Οι περιοδικές συναρτήσεις χρησιμοποιούνται συστηματικά και αποτελεσματικά στη Θεωρία σειρών Fourier και τις εφαρμογές της.

Κεφάλαιο 4 Σειρές Fourier Η Θεωρία των σειρών Fourier εντάσσεται στην Ανάλυση Fourier και αποτελεί ένα από τα πιο χρηστικά εργαλεία της Μαθηματικής Ανάλυσης, τα οποία παίζουν σημαντικό ρόλο σε όλα σχεδόν τα πεδία των φυσικών και τεχνολογικών επιστημών. Οι σειρές Fourier χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση περιοδικών συναρτήσεων ή περιοδικών σημάτων με τη βοήθεια απείρων αθροισμάτων(σειρών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων ημίτονο και συνημίτονο καθώς επίσης και των μιγαδικών εκθετικών συναρτήσεων. Σκοπός της μελέτης των σειρών Fourier υπήρξε αρχικά η επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών μερικών διαφορικών εξισώσεων και, μετέπειτα, η χρήση τους επεκτάθηκε στην ανάλυση όλων των κυματομορφών που εμφανίζονται από τη Θεωρία Σημάτων μέχρι την Κβαντική Φυσική. Στο κεφάλαιο αυτό, αρχικά ορίζεται η έννοια της σειράς Fourier πραγματικών συναρτήσεων και εξετάζονται οι βασικές ιδιότητές της. Στη συνέχεια, μελετάται η κατηγορία των συναρτήσεων, οι οποίες αναπτύσσονται σε σειρά Fourier και διατυπώνονται οι τύποι παραγώγισης και ολοκλήρωσης σειρών Fourier. 4. Περιοδικές συναρτήσεις Οι περιοδικές συναρτήσεις χρησιμοποιούνται συστηματικά και αποτελεσματικά στη Θεωρία σειρών Fourier και τις εφαρμογές της. Μίασυνάρτηση f : R R,γιατηνοποίαισχύει f(x+p = f(x, x R, (4.. όπου p Rμε p >,ονομάζεταιπεριοδικήσυνάρτησημεπερίοδο p(p-περιοδικήσυνάρτηση. Ομικρότερος p >,γιατονοποίοισχύειη(4..,αναφέρεταιωςθεμελιώδης περίοδος της συνάρτησης f. Οιτριγωνομετρικέςσυναρτήσεις sinxκαι cosxκαιημιγαδικήεκθετικήσυνάρτηση e ix 438

4.. ΠΕΡΙΟΔΙΚ ΕΣΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ 439 είναι οι πρωταρχικές περιοδικές συναρτήσεις με(θεμελιώδη περίοδο π. Σημείωση 4.. Εστω f : R R p-περιοδική συνάρτηση. Τότε, ισχύει Πράγματι,για n N,ισχύουν f(x+np = f(x, x R και n Z. (i f(x = f(x+p = f(x+p =... = f(x+np (ii f(x = f(x p+p = f(x p = f(x p =... = f(x np. Εστωμίασυνάρτηση f : [a,a+p] R,όπου a,p Rμε p >.Τότε,μία p-περιοδική συνάρτηση F : R Rονομάζεται p-περιοδικήεπέκτασητης f,ότανισχύει F(x = f(x, x [a,a+p]. (4.. Πρόταση4.. Εστωμίασυνάρτηση f : [a,a+p] R,όπου a,p Rμε p >.Τότε, οι ακόλουθοι ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι..ισχύει f(a = f(a+p..υπάρχει p-περιοδικήεπέκταση F : R Rτης f. Απόδειξη.. f(a = F(a = F(a+p = f(a+p. Για την απόδειξη της συνεπαγωγής χρειαζόμαστε την ιδιότητα (I x R, υπάρχειμοναδικός n Zμε x+np [a,a+p], η οποία αποδεικνύεται ως εξής. Αρχικά, παρατηρούμε ότι ισχύει R = [a (n+p,a np [a,a+p] (a+np,a+(n+p] και διακρίνουμε τις περιπτώσεις n= (i x [a,a+p] x = x+p [a,a+p]

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4. ΣΕΙΡ ΕΣ FOURIER (ii (iii x > a+p : n Nμε x np [a,a+p] x < a : m Nμε x+(m+p [a,a+p] και η ιδιότητα αποδείχτηκε.. Ησυνάρτηση F : R Rμε F(x = f(x + np, n Z,είναιμία p-περιοδική επέκταση της συνάρτησης f. Πόρισμα4..Η p-περιοδικήεπέκταση F : R Rμίαςσυνάρτησης f : [a,a+p] R είναι μοναδική. Εξάλλου,γιαμίασυνάρτηση f : (a,a+p] R,υπάρχειπάντοτε p-περιοδικήεπέκταση, η οποία προσδιορίζεται ως εξής. Θεωρούμε την επέκταση f : [a,a+p] R, { f(a+p, x = a f(x = f(x, x (a,a+p] καιενσυνεχείατην p-περιοδικήεπέκταση F : R Rτης f,ηοποίαείναικαι p-περιοδική επέκτασητης f. Μετονίδιοτρόποδιαπιστώνουμε,επίσης,ότικαιμίασυνάρτηση f : [a,a+p Rέχει επίσης p-περιοδική επέκταση στο R. Υπενθυμίζουμεότιμιασυνάρτηση f : [ p,p] R,όπου p Rμε p >,λέγεται (iάρτιαότανισχύει f( x = f(x,γιακάθε x [p,p] (iiπεριττήότανισχύει f( x = f(x,γιακάθε x [p,p]. Εξάλλου,γιαμίασυνάρτηση f : [,p] R,ηάρτιασυνάρτηση f α : [ p,p] R, f α (x = { f(x, x [,p] f( x, x [ p,] και η περιττή συνάρτηση f(x, x (,p] f π : [ p,p] R, f π (x =, x = f( x, x [ p, (4..3, (4..4 αναφέρονται, αντιστοιχως, ως άρτια και η περιττή επέκταση της συνάρτησης f στο [ p, p].

