Διακριτός μετασχηματισμός Fourier

Transcript

1 Κεφάλαιο 15 Διακριτός μετασχηματισμός Fourier Ο Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT), ο οποίος είναι το πεπερασμένο διακριτό αντίστοιχο των σειρών Fourier, αποτελεί το σημαντικότερο εργαλείο ευρείας χρήσεως της ψηφιακής τεχνολογίας. Ο DFT μπορεί να θεωρηθεί ως μία προσέγγιση των συνήθων σειρών Fourier αλλά και από μόνος του έχει σημαντικό ενδιαφέρον. Ο μετασχηματισμός απέκτησε ιδιαίτερη σπουδαιότητα από τις εφαρμογές του, οι οποίες εμπλέκουν επεξεργασία αριθμητικών δεδομένων. Πιο συγκεκριμένα, ο DFT μετασχηματίζει πεπερασμένες ακολουθίες πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών(διακριτά σήματα) σε μιγαδικές ακολουθίες, οι οποίες διατηρούν όλη την πληροφορία του αρχικού σήματος. Οι βασικές ι- διότητες του DFT συμβάλλουν αποτελεσματικά στην επεξεργασία του αρχικού σήματος και την ανακατασκευή αυτού. Το κεφάλαιο αυτό περιέχει μία εισαγωγή στον DFT. Αρχικά, ορίζεται η έννοια του DFT και διατυπώνονται οι βασικές ιδιότητές του. Στη συνέχεια καταγράφονται συσχετίσεις του DFT με τις μιγαδικές ρίζες της μονάδας και τον πίνακα Fourier. Καταχωρούνται επίσης διάφορες αντιπροσωπευτικές εφαρμογές του μετασχηματισμού Ορισμός DFT Στην παράγραφο αυτή, ορίζεται η έννοια του DFT και εξετάζεται ο αντίστροφός του. Ορισμός (Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier) Εστω μία πεπερασμένη ακολουθία μιγαδικών αριθμών f(n), n = 0,1,...,N 1 (N 1). 469

2 470 ΚΕΦΑΛΑΙΟ15. ΔΙΑΚΡΙΤ ΟΣΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ FOURIER Ηακολουθία F(k) = f(n)e πink/n, k = 0,1,...,N 1. (15.1.1) ορίζεται ως Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) της ακολουθίας f(n). Ο αντίστροφος διακριτός μετασχηματισμός Fourier με τη βοήθεια του οποίου μπορούμε να ανακατασκευάσουμε την αρχική ακολουθία f(n) προσδιορίζεται στο ακόλουθο Θεώρημα (Αντίστροφος Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier) Γιατοδιακριτόμετασχηματισμό Fourier F(k) (k = 0,...,)τηςακολουθίας f(n) (n = 0,...,N 1),οοποίοςορίζεταιαπότην(15.1.1),ισχύει f(n) = 1 N Απόδειξη. Από την(15.1.1) έχουμε 1 F(k)e πink/n = 1 N N F(k)e πink/n, n = 0,1,...,N 1. (15.1.) = 1 N = 1 N ( m=0 m=0 m=0 f(m)e πimk/n ) f(m)e πimk/n e πink/n f(m) e πi(n m)k/n. e πink/n Εξάλλου, για n m, από τον τύπο του αθροίσματος της γεωμετρικής προόδου, λαμβάνουμε ( ) ) (e πi(n m) k e πi(n m) N N 1 N = = eπi(n m) 1 0 = = 0, e πi(n m) N 1 e πi(n m) N 1 e πi(n m) N 1 ενώγια n = mέχουμε και επομένως ισχύει ) (e πi(n m) k N = N 1 F(k)e πink/n = 1 f(n)n = f(n). N N

