Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη. Ενδιαφέρει να γνωρίζουμε πχ. πως επηρεάζεται ο ρυθμός ανάπτυξης μιας χημικής αντίδρασης όταν αυξάνεται η θερμοκρασία, ή εάν υπάρχει σχέση μεταξύ του αριθμού των καρυδιών και της απόδοσης στο βαμβάκι κλπ. Οι σχέσεις αυτές τις οποίες μελετάμε μπορούν να οφείλονται: α) εξ ολοκλήρου ή εν μέρει στην επίδραση της μιας μεταβλητής (ανεξάρτητη, Χ) στην άλλη (εξαρτημένη, Υ), δηλαδή έχουμε σχέση αιτίου-αποτελέσματος β) στην επίδραση τρίτων παραγόντων και στις δύο μεταβλητές (μη ύπαρξη σχέσης αιτίου-αποτελέσματος) Χ Υ Y Χ Υ Z (α) (β) 3 Υ (γ)
Γενικά (Συνέχεια) Συσχέτιση και Συμμεταβολή Η κοινή κατανομή των δύο μεταβλητών (κάθε μια από τις οποίες ακολουθεί κανονική κατανομή) ονομάζεται διμεταβλητή κανονική κατανομή και η μελέτη και περιγραφή τους αποτελεί αντικείμενο των αναλύσεων Συσχέτισης και Συμμεταβολής (ή Παλινδρόμησης) Με την ανάλυση της Συσχέτισης, μελετάται η ένταση (ή βαθμός) της σχέσης των δύο μεταβλητών ανεξάρτητα από την ύπαρξη σχέσης αιτίου-αποτελέσματος μεταξύ τους Η ανάλυση της Συμμεταβολής περιγράφει επακριβώς το είδος της σχέσης, με εξίσωση που έχει χρησιμότητα πρόβλεψης της εξαρτημένης (Υ) από την ανεξάρτητη (Χ) μεταβλητή. Η Συμμεταβολή μπορεί να είναι γραμμική ή μη-γραμμική (καμπυλόγραμμη). Η γραμμική συμμεταβολή (και συσχέτιση) έχει εφαρμογή σε μεγάλο αριθμό προβλημάτων της γεωπονικής έρευνας Εάν υπάρχουν περισσότερες των δύο μεταβλητών αναφερόμαστε σε Πολλαπλή Συσχέτιση και Συμμεταβολή
Συντελεστής συσχέτισης (r) Απλή Γραμμική Συσχέτιση Είναι η στατιστική που εκτιμά την παράμετρο (ρ) και αποτυπώνει το βαθμό με τον οποίο συμπαραλλάσσουν οι δύο μεταβλητές το r δεν υπολογίζεται μόνο μεταξύ ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών το r υπολογίζεται και μεταξύ δύο εξαρτημένων μεταβλητών το r κυμαίνεται από - έως και είναι ανεξάρτητο από τις μονάδες μέτρησης ο βαθμός της σχέσης αυξάνεται όσο το r πλησιάζει την απόλυτη τιμή μηδενική τιμή του r υποδεικνύει απουσία σχέσης μεταξύ των δύο μεταβλητών y y x x Θετική συσχέτιση Αρνητική συσχέτιση Μηδενική συσχέτιση y x
Προσδιορισμός της σχέσης δύο μεταβλητών Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Απλή γραμμική συσχέτιση Εάν μετρηθούν οι μεταβλητές Χ και Υ σε άτομα προκύπτουν τα ζεύγη τιμών x y, x y,, x y x ) ( ή y Y Y ) ( ή ( ) x ( ) Y Y y
