Τροποποιηµένο Περιοδόγραµµα Εφαρµόζουµεέναγενικό παράθυρο w(n), πεπερασµένου µήκους, στα δεδοµένα της τυχαίας ακολουθίας (n) και υπολογίζουµετοπεριοδόγραµµα: ( ) ( ) ( ) ; n = n w n n όπου wn ( ) = ; n< και n per + + n n = = n= n= Pˆ ( e ) ( n) e ( n) w( n) e + + { ˆ n m E Pper ( e )} = E ( n) w( n) e ( m) w( m) e n= m= + + ( n m) Αλλαγή µεταβλητής: = E{ ( n) ( m) } wnwm ( ) ( ) e n-m = k n= m= r ( n m ) + + + k = r( k) wnwn ( ) ( k) e = r( k) [ wk ( ) w( k) ] e k= n= k= k CEID 7-8

Μη παραµετρικές µέθοδοι: Τροποποιηµένο Περιοδόγραµµα Τελικά: + { ˆ per ( )} = ( )[ ( ) ( )] E P e r k w k w k e k= k + + k k = r ( k) e [ w( k) w( k) ] e π k= k= = P( e ) W( e ) W( e ) = P( e ) W( e ) π π W ( e ) Όταν: wn ( ) = w( n) wk ( ) w( k) = w( k) R B sin( ω/ ) WR ( e ) = e sin( ω/ ) j ω j( ) ω / CEID 7-8 Μη παραµετρικές µέθοδοι: Τροποποιηµένο Περιοδόγραµµα Ορίζουµεωςτροποποιηµένο περιοδόγραµµα, το περιοδόγραµµα µας τυχαίας διαδικασίας (n) στην οποία εφαρµόζεται ένα γενικό παράθυρο w(n)µήκους Ν: + ˆ M ( P e ) = ( n ) w ( n ) e U n= n όπου U = n= w( n) { M } ˆ ( ) ( ) ( E P e = P e W e ) πu Αποδεικνύεται ότι µε την κατάλληλη επιλογή του παραθύρου w(n) ισχύει: { ˆ M } lim E P ( e ) = P( e ) var ˆ P ( e ) P ( e ) Η διασπορά του τροπ. περιοδογράµµατος είναι: { } M Συνεπώς, το τροπ. περιοδόγραµµα δεν είναι συνεπής εκτιµητής του φάσµατος. CEID 7-8

Μη παραµετρικές µέθοδοι: Τροποποιηµένο Περιοδόγραµµα Rectangular Bartlett.8.8 amplitude.6 amplitude.6.4.4.. 3 4 6 samples 3 4 6 samples 4 4 sq. - -4 sq. - -4-6 -6-8 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 CEID 7-8 -8 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 Μη παραµετρικές µέθοδοι: Τροποποιηµένο Περιοδόγραµµα Hanning Hamming.8.8 amplitude.6 amplitude.6.4.4.. 3 4 6 samples 3 4 6 samples 4 4 sq. - -4 sq. - -4-6 -6-8 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 CEID 7-8 -8 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8

Μη παραµετρικές µέθοδοι: Τροποποιηµένο Περιοδόγραµµα Blackman Window Sidelobe level (db) ω 3-dB BW.8 Rectangular -3.89(π/Ν) amplitude.6 Bartlett -7.8(π/Ν).4. Hanning -3.44(π/Ν) 3 4 6 samples Hamming -43.3(π/Ν) 4 Blackman -8.68(π/Ν) sq. - -4-6 -8 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 CEID 7-8 Ανταλλαγή (trade-off) ανάµεσα σε διακριτική ικανότητα (εύρος κύριου λοβού) και φασµατική επισκίαση (πλάτος δευτερεύοντος λοβού). Μη παραµετρικές µέθοδοι: Τροποποιηµένο Περιοδόγραµµα Periodogram: Average of plots Modified Periodogram: Average of plots Rect Hamming - - - - - Ν = 8 Ν = 8 - - - - - -3..4.6.8-3..4.6.8 Έστω: CEID 7-8 ( n) =.sin(. π n+φ ) + sin(.3 π n+φ ) + u( n) σ =. u ωr.π 8 ωb.π 9

