Nα δείξετε τις εξής προτάσεις:

Nα δείξετε τις εξής προτάσεις: i) Εάν ένα υλικό σηµείο µάζας m κινείται πάνω σ ένα άξονα x x, ώστε κάθε στιγµή η ταχύτητά του v και η αποµάκρυνσή του x ως προς µια αρχή Ο του άξονα, να ικανοποιούν τη σχέση: mv + kx = C όπου k, C θετικές και σταθερές ποσότητες, τότε το υλικό σηµείο αποτελεί µονοδιάστατο αρµονικό ταλαντωτή. ii) Η µεταβολή της κινητικής ενέργειας υλικού σηµείου µεταξύ δύο θέσεων της τροχιάς του, είναι ίση µέ το αντίστοιχο έργο της συνισταµένης των δυνάµεων πού δέχεται. iii) Εάν ένα υλικό σηµείο εκτελεί επίπεδη καµπυλόγραµµη κίνηση στην διάρκεια της οποίας η επιτάχυνσή του a διατηρείται σταθερή, τότε η µετατόπισή του s σε χρόνο t δίνεται από τη σχέση: s = v t + a t / όπου v η ταχύτητά του στην αρχή του χρόνου t. ΛΥΣΗ: i) Έστω ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt η αλγεβρική τιµή της ταχύτητας του υλικού σηµείου µεταβάλλεται κατά dv, ενώ η αντί στοιχη µεταβολή της αλγεβρικής τιµής της αποµάκρυνσής του είναι dx. Τότε θα ισχύουν οι σχέσεις: Σχήµα α. m(v + dv) + (x + dx) = C m (v + dv = vdv) + k (x + dx = xdx) = C

m v + mdv (dv + v) + k x + kdx (dx + x) = C (1) Όµως ισχύουν v+dv v και x+dx x οπότε η (1) γράφεται: m v + mvdv (dv + v) + k x + kxdx (dx + x) = C m v + mvdv + k x + kxdx = C mvdv + kxdx = mv dv dt + kx dx dt = mv dv dt + kxv = mv dv dt + kxv = m dv dt = -kx () Επειδή η ποσότητα mdv/dt αποτελεί την αλγεβρική τιµή F της συνισταµέ νης δύναµης που δέχεται το υλικό σηµείο, η () γράφεται: F = -kx (3) Η σχέση (3) εγγυάται ότι το υλικό σηµείο αποτελεί µονοδιάστατο αρµονικό ταλαντωτη. ii) Θεωρουµε ότι ένα υλικό σηµείο µετατοπίζεται από τη θέση Α 1 στη θέση Α της τροχιάς του (C )που είναι η καµπύλη γραµµή του σχήµατος (β). Κατά την µετατόπισή του αυτή το έργο της συνι σταµένης F " των δυνάµεων πού δέχεται είναι ίσο µε το άθροισµα των στοι χειώδων έργων της που αντιστοιχούν στις στοιχειώδεις µετατοπίσεις στις οποιές διαµερίζεται το τµήµα Α 1 A της τροχιάς του, δηλαδη θα έχουµε: W F " = # (F " ds"#$) = # (mads"#$) () (A 1 A ) (A 1 A ) Σχήµα β. Σχήµα γ. όπου a η επιτάχυνση του υλικού σηµείου κατά τον χρόνο dt που πραγµατο ποιεί την στοιχειώδη µετατόπισή του d s καί φ η γωνία των διανυσµάτων