Προσδιορισμός της σχέσης δύο μεταβλητών (Συνέχεια) Απλή γραμμική συσχέτιση Το απλούστερο μέσο προσδιορισμού της σχέσης των Χ και Υ είναι η συνδιακύμανση ( ή συνδιασπορά) η οποία εκτιμάται από την ΧΥ xy ( )( Y Y ) ή ως τύπος εργασίας xy Y ( )( Y )
Απλή γραμμική συσχέτιση Προσδιορισμός της σχέσης δύο μεταβλητών (Συνέχεια) Αθροίσματα γινομένων και τετραγώνων ΑΤ Χ ( ) ΑΤΥ ( Y Y ) ΑΓ ΧΥ ( )( Y Y ) Οι εκτιμητές των διακυμάνσεων και της συνδιακύμανσης γράφονται ως εξής: x ΑΤ Χ y ΑΤY xy ΑΓ ΧΥ
Απλή γραμμική συσχέτιση Προσδιορισμός της σχέσης δύο μεταβλητών (Συνέχεια) Η τυποποίηση της συνδιακύμανσης, δίνει τον συντελεστή συσχέτισης που συμβολίζεται με το r r x xy y Η παραπάνω έκφραση μπορεί να γραφεί και ως εξής: r AΓ ΑΤ x xy ΑΤ y
Υπολογισμός του r Απλή γραμμική συσχέτιση Πριν τον υπολογισμό του r πρέπει να κατασκευάζεται το διάγραμμα της διακύμανσης για τηνεπιβεβαίωση ευθύγραμμης σχέσης. Εάν αυτό δεν ισχύει (πχ. η σχέση είναι λογαριθμική, σιγμοειδής κλπ) τότε πιθανότατα θα απαιτηθεί μετατροπή των δεδομένων Παράδειγμα Y 4 5 73 95 67 7 37 5 58 96 00 90 80 70 60 50 40 0 30 40 50 60 70 80 90 Στην περίπτωση αυτή η σχέση εμφανίζεται γραμμική και συνεχίζουμε με αυτή την προϋπόθεση
Υπολογισμός του r (Συνέχεια) Y Y r ( ) ( Y Y) (ΑΤ AΓ Χ Y )(ΑΤ Υ ) Απλή γραμμική συσχέτιση Παράδειγμα.. 3. 4. AΓ Y AT AT Y r ( 76)( 367) 383 4.6 5 63 76 5 367 833 5 (ΑΤ AΓ Χ Y )(ΑΤ Υ ) 996.8 895. 46 996.8 ( )( 895. ) Y Y 4 5 3 73 95 6935 67 7 484 37 5 94 58 96 5568 Χ 76 Υ 367 ΧΥ 3 83 Χ 63 Υ 8833 5 0.88
Έλεγχος σημαντικότητας του r Απλή γραμμική συσχέτιση Η 0 : ρ 0 Η Α : ρ 0 Προσοχή: ελέγχεται εάν το r διαφέρει σημαντικά από το μηδέν, δηλαδή εάν υπάρχει σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών Χ και Υ Α) Χρήση πινάκων σημαντικότητας του r Η κρίσιμη τιμή του σχετικού πίνακα για τον r με ΒΕ - 3 και για α0.05 είναι 0.878. Επειδή η τιμή που υπολογίσθηκε (0.88) < 0.878 δεν απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση για επίπεδο σημαντικότητας 5% και άρα συμπεραίνεται ότι δεν υπάρχει σχέση μεταξύ Χ και Υ. Σημαντικά σχόλια - οι κρίσιμες τιμές των πινάκων εξαρτώνται σε μεγάλο βαθμό από τον αριθμό των ζευγών των παρατηρήσεων - όσο το αυξάνεται η κρίσιμη τιμή r μειώνεται και είναι πιο πιθανό να απορριφθεί η Η 0 : ρ0 - η μη αποδοχή της μηδενικής υπόθεσης δεν αποδεικνύει τίποτα για την ένταση της σχέσης μεταξύ των δύο μεταβλητών - μια σημαντική συσχέτιση δεν σημαίνει απαραίτητα σχέση αιτίου-αποτελέσματος