4.. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚ ΕΣΣΕΙΡ ΕΣ 44 4. Τριγωνομετρικές σειρές Στην παράγραφο αυτή εισάγεται η γενική έννοια της τριγωνομετρικής σειράς και εξετάζεται η σύγκλισή της. Αρχικά, υπενθυμίζουμε την έννοια του τριγωνομετρικού πολυωνύμου. Μία συνάρτηση T : R R, T(x = a n + (a k cos(kx+b k sin(kx, (4.. k= όπου n N, a,a n,b n R,ονομάζεταιτριγωνομετρικόπολυώνυμο(βαθμού n,όταν a n + b n. Για κάθε τριγωνομετρικό πολυώνυμο T, ισχύει T(x+π = T(x, x R, δηλαδή το T(x είναι π-περιοδική συνάρτηση. Μία σειρά της μορφής a + (a n cos(nx+b n sin(nx, x, a n, b n R (4.. ορίζεται ως τριγωνομετρική σειρά και η ακολουθία των τριγωνομετρικών πολυωνύμων T n (x = a n + (a k cos(kx+b k sin(kx (4..3 είναι η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της τριγωνομετρικής σειράς. Εξάλλου, μία σειρά της μορφής n= k= c n e inx, x R, c n C (4..4 αναφέρεται ως εκθετική ή μιγαδική τριγωνομετρική σειρά και η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της n T n (x = c k e ikx (4..5 k= n αναφέρεται εκθετικό ή μιγαδικό τριγωνομετρικό πολυώνυμο. Θέτοντας c = a, c n = a n ib n, c n = a n +ib n, n =,,...,

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4. ΣΕΙΡ ΕΣ FOURIER παρατηρούμε ότι η τριγωνομετρική σειρά(4.. και το τριγωνομετρικό πολυώνυμο(4..3 εκφράζονται υπό τη μορφή(4..4 και(4..5, αντιστοίχως. Αλλά και αντιστρόφως, θέτοντας a = c, a n = c n +c n, b n = i(c n c n, n =,,..., παρατηρούμε ότι η τριγωνομετρική σειρά(4..4 και το τριγωνομετρικό πολυώνυμο(4..5 ανάγονται στις(4.. και(4..3. Πολλές φορές, στις εφαρμογές, εμφανίζονται και τριγωνομετρικές σειρές της μορφής a + ( a n cos ( nπx p +b n sin ( nπx p, (4..6 όπου οι συναρτήσεις ( ( nπx nπx a n cos +b n sin p p είναι p-περιοδικές. Στη σειρά(4..6 αντιστοιχεί η εκθετική σειρά n= c n e inπx p. (4..7 Υπενθυμίζουμε, τώρα, τους ορισμούς της σημειακής και της ομοιόμορφης σύγκλισης τριγωνομετρικής σειράς. Η τριγωνομετρική σειρά(4.. συγκλίνει σημειακά προς μία συνάρτηση f : R R,ότανηακολουθία T n (xτωνμερικώναθροισμάτωντηςσυγκλίνει σημειακά προς την f(x, δηλαδή ισχύει T n (x f(x, x R. Εξάλλου, η τριγωνομετρική σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα προς τη συνάρτηση f : R R, όταν ηακολουθία T n (xτωνμερικώναθροισμάτωντηςσυγκλίνειομοιόμορφαπροςτην f(x.οι έννοιες της σημειακής και της ομοιόμορφης σύγκλισης για την εκθετική τριγωνομετρική σειρά(4..4 ορίζονται με παρόμοιο τρόπο. Σημειώνουμε ότι, αν η τριγωνομετρική σειρά(4.. συγκλίνει σημειακά στο R προς τησυνάρτηση f : R R,τότεηfείναι π-περιοδική. Άρα,γιατημελέτητηςσύγκλισης καιτωνιδιοτήτωντης fαρκείναπεριοριστούμεσεένακλειστόδιάστηματου Rμήκους π, όπου, συνήθως, θεωρούμε το διάστημα [, π].

4.. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚ ΕΣΣΕΙΡ ΕΣ 443 Για m,n N,ισχύουνοιτύποι cos(nxdx = sin(nx dx =, (4..8 sin(nx cos(mx dx =, (4..9 cos(nx cos(mx dx = sin(nx sin(mx dx = {, αν n m π, αν n = m, (4.. {, αν n m π, αν n = m, (4.. οι οποίοι είναι γνωστοί ως τύποι ορθογωνιότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων ημίτονο και συνημίτονο και αποδεικνύονται με χρήση βασικών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων. Ενδεικτικά, αποδεικνύουμε την(4... Για n m, χρησιμοποιώντας βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες, λαμβάνουμε [ ενώ,για n = m,έχουμε cos(nx cos(mx dx = (cos((n+mx+cos((n mx dx = n+m sin((n+mx+ ] x=π n m sin((n mx cos (nxdx = x= (cos(nx+ dx = π. =, Επίσης,για m,n Z,ισχύουνκαιοιακόλουθοιτύποι { π, αν n = e inx dx =, αν n, (4.. { π, αν n = m e inx e imx dx =, αν n m. (4..3 Θεώρημα 4.. Εστω ότι η τριγωνομετρική σειρά(4.. συγκλίνει ομοιόμορφα στο Rπροςτησυνάρτηση f : R R.Τότε,ηfείναι π-περιοδική,συνεχήςκαιοισυντελεστές

