8.3 Σχετική τοπολογία και υπόχωροι. Ορισμός.37. Έστω X, τ.χ. Αν U : U X, τότε η οικογένεια είναι μια τοπολογία στο σύνολο, η οποία ονομάζεται η σχετική ( ή επαγόμενη ) τοπολογία του. Ο χώρος, ονομάζεται υπόχωρος του X. Είναι εύκολο να εξακριβώσουμε ότι η το επειδή είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και και X. Το γεγονός ότι είναι κλειστή για αυθαίρετες ενώσεις και πεπερασμένες τομές έπεται από τις ισότητες U a Ua και aj aj Τα μέλη της....... U U U U λέγονται ότι είναι ανοικτά ως προς η σχετικά ανοικτά ως προς Παραδείγματα.38. ) Έστω X R με τη συνήθη τοπολογία και,. Τα ακόλουθα σύνολα είναι ανοικτά ως προς : (α) (β) όλα τα ανοικτά διαστήματα του R, που περιέχονται στο,, (γ) όλα τα διαστήματα της μορφής, a, a. Τα σύνολα, και είναι ανοικτά και συγχρόνως κλειστά ως προς. Παρατηρούμε ότι ένα ανοικτό ( ή κλειστό ) ως προς σύνολο δεν είναι απαραίτητα ανοικτό (ή κλειστό ) στο χώρο R. ) Στο σύνολο των πραγματικών R, επισυνάπτουμε δύο σημεία,, θεωρούμε εκείνη την τοπολογία e στο σύνολο R R και, η οποία έχει ως υποβάση τα σύνολα της μορφής:, a R : a και a, R : a για a R. Ο τοπολογικός χώρος R, e ονομάζεται η επεκτεταμένη ευθεία των πραγματικών αριθμών.
9 Είναι απλό να ελέγξουμε ότι η σχετική τοπολογία του R θεωρούμενου ως υποχώρου του R, e ταυτίζεται με την συνήθη τοπολογία του R. Σημείωση: Αν ορίσουμε, για κάθε R, τότε το R είναι ένα ολικά διατεταγμένο σύνολο και για κάθε A R τα su A και if A πάντοτε υπάρχουν ( και ενδέχεται να είναι ίσα με ). Τα σύνολα ( διαστήματα ), a είναι περιοχές του και αντίστοιχα. 3) Έστω X, d μετρικός χώρος και X. Τότε: d d και a, Δηλαδή η σχετική τοπολογία του ταυτίζεται με την τοπολογία που επάγει στο ο περιορισμός της μετρικής από το X X στο. Παρατηρούμε πρώτα ότι οι,, d είναι της μορφής ανοικτές σφαίρες B του μετρικού χώρου B, B,, όπου ( γιατί; ). Η απόδειξη τώρα του ισχυρισμού είναι εύκολη. Έστω V τότε V U για κάποιο U. Αν V τότε U και άρα υπάρχει : B, B, V V ή B, V ένωση ανοικτών σφαιρών του, d και άρα V d. Αντίστροφα, αν V d τότε για κάθε V B, V. Δηλαδή, V B V V B V, d. d U και έτσι. Έπεται ότι το V γράφεται ως, υπάρχει ώστε και κατά συνέπεια 4) Ο υπόχωρος ενός υποχώρου του τοπολογικού χώρου X είναι υπόχωρος του X. ( η απόδειξη είναι απλή.) Πρόταση.39. Έστω X, τ.χ. και X. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα: (α) V είναι ανοικτό ως προς αν και μόνο αν V U για κάποιο για κάποιο U X ανοικτό. (β) A είναι κλειστό ως προς αν και μόνο αν A F για κάποιο F X κλειστό. (γ) Αν A τότε cla clxa, A' A', it A it A και Bd A Bd A. (δ) Αν U : a J είναι μία βάση ( αντίστοιχα υποβάση ) για την, τότε η a οικογένεια U : a J είναι μία βάση ( αντιστοίχως υποβάση ) για την. a Απόδειξη (α) Έπεται από τον ορισμό της σχετικής τοπολογίας
3 (β) A κλειστό ως προς \ A ανοικτό ως προς \ A U για U A X \ U με X \ U F κλειστό στο X. κάποιο (γ) Λαμβάνοντας υπόψιν τον χαρακτηρισμό της κλειστότητας ενός συνόλου και το γεγονός ότι A έχουμε: yclx A για κάθε περιοχή U του y ισχύει U A για κάθε περιοχή U του y ισχύει U A y cla Η δεύτερη ισότητα αποδεικνύεται ανάλογα ( όπου με A ' συμβολίζουμε το παράγωγο σύνολο του A στον χώρο, ) Οι άλλες δύο σχέσεις ελέγχονται εύκολα και έτσι αφήνονται ως άσκηση. (δ) Ομοίως και ο ισχυρισμός αυτός είναι εύκολος και αφήνεται ως άσκηση. Παρατηρήσεις.4. Έστω υπόχωρος του τ.χ. X. )Αν ο είναι ανοικτό υποσύνολο του X τότε U είναι ανοικτό ως προς U είναι ανοικτό στον X. Το αντίστοιχο αποτέλεσμα ισχύει αν ο είναι κλειστό υποσύνολο του X. ( Άσκηση.) )Αν τότε η N U : U N είναι το σύστημα των περιοχών του στον χώρο. Επίσης αν B είναι μια βάση περιοχών του στον χώρο X τότε η B U : U B είναι μια βάση περιοχών του στον χώρο. ( Άσκηση.) Παραδείγματα.4. ) Έστω X τ.χ., υπόχωρος του X και A τότε, it A it A ( Πρόταση.39 (γ) ). Εν γένει δεν ισχύει η ισότητα. Πράγματι έστω X, : R ο άξονας των και R το Ευκλείδειο επίπεδο, A, :,. Είναι τότε προφανές ότι it A και άρα X it ενώ it X A A. Άρα η ισότητα δεν ισχύει γενικά. A, ) Στο ευκλείδειο επίπεδο R οι πραγματικοί αριθμοί ταυτίζονται με το υποσύνολο (γραμμικό υπόχωρο) R του R. Είναι τότε απλό να εξακριβώσουμε ότι η σχετική τοπολογία στο (Συμπληρώστε τις λεπτομέρειες) R συμπίπτει με την συνήθη τοπολογία του R. Ασκήσεις )Έστω X, τ.χ., ακολουθία στον X και X. Διατυπώστε το «σωστό» ορισμό της σύγκλισης της στο. [Υπόδειξη: N : για κάθε περιοχή U του υπάρχει U ]. ) Έστω X,,, X τ.χ. και B, B βάσεις για τις και αντίστοιχα.