Εκτίµηση Φάσµατος: Περιοδόγραµµα & Τροποποιηµένο Περιοδόγραµµα Periodogram Modified Periodogram Estimator: Mean: ˆ Pper( e ) = ( n) e { per } n= n ˆ E P ( e ) = P( e ) WB( e ) π ˆ M ( P e ) = w ( n ) ( n ) e U { M } n= n ˆ ( ) ( ) ( E P e = P e W e ) πu Bias: Asymptotically unbiased Asymptotically unbiased Resolution: π ω =.89 per Window dependent Variance: Consistent: { ˆ per } var P ( e ) P ( e ) o { ˆ M } var P ( e ) P ( e ) o CEID 7-8 Μη παραµετρικές µέθοδοι: Μέθοδος Bartlett Έστω i (n), όπου i =,,, K-, ένα σύνολο από K υλοποιήσεις (realizations) της WSS τυχαίας διαδικασίας (n) στο διάστηµα n L. ( n) ( n) L K ( ) n Επιπλέον, θεωρούµε ότι οι ακολουθίες i (n) είναι µεταξύ τους ασυσχέτιστες. CEID 7-8

Μη παραµετρικές µέθοδοι: Μέθοδος Bartlett ˆ i per () Συµβολίζουµε ως P το περιοδόγραµµα της ακολουθίας ( n) : n= n L ˆ (i) Pper ( e ) = i ( n) e ; i=,,, K L Υπολογίζουµετοµέσο όρο για τις Κ υλοποιήσεις: i K ˆ ˆ(i) P ( e ) = Pper ( e ) K i= Η αναµενόµενη τιµή της παραπάνω ποσότητας είναι: K { } (i) K ˆ ˆ ( ) ( ) { ˆ (i) ( )} { ˆ (i) = ( )} per = = per per E P e E P e E P e E P e K i= K i= = P ( e ) WB ( e ) π Άρα, όπως και στο περιοδόγραµµα, ηεκτίµηση είναι ασυµπτωτικά L αµερόληπτη όταν. Παράθυρο Bartlett µήκους L-. ˆ ( j P e ω ) Ίδιο για κάθε υλοποίηση i (n) CEID 7-8 Μη παραµετρικές µέθοδοι: Μέθοδος Bartlett K K Επιπλέον: { ˆ } { ˆ per } (i) var P( e ) = var P ( e ) P ( e ) K ˆ ( j P e ω ) L K Τελικά, η εκτίµηση είναι συνεπής όταν και. Στηνπράξηδενέχουµεδιαθέσιµες K υλοποιήσεις, αλλά ένα σύνολο από δείγµατα της τυχαίας διαδικασίας. ιαιρούµε τοδιάστηµα σε Κ διαδοχικά διαστήµατα µήκους L (θεωρούµε = KL). L L L ( n) ηλαδή: ( n) ( n) ( ) K n ( n) = ( n+ il) ; n=,,, L και i=,,, K i CEID 7-8

Μη παραµετρικές µέθοδοι: Μέθοδος Bartlett Ορίζουµεωςεκτιµητή φάσµατος Bartlett: K L ˆ B ( P e ) = ( n+ il ) e i= n= n { B } ˆ ( ) ( ) B ( E P e = P e W e ) π Στην πράξη, η µείωση της var είναι µικρότερη γιατί οι ακολουθίες i (n) δεν είναι ασυσχέτιστες. { ˆ B } var P ( e ) P ( e ) K Άρα, ο εκτιµητής φάσµατος Bartlett είναι συνεπής εκτιµητής του φάσµατος. Η διακριτική ικανότητα του ˆ ( j P e ω ) είναι: B π π ω =.89 =.89K Κ φορές µικρότερηαπότοαπλόπεριοδόγραµµα. L Για δεδοµένη τιµή, ηεκτίµηση φάσµατος Bartlett επιτρέπει µια ανταλλαγή ανάµεσα σε διακριτική ικανότητα και µείωση της διασποράς (µέσω των K και L). CEID 7-8 Μη παραµετρικές µέθοδοι: Μέθοδος Bartlett Εφαρµογή A: Θεωρούµεσήµα λευκού θορύβου µοναδιαίας διασποράς. Εξετάζουµε την εκτίµηση φάσµατος του περιοδογράµµατος και της µεθόδου Bartlett. Εφαρµογή B: Θεωρούµε την ακόλουθη τυχαία διαδικασία: όπου A =, ω =.π, ω =.π, φ και φ είναι τυχαίες φάσεις µεοµοιό- µορφη κατανοµή στο διάστηµα και u(n) λευκός θόρυβος µε διασπορά ( n) = Asin( ω n+φ ) + sin( ω n+φ ) + u( n) σ = u και της µεθόδου Bartlett. π φ π. Εξετάζουµε την εκτίµηση φάσµατος του περιοδογράµµατος CEID 7-8