444 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4. ΣΕΙΡ ΕΣ FOURIER a n και b n δίνονταιαπότουςτύπους a n = π b n = π f(x cos(nxdx, n, (4..4 f(x sin(nxdx, n. (4..5 Απόδειξη. Αφού η τριγωνομετρική σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο R προς τη συνάρτηση f : R R,θασυγκλίνειεπίσηςκαισημειακά,δηλαδήθαισχύει f(x = a + (a n cos(nx+b n sin(nx, x [,π]. (4..6 Εξάλλου, από την ομοιόμορφη σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς και το Θεώρημα 3..3, ισχυρισμός, έχουμε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R άρα και ολοκληρώσιμη στο [π,π]. Υπολογισμός a Εφαρμόζοντας το Θεώρημα 3..3, ισχυρισμός, ευρίσκουμε f(xdx = a dx+ (a n cos(nxdx+b n sin(nx dx, (4..7 απότηνοποία,μετηνβοήθειατων(4..8,λαμβάνουμετην(4..4για n =. Υπολογισμός a n Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη της(4..6 με τη φραγμένη συνάρτηση cos(mx, m N, και εφαρμόζοντας το Θεώρημα 3..3, ισχυρισμός, ευρίσκουμε + f(xcos(mxdx = a cos(mxdx (a n cos(nxcos(mxdx+b n sin(nx cos(mx dx (4..8 και από τους τύπους(4..8,(4..9 και(4.. συνάγουμε την(4..4 για n. Υπολογισμός b n Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της(4..6 με τη φραγμένη συνάρτηση sin(mx, m N,καιεφαρμόζουμετηδιαδικασίαυπολογισμούτων a n.

4.3. ΟΡΙΣΜ ΟΣΣΕΙΡ ΑΣ FOURIER 445 Υπότιςπροϋποθέσειςτουπροηγουμένουθεωρήματος,οισυντελεστές a, a n και b n δίνονται επίσης από τους τύπους γιατυχόν a R. a n = π b n = π a+π a a+π a f(x cos(nxdx, n, (4..9 f(x sin(nxdx, n, (4.. Εξάλλου, όταν η εκθετική τριγωνομετρική σειρά(4..4 συγκλίνει ομοιόμορφα προς μία συνάρτηση f : R R,τότεοισυντελεστές c n αυτήςδίνονταιαπότοντύπο c n = f(xe inx dx π = a+π f(xe inx dx, n Z. (4.. π a Τέλος,ανησειρά(4..6συγκλίνειομοιόμορφαπροςτησυνάρτηση f : R R,ηf είναι p-περιοδική και συνεχής στο R, άρα και ολοκληρώσιμη στο [ p, p] και οι συντελεστές δίνονται από τους τύπους a n = p b n = p p p p p ( nπx f(x cos dx, n, (4.. p ( nπx f(x sin dx, n. (4..3 p Κατά παρόμοιο τρόπο, υπό τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος 4.., συνάγουμε ότι οι συντελεστές της(4..4 δίνονται από c n = p f(xe inπx p dx, n Z. (4..4 p p 4.3 Ορισμός σειράς Fourier Ορισμός 4.3. Εστω f : [, π] R ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Η τριγωνομετρική σειρά a + (a n cos(nx+b n sin(nx, (4.3.

446 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4. ΣΕΙΡ ΕΣ FOURIER όπου a n = π f(x cos(nxdx, n, (4.3. b n = π f(x sin(nxdx, n, (4.3.3 ορίζεταιωςσειρά Fourierτηςσυνάρτησης fκαιοισυντελεστές a n και b n ωςσυντελεστές Fourierτης f. Γιαναδηλώσουμεότιη(4.3.είναιησειρά Fourierτηςσυνάρτησης fκαιοι a n και b n οισυντελεστέςτηςσειράς Fourier,χρησιμοποιούμετουςσυμβολισμούς και f(x a + (a n cos(nx+b n sin(nx (4.3.4 S[f](x = a + (a n cos(nx+b n sin(nx. (4.3.5 Εξάλλου, η εκθετική σειρά n= όπουοισυντελεστές c n δίνονταιαπότοντύπο c n = π c n e inx, (4.3.6 f(xe inx dx, n Z, (4.3.7 ορίζεταιωςεκθετικήσειρά Fourierκαιοι c n ως(μιγαδικοίσυντελεστές Fourierτης fκαι επίσης συμβολίζουμε f(x c n e inx (4.3.8 και S[f](x = n= n= c n e inx. (4.3.9 Ανησυνάρτηση fείναιεπιπλέονάρτια,τότεησυνάρτηση f(xcos(nxείναιάρτιαενώ η f(x sin(nx είναι περιττή, οπότε έχουμε a n = π f(x cos(nxdx, n =,,... και b n =, n =,,..., (4.3.

4.3. ΟΡΙΣΜ ΟΣΣΕΙΡ ΑΣ FOURIER 447 δηλαδή η σειρά Fourier ανάγεται στη σειρά συνημιτόνων f(x a + a n cos(nx, η οποία αναφέρεται παρακάτω και ως συνημιτονική σειρά Fourier. Ανησυνάρτηση f είναιπεριττή,τότεησυνάρτηση f(xcos(nxείναιπεριττήενώη f(x sin(nx είναι άρτια, οπότε έχουμε a n =, n =,,... και b n = π δηλαδή η σειρά Fourier ανάγεται στη σειρά ημιτόνων f(x f(x sin(nxdx, n =,,... (4.3. b n sin(nx, η οποία αναφέρεται παρακάτω και ως ημιτονική σειρά Fourier. και Εξάλλου, για σειρές Fourier της μορφής a + ( a n cos ( nπx n= p +b n sin ( nπx p, (4.3. c n e inπx p, (4.3.3 οι οποίες αντιστοιχούν σε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις f : [ p, p] R, οι συντελεστές δίνονται, αντιστοίχως, από a n = p ( nπx f(x cos dx, n, (4.3.4 p p και Παράδειγμα 4.3. b n = p p p p Βρείτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης ( nπx f(x sin dx, n. (4.3.5 p c n = p f(xe inπx p dx, n Z. (4.3.6 p p f(x = x, x (,π].