3 15.1. ΟΡΙΣΜ ΟΣ DFT 471 Γιαναδηλώσουμεότιηακολουθία F(k)είναιοDFTτης f(n),οπότεηf(n)είναι οαντίστροφος DFTτης F(k), χρησιμοποιούμετοσυμβολισμό f(n) F(k),ενώτο (f(n), F(k)) αναφέρεται και ως ζεύγος διακριτού μετασχηματισμού Fourier. Παράδειγμα Υπολογίστε (i) τον DFT της ακολουθίας f(n) : 1,1,0,0 (ii) τον αντίστροφο DFT της ακολουθίας F(k) : 1,0,1,0. Λύση. (i) Εφαρμόζοντας την(15.1.1), ευρίσκουμε F(k) = 3 f(n)e iπnk 4 = f(0)+f(1)e πik +f()e πik +f(3)e 3πik = 1+e πik, k = 0,1,,3, οπότε έχουμε F(k) :,1 i,0,1+i. (ii) Από την(15.1.), λαμβάνουμε f(n) = 1 4 = F(k)e ikπn 4 (F(0)+F(1)e πin +F()e πin +F(3)e 3πin ) = 1 4 (1+eπin ), n = 0,1,,3, και άρα f(n) : 1/, 0, 1/, 0.

4 47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ15. ΔΙΑΚΡΙΤ ΟΣΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ FOURIER 15. Ο DFTωςγινόμενοπινάκων Για την παράσταση του DFT ως γινομένου πινάκων χρειαζόμαστε τις ρίζες της μιγαδικής εξίσωσης w N = 1, N N (N-οστές ρίζες της μονάδας), οι οποίες δίνονται από ( ) ( ) w n = e πin πn πn N = cos +isin, n = 0,1,...,N 1, N N όπου ισχύει w 0 = w N = 1, w 1 = w N+1 = e πi N καιγενικά wn = w n+n, οπότε οι N-οστές ρίζες της μονάδας γράφονται w 0 = w 0 = 1, w 1 = w 1 = w, w = w,..., w = w, όπου w 1 = e πi N w. Εξάλλου, σημειώνουμε ότι ισχύει η w n = w nmodn, n N, όπου nmodnείναιτουπόλοιποτηςδιαίρεσηςτου nμετο N. Υπενθυμίζουμεότιοιρίζες w n (n = 0,1,...,N 1)παρίστανταιγεωμετρικάαπότις κορυφές ενός κανονικού N-γώνου(πολυγώνου με N ίσες πλευρές), το οποίο είναι εγγεγραμμένοσεκύκλομεκέντροτο 0καιακτίνα1. Περαιτέρω, σημειώνουμε ότι και οι μιγαδικοί αριθμοί ( ) ( ) πn πn ξ n = e πin N = cos isin = w n, n = 0,1,...,N 1, N N αποτελούν επίσης N-οστές ρίζες της μονάδας, όπου ξ 0 = ξ 0 = 1, ξ 1 = ξ 1 = ξ, ξ = ξ,..., ξ = ξ,όπου ξ 1 = e πi N ξ και επιπλέον ισχύει ξ n = ξ n = w n. Οι ξ n (n = 0,1,...,N 1), οιοποίεςαντιστοιχούν επίσηςστις κορυφέςενόςκανονικού N-γώνουεγγεγραμμένουστομοναδιαίοκύκλο, διαφέρουναπότις w n ωςπρος τηφοράδιαγραφήςκαθώςτα w n διαγράφονταιαντιωρολογιακάενώτα ξ n ωρολογιακάγια n = 0,1,...,N 1. Οπίνακας Fourierτάξης Nκαιοαντίστροφόςτουορίζονταιμετηβοήθειατων ξ n και w n,όπωςακολουθεί.

5 15.. Ο DFTΩΣΓΙΝ ΟΜΕΝΟΠΙΝ ΑΚΩΝ 473 Ορισμός 15..1(Πίνακας Fourier τάξης N) Ο N Nπίνακας όπουτο (j, k)στοιχείοτουδίνεταιαπό ξ ξ... ξ F N = 1 ξ ξ 4... ξ N, (15..1) ξ ξ N... ξ F N (j, k) = ξ jk = (w) jk = w jk, j,k = 0,...,N 1, ορίζεταιωςοπίνακας Fourierτάξης N. Εξάλλου,παρατηρούμεότιοαντίστροφοςπίνακας F 1 N τουπίνακα Fourierτάξης N δίνεται από τον τύπο w w... w F 1 N = 1 1 w w 4... w N, (15..) N όπου ισχύει 1 w w N... w F 1 N = 1 N F N. Σημειώνουμεότιοιείσοδοιτωνπινάκων F N και F 1 N αριθμούνταιαπό0έως N 1, δηλαδήτοπάνωαριστεράστοιχείοείναιτο(0,0)(καιόχιτο (1,1))καιτοκάτωδεξιάείναι το (N 1,N 1)(καιόχιτο (N,N)). Επί παραδείγματι, ο πίνακας Fourier τάξης και ο αντίστροφός του δίνονται από [ ] [ ] 1 1 F =, F 1 = 1 1 1, ενώοπίνακας Fourierτάξης4καιοαντίστροφόςτουαπό i 1 i F 4 = , F 1 4 = 1 1 i 1 i i 1 i 1 i 1 i