Μη παραµετρικές µέθοδοι: Μέθοδος Bartlett (A) Periodogram: overlay of plots Ν = 64 8 6 Average - - -3 4 - -4-6 -8-4..4.6.8 Ν = -..4.6.8 8 6 - - -3 4 - -4-6 -8 CEID 7-8 -4..4.6.8 -..4.6.8 Μη παραµετρικές µέθοδοι: Μέθοδος Bartlett Bartlett: overlay of plots Average - - 8 6 4 - -4-3 Ν =, K = 4, L = 8-6 -8-4..4.6.8 -..4.6.8 8 6 - - 4 - -4-3 Ν =, K = 6, L = 3-6 -8 CEID 7-8 -4..4.6.8 -..4.6.8

Μη παραµετρικές µέθοδοι: Μέθοδος Bartlett (Β) 4 Periodogram: overlay of plots 4 Average 3 Ν = 64 3 - - -..4.6.8 4 -..4.6.8 4 3 Ν = 3 - - CEID 7-8 -..4.6.8 -..4.6.8 Μη παραµετρικές µέθοδοι: Μέθοδος Bartlett 4 Bartlett: overlay of plots 4 Average 3 Ν =, K = 4, L = 8 3 - - -..4.6.8 4 -..4.6.8 4 3 Ν =, K = 8, L = 64 3 - - CEID 7-8 -..4.6.8 -..4.6.8

Μη παραµετρικές µέθοδοι: Μέθοδος Welch Έστω, ότι έχουµε διαθέσιµο ένα σύνολο από δείγµατα της τυχαίας διαδικασίας (n). ιαιρούµε τοδιάστηµα σε Κ διαδοχικά διαστήµατα µεεπικάλυψη. Τα διαστήµατα έχουν µήκος L και offset D. ΗεπικάλυψηείναιL-D δείγµατα. L L L D ( n) ( n) ( n) ( n) L D K ( ) n ηλαδή: ( n) = ( n+ id) ; n=,,, L και CEID 7-8 i = L+ D( K ) Μη παραµετρικές µέθοδοι: Μέθοδος Welch Σε κάθε ακολουθία i (n) εφαρµόζουµε ένα παράθυρο δεδοµένων w(n)µήκους L. Ορίζουµεωςεκτιµητή φάσµατος Welch: K L ˆ W ( P e ) = w ( n ) ( n+ id ) e KLU i= n= n όπου U L = L n= w( n) { W } = { ˆ W } π LU E Pˆ ( e ) P ( e ) W ( e ) lim E P ( e ) = P( e ) ˆ 9 var PW ( e ) P ( e ) 8K Για % επικάλυψη και παράθυρο Bartlett: { } Γενικά, ο εκτιµητής φάσµατος Welch είναι συνεπής εκτιµητής του φάσµατος. Η διακριτική ικανότητα εξαρτάται από το παράθυρο δεδοµένων w(n). CEID 7-8