448 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4. ΣΕΙΡ ΕΣ FOURIER Λύση. Αρχικά, ευρίσκουμε a = π xdx =, και στη συνέχεια με παραγοντική ολοκλήρωση, υπολογίζουμε οπότε έχουμε a n = π = πn b n = π = πn x cos(nxdx ([xsin(nx] π x sin(nxdx ([ xcos(nx] π + sin(nx dx =, n, cos(nx dx = n ( n+, n, ( n+ f(x sin(nx. n Παράδειγμα 4.3. Βρείτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης f(x = x, x [,π]. Λύση. Αρχικά, υπολογίζουμε a = π x dx = π ( xdx+ π xdx = π και στη συνέχεια, εφαρμόζοντας παραγοντική ολοκλήρωση, ευρίσκουμε a n = π b n = π x cos(nxdx = πn (( n, n, x sin(nxdx =, n,

4.3. ΟΡΙΣΜ ΟΣΣΕΙΡ ΑΣ FOURIER 449 οπότε έχουμε f(x π 4 π (n cos((n x. Παράδειγμα 4.3.3 Βρείτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης, < x < f : (,] R, f(x =, x, < x. Λύση. Υπολογίζουμε a = f(xdx = dx+ dx+ dx = 3 και στη συνέχεια, εφαρμόζοντας παραγοντική ολοκλήρωση, λαμβάνουμε a n = b n = οπότε προκύπτει f(x cos f(x sin ( nπx [ f(x 3 4 + sin(nπ nπ dx = sin(nπ, n, nπ ( nπx dx = [ ( nπ ] cos + cos(nπ, n, nπ cos ( nπx + ( n+ ++cos ( nπ sin nπ ( nπx ]. Παράδειγμα 4.3.4 Βρείτε την ημιτονική σειρά Fourier της συνάρτησης f(x = π, < x π.

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4. ΣΕΙΡ ΕΣ FOURIER Λύση. Αρχικά,θεωρούμετηνπεριττήεπέκταση f π της fστο [,π] π, < x π f π : [,π] R, f π (x =, x =, x < καιστησυνέχειαυπολογίζουμετουςσυντελεστές Fourierτηςπεριττήςσυνάρτησης f π,με τη βοήθεια της(4.3., ως εξής οπότε έχουμε a n = και b n = f π (xsin(nxdx = π n ( ( n {, n = k =, k =,,..., 4 k, n = k f(x 4 k= sin((k x, x (,π]. k Παράδειγμα 4.3.5 Βρείτε τη συνημιτονική σειρά Fourier της συνάρτησης π, < x π f(x =, x = π, x < π. Λύση. Ηάρτιαεπέκταση f α της fστο [,π]είναι π, < x π, x = π f α (x =, π < x < π, x =, x < π

4.3. ΟΡΙΣΜ ΟΣΣΕΙΡ ΑΣ FOURIER 45 καιοισυντελεστές Fourierτηςάρτιαςσυνάρτησης f α υπολογίζονται,μετηβοήθειατης (4.3., ως εξής a = π a n = π f α (xdx =, f α (xcos(nxdx = (n nπ sin π = b n =, n =,,..., n = k, k =,,..., ( k π(k, n = k Ετσι, συμπεραίνουμε ότι f(x + π k= ( k cos((k x. k Γιαμίαολοκληρώσιμησυνάρτηση f : [,π] Rκαιγιαένατριγωνομετρικόπολυώνυμο T n (x = A n + (A k cos(kx+b k sin(kx, x R k= υπολογίζουμε με τη βοήθεια των τύπων ορθογωνιότητας(4..8-(4.. και των(4..4

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4. ΣΕΙΡ ΕΣ FOURIER και(4..5, οι οποίοι δίνουν τους συντελεστές Fourier, f(x T n (x dx = ( π f A n (xdx f(x + (A k cos(kx+b k sin(kx dx k= k= ( π A n + + (A k cos(kx+b k sin(kx dx = + + ( A f (xdx+ 4 A f(x n k= dx+ ( πbk B k f(xsin(kxdx = f (xdx+ n k= ( πa A f(xdx + ( πbk B k f(xsin(kxdx = f (xdx+π ( A A a + n k= n k= ( πa k A k f(xcos(kxdx ( πa k A k f(xcos(kxdx n π ( A k A n ka k + π ( Bk B kb k k= k= και συμπληρώνοντας τα τετράγωνα σε κάθε παρένθεση, ευρίσκουμε f(x T n (x dx = f (xdx+π [ (A a [ a n n + a k + k= k= b k ] + n (A k a k + k= ] n (B k b k k=. (4.3.7 Θέτονταςστοπρώτομέλοςτης(4.3.7, αντί T n (xτοπολυώνυμο Fourier T n (x, προκύπτει η ανισότητα a n + (a k +b k π k= f (xdx, n N. (4.3.8

4.3. ΟΡΙΣΜ ΟΣΣΕΙΡ ΑΣ FOURIER 453 Θεώρημα 4.3. (Βέλτιστης τετραγωνικής προσέγγισης Εστω f : [,π] Rολοκληρώσιμησυνάρτηση, T n (x = a n + (a k cos(kx+b k sin(kx, x R k= τοτριγωνομετρικόπολυώνυμο Fourierτης f,όπουοισυντελεστές a n και b n δίνονταιαπό τους τύπους(4..4 και(4..5, και T n (x = A n + (A k cos(kx+b k sin(kx, x R k= τυχόν τριγωνομετρικό πολυώνυμο. Τότε, ισχύει f(x T n (x dx ενώηισότηταισχύειτότεκαιμόνοτότε,όταν f(x T n (x dx, A = a, A n = a n και B n = b n, n =,,... Απόδειξη. Οισχυρισμόςπροκύπτειαπότην(4.3.7,ότανλάβουμευπόψηότιτα a n και b n είναισταθερά,οπότετοτετραγωνικόσφάλμαγίνεταιελάχιστοόταν A = a, A n = a n και B n = b n, n =,,... Πόρισμα 4.3.(Ανισότητα Bessel Εστω f : [,π] Rολοκληρώσιμησυνάρτησηκαι a n και b n οισυντελεστές Fourierτης f, οι οποίοι δίνονται από τους τύπους(4..4 και(4..5. Τότε, ισχύει η ανισότητα a + (a n +b n π f (xdx. (4.3.9 Απόδειξη. Η ανισότητα(4.3.9 συνάγεται αμέσως από την ανισότητα(4.3.8. Πόρισμα 4.3.(Λήμμα Riemann Εστω f : [,π] Rολοκληρώσιμησυνάρτησηκαι a n και b n οισυντελεστές Fourierτης f, οι οποίοι δίνονται από τους τύπους(4..4 και(4..5. Τότε, ισχύει lim n a n = lim n b n =.