F " και d s. Όµως το γινόµενο aσυνφ αποτελεί την αλγεβρική τιµή της επιτ ρόχιας επιτάχυνσης a του υλικού σηµείου στη θέση d s, η οποία είναι ίση µε dv/dt όπου dv η µεταβολή του µέτρου της ταχύτητάς του στο χρόνο dt Έτσι η σχέση () γράφεται: W F " = $ (ma # ds) = m $ (a # ds) = m $ (dv/dt)ds = m $ (vdv) (5) (A 1 A ) (A 1 A ) (A 1 A ) (A 1 A ) Γιά νά υπολογίσουµε το άθροισµα (vdv) θεωρούµε τη συνάρτηση f(v)=v, (A 1 A ) της οποίας η γραφική παράσταση είναι η ευθεία γραµµή τού σχήµατος (γ) (πρώτη διχοτόµος). Παρατηρούµε ότι, το άθροισµα αυτό εκφράζει το εµβαδόν του σκιασµένου τραπεζίου (v 1 v α α 1 ), δηλαδή ισχύει: (vdv) = "µ#(v 1 v $ $ 1 ) = (v + v 1 )(v - v 1 ) A 1 A Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) καί (6) παίρνουµε: = m(v - v 1 ) (6) W = m(v - v 1 ) F " = mv - mv 1 K A - K A 1 = W F " (7) H σχέση (7) εκφράζει την πρόταση που έπρεπε να αποδείξουµε η οποία είναι γνωστή ως θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου. iii) Έστω ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt η ταχύτητα του υλικού σηµείου µεταβάλλεται από v σε v + d v. Τότε θα ισχύει η σχέση: d v = a dt (8) H (8) εφαρµοζόµενη για τα στοιχειώδη χρονικά διαστήµατα dt 1, dt... dt n στα οποία διαµερίζεται ο χρόνος t δίνει για τις αντίστοιχες µεταβολές d v 1, d v,... d v n της ταχύτητας του υλικού σηµείου τις σχέσεις: d v 1 = a dt 1, d v = a dt,... d v n = a dt n Οι παραπάνω σχέσεις αθροιζόµενες κατά µέλη δίνουν: d v 1 + d v +... + d v n = a (dt 1 + dt +... + dt n ) v - v = a t v = v + a t (9) Εξάλλου εάν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt το υλικό σηµείο µετα τοπίζεται κατά d s θα ισχύει: d s = v (8) dt d s = ( v + a t)dt = v dt + a tdt (1)

Eάν η (1) εφαρµοσθεί για τα στοιχειώδη χρονικά διαστήµατα dt 1, dt...dt n και αθροισθούν κατά µέλη οι σχέσεις που θα προκύψουν, παίρνουµε: Σχήµα δ. Σχήµα ε. (d s ) = ( v dt) + ( a tdt) s = v (dt) + a (tdt) Για τον υπολογισµό του αθροίσµατος Σ(tdt) θεωρούµε την συνάρτηση f(t)=t της οποίας η γραφική παράσταση είναι η ευθεία γραµµή του σχήµατος (ε) (πρώτη διχοτόµος). Το εν λόγω άθροισµα είναι ίσο µε το εµβαδόν του σκια σµένου τριγώνου ΟΑt, δηλαδή ισχύει: (tdt) = "µ#(oat) = t / (11) Συνδυάζοντας τις (1) και (11) παίρνουµε την αποδεικτέα σχέση: s = v t + a t / P.M. fysikos Μικρό σφαιρίδιο µάζας m, είναι δεµένο στο άκρο λεπτού και µη εκτατού νήµατος το οποίο έχει περιελιχθεί στον λαιµό σταθερής τροχαλίας µάζας Μ και ακτίνας R. Aρχικά το σφαιρίδιο κρατείται σε θέση όπου το νήµα είναι χαλαρό και κάποι α στιγµή που θεωρείται ως αρχή του χρόνου αφήνεται ελεύθερο. i) Αν µετά από κατακόρυφη διαδροµή µήκους R το νήµα τεντώνε ται, να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της ταχύτητας του σφαι ριδίου σε συνάρτηση µε τον χρόνο, δινοντας όλες τις απαραίτητες εξηγήσεις ii) Nα δείξετε ότι, κατά το τέντωµα του νήµατος η ολική ενέργεια του συστήµατος µειώνεται. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περισ τροφής της είναι I=MR /. ΛΥΣΗ: i) To σφαιρίδιο από τη στιγµή που αφήνεται ελεύθερο (t=) µέχρι τη στιγµή λίγο πριν τεντωθεί το νήµα (t= R/g ) εκτελεί ελευθερη πτώση µε αποτέλεσµα το µέτρο της ταχύτητάς του v να µεταβάλλεται µε τον χρόνο t συµφωνα µε τη σχέση:

v = gt, t < R/g (1) Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt ) που διαρκεί το τέντωµα του νήµατος µπορούµε να ισχυριστούµε ότι, η ώθηση της ροπής του βάρους του σφαιριδί ου περί τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας είναι ασήµαντη (τείνει στο µη Σχήµα α. δέν) οπότε η στροφορµή του συστήµατος τροχαλία-σφαιρίδιο περί τον άξονα αυτόν δεν µεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει η σχέση: L "#$ %&"' = L (µ)*+, µ)-( mv * R + = mv R + MR / mv * R = mv R + MR v /R mv * = mv + Mv v = mv * m + M v m gr = m + M m gr = m + M όπου v * η ταχύτητα του σφαιριδίου λίγο πριν το τέντωµα του νήµατος, v η ταχύτητά του αµέσως µετά το τέντωµα και η αντίστοιχη γωνιακή ταχύ τητα της τροχαλίας, της οποίας το µέτρο είναι ίσο µε v /R. Το σφαιρίδιο στην συνέχεια θα κινείται υπό την επίδραση του βάρους του w και της τάσεως T του νήµατος και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: w - T = ma mg - T = ma (3) όπου a η επιτάχυνση του σφαιριδίου. Εξάλλου η ροπή περί τον άξονα περιστροφής της δύναµης T ' που δέχεται η τροχαλία από το νήµα προσδίδει σ αυτή γωνιακή επιτάχυνση ' για την οποία ισχύει ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: T'R = MR '/ T = MR'/ T = Ma / () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και () παίρνουµε: mg - Ma / = ma mg = ma + Ma ()

a = mg m + M < g (5) Η σχέση (5) εγγυάται ότι το σφαιρίδιο αµέσως µετά το τέντωµα του νήµατος εκτελεί οµαλά επιταχυνόµενη κατακόρυφη προς τα κάτω κίνηση µε επιτά χυνση µικρότερη κατά µέτρο από g, που σηµαίνει ότι κατά το στάδιο αυτό το µέτρο της ταχύτητάς του θα µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε τη σχέση: v = v + mgt, t > R/g (6) m + M Σχήµα β. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (6) µπορούµε για το µέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου να γράψουµε την συνάρτηση: " $ gt, t < R/g v = # v + mgt % $ m + M, t > R/g (7) H γραφική παράσταση της (7) αποδίδεται στο σχήµα (β). ii) H µηχανική ενέργεια του συστήµατος λίγο πριν το τέντωµα του νήµατος είναι η κινητική ενέργεια του σφαιριδίου, δηλαδή ισχύει: K "#$ %&'( = mv * = mgr = mgr (8) H µηχανική ενέργεια του συστήµατος αµέσως µετά το τέντωµα του νήµα τος είναι η κινητική ενέργεια του σφαιριδίου συν την κινητική ενέργεια της τροχαλίας, δηλαδή ισχύει: K µ"#$% µ&'( = mv + I$ = mv + MR $ = mv + Mv ( ) K µ"#$% µ&'( = 1 m gr$ # " m + M & % ( m + M) = m Rg m + M

K µ"#$% µ&'( = mgr m (8) $ # & " m + M% m $ K µ"#$% µ&'( = K )*+, -./ # & < K " m + M )*+, -./ % K µ"#$% µ&'( = m gh m + M = mgh 1 + M/m < mgh (3 ) K µ"#$% µ&'( < K )*+, -./ Παρατήρηση: Kατά το τέντωµα του νήµατος συµβαίνει ένα είδος πλαστι κής κρούσης µεταξύ του σφαιριδίου και της τροχαλίας, η οποία συνοδεύεται από µείωση της κινητικής ενέργειας του συστήµατος και µετατροπή της σε θερµότητα. P.M. fysikos Μια κοίλη σφαίρα µε λεπτά τοιχώµατα µάζας m και ακτίνας R είναι ακίνητη στο οριζόντιο δάπεδο µιας πλατφόρ µας οχήµατος, το οποίο παρουσιάζει µε τη σφαίρα συντελεστή ορια κής τριβής n. i) Nα βρεθεί η µέγιστη επιτάχυνση µε την οποία επιτρέπεται να ξε κινήσει η πλατφόρµα, ώστε η σφαίρα να κυλίεται στο δάπεδό της. ii) Eάν η επιτάχυνση της πλατφόρµας είναι ίση µε το µισό της τιµής που βρέθηκε προηγουµένως, να βρεθεί η µετατόπιση του κέν τρου της σφαίρας στο σύστηµα αναφοράς της πλατφόρµας σε χρόνο t * από την αναχώρησή της. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι η επιτάχυνση a της πλατφόρµας έχει µέτρο που εξασφαλίζει την κύλιση της σφαίρας πάνω στο δάπεδό της. Η σφαίρα δέχεται το βάρος της m g και την δύναµη επαφής από το δάπεδο, η οποία αναλύεται στην τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N. Η τριβή είναι στατική και έστω ότι η φορά της είναι αυτή που δείχνεται στο σχήµα. Η ροπή της τριβής ως προς το κέντρο C της σφαίρας προκαλεί περιστροφή αυτής περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το C και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στρο