6 474 ΚΕΦΑΛΑΙΟ15. ΔΙΑΚΡΙΤ ΟΣΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ FOURIER Μετηβοήθειατωνπινάκων F N και F 1 N διατυπώνονταιστηνακόλουθηπρότασηισοδύναμοιορισμοίγιατον DFTκαιτοναντίστροφότου,όπουοιακολουθίες f(n)και F(k) (n, k = 0,1,...,N 1)θεωρούνταιωςδιανύσματαστήλες(δηλαδή N 1πίνακες). Πρόταση (DFT και αντίστροφος DFT με χρήση του πίνακα Fourier) Εστω f(n) (n = 0,1,...,N 1)ακολουθίαμιγαδικώναριθμών, F(k) (k = 0,...,N 1) ο DFTαυτήςκαι f = [f(1) f()... f(n)] T και F = [F(1) F()... F(n)] T οιαντίστοιχοι N 1πίνακες.Τότεισχύουν F = F N f και f = F 1 N F. (15..3) Απόδειξη. Υπολογίζοντας τα γινόμενα πινάκων που εμφανίζονται στις(15..3) λαμβάνουμε και F(k) = f(n) = 1 N f(n)ξ nk, k = 0,1,...,N 1, F(k)w nk, n = 0,1,...,N 1, δηλαδή επανευρίσκουμε τους τύπους(15.1.1) και(15.1.). Παράδειγμα15..1 Υπολογίστετον DFTτου f = [ ] T. Λύση. Από την(15..3) ευρίσκουμε i 1 i F = F 4 f = i 1 i = Παράδειγμα15.. Υπολογίστετοναντίστροφο DFTτου F = [3 0 6] T.

7 15.3. ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣ DFT 475 Λύση. Από την(15..3) έχουμε i 3 1 i 3 f = F 3 F = i 3 1 +i = 3 i 3 i 3. Οι(15..3) σε συνδυασμό με την ιδιότητα F 1 N X = 1 N F N X = 1 N F N X. (15..4) προσφέρουν επίσης έναν αποδοτικό τρόπο υπολογισμού του αντιστρόφου DFT, όταν υπάρχει διαθέσιμο κάποιο πρόγραμμα(αλγόριθμος) υπολογισμού του DFT. Πιο συγκεκριμένα, όταν έχουμε ένα πρόγραμμα progdft, το οποίο υλοποιεί έναν αλγόριθμο υπολογισμού του DFT, τότε με το ίδιο πρόγραμμα υπολογίζουμε με τη βοήθεια της (15..4) και τον αντίστροφο DFT x ενός διανύσματος X, εφαρμόζοντας τη διαδικασία 1)Υπολογισμός X. )Υπολογισμόςτου DFT Yτου Xθέτονταςτηνείσοδο Xστο progdft. 3)Οαντίστροφος DFT xπροκύπτειως 1 N Y Ιδιότητες DFT Οι ακόλουθες βασικές ιδιότητες του DFT προκύπτουν ως άμεσες συνέπειες του ορισμού του μετασχηματισμού. Γραμμικότητα f 1 (n) F 1 (k) και f (n) F (k) a 1 f 1 (n)+a f (n) a 1 F 1 (k)+a F (k), (15.3.1) όπου a 1,a αυθαίρετεςσταθερές. Συμμετρία f(n) F(k) 1 F(n) f( k). (15.3.) N