Έλεγχος σημαντικότητας του r (Συνέχεια) Απλή γραμμική συσχέτιση Β) Εναλλακτικά χρησιμοποιείται η κατανομή του t με ΒΕ - Το τυπικό σφάλμα του r είναι : ΤΣ r ( r ) /( ) Επομένως : ( r 0) 0.88 t r. 47 ( r ) /( ) ( 0.88 ) / 3 Η τιμή αυτή είναι μικρότερη από την κρίσιμη τιμή t 0.05,3 3.8 και άρα δεν απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση * Ο τρόπος αυτός είναι χρήσιμος όταν οι πίνακες του r δεν περιλαμβάνουν τους ΒΕ ή / και το επίπεδο σημαντικότητας στο οποίο γίνεται ο έλεγχος
Έλεγχος σημαντικότητας του r (Συνέχεια) Απλή γραμμική συσχέτιση Γ) Για μεγάλο αριθμό ζευγών παρατηρήσεων ( > 50) χρησιμοποιείται η μετατροπή του z z l + r r Το τυπικό σφάλμα του z είναι : ΤΣ z 3 και συγκρίνεται το t z z 0 z 3 3 με την κρίσιμη τιμή των πινάκων του t για ΒΕ
Απλή γραμμική συσχέτιση Σύγκριση δύο συντελεστών συσχέτισης Οι συντελεστές r και r μετατρέπονται σε z και z Το τυπικό σφάλμα του z z - z είναι: /( 3)] + [/( 3)] ΤΣ ) [ (z z ( και τα ζεύγη παρατηρήσεων για τους r και r ) και συγκρίνεται το z z z με την κρίσιμη τιμή των πινάκων του t για ΤΣ (z z ) ΒΕ Εάν δεν απορριφθεί η μηδενική υπόθεση της ισότητας των δύο συντελεστών τότε υπολογίζεται ένας συνδυασμένος ή κοινός συντελεστής συσχέτισης ως εξής: z w ( ( 3) z 3) + + ( ( 3) z 3) Η τιμή z w μετατρέπεται σε τιμή r από τους αντίστοιχους πίνακες
Συνδυασμένος r από διάφορα πειράματα Απλή γραμμική συσχέτιση Για τον υπολογισμό ενός συνδυασμένου r (πχ. διάφορα πειράματα, τοποθεσίες, έτη, κλπ) απαιτείται ο έλεγχος της ομοιογένειας των ατομικών συντελεστών συσχέτισης Παράδειγμα Τοποθεσία r ' Z ' ' Z ( )( ) ' ' Z w 3 Z Zw Α 5 0.43 0.460 0.04 0.38 Β 5 0.3 0.33-0.04 0.03 Γ 5 0.7 0.77-0.079 0.37 ' 75 Z 0. 356 x 0. 388 w όπου: Z ' [ Z ] ( + r ) ( ) l ( ' 3 ) ' r w ( 3) [ ] ' ' Z x ( )( Z Z ) 3 w
