Έργο Ενέργεια Παραδείγµατα

ΦΥΣ 131 - Διαλ.17 1 Έργο Ενέργεια Παραδείγµατα

Mn Επανάληψη Έργο δύναμης W = Έργο συνισταμένης δυνάμεων W = E "#$ Βαρυτική δυναμική ενέργεια U g " 1 2 F d r Ελαστική δυναμική ενέργεια U " = 1 2 kx 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.17 2 Θεώρημα έργου-ενέργειας Μηχανική ενέργεια Διατήρηση μηχανικής ενέργειας E µ". = E #$% + &U E kn + U = 0 συντηρητικές δυνάμεις Συντηρητικές δυνάμεις W = "U, F(x) = #U #x, U(x) = F $ dx Διατήρηση ενέργειας Ισχύς E "#$ + U = W µ% -&'$(%). dw dt = F " Προσοχή στο πρόσημο Είδη Ισορροπίας: Ευσταθής (U ελάχιστο) Ασταθής (U μέγιστο) Αδιάφορη (U σταθερή, F=0)

Στρατηγική για λύση προβλημάτων Ø Βρίσκουµε τη κατάσταση µηδενικής δυναµικής ενέργειας Ø Αν στο σύστηµα δρουν τριβή ή αντίσταση του αέρα ή µέσου τότε η µηχανική ενέργεια δεν διατηρείται Χρησιµοποιούµε τη µέθοδο για έργο µη συντηρητικών δυνάµεων Ø Αν η µηχανική ενέργεια ενός συστήµατος διατηρείται τότε γράφουµε E µ" f E µ" = E #$% f = E #$% + U + U f για την αρχική κατάσταση για την τελική κατάσταση Αφού η µηχανική ενέργεια διατηρείται µπορούµε να λύσουµε προς τις άγνωστες ποσότητες του προβλήµατος Ø Αν υπάρχουν µη-συντηρητικές δυνάµεις ορίζουµε το αποµονωµένο σύστηµα και την αρχική και τελική κατάσταση του συστήµατος ΦΥΣ 131 - Διαλ.17 3 ü Χρησιµοποιούµε τη βαρυτική και την ελαστική δυναµική ενέργεια αν υπάρχει δύναµη επαναφοράς ή βαρυτική δύναµη ü Εν γένει, αν περισσότερες δυνάµεις δρουν στο σύστηµα πρέπει να γράφουµε τη δυναµική ενέργεια που προέρχεται από κάθε δύναµη Ø Βρίσκουµε τη κατάσταση της µηδενικής δυναµικής ενέργειας όπως πριν Ø Η διαφορά τελικής αρχικής ενέργειας είναι το έργο της µη συντηρητικής δύναµης

ΦΥΣ 131 - Διαλ.17 4 Παράδειγµα Αφήνουµε µια µπάλα να πέσει από ύψος h Οι αρχικές συνθήκες του προβλήµατος είναι: E µ" = E #$% + U = U = mgh αφού υ = 0 Η κατάσταση µε µηδενική δυναµική ενέργεια είναι αυτή στο έδαφος Αν εφαρµόσουµε διατήρηση της µηχανικής ενέργειας σε ένα ενδιάµεσο σηµείο σε ύψος y από το έδαφος θα έχουµε: 1 2 m 2 + mgy = mgh

ΦΥΣ 131 - Διαλ.17 5 Παράδειγµα - Εκκρεµές Καθώς το εκκρεµές αιωρείται, υπάρχει µια διαρκής εναλλαγή µεταξύ της δυναµικής και κινητικής ενέργειας. Στο σηµείο Α, η ενέργεια είναι µόνο δυναµική. Στο σηµείο Β, η δυναµική ενέργεια έχει µετατραπεί σε κινητική. Θεωρώ το σηµείο αυτό σα σηµείο U=0 Στο σηµείο C, η κινητική ενέργεια είναι πάλι µηδέν και έχουµε µόνο δυναµική ενέργεια