8 476 ΚΕΦΑΛΑΙΟ15. ΔΙΑΚΡΙΤ ΟΣΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ FOURIER Χρονικήμετατόπιση Μετατόπισησυχνότητας f(n) F(k) f(n n 0 ) F(k)e iπkn 0/N. (15.3.3) Συνέλιξηστοχρόνο f(n) F(k) e iπnk 0/N f(n) F(k k 0 ). (15.3.4) Ορισμός Εστωδύοακολουθίες f 1 (n)και f (n)(n Z),οιοποίεςείναι N-περιοδικές για δοσμένο(σταθεροποιημένο) N, δηλαδή ισχύουν f λ (n+n) = f λ (n), n Z, λ = 1,. Τότε,ηακολουθία f 1 f,ηοποίαορίζεταιαπότοντύπο (f 1 f )(n) = m=0 ονομάζεταισυνέλιξητων f 1 και f. f 1 (m)f (n m), n = 0,1,...,N 1, (15.3.5) Η ιδιότητα της συνέλιξης στο χρόνο εκφράζεται από το ακόλουθο Θεώρημα Υπό τις προϋποθέσεις του Ορισμού , ισχύει (f 1 f )(n) F 1 (k)f (k), (15.3.6) όπου F 1 (k)και F (k)είναιοι DFTτωνακολουθίων f 1 (n)και f (n). Απόδειξη. Με τη βοήθεια των(15.1.) και(15.3.5) υπολογίζουμε (f 1 f )(n) = 1 N = 1 N m=0 ( F 1 (k)e ) πimk/n j=0 F (j)f 1 (k)e πinj/n 1 N j=0 F (j)e πi(n m)j/n m=0 e πim(k j)/n. Ομως, ισχύει 1 e πim(k j)/n = N m=0 { 0, k j 1, k = j

9 15.3. ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣ DFT 477 και έτσι λαμβάνουμε (f 1 f )(n) = 1 N F (k)f 1 (k)e πink/n, η οποία, βάσει του ορισμού(15.1.) του αντιστρόφου DFT, αποδεικνύει τον ισχυρισμό. Συνέλιξηστησυχνότητα Υπό τις προϋποθέσεις του Ορισμού , ισχύει η συνεπαγωγή f 1 (n) F 1 (k) και f (n) F (k) (f 1 f )(n) = f 1 (n)f (n) 1 N (F 1 F )(k). (15.3.7) Τέλος, διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε το ακόλουθο βασικό θεώρημα, το οποίο είναι ιδιαίτερα χρηστικό στη μελέτη εφαρμογών της Θεωρίας Σημάτων Θεώρημα (Θεώρημα Parseval για τον DFT) Γιατιςμιγαδικέςακολουθίες f 1 (n)και f (n)(n = 0,1,...,N 1)καιτουςαντίστοιχους DFT F 1 (k)και F (k)(k = 0,1,...,N 1)αυτών,ισχύει f 1 (n)f (n) = 1 N F 1 (k)f (k). (15.3.8) Απόδειξη. Με τη βοήθεια των(15.1.1) και(15.1.), υπολογίζουμε f 1 (n)f (n) = = 1 N = 1 N = 1 N f 1 (n) 1 N f 1 (n) F (k) F 1 (k)f (k). F (k)e πink/n F (k)e πink/n f 1 (n)e πink/n

10 478 ΚΕΦΑΛΑΙΟ15. ΔΙΑΚΡΙΤ ΟΣΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ FOURIER Οτύπος(15.3.8)για f 1 = f = fοδηγείστον m=0 f(m) = 1 N ο οποίος συνήθως αναφέρεται ως τύπος Parseval. F(k), (15.3.9) 15.4 Εφαρμογές DFT Στην παράγραφο αυτή επεξεργαζόμαστε ορισμένα παραδείγματα υπολογισμών του DFT και του αντιστρόφου του καθώς επίσης και ορισμένες αντιπροσωπευτικές εφαρμογές. Παράδειγμα Βρείτετον DFTτης g(n) = (f f)(n),όπου f(n) : 1,1,0,0. Λύση.Ο DFTτης f = [1100] T υπολογίζεται,μετηβοήθειατης(15..3),όπωςακολουθεί i 1 i 1 F = F 4 f = = 1 i 1 i 0 1 i 0, 1+i οπότε και άρα F(k) :,1 i,0,1+i, F(k)F(k) : 4,(1 i),0,(1+i). Ετσι, εφαρμόζοντας την(15.3.6), ευρίσκουμε ότι ο DFT G(k) της g(n) δίνεται από G(k) : 4, i,0,i. Παράδειγμα Βρείτε τον DFT της σταθερής ακολουθίας f(n) = 1, n = 0,...,N 1.