φικής κίνησης θα ισχύει η σχέση: TR = I C ' TR = mr ' T = mr' (1) όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας. Όµως η τριβή προκαλεί και µεταφορική κίνηση της σφαίρας µε αποτέλεσµα το κέντρο µάζας της ν αποκ τά επιτάχυνση a C, η οποία σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νέυτωνα ικανοποιεί τη σχέση: T = ma C () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: mr'= ma C a C = R' (3) Εάν v C είναι η ταχύτητα του κέντρου C της σφαίρας στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους την χρονική στιγµή t και η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας, τότε το µέτρο της αντίστοιχης ταχύτητας v A του σηµείου επαφής Α της σφαίρας µε το δάπεδο της πλατφόρµας είναι: v A = v C + R () Eπειδή η σφαίρα κυλίεται, η σχετική ταχύτητα του σηµείου Α ως προς το δάπεδο της πλατφόρµας είναι µηδενική, που σηµαίνει ότι η ταχύτητα του Α στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους είναι ίση µε την αντίστοιχη ταχύτητα v της πλατφόρµας, δηλαδή ισχύει η σχέση: () v A = v v = v C + R (5) Παραγωγίζοντας την (5) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε τη σχέση: dv dt = dv C dt + R d dt (3) a = a C + R' a C = a / (6) Έτσι η σχέση () γράφεται: T = ma/ (7) Eπειδή η τριβή T είναι στατική, το µέτρο της ικανοποιεί τη σχέση: (7) T nn T nmg ma / nmg a ng a max = ng (8) ii) Αν a=a max /=ng, τότε η σφαίρα κυλίεται µε ασφάλεια στο δάπεδο της πλατφόρµας η δε σχετική επιτάχυνση a " του κέντρου C, ως προς το δάπεδο θα είναι:

a " = a C + (- a (6) ) a " = a C + a a " = a / + a/ = 3a/ (8) a " = 3a max / a " = 3ng/ (9) Άρα η σχετική* µετατόπιση S σχ του κέντρου C ως προς την πλατφόρµα σε χρόνο t * από την αναχώρησή της, θα δίνεται από τη σχέση: s " = a "t * (9) s " = 3ngt * P.M. fysikos Στις άκρες αβαρούς ράβδου µήκους L είναι στερεωµένα δύο σφαιρίδια µαζών m 1 και m. Το σύστηµα θεωρείται εκτός πεδίου βαρύτητας και µπορεί να στρέφεται περί σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από σηµείο Ο της ράβδου. i) Να καθοριστεί η θέση του σηµείου Ο, ώστε η ροπή αδράνειας του συστήµατος ως προς τον άξονα περιστροφής του να είναι ελάχιστη. ii) Να βρείτε την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σύστηµα, ώστε να στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα, ως προς τον άξονα ελάχιστης ροπής αδράνειας και τη δύναµη που δέχεται ο άξονας περιστροφής στην περίπτωση αυτή. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι ο άξονας περιστροφής του συστήµατος απέχει από το σφαιρίδιο µάζας m 1 απόσταση x, οπότε από το άλλο σφαιρίδιο θα απέχει απόσταση L-x. Η ροπή αδράνειας Ι του συστήµατος ως πρός τον θεωρούµενο άξονα είναι: I = m 1 x + m (L - x) I = m 1 x + m L + m x - m xl (m 1 + m )x - m Lx + m L - I = (1) Η (1) αποτελεί εξίσωση δεύτερου βαθµού ως προς x και πρέπει να έχει ρίζες πραγµατικές, δηλαδή η διακρίνουσα της πρέπει να είναι µη αρνητική, οπότε θα ισχύει: m L - (m 1 + m )(m L - I) m L m 1 m L + m L - (m 1 + m )I (m 1 + m )I m 1 m L I m 1 m L m 1 + m I min = m 1 m L m 1 + m () ------------------------------- * Tην µετατόπιση S σχ καταγράφει ένας παρατηρητής που βρίσκεται επί της πλατφόρµας και ισορροπεί ως προς αυτή.