ΦΥΣ 131 - Διαλ.17 6 Παράδειγµα Βρείτε το έργο που παράγεται από την βαρύτητα στην µάζα του εκκρεµούς όπως αυτή κινείται προς το χαµηλότερο σηµείο F g = (0,mg) "#$ d x = Ld%(cos%,sn%) 0 0 L W = $ "mglsn#d# = mglcos# θ h m # # = mgl(1" cos#) = mgh F " d x = #mglsn$d$ To ίδιο σα να είχαμε ρίξει τη μάζα ένα ύψος h Ø Ποια η ταχύτητα στο χαµηλότερο σηµείο? E A "# + U A = E B "# + U B $ 0 + U A = E B "# + 0 $ T mg 0 + mg(l Lcos") = 1 2 m# 2 A + 0 $ A = 2gL(1" cos#) Ø Η τάση στο χαµηλότερο σηµείο; 2 m$ m2gl(1 " cos# ) TB " mg = TB = mg + L L T = mg(3 " 2 cos ) B

ΦΥΣ 131 - Διαλ.17 7 Παραδείγματα q Χάντρα που γλιστρά πάνω σε σύρμα χωρίς τριβή. Ποια η ταχύτητα της χάντρας στο σημείο Α αν αφήνεται από ύψος h = 3.5. h v Λύση Α Διαλέγουμε την θέση y=0 σα τη θέση U(0)=0 Στην αρχική θέση v=0, U=mgh, E κ = 0 E µ" = U g + E #$% = mgh = 3.5mg Σύμφωνα με την διατήρηση της μηχανικής ενέργειας, στο σημείο Α θα ισχύει Ε Α =Ε άρα y=0 3.5mg = 1 2 mv2 + 2mg v A = 3g Ø Ποια είναι η κάθετη δύναμη (Ν) στη χάντρα στο σημείο Α? 2 mv A F = mar, N( rˆ) + mg( rˆ) = ( rˆ) rˆ Αυτό θα μας δώσει N = 2mg N mg Αν διαλέγαμε την αντίθετη κατεύθυνση για την κάθετη δύναμη τότε N(+ r ˆ ) + mg(ˆ r ) = m3g(ˆ r ) " N = 2mg Που σημαίνει ότι η κάθετη δύναμη έχει αντίθετη διεύθυνση

y Παράδειγµα ελατήρια και ενέργεια q Ρίχνουµε από ύψος h µια µπάλα µάζας m σε ένα ελατήριο σταθερής k. Ποια είναι η µέγιστη συµπίεση που θα υποστεί το ελατήριο x h k Y k y 1 =h y 2 =0 y 3 =? ΦΥΣ 131 - Διαλ.17 8 Προσθέτουµε την ελαστική ενέργεια ελατηρίου και τη δυναµική ενέργεια λόγω βαρύτητας: 1 2 mv 2 1 + mgy 1 + 1 2 kx 2 1 = 1 2 mv 2 3 + mgy + 1 2 ky 2 Οι αρχικές συνθήκες είναι: v 1 = 0, x 1 = 0, v 3 = 0, y 3 =Y=?, οπότε mgh = mgy + 1 2 ky 2 y = "mg ± m2 g 2 + 2k(mgh) Το (-) θα δίνει το y max k Aν ξέρουµε το k µπορούµε να βρούµε το Υ ή το ανάποδο Ας δούµε την δυναµική ενέργεια σε ελατήριο γραφικά Θα πρέπει να ναι αρνητικό Ε ολική x=0 Πλήρη επιµήκυνση U=1/2 kx 2 Για µή συντηρητικές δυνάµεις: W net = W "#$. + W µ%&"#$. 2 W "#$ = F ' d l = &(U ) 1 (E *+# = &(U + W µ%&"#$ -x 0 Ε κιν. =1/2mv 2 x 0 (E *+# + (U = W µ%&"#$