3 (α) Αποδείξτε ότι η οικογένεια X V : V B U X : U υποβάση και η B U U : U, U στον X X. Επίσης αποδείξτε ότι αν,, X X και, yx X τότε, y, y y (β) Έστω,,...,, είναι μια μία βάση για την τοπολογία γινόμενο X X y είναι μία ακολουθία στον και y. μία πεπερασμένη ακολουθία τ.χ. Να ορίσετε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο X X... X και να αποδείξετε ένα αποτέλεσμα αντίστοιχο του (α). (γ) Έστω X X... X R, με την συνήθη τοπολογία. Αποδείξτε ότι η ευκλείδεια τοπολογία στον χώρο R συμπίπτει με την τοπολογία γινόμενο σε αυτόν. 3) Θεωρούμε τον τοπολογικό s, s (α) Η οικογένεια B a, b : a, b R, b Q και a b (β) Η οικογένεια B a b a b Q a b R (= η ευθεία Sorgefrey). Αποδείξτε ότι:, b : bq a, : a R είναι μία υποβάση και η είναι μία βάση για την s. ( Όπου Q =οι ρητοί), :,, είναι βάση για μία τοπολογία στο R διαφορετική και από την συνήθη αλλά και από την S. (γ) Ο Rs, s έχει σε κάθε σημείο μία αριθμήσιμη βάση περιοχών. (δ) Κάθε διάστημα ab,, a, b R, a b είναι ανοικτό αλλά και κλειστό υποσύνολο του Rs, s. (ε) Η Ευκλείδεια τοπολογία είναι γνήσια μικρότερη της S. (στ) Χαρακτηρίστε τις συγκλίνουσες ακολουθίες στον τ.χ. R και αποδείξτε ότι S αυτές περιέχουν τις φθίνουσες και φραγμένες ακολουθίες πραγματικών. Είναι η ακολουθία, συγκλίνουσα στον R ; S 4) Έστω X, ολικά διατεταγμένο σύνολο ( για κάθε, a b ή b a ) με τουλάχιστον δύο στοιχεία. a b X με a b είτε Αν a, b X με a b, ορίζουμε το ανοικτό διάστημα, σύνολο a, b X : a b. Επίσης θέτομε, a X : a a, X : a για a X. Ανάλογα ορίζονται και τα διαστήματα a, b, a, b και, ab ως το και ab. Αποδείξτε ότι: (α) Η οικογένεια B όλων των διαστημάτων της μορφής, a και b,, a, b X είναι υποβάση για μια τοπολογία X στο X, την οποία ονομάζουμε τοπολογία της διάταξης (β) Η συνήθης τοπολογία του R ταυτίζεται με την τοπολογία της συνήθους διάταξης του R.
3 (γ) Σε ποιο από τα ακόλουθα υποσύνολα X R η τοπολογία X ( το X R θεωρείται ολικά διατεταγμένο με την επαγόμενη διάταξη από το R ) συμπίπτει με την σχετική τοπολογία από το R ( θεωρούμενο με την συνήθη τοπολογία ): R : ; N,, και 5) Θεωρούμε την επεκτεταμένη ευθεία R, e των πραγματικών αριθμών. Αποδείξτε ότι: (α) Ο R, e έχει αριθμήσιμη βάση (β) Η τοπολογία e συμπίπτει με την τοπολογία R (πρβλ άσκηση (4) (γ)). (γ) Έστω N : e R. Τότε για κάθε υπάρχει e. Αποδείξτε το αντίστοιχο αποτέλεσμα για. (δ) Αν A R τότε su A A. 6)Έστω B μία βάση για μια τοπολογία στο σύνολο X. Αποδείξτε ότι η είναι ίση με την τομή όλων των τοπολογιών επί του X οι οποίες περιέχουν την B. Αποδείξτε το ίδιο για μια υποβάση. 7)Αποδείξτε ότι οι ρητοί Q ως υπόχωρος του R ( με την συνήθη τοπολογία ) δεν έχουν την διακριτή τοπολογία. 8) Περιγράψτε την σχετική τοπολογία του μοναδιαίου κύκλου S z R : z του ευκλείδειου επιπέδου.