Όταν όµως είναι I=I min η (1) θα έχει µια διπλή ρίζα που δίνεται από τη σχέση: m x * = L (3) m 1 + m Η σχέση (3) εγγυάται ότι η θέση του σηµείου Ο, για την οποία η ροπή αδρά νειας του συστήµατος είναι ελάχιστη ταυτίζεται µε το κέντρο µάζας του συστήµατος. Παρατήρηση: Η ποσότητα µ=m 1 m /m 1 +m ονοµάζεται ανηγµένη µάζα του συστήµατος και χρησιµοποιείται ευρέως σε προβλήµατα κίνησης συστήµατος δύο σωµάτων όταν εξετάζεται η σχετική κίνηση του ενός ως προς το άλλο, στην περίπτωση που η κίνηση αυτή διαµορφώνεται από την αλληλοεπίδρασή τους. ii) Όταν το σύστηµα µε εξωτερική επίδραση αποκτά σταθερή γωνιακή ταχύ τητα στρεφόµενο περί τον άξονα ελάχιστης ροπής αδράνειας, τότε η ενέργεια W που πρέπει να προσφερθεί σ αυτό είναι ίση µε την κινητική ενέργεια Κ του συστήµατος, δηλαδή ισχύει: W = K = I min () W = m 1 m L (m 1 + m ) () Tότε κάθε σφαιρίδιο θα δέχεται την επίδραση δύναµης επαφής από τη ράβδο, η οποία θα ενεργεί για το σφαιρίδιο ως κεντροµόλος δύναµη. Αυτό σηµαίνει ότι οι δυνάµεις F 1, F που δέχονται από τη ράβδο τα σφαιρίδια µε µάζες m 1, m αντιστοίχως θα έχουν φορέα την ράβδο, φορά προς το Ο και τα µέτρα τους θα ικανοποιούν τις σχέσεις: F 1 = m 1 x * " # F = m (L - x * ) $ (5) Όµως το κέντρο µάζας Ο του συστήµατος είναι ακίνητο, η δε ισορροπία του εξασφαλίζεται από τις δυνάµεις F 1, F αλλά και από την δύναµη F " που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής. Θα ισχύει εποµένως η σχέση:

F " + F 1 + F = F " = -( F 1 + F ) (6) Σύµφωνα µε το αξίωµα της ισότητας µεταξύ δράσης-αντίδρασης o άξονας πε ριστροφής θα δέχεται δύναµη επαφής F ' " από τη ράβδο, αντίθετη της F ", δηλαδή θα ισχύει: F ' " = - F (6) " F ' " = F 1 + F = F 1 r - F r = r (F 1 - F ) (7) όπου r το µοναδιαίο διάνυσµα της διεύθυνσης της ράβδου. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (7) παίρνουµε: F ' " = [m 1 # x * - m # (L - x * )] r = # [m 1 x * - m (L - x * )] r = διότι ισχύει m 1 x * =m (L-x * ), αφού το Ο είναι το κέντρο µάζας του συστήµα τος. Παρατηρούµε ότι ο άξονας, ως προς τον οποίο το περιστρεφόµενο σύστη µα παρουσιάζει την ελάχιστη ροπή αδράνειας δεν καταπονείται από την επα φή του µε την ράβδο. P.M. fysikos Oµογενής κύλινδρος µάζας m και ακτίνας R, κυλίεται επί δύο σταθερών κεκλιµένων ράβδων, των οποίων το επίπεδο σχηµατίζει γωνία φ=π/6 µε το οριζόντιο επίπεδο. O κύλιν δρος συνδέεται µε σώµα Σ µέσω αβαρούς και µη εκτατού νήµατος το οποίο έχει τυλιχθεί στην κεντρική περιοχή του κυλίνδρου και εφάπτεται της παράπλευρης επιφάνειάς του µένοντας συνεχώς κατακόρυφο, όπως φαίνεται στο σχήµα. Eάν η µάζα του σώµατος Σ είναι m/, να βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου µάζας του κυλίν δρου. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας I=mR / του κυλίνδρου, ως προς τον γεωµετρικό του άξονα. ΛYΣH: Ας δεχθούµε ότι ο κύλινδρος κυλίεται πάνω στις ράβδους κατερχό µενος και ότι το σώµα Σ ανέρχεται. Eπί του κυλίνδρου ενεργεί το βάρος του w, που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w x και την κάθετη προς αυτό συνιστώσα w, η δύναµη F από το κατακό ρυφο νήµα που αναλύεται στις αντίστοιχες συνιστώσες F x και F και τέλος οι αντιδράσεις των κεκλιµένων ράβδων, οι οποίες παρέχουν συνολική κάθε τη αντίδραση N και συνολική στατική τριβή T (σχήµα β). Eφαρµόζοντας για τη µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου το δεύτερο νόµο του Nεύτωνα παίρ νουµε τη σχέση: w x + F x - T = ma C mgµ" + Fµ" - T = ma C mg / + F / - T = ma C mg + F - T = ma C (1) όπου a C η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του κυλίνδρου. Eφαρµόζοντας εξάλλου για την περιστροφική κίνηση του κυλίνδρου το θεµελιώδη νόµο της

στροφικής κίνησης, έχουµε τη σχέση: TR - FR = I' R(T - F) = mr '/ T - F = mr'/ () όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου. Λόγω της κύλισης του κυλίν δρου ισχύει α C =ω R, οπότε η σχέση () γράφεται: T - F = ma C / (3) Σχήµα α. Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) και (3) παίρνουµε: mg + F - T T - F = mg + F - T = T - F mg + 3F = T T = mg + 3F () Σχήµα β. Εφαρµόζοντας εξάλλου για το σώµα Σ τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτω να παίρνουµε τη σχέση: F'- mg/ = ma / F - mg = ma (5)

όπου F ' η δύναµη που δέχεται το σώµα από το νήµα, η οποία είναι αντίθετη της F (τριτος νόµος του Νεύτωνα και νήµα αβαρές) και a η επιτάχυνση του σώµατος Σ. Όµως η επιτάχυνση a είναι ίση µε την επιτάχυνση του σηµείου A του νήµατος που εφάπτεται µε τον κύλινδρο, η οποία είναι ίση µε την εφαπτοµενική επιτάχυνση του σηµείου A κυλίνδρου, δηλαδή ισχύει η σχέση: a = a " - a Cx = 'R - a C #µ$ a = a C - a C / = a C / (6) όπου a η επιτρόχια επιτάχυνση του Α η οφειλόµενη στην περιστροφική κίνηση του κυλίνδρου και a Cx η συνιστώσα της a C κατά την διεύθυνση του νήµατος. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) έχουµε: F - mg = ma C / F = mg + ma C (7) H () λόγω της (7) γράφεται: T = mg + 3mg/ + 3ma C / = 1mg + 3ma C 16 (8) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (8) παίρνουµε: 1mg + 3ma C - mg 16 - ma C = ma C 1mg + 3ma C - 8mg - ma C = 8ma C mg = 9ma C a C = g/9 To θετικό πρόσηµο της και a C δηλώνει ότι η αρχική µας υπόθεση ότι ο κύλιν δρος κατέρχεται είναι αληθής. P.M. fysikos Ένας δίσκος µάζας m και ακτίνας R ανέρχεται κυλιόµενος επί κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ=π/6, µε την βοήθεια ενός σώµατος Σ µάζας m το οποίο κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω, όπως φαίνεται στο σχήµα. Το νήµα που έχει περιτυλιχθεί στο αυλά κι του δίσκου είναι αβαρές και µη εκτατό και επί πλέον δεν ολισ θαίνει καθώς ξετυλίγεται, ενώ η µάζα της τροχαλίας είναι αµελη τέα. Να βρεθούν: i) η επιτάχυνση του κέντρου µάζας της τροχαλίας και ii) η στροφορµή του δίσκου ως προς το ανώτατο σηµείο του Μ. Ισχύει για την στροφορµή αυτή ο νόµος της στροφορµής; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η ροπή αδρά νειας του δίσκου

ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του είναι I=mR /. ΛΥΣΗ: i) Επί του δίσκου ενεργεί το βάρος του w που ανάλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w x και την κάθετη προς αυτό συνιστώσα w, η τάση F του νήµατος και η δύναµη επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο, η οποία αναλύεται στην στατική τριβή T και την κάθετη αντίδραση N. Εξάλλου το σώµα Σ δέχεται το βάρος του w και την τάση F ' του κατακόρυφου νήµατος, η οποία έχει µέτρο ίσο µε το µέτρο της F, διότι η τροχαλία θεωρείται µε ασήµαντη µάζα. Εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση του δίσκου τον δεύτερο νόµο της κίνησης του Νευτωνα, παίρνουµε τη σχέση: F - T - w 1 = ma C F - T - wµ" = ma C F - T - wµ(" / 6) = ma C F - T - mg/ = ma C (1) όπου a C η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του δίσκου. Εφαρµόζοντας για την περιστροφική κίνηση του κυλιόµενου δίσκου τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, έχουµε: FR - TR = I' FR + TR = mr '/ F + T = mr'/ () όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου. Όµως λόγω της κύλισης του δίσκου ισχύει η σχέση a C =Rω, οπότε η () γράφεται: F + T = ma C / (3) Eξάλλου αν a είναι η επιτάχυνση του σώµατος Σ θα ισχύει, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα, η σχέση: w - F'= ma mg - F = ma () Ακόµη η επιτρόχια επιτάχυνση του ανώτατου σηµείου Μ του δίσκου έχει µέτρο a C αλλά και ίσο µε a Σ, οπότε η () γράφεται:

mg - F = ma C F = mg - ma C (5) Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: (5) F - mg/ = 3ma C / mg - 8ma C - mg/ = 3ma C / 8g - 16a C - g = 3a C a C = 7g/19 (6) ii) H στροφορµή του δίσκου περί το σηµείο Μ αυτού κατά µια τυχαία χρο νική στιγµή t, είναι ίση µε την αντίστοιχη στροφορµή του κέντρου µάζας του, στο οποίο θεωρούµε συγκεντρωµένη την µάζα m του δίσκου, συν την ιδιοστροφορµή του δίσκου, δηλαδή ισχύει η σχέση: ( v C ) + I L M = MC m " L M = - k mrv C + k mrv C / L M = - k mrv C + k mr / L M = - k mrv C / L M = - k (6) mra C t/ L M = -7 k mgrt/38 (7) όπου k το µοναδιαίο κάθετο στον δίσκο διάνυσµα, του οποίου η φορά θεω ρήθηκε κατά σύµβαση ίδια µε την φορά της γωνιακής του ταχύτητας. Πα ραγωγίζοντας ως πρός τον χρόνο t τη σχέση (7) παίρνουµε: d L M dt = -7 k mgr/38 (8) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουµε: F = mg - 8mg/19 = 1mg/19 (9) Συνδυάζοντας εξάλλου τις σχέσεις (1) (3) και (7) τελικώς παίρνουµε: T = -13mg/38 (1) όπου το αρνητικό πρόσηµο δηλώνει ότι η τριβή T έχει αντίθετη φορά από αυτή που φαίνεται στο σχήµα. Αν σχηµατίσουµε το άθροισµα των ροπών περί το σηµείο Μ, όλων των δυνάµεων που δέχεται ο δίσκος, θα έχουµε: " (M) = k w x R + k (1) TR " (M) = k mgr / + k (-6mgR / 38) " (M) = -7 k mgr/38 (11) Aπό τις (8) και (11) προκύπτει: d L M dt = " (M) (1)

