ΔΙΑΝΥΣΜΑ, ΠΙΝΑΚΑ Ένα διάνυζμα παριστάνεται ως μια μονοδιάστατη λίστα a = {x 1, x 2,..., x n } Πράξεις με δυανύσματα Με την χρήση Map[f,expr] ή f /@ εφαρμόζουμε f σε κάθε στοιχείο στο πρωτο επίπεδο για την expr Αν έχουμαι 2 δυανύσματα a και b In[1]:= a = Map[x # &, Range[3]] Out[1]= {x 1, x 2, x 3 } ή διαφορετικά In[2]:= a = x # & /@ Range[3] Out[2]= {x 1, x 2, x 3 } In[3]:= b = Map[y # &, Range[3]] Out[3]= {y 1, y 2, y 3 } ή διαφορετικά In[4]:= b = y # & /@ Range[3] Out[4]= {y 1, y 2, y 3 } In[5]:= a + b Out[5]= {x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 }
2 lecture5.nb In[6]:= a - b Out[6]= {x 1 - y 1, x 2 - y 2, x 3 - y 3 } In[7]:= a * b Out[7]= {x 1 y 1, x 2 y 2, x 3 y 3 } Dot[a, b] ή a.b Εσωτερικό ή βαθμωτό γινόμενο In[8]:= Dot[a, b] Out[8]= x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 ή διαφορετικά In[9]:= a.b Out[9]= x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 Cross[a, b] ή a b Εξωτερικό ή διανυσματικό γινόμενο In[10]:= Cross[a, b] Out[10]= {-x 3 y 2 + x 2 y 3, x 3 y 1 - x 1 y 3, -x 2 y 1 + x 1 y 2 } ή διαφορετικά με το σύμβολο, με την χρήση Esc cross Esc In[11]:= a b Out[11]= {-x 3 y 2 + x 2 y 3, x 3 y 1 - x 1 y 3, -x 2 y 1 + x 1 y 2 } Norm[a] Μέτρο διανύσματος a In[12]:= Norm[a]
lecture5.nb 3 Out[12]= Abs[x 1 ] 2 + Abs[x 2 ] 2 + Abs[x 3 ] 2 Total[a] Αθροισμα συνιστώσων διανύσματος a In[13]:= Total[a] Out[13]= x 1 + x 2 + x 3 ή διαφορετικά In[14]:= Apply[Plus, a] Out[14]= x 1 + x 2 + x 3 ή διαφορετικά In[15]:= Plus @@ a Out[15]= x 1 + x 2 + x 3 παράδειγμα In[16]:= Out[16]= a.cross[a, b] 0 // Simplify ή διαφορετικά In[17]:= Out[17]= a.(a b) 0 // Simplify Γενικοί ορισμοί για τους πινάκες Α(n x m) και B(n x m) In[18]:= ClearAll[a, b, A, B] In[19]:= A[n_Integer, m_integer] := Array[a #1,#2 &, {n, m}]
4 lecture5.nb In[20]:= {MatrixForm[A[2, 2]], MatrixForm[A[3, 3]], MatrixForm[A[4, 4]]} Out[20]= a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2, a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3, a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 a 4,1 a 4,2 a 4,3 a 4,4 In[21]:= B[n_Integer, m_integer] := Array[b #1,#2 &, {n, m}] In[22]:= {MatrixForm[B[2, 2]], MatrixForm[B[3, 3]], MatrixForm[B[4, 4]]} Out[22]= b 1,1 b 1,2 b 2,1 b 2,2, b 1,1 b 1,2 b 1,3 b 2,1 b 2,2 b 2,3, b 3,1 b 3,2 b 3,3 b 1,1 b 1,2 b 1,3 b 1,4 b 2,1 b 2,2 b 2,3 b 2,4 b 3,1 b 3,2 b 3,3 b 3,4 b 4,1 b 4,2 b 4,3 b 4,4 Άλλα παραδείγματα με την χρήση Table[ ] and Array[ ] Άσκηση 1 Δημιουργήστε πίνακα A(3 4) με στοιχεία a ij = i - j Λύση In[23]:= Table[Sqrt[i] - Sqrt[j], {i, 1, 3}, {j, 1, 4}] // MatrixForm