11 15.4. ΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ DFT 479 Λύση. Με τη βοήθεια του ορισμού(15.1.1), υπολογίζουμε F(k) = e πink/n = { 0, n 0 N, n = 0 : N,0,...,0, k = 0,...,N 1. Παράδειγμα Βρείτε τον DFT της ακολουθίας f(n) = e πink 0/N, n = 0,...,N 1, όπου k 0 (σταθεροποιημένος)ακέραιοςμε 0 k 0 < N. Λύση. Η ακολουθία f(n) με τη βοήθεια της σταθερής ακολουθίας g(n) = 1, n = 0,...,N 1 γράφεται f(n) = e πink 0/N g(n). Ετσι, από την ιδιότητα μετατόπισης συχνότητας(15.3.4), έχουμε f(n) G(k k 0 ). Εξάλλου, σύμφωνα με το προηγούμενο παράδειγμα, ο DFT G(k) της g(n) δίνεται από και επομένως ευρίσκουμε G(k) : N,0,...,0, k = 0,...,N 1, F(k) = G(k k 0 ) = { 0, k k0 N, k = k 0. Παράδειγμα Υπολογίστε τον DFT κάθε μίας από τις ακολουθίες (i) f(n) : 1,0,...,0, n = 0,1,...,N 1. (ii) g(n) : 0,1,...,0, n = 0,1,...,N 1.

12 480 ΚΕΦΑΛΑΙΟ15. ΔΙΑΚΡΙΤ ΟΣΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ FOURIER Λύση. (i) Από το Παράδειγμα 15.4., έχουμε 1,1,...,1 N,0,...,0, οπότε, από την ιδιότητα συμμετρίας(15.3.) του DFT, συμπεραίνουμε 1,0,...,0 1,1,...,1, δηλαδή ισχύει F(k) = 1, k = 0,1,...,N 1. (ii) Παρατηρούμε ότι g(n) = f(n 1) : 0,1,...,0. Εξάλλου, από την ιδιότητα μετατόπισης στο χρόνο(15.3.3) του DFT, έχουμε f(n 1) F(k)e iπk/n, οπότε, συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες σχέσεις, ευρίσκουμε G(k) = e iπk/n, k = 0,1,...,N 1. Παράδειγμα Προσδιορίστε την ακολουθία g υπό τις προϋποθέσεις f g {15, i 3,i 3} και f {5, 1 i 3, 1+i 3}. Λύση. Από την ιδιότητα συνέλιξης στο χρόνο(15.3.6) του DFT, για την ακολουθία h(n) = f(n) g(n)έχουμε από την οποία προκύπτουν G(k) = F(k)G(k) F(k) = H(k) F(k), k = 0,1,, δηλαδή G(0) = H(0) F(0) = 15 5 = 3, G(1) = H(1) F(1) = i 3 1 i 3 = 3+i 3, G() = H() F() = i 3 1+i 3 = 3 i 3, G(k) : 3, 3+i 3, 3 i 3, k = 0,1,.