Η σχέση (1) δηλώνει ότι ισχύει για την στροφορµή στροφορµής; L M ο νόµος της Σπουδαία παρατήρηση: To δεύτερο ερώτηµα θα µπορούσε να αποδειχθεί πολύ συντοµότερα αν χρησιµοποιήσουµε ένα πολύ σηµαντικό θεώρηµα που αφορά την στροφορµή στερεού περι µια αρχή και έχει την ακόλουθη διατύπωση: Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής στερεού σώµατος, θεωρού µενης περί µια αρχή Ο, είναι κάθε στιγµή ίσος µε την συνολική ροπή "# των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται το σώµα, περί την αρχή, αυτή µείον το εξωτερικό γινόµενο ( v O P ), όπου v O η ταχύτητα της αρχής Ο και P η ορµή του σώµατος ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς της κίνησης του σώµατος, δηλαδή ισχύει: d L O dt = "# - ( v O $ P ) (1) Στην περίπτωσή µας η αρχή περί την οποία αναφέρεται η στροφορµή είναι το ανώτατο σηµείο Μ του δίσκου, του οποίου η ταχύτητα στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους είναι v C, ενώ η ορµή του δίσκου στο σύστηµα αυτό είναι m v C, οπότε το εξωτερικό γινόµενο ( v C m v C ) είναι µηδενικό, µε αποτέλεσµα η (1) να δίνει: d L M dt = " (M) P.M. fysikos Oµογενής κύβος, ακµής α και µάζας Μ, βρίσκε ται πάνω σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο εφαπτόµενος µε µια έδρα του. Ένα σφαιρίδιο µάζας m, προσπίπτει κάθετα σε µια κατακό ρυφη έδρα του κύβου στο κέντρο αυτής µε ταχύτητα v και ανακ λάται µε ταχύτητα - v /. Εάν είναι αδύνατη η ολίσθηση του κύ βου, να βρέθει η ελάχιστη τιµή του µέτρου της v για την οποία αυτός ανατρέπεται. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι C =Μα /6 του κύβου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του και είναι κάθετος σε µια έδρα του. ΛΥΣΗ: Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt που διαρκεί η κρούση του σφαιριδί ου µε τον κύβο η στροφορµή του συστήµατος σφαιρίδιο-κυβος περί την ακµή Ο περιστροφής του δεν µεταβάλλεται, Αυτό οφείλεται στο ότι οι αντίστοιχες ωθήσεις των ροπών του βάρους W του κύβου και του βάρους w του σφαιρι δίου περί την ακµή Ο είναι ασήµαντες, ένω η ροπή της δύναµης επαφής που δέχεται ο κύβος από το οριζόντιο έδαφος είναι µηδενική, καθότι έχει αρχίσει η ανατροπή του κύβου περί την ακµή αυτή. Με βάση τα παραπάνω µπορούµε να γράψουµε τη σχέση:

(O) L "#$ %&"' = L (O) (µ)*+, µ)-( (O) L "#$ %&"' (O) = L (µ)*+, µ)-( mv + = - mv + I O " mv = [ I C + M(CO) ]" mv ( = M 6 + M " % * * $ # ' & ) + - -. mv, = M 3 " = 3mv 8M" (1) όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κύβου περί την ακµή του Ο αµέσως µετά την κρούση του µε το σφαιρίδιο ή το ίδιο κατά την έναρξη της περιστροφής του. Για να ανατραπεί ο κύβος πρέπει η κινητική ενέργεια που αποκτά κατά τον χρόνο Δt να επαρκεί, ώστε η ευθεία ΟC να γίνει κατακόρυ φη και τη στιγµή που θα συµβεί αυτό η κινητική του ενέργεια Κ τελ να είναι µεγαλύτερη ή ίση µε µηδέν, δηλαδή πρέπει να ισχύει: K "# $ () Εφαρµόζοντας για τον κύβο το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου µεταξύ της αρχικής του θέσεως αµέσως µετά την κρούση και της θέσεως όπου η ΟC γίνεται κατακόρυφη, παίρνουµε τη σχέση: K "# - K $%& = -Mg( OC - OA) K "# - I $ O = -Mg & % - % ) (1) ( ' + * K "# - M$ % ' 6 & 3mv 8M$ ( * ) = - Mg$ ( - 1) K "# = 3m v 6M - Mg () ( - 1) 3m v 6M - Mg ( - 1) v 3M g 3m - 1 ( v ) = M min m ( ) v M m ( - 1) 3g 3 3g 3 ( - 1)

P.M. fysikos