lecture5.nb 5 Out[23]//MatrixForm= 0 1-2 1-3 -1-1 + 2 0 2-3 -2 + 2-1 + 3-2 + 3 0-2 + 3 In[24]:= Array[Sqrt[#1] - Sqrt[#2] &, {3, 4}] // MatrixForm Out[24]//MatrixForm= 0 1-2 1-3 -1-1 + 2 0 2-3 -2 + 2-1 + 3-2 + 3 0-2 + 3 Random[...] Δημιουργία του πίνακα με τυχαίους αριθμούς In[25]:= Table[Random[Integer, {0, 9}], {3}, {3}] // MatrixForm Out[25]//MatrixForm= 1 6 4 8 0 3 2 5 9 IdentityMatrix[n] Δημιουργία μοναδιαίου πίνακα In[26]:= IdentityMatrix[3] // MatrixForm Out[26]//MatrixForm= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 DiagonalMatrix[{a, b, c}] Δημιουργία διαγώνιου πίνακα In[27]:= DiagonalMatrix[{x, y, z}] // MatrixForm
6 lecture5.nb Out[27]//MatrixForm= x 0 0 0 y 0 0 0 z Δημιουργία του πίνακα με στοιχεία μηδέν In[28]:= DiagonalMatrix[{0, 0, 0}] // MatrixForm Out[28]//MatrixForm= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Επιλογή των στοιχείων του πίνακα In[29]:= {MatrixForm[A[3, 3]], A[3, 3][[1, 1]], A[3, 3][[2, 2]]} Out[29]= a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3, a 1,1, a 2,2 a 3,1 a 3,2 a 3,3 Επιλογή της γραμμής του πίνακα In[30]:= A[3, 3][[1]] Out[30]= {a 1,1, a 1,2, a 1,3 } ή διαφορετικά In[31]:= Take[A[3, 3], {1}] // MatrixForm Out[31]//MatrixForm= ( a 1,1 a 1,2 a 1,3 ) Επιλογή της στήλης του πίνακα In[32]:= {MatrixForm[A[3, 3]], Transpose[A[3, 3]][[1]] // MatrixForm}
lecture5.nb 7 Out[32]= a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3, a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 1,1 a 2,1 a 3,1 In[33]:= ή διαφορετικά Out[33]//MatrixForm= a 1,1 a 2,1 a 3,1 Transpose[Take[Transpose[A[3, 3]], {1}]] // MatrixForm Άσκηση Κόψτε το πίνακα Α Α = a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 σε μορφή a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 2,2 a 2,3 a 3,2 a 3,3 In[34]:= Take[A[3,3], {1,3}, {1,3}]//MatrixForm Out[34]//MatrixForm= a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 In[35]:= Take[A[3,3], {2,3}, {2,3}]//MatrixForm Out[35]//MatrixForm= a 2,2 a 2,3 a 3,2 a 3,3
