HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/03/207 Σχέσεις Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/24/207 3/24/207 2 Την προηγούµενη φορά Έστω A, Bοποιαδήποτε σύνολα. Μίαδιµελής σχέση Rαπό το Aστο B, είναι ένα υποσύνολο του A B. Μία n-µελήςσχέση Rστα σύνολα A,,A n, R A A n. Συµπληρωµατικές σχέσεις Αντίστροφες σχέσεις Σχέσεις επί συνόλου Ανακλαστική, µη-ανακλαστική ιδιότητα Συµµετρική, ασύµµετρη ιδιότητα Αντισυµµετρικότητα Θεωρείστε τη σχέση x y Είναι συµµετρική; Είναι ασσύµετρη; Είναι ανακλαστική; 3/24/207 3 3/24/207 4
Κι άλλες ιδιότητες Κι άλλες ιδιότητες Θεωρείστε τη σχέση x y Είναι συµµετρική; όχι Θεωρείστε τη σχέση x y Είναι συµµετρική; όχι Είναι ασσύµετρη; Είναι ανακλαστική; Είναι ασσύµετρη; Είναι ανακλαστική; όχι 3/24/207 5 3/24/207 6 Κι άλλες ιδιότητες Αντισυµµετρικότητα Θεωρείστε τη σχέση x y Είναι συµµετρική; Είναι ασσύµετρη; Είναι ανακλαστική; όχι όχι ναι Θεωρείστε τη σχέση x y εν είναι συµµετρική. (Π.χ., 5 6αλλά όχι 6 5) εν είναι ασύµµετρη. (Π.χ., 5 5) (Θα λέγαµε πως είναι «σχεδόν» ασύµµετρη, επειδή όλες οι συµµετρίες εµφανίζονται όταν x=y) Αυτό ονοµάζεται αντισυµµετρικότητα: οι µόνες συµµετρίες (x,y), (y,x) στη σχέση εµφανίζονται όταν x=y. Μπορείτε να το πείτε αυτό στον κατηγορηµατικό λογισµό; 3/24/207 7 3/24/207 8 2
Αντισυµµετρικότητα Μία διµελής σχέση Rεπί του Aείναι αντισυµµετρική εάν και µόνο αν a,b ((a,b) R (b,a) R) (a=b)). Μπορείτε να σκεφτείτε παραδείγµατα αντισυµµετρικών σχέσεων που έχουµε δει; Π.χ.:,, Μία σχέση Rεπί ενός συνόλου Α είναι µεταβατική εάν και µόνο αν a,b,c A (((a,b) R (b,c) R) (a,c) R). 3/24/207 9 3/24/207 0 O x είναι πρόγονος του y Ο x συµπαθεί τον y Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από το y x + =y Ο x συµπαθεί τον y Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από το y x + =y 3/24/207 3/24/207 2 3
Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από το y x + =y Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από το y ΕΝ ΕΙΝΑΙ x + =y 3/24/207 3 3/24/207 4 Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από το y ΕΝ ΕΙΝΑΙ x + =y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από το y ΕΝ ΕΙΝΑΙ x + =y ΕΝ ΕΙΝΑΙ ΕΝ ΕΙΝΑΙ 3/24/207 5 3/24/207 6 4
Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από το y ΕΝ ΕΙΝΑΙ x + =y ΕΝ ΕΙΝΑΙ ΕΝ ΕΙΝΑΙ ΕΙΝΑΙ Κλειστότητα σχέσεων ως προς κάποια ιδιότητα Για κάθε ιδιότητα X, η X - κλειστότητα µιας σχέσης R ορίζεται ως το µικρότερο υπερσύνολοτης R που έχει την ιδιότητα X. Πιο συγκεκριµένα, Ηανακλαστικήκλειστότηταµιας σχέσης Rεπί του A είναι το µικρότερο δυνατό υπερσύνολο της Rπου έχει την ανακλαστική ιδιότητα. Ησυµµετρικήκλειστότηταµιας σχέσης Rεπί του A είναι το µικρότερο δυνατό υπερσύνολο της Rπου έχει την συµµετρική ιδιότητα. Ηµεταβατικήκλειστότηταµιας σχέσης R επί του A είναι το µικρότερο δυνατό υπερσύνολο της Rπου έχει την µεταβατική ιδιότητα. 