454 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4. ΣΕΙΡ ΕΣ FOURIER Απόδειξη. Απότηνανισότητα Besselέχουμεότιησειρά (a n+b nσυγκλίνει,οπότε (a n +b n. Ομως,ισχύει a n, b n a n +b nκαιάρασυνάγουμε a n και b n. Πρόταση 4.3. (Ταυτότητα Parseval Εστω f : R R π-περιοδικήσυνάρτηση,ηοποίαείναισυνεχήςστοδιάστημα [,π],και f(x a + (a n cos(nx+b n sin(nx η σειρά Fourier της συνάρτησης f. Τότε, ισχύει η ταυτότητα Parseval a + (a n +b n = π f (xdx. (4.3. Πρόταση 4.3. (Μοναδικότητα παράστασης σειράς Fourier Εστω f, g : R R π-περιοδικές συναρτήσεις, οι οποίες είναι συνεχείς στο διάστημα [,π](άρακαιστο R,και f(x a + (a n cos(nx+b n sin(nx g(x A + (A n cos(nx+b n sin(nx οισειρές Fourierτωνσυναρτήσεων fκαι g.ανισχύουν A = a, A n = a n και B n = b n, n =,,..., τότεοισυναρτήσεις fκαι gείναιίσες,δηλαδήισχύει f(x = g(x, x R. ( Ετσι, μία π-περιοδική συνεχής συνάρτηση f : R R καθορίζεται(ορίζεται πλήρως από τους συντελεστές Fourier αυτής.

4.4. Σ ΥΓΚΛΙΣΗΣΕΙΡ ΑΣ FOURIER 455 4.4 Σύγκλιση σειράς Fourier Υπενθυμίζουμε ότι η σειρά Fourier f(x a + (a n cos(nx+b n sin(nx συγκλίνεισημειακά(ομοιόμορφαστο Rπροςτησυνάρτηση f : R R,ότανηακολουθία των μερικών αθροισμάτων T n (x = a n + (a k cos(kx+b k sin(kx της σειράς συγκλίνει σημειακά(ομοιόμορφα στο R προς τη συνάρτηση f. k= Η σειρά Fourier της συνάρτησης f δεν συγκλίνει πάντοτε σημειακά αλλά, και όταν συγκλίνει σημειακά, δεν συγκλίνει υποχρεωτικά προς τη συνάρτηση f. Σημειώνουμε, αρχικά, ότι καταχωρούνται στην παράγραφο αυτή, αλλά και στην επόμενη, και ορισμένα γενικά αποτελέσματα, τα οποία παρουσιάζουν ισχυρό θεωρητικό χαρακτήρα, και πλήρεις αποδείξείς τους προϋποθέτουν την εφαρμογή προχωρημένων τεχνικών και εξειδικευμένων επιχειρημάτων που θεωρούμε εκτός του σκοπού του βιβλίου. Στις περιπτώσεις αυτές, είτε καταχωρούμε τα αποτελέσματα χωρίς απόδειξη είτε αρκούμαστε σε συνοπτική περιγραφή της κύριας ιδέας της απόδειξης. Πάντως, σε κάθε περίπτωση, επεξεργαζόμαστε αντιπροσωπευτικά παραδείγματα και εφαρμογές που αποσαφηνίζουν τον τρόπο εφαρμογής τους. Για τη μελέτη της σύγκλισης σειρών Fourier χρειαζόμαστε ορισμένες βασικές έννοιες συναφείς με τη συνέχεια και τη διαφορισιμότητα συναρτήσεων, οι οποίες καθορίζονται στον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός4.4.Μιασυνάρτηση f : [a,b] R Rονομάζεται (iτμηματικάσυνεχήςστο [a,b],ότανείναισυνεχήςστο [a,b]εκτόςαπόέναπεπερασμένο πλήθος σημειών του, όπου όμως υπάρχουν στο R τα πλευρικά όρια, δηλαδή όταν υπάρχει διαμέριση ( [a = x < x <... < x n = b] του [a,b], έτσι ώστεηf ναείναισυνεχήςσε κάθεανοικτόδιάστημα (x k,x k, k =,,...,n,καιεπιπλέονυπάρχουνστο Rταπλευρικάόρια f(x + k = lim f(x και f(x x x + k = lim f(x. k x x k (iiτμηματικά C στο [a,b],ότανυπάρχειηπαράγωγος f της fκαιείναισυνεχήςστο [a,b] εκτός από ένα πεπερασμένο πλήθος σημειών του, όπου όμως υπάρχουν στο R οι πλευρικές