8 lecture5.nb Ένωση των πινάκων Α και Β In[36]:= Join[A[3,3], B[3,3], 2]//MatrixForm Out[36]//MatrixForm= a 1,1 a 1,2 a 1,3 b 1,1 b 1,2 b 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 b 2,1 b 2,2 b 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 b 3,1 b 3,2 b 3,3 In[37]:= Join[A[3,3], B[3,3], 1]//MatrixForm Out[37]//MatrixForm= a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 b 1,1 b 1,2 b 1,3 b 2,1 b 2,2 b 2,3 b 3,1 b 3,2 b 3,3 Άσκηση 2 Δημιουργήστε το πίνακα είναι πίνακές. A B B 0 όπου Α(3,3), Β(3,3) και 0 In[38]:= (M1=Join[A[3,3], B[3,3], 2]) //MatrixForm Out[38]//MatrixForm= a 1,1 a 1,2 a 1,3 b 1,1 b 1,2 b 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 b 2,1 b 2,2 b 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 b 3,1 b 3,2 b 3,3 In[39]:= (M2 = Join[B[3, 3], {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}, 2]) // MatrixForm
lecture5.nb 9 Out[39]//MatrixForm= b 1,1 b 1,2 b 1,3 0 0 0 b 2,1 b 2,2 b 2,3 0 0 0 b 3,1 b 3,2 b 3,3 0 0 0 In[40]:= (M12 = Join[M1, M2, 1]) // MatrixForm Out[40]//MatrixForm= a 1,1 a 1,2 a 1,3 b 1,1 b 1,2 b 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 b 2,1 b 2,2 b 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 b 3,1 b 3,2 b 3,3 b 1,1 b 1,2 b 1,3 0 0 0 b 2,1 b 2,2 b 2,3 0 0 0 b 3,1 b 3,2 b 3,3 0 0 0 Πράξεις με πίνακες A+B Άθροισμα των πινάκων A και B In[41]:= {MatrixForm[A[2, 2]], MatrixForm[B[2, 2]], MatrixForm[A[2, 2] + B[2, 2]]} Out[41]= a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2, b 1,1 b 1,2 b 2,1 b 2,2, a 1,1 + b 1,1 a 1,2 + b 1,2 a 2,1 + b 2,1 a 2,2 + b 2,2 λ*a Πολλαπλασιασμος τον πίνακα A με αριθμό λ In[42]:= {MatrixForm[A[2, 2]], MatrixForm[λ * A[2, 2]], MatrixForm[A[2, 2] * λ]} Out[42]= a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2, λ a 1,1 λ a 1,2 λ a 2,1 λ a 2,2, λ a 1,1 λ a 1,2 λ a 2,1 λ a 2,2 Tr[A] Ίχνος του πίνακα Α
10 lecture5.nb In[43]:= Out[43]//MatrixForm= {Tr[A[1, 1]], Tr[A[2, 2]], Tr[A[3, 3]]} // MatrixForm a 1,1 a 1,1 + a 2,2 a 1,1 + a 2,2 + a 3,3 Αν ο πίνακας Α(n x m) έχει στηχεία a ij (i=1,2,..,n ; j=1,2,...,m), και ο πίνακας Β(m x q) έχει στηχεία b jk (j=1,2,..,m ; k=1,2,...,q) τότε C=A.B είναι ο πίνακας C(n x q) και έχει στηχεία c ik (i=1,2,..,n; k=1,2,...,q) c ik = m j=1 a i j b jk Dot[A,B] ή A.B Πολλαπλασιασμός των πινάκων In[44]:= {A[2, 2] // MatrixForm, B[2, 2] // MatrixForm, A[2, 2].B[2, 2] // MatrixForm} Out[44]= a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2, b 1,1 b 1,2 b 2,1 b 2,2, a 1,1 b 1,1 + a 1,2 b 2,1 a 1,1 b 1,2 + a 1,2 b 2,2 a 2,1 b 1,1 + a 2,2 b 2,1 a 2,1 b 1,2 + a 2,2 b 2,2 In[45]:= A[2, 2].B[2, 2] B[2, 2].A[2, 2]