Μη παραµετρικές µέθοδοι: Μέθοδος Welch = L+ D( K ) Από τη σχέση παρατηρούµεότι: Για µηδενική επικάλυψη, δηλαδή D = L, προκύπτει K = /L και η µέθοδος Welch ταυτίζεται µετηµέθοδο Bartlett. Για % επικάλυψη, δηλαδή D = L/, προκύπτει K = /L-. a) Αν L B = /K B είναι το µέγεθος των Κ Β διαστηµάτων της µεθόδου Bartlett, τότε για L= LB K KB, δηλαδή η µέθοδος Welch έχει την ίδια διακριτική ικανότητα αλλά µικρότερη διασπορά στην εκτίµηση από τη µέθοδο Bartlett: { ˆ 9 W } { ˆ P e PB e } var ( ) var ( ) 6 b) Για K KB L LB, δηλαδή η µέθοδος Welch έχει µεγαλύτερη διακριτική ικανότητα στην εκτίµηση από τη µέθοδο Bartlett και σχεδόν ίδια διασπορά: { ˆ 9 W } { ˆ P e PB e } var ( ) var ( ) 8 CEID 7-8 Μη παραµετρικές µέθοδοι: Μέθοδος Welch (Β) 4 Bartlett: overlay of plots 4 Average 3 Ν =, K = 8, L = 64 3 - - -..4.6.8 4 3 Welch (Hamming): % overlap -..4.6.8 4 3 Ν =, K = 7, L = 8 - - CEID 7-8 -..4.6.8 -..4.6.8

Μη παραµετρικές µέθοδοι: Μέθοδος Blackman - Tukey Από τη σχέση rˆ ( ) ( ) ( ) παρατηρούµεότιγιαk = -: k = n+ k n n= rˆ ( ) = ( n+ ) ( n) = ( ) () n= ηλαδή, η διασπορά της εκτίµησης της αυτοσυσχέτισης είναι µεγάλη για τιµές του k κοντά στο όριο Ν-. Οι τιµές αυτές είναι γενικά αναξιόπιστες και συνεισφέρουν στη διασπορά του περιοδογράµµατος. Για να µειώσουµε την επίδραση των παραπάνω τιµών στην εκτίµηση του φάσµατος, εφαρµόζουµεέναπαράθυρο w(k) µήκους Μ < Ν στις τιµές rˆ ( k) : M ˆ P ˆ BT( e ) = r ( k) w( k) e k= M k Η παραπάνω µέθοδος εκτίµησης φάσµατος ονοµάζεται µέθοδος Blackman-Tukey. CEID 7-8 Μη παραµετρικές µέθοδοι: Μέθοδος Blackman - Tukey Η µέση τιµήείναι: M M { BT } = E{ r k } = r k wb E P ˆ ( e ) ˆ ( ) w ( k ) e ( ) ( k) w ( k ) e j ω j ω k j ω k k= M k= M w ( k) BT M k = r( k) wbt( k) e = P( e ) WBT( e ) π k= M Για M συνεπάγεται, και προκύπτει: BT B { BT } ˆ j j j E P ( e ω ) P ( e ω ) W( e ω ) π M { ˆ BT } var P ( e ) P ( e ) w ( k) w ( k) = w( kwk ) ( ) wk ( ) k= M Ανταλλαγή ανάµεσα σε απόκλιση (bias) και διασπορά ανάλογα µε τοm. O εκτιµητής φάσµατος Blackman - Tukey είναι συνεπής εκτιµητής. CEID 7-8

Μη παραµετρικές µέθοδοι: Μέθοδος Blackman - Tukey 3. signal - Bartlett window. - -3 3 4 6 7 8 9 samples -. - samples..9.8.7 Hamming M= wbt M= Hamming M=4 wbt M=4 autocorrelation. window BT.6..4.3. -. - samples. - -4-3 - - 3 4 samples CEID 7-8 Μη παραµετρικές µέθοδοι: Μέθοδος Blackman - Tukey (Β) 4 3 Blackman - Tukey: overlay of plots (Hanning) Ν =, M = 64 4 3 Average - - -..4.6.8 4 3 (Hanning) Ν =, M = 6 -..4.6.8 4 3 - - CEID 7-8 -..4.6.8 -..4.6.8