456 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4. ΣΕΙΡ ΕΣ FOURIER οριακέςτιμέςτης f,δηλαδήότανυπάρχειμίαδιαμέριση(*,έτσιώστεηf ναείναισυνεχής σεκάθεανοικτόδιάστημα (x k,x k, k =,,...,n,καιεπιπλέονυπάρχουνστο Rτα πλευρικά όρια f (x + k = lim f (x και f (x x x + k = lim f (x. k x x k (iiiτμηματικά C στο [a,b],ότανυπάρχειηδεύτερηπαράγωγος f της fκαιείναισυνεχής στο [a,b]εκτόςαπόέναπεπερασμένοπλήθοςσημειώντου,όπουόμωςυπάρχουνστο Rοι πλευρικέςοριακέςτιμέςτης f,δηλαδήότανυπάρχειμίαδιαμέριση(*,έτσιώστεηf να είναισυνεχήςσεκάθεανοικτόδιάστημα (x k,x k, k =,,...,n,καιεπιπλέονυπάρχουν στο Rταπλευρικάόρια f (x + k = lim f (x και f (x x x + k = lim f (x. k x x k Εξάλλου,μίασυνάρτηση f : R Rονομάζεταιτμηματικάσυνεχής(τμηματικά C, τμηματικά C ότανησυνάρτηση fείναιτμηματικάσυνεχής(τμηματικά C,τμηματικά C σεκάθεκλειστόυποδιάστημα [a,b]του R. Σημειώνουμε ότι μία π-περιοδική συνάρτηση f : R R είναι τμηματικά συνεχής(τμηματικάc,τμηματικά C στοrότανηfείναιτμηματικάσυνεχής(τμηματικά C,τμηματικά C στοδιάστημα [,π]. Για να διατυπώσουμε το ακόλουθο βασικό θεώρημα, χρειαζόμαστε την έννοια της συνθήκης Dirichlet. Μίασυνάρτηση f : [,π] Rικανοποιείτησυνθήκη Dirichletσεένα σημείο x [,π]ότανυπάρχουνταπλευρικάόρια f (x + και f (x για x (,π, f ( + για x = και f (π για x = π. Σημειώνουμεότιυπάρχουνσυναρτήσεις f : [,π] R,οιοποίεςείναισυνεχείςσεένασημείο x [π,π],αλλάδενικανοποιούν τησυνθήκη Dirichletστο x.γιαπαράδειγμα,θεωρούμετησυνάρτηση { x, x [,π], f : [,π] R, f(x =, x [,, ηοποίαείναισυνεχήςστοσημείο x =,αλλάδενικανοποιείτησυνθήκη Dirichletστο x αφούδενυπάρχειηf ( +. Θεώρημα 4.4. Εστω f : R R π-περιοδικήκαιτμηματικάσυνεχήςσυνάρτησηστο [,π],ηοποία ικανοποιείτησυνθήκη Dirichlet στοσημείο x (,π. Τότε, ησειρά Fourierτης συνάρτησης fσυγκλίνειστοσημείο x καιισχύει a + (a n cos(nx +b n sin(nx = f(x+ +f(x.

4.4. Σ ΥΓΚΛΙΣΗΣΕΙΡ ΑΣ FOURIER 457 Πόρισμα4.4. Εστωμία π-περιοδικήσυνάρτηση f : R R,ηοποίαείναισυνεχής στοσημείο x (,πκαιεπίσηςικανοποιείτησυνθήκη Dirichletστοσημείο x.τότε, ησειρά Fourierτης fσυγκλίνειστοσημείο x καιισχύει a + (a n cos(nx +b n sin(nx = f(x. Θεώρημα 4.4. Εστω f : R R π-περιοδικήκαιτμηματικά C συνάρτησηστο [,π]. Τότε,ησειρά Fourierτηςσυνάρτησης fσυγκλίνεισημειακάγιακάθε x Rκαιισχύει a + (a n cos(nx+b n sin(nx = f(x+ +f(x, x R. Πόρισμα4.4. Εστω f : R R π-περιοδικήσυνάρτηση,ηοποίαείναισυνεχήςκαι τμηματικά C στο [,π].τότε,ησειρά Fourierτης fσυγκλίνειγιακάθε x Rκαιισχύει a + (a n cos(nx+b n sin(nx = f(x, x R. Πόρισμα4.4.3 Εστω f : R R π-περιοδική,συνεχήςκαιτμηματικά C συνάρτηση στο [,π]μεσειρά Fourier Τότε, ισχύουν f(x a + (a n cos(nx+b n sin(nx..οισειρές a n και b n συγκλίνουν.. na n και nb n.

458 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4. ΣΕΙΡ ΕΣ FOURIER Πόρισμα4.4.4 Εστω f : R R π-περιοδική,συνεχήςκαιτμηματικά C συνάρτηση στο [, π]. Τότε, η σειρά Fourier της συνάρτησης f συγκλίνει απόλυτα και ομοιόμορφα στο [,π]. Παράδειγμα 4.4. Εξετάστε αν η σειρά Fourier της συνάρτησης { x, < x π f(x =, < x συγκλίνει σημειακά προς την περιοδική επέκταση της συνάρτησης f στο R. Λύση. Θεωρούμε,αρχικά,τηνεπέκτασητης fστο [,π] { f(x, x (,π] f : [,π] R, f(x = π, x = καιστησυνέχειατην π-περιοδικήεπέκταση Fτης f. Εφαρμόζονταςτώρατην(4.3.γιατην f,υπολογίζουμε a = π a n = π f(xdx = π dx+ π f(xcos(nxdx xdx = + π, = π cos(nxdx+ π = nπ [sin(nx] + = cos(nπ n π xcos(nxdx [ x sin(nx + nπ n π cos(nx = ( n n π, n. Με παρόμοιο τρόπο, με τη βοήθεια της(4.3.3, ευρίσκουμε b n = ( n (, n. nπ ] π

4.4. Σ ΥΓΚΛΙΣΗΣΕΙΡ ΑΣ FOURIER 459 Ετσι, προκύπτει η σειρά Fourier της συνάρτησης F στο R F(x + π 4 + άρακαιτης fστο (,π]. ( n n π cos(nx + ( n ( nπ sin(nx, Τώρα, όσον αφορά τη σημειακή σύγκλιση της σειράς Fourier στη συνάρτηση F στο R, παρατηρούμεταεξής: τασημείαασυνέχειαςτης f είναιτασημεία, και π,οπότετα σημείαασυνέχειαςτης Fείναιτασημεία x = kπ, k Z,γιαταοποίαισχύουν και F(kπ + +F(kπ = + F((k π + +F((k π = = +π. Επιπλέον,ησυνάρτηση F είναιτμηματικά C και,έτσι,εφαρμόζονταςτοθεώρημα4.4., ευρίσκουμε ότι η σειρά Fourier της συνάρτησης F συγκλίνει σημειακά στο [, π] προς τη συνάρτηση g : [,π] R, g(x = F x,t 5 x Π f(x, x (,π, x, x = +π, x =,π. 4Π Π Π 4Π x Σχήμα4.: Γραφικέςπαραστάσειςτης F(xκαιτουτριγωνομετρικούπολυωνύμου T 5 (x του Παραδείγματος 4.4.. Στα Σχήματα 4. και 4. απεικονίζονται οι γραφικές παραστάσεις των τριγωνομετρικώνπολυωνύμων T 5 και T πουαντιστοιχούνστησειρά Fourierτηςσυνάρτησης F. Οπως