3/24/207 7 3/24/207 8 Υπολογισµός κλειστοτήτων Η ανακλαστική κλειστότητα µιας σχέσης R επί του A υπολογίζεται προσθέτοντας τα στοιχεία (a,a) στην R για κάθε a A. ηλ., R I A Η συµµετρική κλειστότητα µιας σχέσης R υπολογίζεται προσθέτοντας τα στοιχεία (b,a) στην R για κάθε (a,b) στην R. ηλ., R R R(a,b) O α είναι γονέας του b. Υπολογισµός της µεταβατικής κλειστότητας R* της R 3/24/207 9 3/24/207 20 5
R(a,b) O α είναι γονέας του b. - R*(a, b) = Ο a είναι πρόγονος του b R(a,b) α => b. (a, b, προτάσεις του προτασιακού λογισµού) 3/24/207 2 3/24/207 22 R(a,b) α => b. (a, b, προτάσεις του προτασιακού λογισµού) R(a,b) : Υπάρχει απευθείας ακτοπλοϊκή σύνδεση µεταξύ των λιµανιών α και b. - R*(a, b) = «Εάν ισχύει η aως προϋπόθεση, µπορώ να αποδείξω την ισχύ της bσε κάποιο πλήθος βηµάτων» 3/24/207 23 3/24/207 24 6
R(a,b) : Υπάρχει απευθείας ακτοπλοϊκή σύνδεση µεταξύ των λιµανιών α και b. - R*(a, b) = Υπάρχει τρόπος να ξεκινήσει κανείς από το λιµάνι a και να φτάσει ακτοπλοϊκώς στο λιµάνι b Αναπαριστώντας σχέσεις Γιατί να ενδιαφερόµαστε για εναλλακτικές αναπαραστάσεις; εν µας φτάνει ένας τρόπος; Ένας λόγος: ο χαρακτηρισµός κάποιων σχέσεων ως προς τις ιδιότητές τους και κάποιοι υπολογισµοί γίνονται πιο εύκολη υπόθεση ανάλογα µε το είδος της αναπαράστασης που χρησιµοποιούµε. 3/24/207 25 3/24/207 26 Αναπαριστώντας σχέσεις µέσω πινάκων Αναπαράσταση µίας διµελούς σχέσης R:A Α µε ένα A Α 0- πίνακα M R = [m ij ]: m ij = αν και µόνο αν (a i,b j ) R. Π.χ., δέστε τον παρακάτω πίνακα: Joe Fred Mark Joe 0 Fred 0 0 Mark 0 0 Αναπαριστώντας σχέσεις µέσω πινάκων έστε τον παρακάτω πίνακα: Joe Fred Mark Joe 0 Fred 0 0 Mark 0 0 Αντιστοιχεί στη σχέση {(Joe, Joe), (Joe, Fred), (Fred, Fred), (Mark, Mark)} 3/24/207 27 3/24/207 28 7
Πίνακες και ιδιότητες σχέσεων Θυµηθείτε τις ιδιότητες: ανακλαστική, µη ανακλαστική, συµµετρική, καιαντισυµµετρική.παρατηρώντας τους πίνακες µπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε αν µία σχέση έχει αυτές τις ιδιότητες. Πίνακες και ιδιότητες σχέσεων Θυµηθείτε τις ιδιότητες: ανακλαστική, µη ανακλαστική, συµµετρική, καιαντισυµµετρική.παρατηρώντας τους πίνακες µπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε αν µία σχέση έχει αυτές τις ιδιότητες. 3/24/207 29 Ανακλαστική: µόνο στη διαγώνιο 3/24/207 30 Πίνακες και ιδιότητες σχέσεων Θυµηθείτε τις ιδιότητες: ανακλαστική, µη ανακλαστική, συµµετρική, καιαντισυµµετρική.