Μη παραµετρικές µέθοδοι: Μέθοδος Blackman - Tukey Από ιδιότητα ΜΦ Τ: M ˆ P ˆ BT( e ) = r ( k) w( k) e k= M k ˆ ˆ PBT( e ) = Pper ( e ) W( e ) π Το παράθυρο w(n) εξοµαλύνει το περιοδόγραµµα και πρέπει να ικανοποιεί τη j συνθήκη, ώστε να εξασφαλίζεται η ιδιότητα ˆ j We ( ω ) P ( e ω ). Ορίζουµε την κανονικοποιηµένη διασπορά του εκτιµητή φάσµατος ως κριτήριο απόδοσης (το κριτήριο ονοµάζεται και variability): { ˆ } { ˆ P e E P e } V = var ( ) / ( ) BT Ορίζουµε τογινόµενο της ποσότητας V µε τη διακριτική ικανότητα ω ως γενικό κριτήριο ποιότητας (το κριτήριο ονοµάζεται και overall figure of merit): M= V ω CEID 7-8 Εκτίµηση Φάσµατος: Σύγκριση µη παραµετρικών µεθόδων Variability Resolution Figure of Merit Periodogram: P ( e ) V = = P ( e ) π ω =.89 π M =.89 Mod. Periodogram: P ( e ) V = = P ( e ) Window dependent: Bartlett: ω =.8( π/ ) π M =.8 Bartlett: P ( e ) V = = P ( e ) K K π ω =.89K π M =.89 Welch (% overlap): P ( e ) 9L V = P ( e ) 6 9 8K Window dependent: Bartlett: ω =.8( π/ L) π M =.7 Blackman-Tukey: P ( e ) w ( k) M k= m V = P ( e ) 3 m Window dependent: Bartlett: ω =.8( π/ M ) π M =.43 CEID 7-8

Εκτίµηση Φάσµατος: Σύγκριση µη παραµετρικών µεθόδων - - -3 Rectangular Bartlett Hanning Hamming Blackman -. - Rectangular Bartlett Hanning Hamming Blackman sq. -4 - -6-7 sq. -. - -. -8-3 -9-3. -......3.3.4-4......3 Window Sidelobe level (db) ω 3-dB BW ω 3-dB ( = 64) / Rectangular -3.89(π/Ν).4 Bartlett -7.8(π/Ν). Hanning -3.44(π/Ν).3 Hamming -43.3(π/Ν). Blackman -8.68(π/Ν).6 CEID 7-8 Παραµετρικές Μέθοδοι: Εκτίµηση Φάσµατος AR Μία διαδικασία AR(p), έστω (n), µπορεί να µοντελοποιηθεί ως η έξοδος ενός all-pole φίλτρου H(z)µεείσοδολευκόθόρυβοu(n) µοναδιαίας διασποράς, δηλαδή σ = : u un ( ) H( z) n ( ) b() H( z) = p akz ( ) + k = k Το φάσµα της διαδικασίας AR(p) είναι: P ( e ) = p k = b() + ake ( ) k Συνεπώς, αν µπορούµε να εκτιµήσουµετιςπαραµέτρους b() και α(k) από τις µετρήσεις (n), τότε µπορούµεναεκτιµήσουµετοφάσµα ˆ ( j P e ω ). CEID 7-8

Παραµετρικές Μέθοδοι: Εκτίµηση Φάσµατος AR ΗδιαδικασίαAR(p) ικανοποιεί τις εξισώσεις Yule-Walker: p r ( k) + a( l) r ( k l) = b() δ( k) ; k l= για k =,...,p r() r() r( p ) a() r() r () () ( ) () () r r r p a = r ( ) ( ) () a( p) r ( p) p r p r Toeplitz Αν λοιπόν γνωρίζουµετιςτιµές της αυτοσυσχέτισης για k =,,p, λύνουµετο παραπάνω σύστηµα καιβρίσκουµετουςσυντελεστέςα(k). Από τις τιµές του σήµατος στο διάστηµα n, υπολογίζουµετιςτιµές της αυτοσυσχέτισης: k rˆ ( k) = ( n) ( n k) ; k =,,, p n= CEID 7-8 Παραµετρικές Μέθοδοι: Εκτίµηση Φάσµατος AR Κατόπιν, υπολογίζουµετοσυντελεστήb() από τις εξισώσεις YW για k = : p = + l= b() r () a() l r () l Η παραπάνω µέθοδος είναι γνωστή ως µέθοδος αυτοσυσχέτισης ή µέθοδος YW. Όταν ο αριθµός των πόλων p που χρησιµοποιούµεστηµοντελοποίηση είναι πολύ µεγάλος σε σχέση µετο φυσικό µηχανισµό της διαδικασίας (η διαδικασία τότε χαρακτηρίζεται ως overmodeled), η µέθοδος µπορεί να οδηγήσει στο φαινόµενο διαχωρισµού των φασµατικών γραµµών της διαδικασίας (spectral line splitting). 3 - Ν = 64 ideal p= p=4 p= -..4.6.8 CEID 7-8