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4. ΣΕΙΡ ΕΣ FOURIER F x,t x Π 4Π Π Π 4Π x Σχήμα4.:Γραφικέςπαραστάσειςτης F(xκαιτουτριγωνομετρικούπολυωνύμου T (x του Παραδείγματος 4.4.. παρατηρούμε, καθώς το πλήθος των όρων της σειράς Fourier αυξάνεται, επιτυγχάνεται καλύτερη προσέγγιση στα σημεία συνέχειας της F. Ειδικότερα, στα σημεία συνέχειας της συνάρτησης F, τα οποία ευρίσκονται στην περιοχή ενός σημείου ασυνέχειας της συνάρτησης F,ταγραφήματατωντριγωνομετρικώνπολυωνύμων T 5 και T παρουσιάζουνταλαντώσεις. Τα μέγιστα πλάτη των ταλαντώσεων αυτών παρουσιάζονται σε σημεία, τα οποία μετακινούνται προς σημεία ασυνέχειας της F, καθώς το πλήθος των όρων του τριγωνομετρικού πολυωνύμου αυξάνει. Το φαινόμενο αυτό παρατηρήθηκε από τον Αμερικανό Μαθηματικό και Φυσικό Josiah Willard Gibbs και για αυτό αναφέρεται ως φαινόμενο Gibbs. Σημειώνουμε ότι το φαινόμενο αυτό παρουσιάζεται στις προσεγγίσεις συναρτήσεων από σειρές Fourier σε περιοχές των σημείων ασυνέχειας. Παράδειγμα 4.4. Εξετάστε αν η ημιτονική σειρά Fourier της συνάρτησης f(x = π, < x π συγκλίνει σημειακά προς την περιττή επέκταση της συνάρτησης f στο [, π]. Λύση. Σύμφωνα με το Παράδειγμα 4.3.4, η ημιτονική σειρά Fourier της f είναι f(x 4 k= sin((k x. k

4.4. Σ ΥΓΚΛΙΣΗΣΕΙΡ ΑΣ FOURIER 46 Για τη σημειακή σύγκλιση της σειράς Fourier στην περιοδική επέκταση F της συνάρτησης fστο R,παρατηρούμεταεξής:τασημείαασυνέχειαςτηςπεριττήςεπέκτασης f π της fείναι τασημεία, και π,οπότετασημείαασυνέχειαςτης Fείναιτασημεία x = kπ, k Z, για τα οποία ισχύουν F(kπ + +F(kπ = π Επιπλέον,ησυνάρτησηFείναιτμηματικάC και,έτσι,εφαρμόζονταςτοθεώρημα4.4., ευρίσκουμε ότι η σειρά Fourier της συνάρτησης F συγκλίνει σημειακά στο [, π] προς τη συνάρτηση { f(x, x (,π, x g : [,π] R, g(x =., x =,,π =. Παράδειγμα 4.4.3 Εξετάστε αν η συνημιτονική σειρά Fourier της συνάρτησης π, < x π f(x =, x = π, x < π συγκλίνει σημειακά προς την άρτια επέκταση της συνάρτησης f στο [, π]. Λύση. Σύμφωνα με το Παράδειγμα 4.3.5, η συνημιτονική σειρά Fourier της f είναι f(x + π k= ( k cos((k x. k Τασημείαασυνέχειαςτηςάρτιαςεπέκτασης f α της fείναιτασημεία π και π,οπότετα σημείαασυνέχειαςτηςπεριοδικήςεπέκτασης Fτης f α είναιτασημεία x = (k+ π, k Z, για τα οποία ισχύουν F((k + π+ +F((k + π = + =. Ετσι,εφαρμόζονταςτοΘεώρημα4.4.καιεπειδήισχύει F((k+ π =,ευρίσκουμεότι η σειρά Fourier της συνάρτησης F συγκλίνει σημειακά στο [, π] προς την άρτια επέκταση f α της f.

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4. ΣΕΙΡ ΕΣ FOURIER Παράδειγμα 4.4.4 Βρείτε τη συνημιτονική σειρά Fourier της συνάρτησης και αποδείξτε ότι f(x = x, x π (iησυνημιτονικήσειρά Fourierσυγκλίνεισημειακάπροςτηνάρτιαεπέκταση f α της fστο [,π], (ii ισχύει (iii ισχύει n = π 6, n 4 = π4 9. Λύση. Αρχικά,θεωρούμετηνάρτιαεπέκτασητης fστο [,π] f α : [,π] R, f α (x = x, x π, της οποίας οι συντελεστές Fourier υπολογίζονται ως εξής a = π a n = π f α (xdx = π f α (xcos(nxdx = π x dx = 3 π, x cos(nxdx = 4( n n, n, b n =, n. (4.4. Ετσι, προκύπτει η συνημιτονική σειρά Fourier της συνάρτησης f f(x π 3 +4 ( n n cos(nx. (iηπεριοδικήεπέκταση F της f α είναισυνεχήςγιακάθε x R,άρακαιγιακάθε x [, π] και, έτσι ο ισχυρισμός συνάγεται από το Θεώρημα 4.4..