lecture5.nb 11 Out[45]= {{a 1,1 b 1,1 + a 1,2 b 2,1, a 1,1 b 1,2 + a 1,2 b 2,2 }, {a 2,1 b 1,1 + a 2,2 b 2,1, a 2,1 b 1,2 + a 2,2 b 2,2 }} {{a 1,1 b 1,1 + a 2,1 b 1,2, a 1,2 b 1,1 + a 2,2 b 1,2 }, {a 1,1 b 2,1 + a 2,1 b 2,2, a 1,2 b 2,1 + a 2,2 b 2,2 }} Πολλαπλασιασμός των πινάκων γενικώς δεν ικανοποεί την αντιμεταθετική ιδιότητα!! A.B B.A αλλά για το ίχνος τους έχουμε Tr[A.Β]=Tr[Β.Α] n Tr[A.B]= i=1 n j=1 a ij b ji = b ji a ij =Tr[B.A] In[46]:= Tr[A[2, 2].B[2, 2]] Tr[B[2, 2].A[2, 2]] Out[46]= Transpose[A] Ανάστροφος του πινάκα Α Αν ο πίνακας Α(n x m) έχει στηχεία a ij (i=1,2,..,n ; j=1,2,...,m) τότε ανάστροφος πίνακας A T (m x n) έχει στηχεία a ji. Οι πίνακες A.A T, A T.A είναι τετραγωνικές και διαφορετικές διαστασείς!!. In[47]:= {MatrixForm[A[2, 3]], MatrixForm[Transpose[A[2, 3]]]}
12 lecture5.nb Out[47]= a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3, a 1,1 a 2,1 a 1,2 a 2,2 a 1,3 a 2,3 In[48]:= A[2, 3].Transpose[A[2, 3]] // MatrixForm Out[48]//MatrixForm= 2 2 2 a 1,1 + a 1,2 + a 1,3 a 1,1 a 2,1 + a 1,2 a 2,2 + a 1,3 a 2,3 2 2 2 a 1,1 a 2,1 + a 1,2 a 2,2 + a 1,3 a 2,3 a 2,1 + a 2,2 + a 2,3 In[49]:= {MatrixForm[Transpose[A[2, 3]]], MatrixForm[A[2, 3]]} Out[49]= a 1,1 a 2,1 a 1,2 a 2,2, a 1,3 a 2,3 a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 In[50]:= Transpose[A[2, 3]].A[2, 3] // MatrixForm Out[50]//MatrixForm= 2 2 a 1,1 + a 2,1 a 1,1 a 1,2 + a 2,1 a 2,2 a 1,1 a 1,3 + a 2,1 a 2,3 2 2 a 1,1 a 1,2 + a 2,1 a 2,2 a 1,2 + a 2,2 a 1,2 a 1,3 + a 2,2 a 2,3 2 2 a 1,1 a 1,3 + a 2,1 a 2,3 a 1,2 a 1,3 + a 2,2 a 2,3 a 1,3 + a 2,3 Ο πίνακας A είναι συμμετρικός όταν a ij = a ji, A = A T Ο πίνακας A είναι αντισυμμετρικός όταν a ij = -a ji, A = -A T Ο πίνακας a ij +a ji είναι συμμετρικός ως προς αλλαγή i με j
lecture5.nb 13 A + A T T = A T + A T T = A T + A = A + A T In[51]:= A[3, 3] + Transpose[A[3, 3]] // MatrixForm Out[51]//MatrixForm= 2 a 1,1 a 1,2 + a 2,1 a 1,3 + a 3,1 a 1,2 + a 2,1 2 a 2,2 a 2,3 + a 3,2 a 1,3 + a 3,1 a 2,3 + a 3,2 2 a 3,3 In[52]:= SymmetricMatrixQ[A[3, 3] + Transpose[A[3, 3]]] Out[52]= Ο πίνακας a ij - a ji είναι αντισυμμετρικός ως προς αλλαγή i με j A - A T T = A T - A T T = A T - A = - A - A T In[53]:= A[3, 3] - Transpose[A[3, 3]] // MatrixForm Out[53]//MatrixForm= 0 a 1,2 - a 2,1 a 1,3 - a 3,1 -a 1,2 + a 2,1 0 a 2,3 - a 3,2 -a 1,3 + a 3,1 -a 2,3 + a 3,2 0 In[54]:= AntisymmetricMatrixQ[A[3, 3] - Transpose[A[3, 3]]] Out[54]= (A.B) T = B T.A T (A.B) T = a ij b jk T = a kj b ji = b ji a kj = b ij T a jk T = B T.A T