Απλή γραμμική συσχέτιση Συνδυασμένος r από διάφορα πειράματα (Συνέχεια) Η κρίσιμη τιμή του πίνακα της κατανομής χ για ΒΕ είναι 0,6. Επειδή 0,388 < 0,6, δεν απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση ομοιογένειας των συντελεστών και υπολογίζεται ο συνδυασμένος συντελεστής ' Z w e r όπου e.7888 (0.356) + p e Z Επομένως: 0. 34 r p e e (0.356) ' w Για να ελεγχθεί εάν ο συνδυασμένος συντελεστής συσχέτισης διαφέρει σημαντικά από το μηδέν χρησιμοποιούνται όρια εμπιστοσύνης: + rp ±.96 0.34±.96 0.34± 0. 4 ( 3) 66 Επειδή τα όρια εμπιστοσύνης δεν περιέχουν το μηδέν απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση ότι ο συνδυασμένος συντελεστής συσχέτισης ισούται με το μηδέν
Γενικά Στη γραμμική συμμεταβολή μελετάμε την κατανομή συχνοτήτων μιας εξαρτημένης μεταβλητής (Y) σε διαφορετικά επίπεδα μιας ανεξάρτητης μεταβλητής (Χ) που θεωρούμε ότι μετράται ακριβώς. Έτσι μπορούμε να προβλέψουμε την Υ απο την Χ. Προσδιορισμός της εξίσωσης συμμεταβολής Ένας από τους στόχους της συμμεταβολής είναι η προσδιορισμός (προσαρμογή) της καλύτερης γραμμής μεταξύ των σημείων Χ και Υ. Η γραμμή αυτή συνήθως σχεδιάζεται με τη χρήση μέσων και όχι ατομικών τιμών. Παράδειγμα: Η μελέτη επίδρασης των ωρών ανάδευσης στη θερμοκρασία ξυλοπολτού Ώρες ανάδευσης (Χ) Θερμοκρασία (Υ) Y 4 4 7 08 6 9 74 8 64 5 0 86 860 9 04
Παράδειγμα (Συνέχεια) Επίδραση ωρών ανάδευσης στη θερμοκρασία ξυλοπολτού Η γραμμική σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών έχει τη μορφή ευθείας γραμμής : Y a + b όπου: Y η προβλεπόμενη τιμή του Υ (πάνω στη γραμμή) για συγκεκριμένο Χ α η τομή της γραμμής στον άξονα των Υ και b ο συντελεστής συμμεταβολής ή κλίση της ευθείας Θερμοκρασία Ŷ Υ+ b( - ) μονάδα Ώρες ανάδευσης b μονάδες Για μεταβολή του Χ κατά μία μονάδα έχουμε μεταβολή του Υ κατά b μονάδες Το γραμμικό μοντέλο μπορεί να γραφεί ως εξής: όπου ε το υπόλοιπο και ισούται με Y Y Η καλύτερη γραμμή είναι αυτή που δίδει το ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων των υπολοίπων (ε ) και είναι η Ŷ Υ+ b( - ) όπου Υ το σημείο άξονα των Υ που αντιστοιχεί στο Χ Y a + b + ε
Παράδειγμα (Συνέχεια) Ώρες ανάδευσης (Χ) Θερμοκρασία (Υ) Y 4 4 7 08 6 9 74 8 64 5 0 86 860 9 04 Χ 4 Υ 39 ΧΥ 800 Χ 364 Υ 967 6. b AΓ ΑΤ Y Χ ( )( Y Y ) ( ) Y ( Y ) ( ) ( 4*39) 800 6 4 364 6 567 70 8. 39 4. a Y b 8. 3. 533 6 6 Άρα η εξίσωση συμμεταβολής είναι: Y 3.533+ 8.