4.5. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΣΗΚΑΙΠΑΡΑΓ ΩΓΙΣΗΣΕΙΡ ΑΣ FOURIER 463 (ii Εφαρμόζοντας τον προηγούμενο ισχυρισμό για x = π, λαμβάνουμε οπότε π = π 3 +4 ( n n = π 6. n cos(nπ, (iii Εφαρμόζοντας την ταυτότητα Parseval, ευρίσκουμε οπότε και άρα π π 4 5 x 4 dx = a + a n, = π4 9 +6 n 4 n 4 = π4 9. 4.5 Ολοκλήρωση και παραγώγιση σειράς Fourier Θεώρημα 4.5. (Ολοκλήρωση σειράς Fourier Εστω f : R R π-περιοδικήσυνάρτηση,ηοποίαείναιτμηματικάσυνεχήςστοδιάστημα [,π],και f(x a + (a n cos(nx+b n sin(nx ησειρά Fourierτηςσυνάρτησης f.τότε,ισχύουν (i x f(sds = x a ds+ x (a n cos(ns+b n sin(ns ds = a (π +x+ n (a nsin(nx b n (cos(nx ( n, x R. (4.5.

464 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4. ΣΕΙΡ ΕΣ FOURIER (iiησειρά bn n συγκλίνει. Παράδειγμα 4.5. Βρείτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης f : [,π] R, f(x = {, < x π, x, και, με τη βοήθεια αυτής, αναπτύξτε σε σειρά Fourier τη συνάρτηση g(x = x, x [,π]. Λύση. Αρχικά, υπολογίζοντας τους συντελεστές Fourier της συνάρτησης f, ευρίσκουμε ότι f(x 4 π Περαιτέρω, εφαρμόζοντας την(4.5., λαμβάνουμε οπότε x f(sds = 4 π x = n sin((n x. x sin((n s ds, n ( 4 n π(n (cos((n x+ και έτσι ευρίσκουμε το ανάπτυγμα της συνάρτησης g σε σειρά Fourier x = π 4 π (n (cos((n x+. Παράδειγμα 4.5. Βρείτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης f : [,π] R, f(x = x, x π, και, με τη βοήθεια αυτής, αναπτύξτε σε σειρά Fourier τη συνάρτηση g(x = x, x [,π].

4.5. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΣΗΚΑΙΠΑΡΑΓ ΩΓΙΣΗΣΕΙΡ ΑΣ FOURIER 465 Λύση. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία του προηγουμένου παραδείγματος, ευρίσκουμε και ( n+ f(x sin(nx n x = π ( n +4 n (cos(nx ( n. Λήμμα4.5. Εστω f : R R π-περιοδικήσυνάρτηση,ηοποίαείναισυνεχήςκαι τμηματικά C στοδιάστημα [,π],και f(x a + (a n cos(nx+b n sin(nx f (x A + (A n cos(nx+b n sin(nx οισειρές Fourierτωνσυναρτήσεων fκαι f. Τότε,γιατουςσυντελεστές Fourier a, a n, b n της fκαιτουςσυντελεστές Fourier A, A n, B n της f,ισχύουν A =, A n = nb n και B n = na n. Θεώρημα 4.5. (Παραγώγιση σειράς Fourier Εστω f : R R π-περιοδικήσυνάρτηση,ηοποίαείναισυνεχήςκαιτμηματικά C στο διάστημα [, π], και f(x a + (a n cos(nx+b n sin(nx ησειρά Fourierτηςσυνάρτησης f.τότε,ισχύει f (x (nb n cos(nx na n sin(nx.

466 ΚΕΦΑΛΑΙΟ4. ΣΕΙΡ ΕΣ FOURIER Επιπλέον,ανυπάρχειηδεύτερηπαράγωγος f : [,π] Rτης fστο [,π],τότε, ησειρά Fourierτηςσυνάρτησης f συγκλίνεισημειακάστο [,π]προςτησυνάρτηση f : [,π] R,δηλαδήισχύει f (x = (nb n cos(nx na n sin(nx, x [,π]. Παράδειγμα 4.5.3 Δίνεται η συνάρτηση f(x = (x, x π. ΥπολογίστεμετηβοήθειατουΘεωρήματος4.5.,τιςπαραγώγους f και f. Λύση. Υπολογίζοντας τους συντελεστές Fourier, ευρίσκουμε f(x 48π4 9 +48 ( n Εξάλλου, παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f έχει παραγώγους f (x = 4x(x, x [,π], f (x = x 4π, x [,π], n 4 cos(nx. (4.5. οι οποίες είναι συνεχείς συναρτήσεις και επιπλέον η συνάρτηση f έχει και τρίτη παράγωγο f (x = 4x, x [,π]. Ετσι, εφαρμόζοντας διαδοχικά το Θεώρημα 4.5., ευρίσκουμε και f ( n (x = 48 n 3 f ( n (x = 48 n sin(nx. cos(nx.

4.6. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 467 4.6 Ασκήσεις Άσκηση 4.6. Βρείτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης f(x = x, < x π. Άσκηση 4.6. Βρείτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης και στη συνέχεια δείξτε ότι f(x = x 4, x π n = π 6. Άσκηση 4.6.3 Βρείτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης { x, < x π f(x =, < x και στη συνέχεια δείξτε ότι ( n+ n = π. Άσκηση 4.6.4 Βρείτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης { cosx, < x π f(x =, < x. Άσκηση 4.6.5 Βρείτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης { x+4, < x 4 f(x = x, x και στη συνέχεια δείξτε ότι (n 4 = π4 96.

Βιβλιογραφία [] N. J. De Lillo, Advanced Calculus with Applications, Macmillan Publishing Co., New York, 98. [] S. Hildebrandt, Analysis, Springer-Verlag, Berlin,. [3] Σ. Νεγρεπόντης, Σ. Γιωτόπουλος και Ε. Γιαννακούλιας, Απειροστικός Λογισμός, Τόμος IIβ, Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα 999. [4] A. L. Schoenstadt, An Introduction to Fourier Analysis, Department of Applied Mathematics, Naval Postgraduate School, Monterey, California, 5. [5] J. P. Solovej, Fourier Series Notes for Analysis, Department of Mathematical Sciences, University of Copenhagen,. [6] E. Stade, Fourier Analysis, Wiley, New Jersey, 5. [7] W. T. Tsai, Applied Mathematics, Part 4: Fourier Analysis, Department of Engineering Science and Ocean Engineering, National Taiwan University, Taipei, 997. 468