Παραµετρικές Μέθοδοι: Εκτίµηση Φάσµατος AR Στη µέθοδο αυτοσυσχέτισης, ουπολογισµός των εκτιµήσεων rˆ ( k) γίνεται αφού εφαρµόσουµεένατετραγωνικό παράθυρο στα δεδοµένα, βλέπε συνάρτηση rˆ ( k). Μια άλλη προσέγγιση είναι να χρησιµοποιήσουµετησχέση: rˆ ( k, l) = ( n l) ( n k) ; k =,,, p και l =,, p n= p Το σύστηµαυπολογισµού των συντελεστών του παρονοµαστή είναι: r(,) r(,) r( p,) a() r(,) r(,) r(,) r( p,) a() r(,) = r(, p) r(, p) r( p, p) a( p) r(, p) όχι Toeplitz Η παραπάνω µέθοδος ονοµάζεται µέθοδος συνδιασποράς και για µικρό αριθµό δειγµάτων αναµένεται καλύτερη απόδοση ως προς τη µέθοδο αυτοσυσχέτισης. CEID 7-8 Παραµετρικές Μέθοδοι: Εκτίµηση Φάσµατος AR Παράδειγµα: ΘεωρούµετηνπαρακάτωAR(4) διαδικασία, όπου u(n) λευκός θόρυβος µοναδιαίας διασποράς: n ( ) =.737 n ( ) 3.747 n ( ) +.69 n ( 3).9 n ( 4) + un ( ) H( z) =.737z + 3.746z.69z +.9z 3 4 Overlay of plots Average 4 Ν = 8 4 ideal average 3 periodogram 3 periodogram - - - - CEID 7-8 -3..4.6.8-3..4.6.8

Παραµετρικές Μέθοδοι: Εκτίµηση Φάσµατος AR 4 Overlay of plots Ν = 8, p = 4 4 Average ideal average 3 3 - - - -3..4.6.8 4 autocorrelation Ν = 8, p = 4 - autocorrelation -3..4.6.8 ideal 4 average 3 3 - - - covariance -3..4.6.8 CEID 7-8 - covariance -3..4.6.8 Παραµετρικές Μέθοδοι: Εκτίµηση Φάσµατος AR Ένα κρίσιµο ερώτηµαστηµοντελοποίηση της AR διαδικασίας είναι η επιλογή της τάξης του µοντέλου. Για το σκοπό αυτό έχουν προταθεί διάφορα κριτήρια: AIC( p) = log E+ p MDL( p) = log E+ plog + p+ FPE( p) = E p Επιλέγουµεως"καλύτερη" τάξη, την τιµή p για την οποία ελαχιστοποιείται το κριτήριο. p j p CAT( p) = E E j= j όπου o αριθµός των δειγµάτων και E το σφάλµα µοντελοποίησης. Τα παραπάνω κριτήρια δεν είναι απόλυτα, αλλά µόνο ενδεικτικά της τάξης του µοντέλου. CEID 7-8