Παράδειγµα q Δίνουµε στη µάζα µια µικρή ώθηση και αρχίζει να κινείται Σε ποια γωνία θα αφήσει την σφαίρα. ΛΥΣΗ Δh θ Εποµένως θέλουµε: Μια κανονική δύναµη που δρα στο σώµα και έχει φορά προς τα έξω. mg cos " # = m v2 Η µάζα φεύγει από την σφαίρα όταν Ν=0. Από αρχή διατήρησης της ενέργειας (ΔΕ κιν +ΔU=0) 1 2 mv2 = mgh = mg(1 " cos#) $ mv 2 = 2mg(1 " cos#) mg cos = 2mg(1 " cos) Η εξίσωση της ακτινικής δύναµης θα ναι: mg cos = m v2 (Α) ΦΥΣ 131 - Διαλ.17 9 και από (Α) θα έχουµε: # cos = 2 " 2 cos # cos = 2 3 # = 48.2

Παράδειγµα ΦΥΣ 131 - Διαλ.17 10 Να βρεθεί το έργο που παράγεται σε 2 διαφορετικά αδρανειακά συστήματα για σώμα που επιταχύνεται με επιτάχυνση α από τη θέση ηρεμίας ως προς (α) Ακίνητο σύστημα (β) Κάποιο που κινείται με ταχύτητα v. (α) Ακίνητο σύστημα F = ma d = 1 2 at 2 (v = 0, v f = at) 0 W = Fd = (ma)( 1 2 at 2 ) = 1 2 m(at)2 = 1 2 m(v 2 f " v 2 ) = 1 2 mv 2 f = #E $%& (β) Κινούμενο σύστημα d = vt + 1 2 at 2, F = ma (v = v, v f = v + at) W = Fd = (ma)(vt + 1 2 at 2 ) = mavt + 1 2 m(at)2 (1) Αλλά E "#$ = 1 2 m(v 2 f % v 2 ) = 1 2 m(v + at)2 % 1 2 mv2 = 1 2 m(v2 + (at) 2 + 2vat) % 1 2 mv2 "E #$% = mvat + 1 2 m(at)2 (2) Από (1) και (2) έχουµε W=ΔΕ κιν q W και ΔΕ κιν δεν έχουν την ίδια μορφή όπως στο ακίνητο σύστημα αλλά είναι και πάλι ίσα μεταξύ τους.

Παράδειγµα Το ακόλουθο πρόβληµα µπορεί να λυθεί είτε µε χρήση των νόµων του Newton ( F=mα ) ή Διατήρηση ενέργειας. Ένα µικρό τµήµα σχοινιού κρέµεται προς τα κάτω µέσα από µια τρύπα σε λείο τραπέζι. Το σκοινί πέφτει µέσω της τρύπας. L Λύση με F = mα Λύση µε διατήρηση της ενέργειας ΦΥΣ 131 - Διαλ.17 11 Ποια η ταχύτητά του τη στιγµή που έχει περάσει πλήρως από την τρύπα? Θεωρούµε την επιφάνεια του τραπεζιού σαν ύψος 0. # U + K = U f + K f 0 + 0 = mg " L & $ % 2 ' ( + 1 2 mv2 v = gl Έστω τη χρονική στιγµή t το σχοινί έχει πέσει κατά µήκος x Έστω ακόµα ότι το σχοινί έχει γραµµική πυκνότητα ρ=m/l è m = ρl Η δύναµη που κινεί το σχοινί είναι το βάρος του τµήµατος που κρέµεται F = ma = m g m m F = m " g = (#L)a ("x)g = ("L)a L v g # xdx = # Lvdv " 0 "xg = "L( dv dx dx dt ) σ είναι το αρχικό πολύ μικρό μήκος που το σχοινί κρέμεται μέσο ύψος που έπεσε το σχοινί m η συνολική μάζα του σχοινιού m=ρl και m αυτή που κρέμεται ~0 g L2 2 " g # 2 2 = L v2 2 v = gl = L(v dv dx ) "