Προυποθέσεις της ανάλυσης συμμεταβολής. Υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ Χ και Υ. Οι τιμές του Χ είναι καθορισμένες και μετρώνται χωρίς σφάλμα 3. Για κάθε τιμή του Χ, οι Υ είναι ανεξάρτητες και ακολουθούν κανονική κατανομή (ε ~ Ν(0, σ ε )) 4. Το άθροισμα των αποκλίσεων από την γραμμή συμμεταβολής είναι μηδέν 5. Το άθροισμα τετραγώνων των υπολοίπων είναι το ελάχιστο Ανάλυση της συμμεταβολής Y Y ( ) 0 Y (Χ,Y ) ^ Y - Y ^ Y Y (Χ,Y) Χ -Χ ^ Y -Y b(χ -Χ) Y - Y ( Y Y) ( Y Y ) AT συμμεταβολής AT απόκλισης από τη συμμεταβολή ( Y Y) AT συνολικό
Έλεγχος ύπαρξης γραμμικής σχέσης μεταξύ Υ και Χ Η 0 : β0 Η A : β 0 Τρεις διαφορετικές μέθοδοι: ANOVA, δοκιμή του t, διαστήματα εμπιστοσύνης. ANOVA Η ανάλυση της διακύμανσης για να ελεγχθεί η Η 0 : β0 χρησιμοποιεί τις ακόλουθες πηγές παραλλακτικότητας, τους βαθμούς ελευθερίας και τα αθροίσματα τετραγώνων Πηγή Παραλλακτικότητας ΒΕ ΑΤ ( Y) Y Συμμεταβολή Αποκλίσεις - Με αφαίρεση Σύνολο - AΓ Y ( ) ΑΤ Χ ( Y ) Y AT Υ
Έλεγχος ύπαρξης γραμμικής σχέσης μεταξύ Υ και Χ (Συνέχεια) Από τα δεδομένα του παραδείγματος έχουμε: 4 39 Y Y, 800 364 Y 967. ATσυν Y ( Y ) 39 967 6 5006.833. ΑΤσυµµετ Y ( Y ) ( ) ( 4*39) 800 6 4 364 6 3489 70 459.7 3. ΑΤυπολ ΑΤσυν ΑΤ συμμετ 5006.833 459.7
4. Πηγή Παραλλακτικότητας ΒΕ AT MT F Συμμεταβολή 459.7 459.7 44.36** Αποκλίσεις - 44.33 03.533 Σύνολο - 5006.833 Το ΜΤ των αποκλίσεων (υπολοίπου) εκτιμά τη διακύμανση του Υ για ένα Χ που συμβολίζεται ως σ Υ/Χ 5. Επειδή το F-tet για τη συμμεταβολή είναι σημαντικό, απορρίπτεται η Η 0 : β0 σε επίπεδο σημαντικότητας 0.0 και συμπεραίνεται ότι υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ Χ και Υ 6. Συντελεστής προσδιορισμού r r ΑΤσυμμετ / ΑΤσυν Η τιμή του συντελεστή κυμαίνεται από 0.0 έως.0 r x 00 είναι το ποσοστό της διακύμανσης της Υ που οφείλεται στη διακύμανση της Χ r 459.7 / 5006.833 0.97 Άρα το 9.7% της διακύμανσης της θερμοκρασίας του ξυλοπολτού μπορεί να εξηγηθεί με βάση τις ώρες ανάδευσης
Έλεγχος ύπαρξης γραμμικής σχέσης μεταξύ Υ και Χ (Συνέχεια). Δοκιμή του t Ο τύπος για τη δοκιμή είναι t b b όπου b AT Y / Υπενθύμιση: Υ/Χ MTυπολ [AT Υ (ΑΓ ΧΥ / ΑΤ Χ )] / (-). b ΑΓ ΧΥ ATY 5006.833 Y / ΑΤ Χ 70. 479 AT 6 ΑΤ 70 Χ 567 b 8.. t 6. 66.479 b ta BE t 4BE Κρίσιμη τιμή: /,( ) 0,05/,.776 3. Επειδή 6.66 > κρίσιμη τιμή, απορρίπτεται η Η 0 : β0 με επίπεδο εμπιστοσύνης 95%. Συμπέρασμα όπως και προηγουμένως