παρατηρώντας τους πίνακες µπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε αν µία σχέση έχει αυτές τις ιδιότητες. Πίνακες και ιδιότητες σχέσεων Θυµηθείτε τις ιδιότητες: ανακλαστική, µη ανακλαστική, συµµετρική, καιαντισυµµετρική.παρατηρώντας τους πίνακες µπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε αν µία σχέση έχει αυτές τις ιδιότητες. Μη ανακλαστική: µόνο 0 στη διαγώνιο 3/24/207 3 Οτιδήποτδήποτε 0 Οτι- 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Οτιδήποτδήποτε 0 Οτι- 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Οτιδήποτδήποτε 0 Οτι- 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Οτιδήποτδήποτε 0 Οτι- 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Συµµετρική: όλα συµµετρικά 3/24/207 ως προς τη διαγώνιο 32 8
Πίνακες και ιδιότητες σχέσεων Θυµηθείτε τις ιδιότητες: ανακλαστική, µη ανακλαστική, συµµετρική, καιαντισυµµετρική.παρατηρώντας τους πίνακες µπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε αν µία σχέση έχει αυτές τις ιδιότητες. Οτιδήποτδήποτε 0 Οτι- 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ασύµµετρη: τα συµµετρικά 3/24/207 των είναι 0 33 Αναπαριστώντας σχέσεις µε κατευθυνόµενους γράφους Έναςκατευθυνόµενος γράφος G=(A,E)αποτελείται από ένα σύνολο A κορυφών (κόµβων) και από ένα σύνολο ακµών E A A. Οπτικά αναπαριστάται χρησιµοποιώντας τελείες για τις κορυφές και βέλη για τις ακµές. Μία σχέση R Α Α αναπαριστάται ως ο γράφος G=(A, E). Πίνακας M R : Γράφος G: Joe Fred Mark Joe 0 Fred 0 0 Mark 0 0 Σύνολο κορυφών A 3/24/207 (µαύρες τελείες) 34 Joe Mark Σύνολο ακµών E (µπλέ βέλη) Fred Γράφοι και σχέσεις Πολλές ιδιότητες µιας σχέσης µπορούν εύκολα να διαπιστωθούν µε παρατήρηση του γράφου µε τον οποίο αυτή αναπαρίσταται. Γράφοι και σχέσεις Πολλές ιδιότητες µιας σχέσης µπορούν εύκολα να διαπιστωθούν µε παρατήρηση του γράφου µε τον οποίο αυτή αναπαρίσταται. Ανακλαστική: Κάθε κόµβος έχει ένα βρόγχο 3/24/207 35 3/24/207 36 9
Γράφοι και σχέσεις Πολλές ιδιότητες µιας σχέσης µπορούν εύκολα να διαπιστωθούν µε παρατήρηση του γράφου µε τον οποίο αυτή αναπαρίσταται. Μη ανακλαστική: Κανένας κόµβος δεν έχει βρόγχο Γράφοι και σχέσεις Πολλές ιδιότητες µιας σχέσης µπορούν εύκολα να διαπιστωθούν µε παρατήρηση του γράφου µε τον οποίο αυτή αναπαρίσταται. Συµµετρική: Αν υπάρχει σύνδεση προς τη µία κατεύθυνση, υπάρχει και προς την άλλη 3/24/207 37 3/24/207 38 Γράφοι και σχέσεις Πολλές ιδιότητες µιας σχέσης µπορούν εύκολα να διαπιστωθούν µε παρατήρηση του γράφου µε τον οποίο αυτή αναπαρίσταται. Ασύµµετρη: καµµία σύνδεση και προς τις 2 κατευθύνσεις 3/24/207 39 0