13 15.4. ΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ DFT 481 Ετσι, από την(15..3), ευρίσκουμε i 3 1 i 3 δηλαδή g = F 1 3 G = i 3 1 +i 3 g(n) :,0, i 3 3 i 3 = 0 1, Παράδειγμα Εστωf(n), n = 0,...,δοσμένηακολουθίαμιγαδικώναριθμών και F(k)οDFTτης f(n)με F(k) 0, k = 0,...,N 1.Προσδιορίστετηνακολουθία h(n) ότανείναιγνωστόςοdft G(k)τηςακολουθίας g(n) = h(n) f(n). Λύση. Από την(15.3.6), έχουμε G(k) = H(k)F(k), k = 0,...,N 1, όπου H(k)οDFTτηςακολουθίας h(n),οπότε H(k) = G(k) F(k), και έτσι η h(n) προσδιορίζεται από τον αντίστροφο DFT της H(k). Παράδειγμα (Κρουστική απόκριση γραμμικών συστημάτων) Θεωρούμεέναγραμμικόσύστημαμεείσοδομίαακολουθία f(n), n = 0,...,N 1καιαντίστοιχηακολουθίαεξόδου g(n), n = 0,...,N 1,ηοποίαορίζεταιως g(n) = f(n) h(n). Προσδιορίστετηνείσοδο f(n)έτσιώστε G(k) = H(k) 0, k = 0,1,...,,όπου G(k) και H(k)οι DFTτων g(n)και h(n). Λύση. Εφαρμόζοντας την(15.3.6) και την υπόθεση, έχουμε G(k) = H(k)F(k) = H(k), k = 0,...,N 1, οπότε F(k) = 1, k = 0,...,N 1, η οποία, λόγω του αποτελέσματος του Παραδείγματος , συνεπάγεται f(n) : 1,0,...,0, n = 0,...,N 1.

14 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ15. ΔΙΑΚΡΙΤ ΟΣΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ FOURIER Παράδειγμα (Φιλτράρισμα συχνοτήτων) Εστωότιηακολουθία f(n), n = 0,...,N 1,προκύπτειαπόδειγματοληψία Nδειγμάτων τηςσυνάρτησηςαναλογικούσήματος cos(πmt), m N, m < N. Τότε,αποδείξτεότιο DFTτης f(n)είναιο F(k) = { N, k = m, k = N m 0, k m,n m. Λύση. Από την υπόθεση έχουμε f(n) = cos(πmn/n), οπότε, από τον ορισμό(15.1.1) του DFT, ευρίσκουμε F(k) = = 1 = 1 = { N cos(πmn/n)e πikn/n = e πin(m k)/n + 1 ( e πi(m k)/n) n + 1, k = m,k = m 0, k ±m, e πin( m k)/n ( e πimn/n +e πimn/n (e πi( m k)/n) n ) e πikn/n και έτσι ο ισχυρισμός επιβεβαιώνεται με τη βοήθεια της N-περιοδικότητας του DFT Ασκήσεις Άσκηση Υπολογίστε (i) τον DFT της ακολουθίας f(n) :,3, 1,1 (ii) τον αντίστροφο DFT της ακολουθίας F(k) : 5,3 i, 3,3+i.

15 15.5. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 483 Άσκηση15.5. ΔείξτεότιγιατονDFT F(k)τηςπραγματικήςακολουθίαςf(n), n = 0,1,...,N 1ισχύει F(N k) = F(k), k = 0,1,...,N 1. Άσκηση Υπολογίστε τους DFT των ακολουθιών ( ) 4π (i) f(n) = cos N n, n = 0,1,...,N 1 (ii) ( 4π g(n) = cos N n π ), n = 0,1,...,N 1. 4 Άσκηση Υπολογίστε τους DFT των ακολουθιών ( ) 4π (i) f(n) = sin N n, n = 0,1,...,N 1 (ii) ( ) 4π g(n) = sin N n θ, n = 0,1,...,N 1. Άσκηση Υπολογίστετον DFT F(k)τηςακολουθίας f(n), n = 0,1,...,N 1,όπουτο Nείναιάρτιοςκαι { 1, nάρτιος f(n) = 0, n περιττός και εξετάστε αν η ακολουθία F(k) είναι πραγματική. Άσκηση (i) Υπολογίστε τον αντίστροφο DFT της ακολουθίας { 1, k = 4 F(k) = 0, k 4, k = 0,1,...,9. (ii) Υπολογίστε τον DFT της ακολουθίας ( ) π g(n) = cos N mn, m,n = 0,1,...,N 1.

16 Βιβλιογραφία [1] E. K. Blum and S. V. Lototsky, Mathematics of Physics and Engineering, World Scientific Publishing Co., Singapore, 006. [] V. Britanak, P. Yip and K. R. Rao, Discrete Cosine and Sine Transforms, Elsevier, Oxford, 007. [3] C. D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, 000. [4] B. Osgood, Lecture Notes for the Fourier Transform and its Applications, Department of Electrical Engineering, Stanford University,