Έλεγχος ύπαρξης γραμμικής σχέσης μεταξύ Υ και Χ (Συνέχεια) 3. Διαστήματα εμπιστοσύνης Η υπόθεση Η 0 : β0 μπορεί να ελεγχθεί με το ακόλουθο διάστημα εμπιστοσύνης ΔΕ b ± t a /,( ) BE ( b ) 8.±.776.479 4.74 β.476 Απορρίπτεται η Η 0 : β0 με επίπεδο εμπιστοσύνης 95%, εφόσον δεν περιλαμβάνεται το 0 στο ΔΕ που υπολογίσθηκε
Η πρόβλεψη της τιμής του Υ για συγκεκριμένη τιμή του Χ Είναι δυνατή η πρόβλεψη της θερμοκρασίας μιας παρτίδας ξυλοπολτού μετά από ανάδευση επί Χ ώρες. Η περίπτωση αφορά στην πρόβλεψη μιας Υ Χ από την κατανομή των τιμών Υ για τις Χ ώρες. Η τιμή αυτή έχει τη μορφή διαστήματος εμπιστοσύνης: ± ( Y / 0 ΔΕ Y t a /,( ) BE ) Όπου ( ) Y / και 0 Y / 0 Y / + + Y / 0 AT Παράδειγμα Πρόβλεψη της θερμοκρασίας μιας παρτίδας ξυλοπολτού μετά από ανάδευση ωρών. Y 3.533+ 8. 3.533+ 8.().667. Y / Y / + + ( ) AT 03.533 + 6 + ( 7) 70 57.765
Η πρόβλεψη της τιμής του Υ για συγκεκριμένη τιμή του Χ 3. ΔΕ Y ± t ( ) a /,( ) BE Y /.667 ±.776 57.65.667 ± 34. 868 Επομένως μετά από ανάδευση ωρών αναμένεται ότι στο 95% των περιπτώσεων η θερμοκρασία θα βρίσκεται στο διάστημα από -.0 έως 47.535 βαθμούς, ενώ θα βρίσκεται εκτός του διαστήματος αυτού από τύχη στο 5% των περιπτώσεων. Σημείωση: Αυτό το ΔΕ δεν χρησιμοποιείται για έλεγχο υποθέσεων Παράδειγμα Πρόβλεψη της θερμοκρασίας μιας παρτίδας ξυλοπολτού μετά από ανάδευση 7 ωρών. Y 3.533+ 8. 3.533+ 8.(7) 53.67 ( ) (7 7). Y / 7 Y / + + 03.533 + + 0. 789 AT 6 70 /,( ) BE Y / ± 3. ΔΕ Y ± t a ( 7) 53.67 ±.776 0.789 53.67 30. 509 Η διακύμανση των Υ στο μέσο όρο των Χ (δηλαδή Y / 7 ) είναι η ελάχιστη
Η πρόβλεψη της μέσης τιμής (Υ) για συγκεκριμένη τιμή του Χ Είναι δυνατή επίσης η πρόβλεψη της μέσης θερμοκρασίας του ξυλοπολτού μετά από ανάδευση επί Χ ώρες. Η περίπτωση αυτή, που διαφέρει από την προηγούμενη, αφορά στην πρόβλεψη μιας Υ Χ από την κατανομή των τιμών Υ για τις Χ ώρες. Η τιμή αυτή έχει τη μορφή διαστήματος εμπιστοσύνης: ΔΕ Y ± t a ( ) /,( ) BE Y / 0 Όπου ( ) Y / 0 και Y / Y / + 0 0 Y / AT Παράδειγμα Πρόβλεψη της μέσης θερμοκρασίας του ξυλοπολτού μετά από ανάδευση ωρών (δηλαδή, Υ Χ ). Y 3.533+ 8. 3.533+ 8.().667. Y / Y / + ( ) AT 03.533 6 + ( 7) 70 54.3