14 lecture5.nb In[55]:= Transpose[A[3, 3].B[3, 3]] Transpose[B[3, 3]].Transpose[A[3, 3]] Out[55]= ο πίνακας A.A T είναι συμμετρικός A.A T T = A T T.A T = A.A T In[56]:= Transpose[A[3, 3].Transpose[A[3, 3]]] A[3, 3].Transpose[A[3, 3]] Out[56]= In[57]:= SymmetricMatrixQ[A[3, 3].Transpose[A[3, 3]]] Out[57]= Inverse[A] Αντίστροφος τετραγωνικού πινάκα Α Ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος αν υπάρχει πίνακα A -1 τέτoιο ώστε έχουμε A.A -1 = A -1.A = I Η ορίζουσα του Α δεν να είναι μηδέν (nonsingular matrix)!! In[58]:= A[3, 3].Inverse[A[3, 3]] == Inverse[A[3, 3]].A[3, 3] == IdentityMatrix[3] // Simplify
lecture5.nb 15 Out[58]= (A.B) -1 = B -1.A -1 (A.B) -1.(A.B) = I (A.B) -1.(A.B).B -1 = I.B -1 (A.B) -1.A = B -1 (A.B) -1.A.A -1 = B -1.A -1 (A.B) -1.I = B -1.A -1 (A.B) -1 = B -1.A -1 In[59]:= Inverse[A[3, 3].B[3, 3]] Inverse[B[3, 3]].Inverse[A[3, 3]] // Simplify Out[59]= Tr B -1.A.B = Tr[A] In[60]:= Tr[Inverse[B[3, 3]].A[3, 3].B[3, 3]] Tr[A[3, 3]] // Simplify Out[60]= A T -1 = A -1 T A.A -1 = I A.A -1 T = I T A -1 T.A T = I Άρα A T είναι αντιστρέψιμος και A T -1 = A -1 T In[61]:= Inverse[Transpose[A[3, 3]]] Transpose[Inverse[A[3, 3]]] // Simplify Out[61]= MatrixPower[A, n] Πίνακας A.A...A n-φορές In[62]:= A[3, 3].A[3, 3] MatrixPower[A[3, 3], 2]
16 lecture5.nb Out[62]= Θα συγκρίνουμε τον αντίστροφο του Α 2 με τον (αντίστροφο του Α) 2 A 2-1 = A -1 2 A 2-1 = (A.A) -1 = A -1.A -1 = A -1 2 In[63]:= Inverse[MatrixPower[A[3, 3], 2]] MatrixPower[Inverse[A[3, 3]], 2] // Simplify Out[63]= Γενικά έχουμε με την μέθοδο μαθηματικής επαγωγής για το n N (A n ) -1 = A -1 n 1) για το n=1, A -1 = A -1, ok 2) για το n=2, A 2-1 = A -1 2, ok ----------------------------------- 3) ισχύει για το n (A n ) -1 = A -1 n, ok 4) να αποδείξουμε ότι ισχύει και για το n+1 A n+1-1 = A.A n ) -1 = (A n ) -1.A -1 = A -1 n.a -1 = A -1 n+1 Det[A] Ορίζουσα τετραγωνικού πινάκα Α In[64]:= Table[Det[A[i, i]], {i, 1, 3}] // Simplify // MatrixForm
lecture5.nb 17 Out[64]//MatrixForm= a 1,1 -a 1,2 a 2,1 + a 1,1 a 2,2 a 1,3 (-a 2,2 a 3,1 + a 2,1 a 3,2 ) + a 1,2 (a 2,3 a 3,1 - a 2,1 a 3,3 ) + a 1,1 (- Det(A) = Det A T In[65]:= Out[65]= Det[A[3, 3]] == Det[Transpose[A[3, 3]]] // Simplify Det(A.B) = Det(A) * Det(B) In[66]:= Det[A[3, 3].B[3, 3]] == Det[A[3, 3]] * Det[B[3, 3]] // Simplify Out[66]= Det A -1 = 1 = 1 Det[A] Det A T In[67]:= Out[67]= Det[Inverse[A[3, 3]]] == 1 / Det[A[3, 3]] 1 / Det[Transpose[A[3, 3]]] // Simplify Συζυγής και προσαρτημένος του πίνακα A Έστω Α και Β είναι 3 3 πίνακες. Να δείξετε ότι (A.B) * A *. B * και (A.B) == B.A Ο μιγαδικός πίνακας είναι ο πίνακας με μιγαδικούς αριθμούς.