Παραµετρικές Μέθοδοι: Εκτίµηση Φάσµατος MA Μία διαδικασία MA(q), έστω (n), µπορεί να µοντελοποιηθεί ως η έξοδος ενός FIR φίλτρου H(z)µεείσοδολευκόθόρυβοu(n) µοναδιαίας διασποράς, δηλαδή σ = : u un ( ) H( z) n ( ) q H( z) = b( k) z k = k Το φάσµα της διαδικασίας MA(q) είναι: P ( e ) = b( k) e q k = k Οι εξισώσεις Yule-Walker γράφονται: q k ( + ) ( ) ; = = l= ; k > r ( k) b( k) b ( k) bl k b l k q q Μη γραµµικές εξισώσεις ως προς τους συντελεστές b(k). CEID 7-8 Παραµετρικές Μέθοδοι: Εκτίµηση Φάσµατος MA Λαµβάνοντας υπόψη ότι η αυτοσυσχέτιση µιας MA(q) διαδικασίας έχει πεπερασµένο µήκος, µπορούµεαρχικάναεκτιµήσουµετιςτιµές της αυτοσυσχέτισης και κατόπιν να εκτιµήσουµετοφάσµα της διαδικασίας: ˆ P ( ) ˆ e = r( k) e q k= q k Η παραπάνω διαδικασία είναι ισοδύναµη µετηµέθοδο Blackman-Tukey για τετραγωνικό παράθυρο (Σηµείωση: η µέθοδος ΒΤ είναι γενική και δεν κάνει καµία υπόθεση για το φυσικό µηχανισµό -µοντέλο - της διαδικασίας). Μια εναλλακτική προσέγγιση περιλαµβάνει αρχικά την εκτίµηση των παραµέτρων b(k) και στη συνέχεια την εκτίµηση του φάσµατος: ˆ ( P ) ˆ e = b ( k ) e q k = k CEID 7-8

Παραµετρικές Μέθοδοι: Εκτίµηση Φάσµατος MA Υπολογισµός των παραµέτρων b(k) µετοναλγόριθµο Durbin: Έστω (n) µια MA(q) διαδικασία: q Bz ( ) = bkz ( ) k = k Υποθέτουµεότιµπορούµεναβρούµεέναall-pole µοντέλο τάξης p, όπου p αρκετά µεγάλο, ώστε να γράψουµε: Bz ( ) = p Az ( ) a() a( k) z + k = Έχοντας υπολογίσει τους συντελεστές α(k), µπορούµεαπότησχέση A( z) / B( z) να αναζητήσουµεέναall-pole µοντέλο τάξης q, το οποίο µοντελοποιεί την ακολουθία α(k). Οι συντελεστές του all-pole µοντέλου τάξης q είναι η εκτίµηση για τους συντελεστές b(k). k CEID 7-8 Παραµετρικές Μέθοδοι: Εκτίµηση Φάσµατος MA Αλγόριθµος Durbin:. Από τις τιµές του σήµατος (n) για n, κάνουµε µια εκτίµηση της αυτοσυσχέτισης rˆ ( k) για k.. Υπολογίζουµεέναµοντέλο all-pole τάξης p 4q (π.χ. µετηµέθοδο αυτοσυσχέτισης) και κανονικοποιούµετουςσυντελεστές, ώστε ο αριθµητής της συνάρτησης µεταφοράς του φίλτρου /A(z) να είναι µονάδα. 3. Χρησιµοποιώντας τους συντελεστές της AR(p) διαδικασίας του παραπάνω βήµατος ως δεδοµένα, υπολογίζουµεέναµοντέλο all-pole τάξης q. Οι συντελεστές που βρίσκουµε είναι οι συντελεστές της MA(q) διαδικασίας. CEID 7-8

Παραµετρικές Μέθοδοι: Εκτίµηση Φάσµατος ΜΑ Παράδειγµα: ΘεωρούµετηνπαρακάτωΜΑ(4) διαδικασία, όπου u(n) λευκός θόρυβος µοναδιαίας διασποράς: n ( ) = un ( ).8 un ( ) +.9 un ( ).3 un ( 3) +.9 un ( 4) H( z) =.8z +.9z.3z +.9z 3 4 Overlay of plots Average periodogram periodogram - - - - - - ideal average - - CEID 7-8 Ν = 8-3..4.6.8 - - -3..4.6.8 Παραµετρικές Μέθοδοι: Εκτίµηση Φάσµατος ΜΑ Overlay of plots Blackman-Tukey Blackman-Tukey Average - - - - ideal average - - - Ν = 8, M = 4 - - - -3..4.6.8 Durbin -3..4.6.8 Durbin - - - - - - ideal average - - CEID 7-8 Ν = 8, p = 3, q = 4-3..4.6.8 - - -3..4.6.8