Η πρόβλεψη της μέσης τιμής (Υ) για συγκεκριμένη τιμή του Χ /,( ) BE ± Y / 3. ΔΕ Y ± t ( ) a.667 ±.776 54.3.667 0. 443 Επομένως εάν επαναληφθεί πολλές φορές η ανάδευση των ωρών, αναμένεται ότι στο 95% των περιπτώσεων η μέση θερμοκρασία του ξυλοπολτού (από τις επαναλαμβανόμενες αναδεύσεις) θα βρίσκεται στο διάστημα από -7.776 έως 33.0 βαθμούς, ενώ θα βρίσκεται εκτός του διαστήματος αυτού από τύχη στο 5% των περιπτώσεων. Σημείωση: Αυτό το ΔΕ δεν χρησιμοποιείται για έλεγχο υποθέσεων Παράδειγμα Πρόβλεψη της μέσης θερμοκρασίας ξυλοπολτού μετά από ανάδευση 7 ωρών. Y 3.533+ 8. 3.533+ 8.(7) 53.67. Y / 7 Y / + ( ) AT 03.533 + 6 ( 7 7) 70 7.56 3. ΔΕ Y ± t a /,( ) BE Y / ) 53.67 ±.776 7.56 53.67 ±.53 ( 0 Η διακύμανση των Υ στο μέσο όρο των Χ (δηλαδή Y / 7 ) είναι η ελάχιστη
Σύγκριση των και 0 / Y 0 / Y Για κάθε αριθμό ωρών ανάδευσης, η διακύμανση της θερμοκρασίας μιας παρτίδας ξυλοπολτού είναι πάντα μεγαλύτερη από αυτήν της μέσης θερμοκρασίας πολλών παρτίδων + + Y Y AT / / ) ( 0 + Y Y AT / / ) ( 0 0 / Y 0 / Y 57.767 54.3 7 0.789 7.56
Ζώνες εμπιστοσύνης περί τη γραμμή συμμεταβολής Ζώνες εμπιστοσύνης για την επίδραση των ωρών ανάδευσης στη θερμοκρασία του ξυλοπολτού Θερμοκρασία ΚΟ για Υ ΑΟ για Υ ΚΟ για Υ ΑΟ για Υ Ώρες ανάδευσης Οι ζώνες εμπιστοσύνης είναι συμμετρικές περί τη γραμμή συμμεταβολής Οι ζώνες εμπιστοσύνης είναι στενότατες στο μέσο όρο της Χ Οι ζώνες εμπιστοσύνης για την κατανομή που βασίζεται στους μέσους είναι στενότερες από την κατανομή που βασίζεται σε ατομικές παρατηρήσεις
Σύγκριση δύο ανεξάρτητων συντελεστών συμμεταβολής Ο έλεγχος της ομοιογένειας δύο συντελεστών b, δηλαδή εάν αποτελούν εκτιμήσεις του ίδιου β, γίνεται με τη δοκιμασία του t. H 0 : β β Η Α : β β Παράδειγμα t ΜΤυπολ + ΜΤυπολ b b + ΑΤ Χ ΑΤ Χ Y Y Y Y 6 9 3 4 34 4 8 45 5 3 58 5 Y 8 Y 7 Y 87 Y 65 55 Y 46 Y 787. Υπολογισμός συντελεστών συμμεταβολής b [ 7 (5*8) / 5[55 5 / 5]. 6 b [ 65 (5*87) / 5[55 5 / 5] 9. 0
Παράδειγμα (Συνέχεια). Y Y Y Y 6 9 3 4 34 4 8 45 5 3 58 5 Y 8 Y 7 Y 87 Y 65 55 Y 46 Y 787 Υπολογισμός ΜΤυπολ για Υ και Υ *Υπενθύμιση: MTυπολ ΑΓ ATY ΑΤ Y Χ 8 6 46 5 87 90 0 787 ΜTυπολ 5 0 4.5 ΜΤυπολ 7. 7 5 5 3. t.6 90 ( 4.5 + 7.7) x 0 + 0 6.4. ( 0.) ) 4.0
Παράδειγμα (Συνέχεια) 4. Σύγκριση με κρίσιμη τιμή του Πίνακα t για ΒΕ ( - ) + ( - ) t 0,05/,6BE.447 5. Επειδή η απόλυτη τιμή του t που υπολογίσθηκε (-4.0) είναι μεγαλύτερη από την απόλυτη τιμή του Πίνακα (-.447), απορρίπτεται η Η 0 και συμπεραίνεται σε επίπεδο εμπιστοσύνης 95% ότι οι δύο συντελεστές συμμεταβολής δεν εκτιμούν τον ίδιο β.