18 lecture5.nb αριθμο ς Συζυγής του πίνακα A λέγεται ο πίνακας που έχει στοιχεία του τα μιγαδικά συζυγή των στοιχείων του A. Θα τον συμβολίζουμε με A *. In[68]:= Conjugate[A[3, 3]] // MatrixForm Out[68]//MatrixForm= Conjugate[a 1,1 ] Conjugate[a 1,2 ] Conjugate[a 1,3 ] Conjugate[a 2,1 ] Conjugate[a 2,2 ] Conjugate[a 2,3 ] Conjugate[a 3,1 ] Conjugate[a 3,2 ] Conjugate[a 3,3 ] Με την χρήση Esc conj Esc In[69]:= A == Conjugate[A] Out[69]= για κάθε στηχείο (i,j) του πίνακα A.B έχουμε (A.B) * n = aik b kj * n = k=1 a * ik b * kj = A *. B * k=1 In[70]:= Conjugate[A[3, 3].B[3, 3]] == Conjugate[A[3, 3]].Conjugate[B[3, 3]] // FullSimplify Out[70]= ή διαφορετικά In[71]:= (A[3, 3].B[3, 3]) == A[3, 3].B[3, 3] // FullSimplify Out[71]= Προσαρτημένος του πίνακα A λέγεται ο ανάστροφος του συζυγούς τού A (ή ο συζυγής του αναστρόφου του A). Θα
lecture5.nb 19 συζυγο ς το ο συζυγ ς του αναστρ φου του Θα τον συμβολίζουμε με A A = def (A ) Τ In[72]:= ConjugateTranspose[A[3, 3]] // MatrixForm Out[72]//MatrixForm= Conjugate[a 1,1 ] Conjugate[a 2,1 ] Conjugate[a 3,1 ] Conjugate[a 1,2 ] Conjugate[a 2,2 ] Conjugate[a 3,2 ] Conjugate[a 1,3 ] Conjugate[a 2,3 ] Conjugate[a 3,3 ] Με την χρήση Esc ct Esc In[73]:= A[3, 3] == ConjugateTranspose[A[3, 3]] Out[73]= Να δείξουμαι ότι (A.B) = B.A (A.B) = ((A.B) * ) T = (A *.B * ) T = (B * ) T.(A * ) T = B.A In[74]:= ConjugateTranspose[A[3, 3].B[3, 3]] == ConjugateTranspose[B[3, 3]]. ConjugateTranspose[A[3, 3]] // FullSimplify Out[74]= ή διαφορετικά In[75]:= (A[3, 3].B[3, 3]) == B[3, 3].A[3, 3] // FullSimplify Out[75]= Ασκηση 3
20 lecture5.nb Ασκηση Έστω Α και Β είναι (3 3) πίνακες. Να δείξετε ότι A -1 BA 3 = A -1 B 3 A Λύση In[76]:= ClearAll[a, b, A, B] In[77]:= A[n_Integer, m_integer] := Array[a #1,#2 &, {n, m}] In[78]:= B[n_Integer, m_integer] := Array[b #1,#2 &, {n, m}] In[79]:= Out[79]= MatrixPower[Inverse[A[3, 3]].B[3, 3].A[3, 3], 3] Inverse[A[3, 3]].MatrixPower[B[3, 3], 3]. A[3, 3] // Simplify Άσκηση 4 Να δείξτε ότι για τους πίνακες A(3x3) και B(3x3) έχουμε Det A B B 0 = - (Det (B)) 2 In[80]:= ClearAll[a, b, A, B] In[81]:= A[n_Integer, m_integer] := Array[a #1,#2 &, {n, m}] In[82]:= B[n_Integer, m_integer] := Array[b #1,#2 &, {n, m}]
lecture5.nb 21 In[83]:= (M1=Join[A[3,3], B[3,3], 2]) //MatrixForm Out[83]//MatrixForm= a 1,1 a 1,2 a 1,3 b 1,1 b 1,2 b 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 b 2,1 b 2,2 b 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 b 3,1 b 3,2 b 3,3 In[84]:= (M2 = Join[B[3, 3], {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}, 2]) // MatrixForm Out[84]//MatrixForm= b 1,1 b 1,2 b 1,3 0 0 0 b 2,1 b 2,2 b 2,3 0 0 0 b 3,1 b 3,2 b 3,3 0 0 0 In[85]:= (M12 = Join[M1, M2, 1]) // MatrixForm Out[85]//MatrixForm= a 1,1 a 1,2 a 1,3 b 1,1 b 1,2 b 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 b 2,1 b 2,2 b 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 b 3,1 b 3,2 b 3,3 b 1,1 b 1,2 b 1,3 0 0 0 b 2,1 b 2,2 b 2,3 0 0 0 b 3,1 b 3,2 b 3,3 0 0 0 In[86]:= Det[M12] -Det[B[3, 3]]^2 // Simplify Out[86]=