ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Σειρά Ασκήσεων στην Αγωγή Θερμότητας Οι λύσεις θα παρουσιαστούν στα μαθήματα αμέσως μετά το Πάσχα. Για να σας φανούν χρήσιμες στην κατανόηση της ύλης του μαθήματος, πρέπει να προσπαθήσετε να τις λύσετε πριν από το μάθημα και στο μάθημα να ελέγξετε τις παραδοχές και την λύση που βρήκατε. Πρόβλημα 1 Μέσα από ένα κυλινδρικό αγωγό ακτίνας R 1 και μεγάλου μήκους περνά ηλεκτρικό ρεύμα και μέρος της ενέργειάς του μετατρέπεται σε θερμότητα ομοιόμορφα κατανεμημένη στον όγκο του, S (ενέργεια ανά μονάδα όγκου και χρόνου). Ο αγωγός περιβάλλεται από μονωτικό υλικό ακτίνας R και αγωγιμότητας k που είναι μικρότερη της αγωγιμότητας, k 1, του αγωγού. O συντελεστής μεταφοράς θερμότητας από την επιφάνεια του μονωτικού υλικού στον περιβάλλοντα αέρα είναι σταθερός, h, και η θερμοκρασία του αέρα επίσης σταθερή, Τ. Θα εξετάσουμε πρώτα το φαινόμενο σε μόνιμη κατάσταση. 1. Να οριστούν κατάλληλοι διαφορικοί όγκοι ελέγχου και να κατασκευαστούν τα διαφορικά ισοζύγια θερμότητας τόσο στον αγωγό όσο και στο μονωτικό υλικό.. Να γραφούν μόνο οι απαραίτητες για τον υπολογισμό της θερμοκρασίας συνοριακές συνθήκες.. Να υπολογιστεί η κατανομή θερμοκρασίας στα υλικά και να δοθεί ποιοτικό διάγραμμά της. 4. Να υπολογιστεί η απώλεια θερμότητας προς το περιβάλλον ανά μονάδα εξωτερικής επιφάνειας του μονωτικού. Πως επηρεάζεται αυτή η απώλεια από την αγωγιμότητα του μονωτικού ή το πάχος του; Υπάρχει βέλτιστο πάχος του μονωτικού για την ελαχιστοποίηση της απώλειας αυτής; 5. Με τα ανωτέρω δεδομένα (βλ. και σχήμα παρακάτω) μπορούν να οριστούν οι αδιάστατοι αριθμοί Biot και Nusselt στην διεπιφάνεια μονωτικού-αέρα; Από τι εξαρτάται ο καθένας τους; 6. Αν ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας δεν ήταν σταθερός αλλά ήταν συνάρτηση της γωνίας φ, τι θα άλλαζε στην αντιμετώπιση του προβλήματος. Αν αρχικά ο αγωγός βρίσκεται σε θερμική ισορροπία με το περιβάλλον και ηλεκτρικό ρεύμα αρχίζει να περνά από τον αγωγό σε χρόνο t=0, ζητείται να σχεδιαστεί ποιοτικά η χρονικά μεταβαλλόμενη κατανομή της θερμοκρασίας και στα υλικά στα σημαντικότερα χρονικά σημεία του φαινομένου. Ποια θα είναι η κατανομή αν περάσει «πάρα πολύς» χρόνος; παραγωγή θερμότητας μονωτικό υλικό k1 R1 k h, T T=T1 T=0 T 0 L H T=T R q 1 Πρόβλημα Να προσδιοριστεί η κατανομή θερμοκρασίας στο ορθογώνιο μήκους πλευρών L, H, W(>>L, H). Με τις συνοριακές συνθήκες που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα. 1
Πρόβλημα Το κυλινδρικό σύρμα που φαίνεται στο σχήμα είναι διαμέτρου R=0.0 m και αποτελείται από δύο συγκολλημένα υλικά. Το αριστερό τμήμα του, μήκους L=0.5 m, είναι από χαλκό (k χ=80 W/m/ o C) και το δεξί, μήκους L=0.5 m, από ατσάλι (k α=0 W/m/ o C). Σε μόνιμη κατάσταση, τα δύο άκρα του βρίσκονται στην ίδια θερμοκρασία, Τ l=500 o C ενώ ο αέρας που το περιβάλλει σε θερμοκρασία Τ α=100 ο C. Ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας προς τον αέρα είναι ο ίδιος σε όλο το μήκος του σύρματος, h=0w/m / o C. 1. Σε πόσες και ποιες κατευθύνσεις γίνεται μεταφορά θερμότητας στο σύρμα; Πότε μπορεί η μεταφορά θερμότητας στο σύρμα να θεωρηθεί μονοδιάστατη και σε ποιά κατεύθυνση;. Ορίστε τον κατάλληλο όγκο ελέγχου και αποδείξτε ότι θεωρώντας την μεταφορά θερμότητας μονοδιάστατη, η εξίσωση που την διέπει είναι η ίδια στα δύο τμήματά του, με μόνη διαφορά την αγωγιμότητα του κάθε τμήματος.. Γράψτε τις απαιτούμενες συνοριακές συνθήκες για την λύση του μονοδιάστατου προβλήματος σε όλο το σύρμα. 4. Υπολογίστε την κατανομή θερμοκρασίας στο σύρμα. Που είναι η θερμοκρασία ελάχιστη; Πόση είναι η μεταφερόμενη θερμότητα από το σύρμα στον αέρα και μεταξύ του σύρματος και των δύο υποστηριγμάτων του; Μπορείτε να προβλέψετε σε ποιο υλικό θα βρίσκεται το ελάχιστο της θερμοκρασίας χωρίς να λύσετε καθόλου το πρόβλημα; χαλκός ατσάλι R T1=500 o C 500 o C L Tα=100 ο C Πρόβλημα 4 Μια σιδερένια σφαίρα διαμέτρου.5cm και αρχικής θερμοκρασίας Τ 1= ο C, έχει τις εξής φυσικές ιδιότητες: Πυκνότητα: ρ=6.984gr/cm, αγωγιμότητα: k=51.9w/m/ o K, και θερμοχωρητικότητα: c p=0.50j/gr/ o K. Η σφαίρα ξαφνικά βυθίζεται σε μια μεγάλη μάζα ρευστού θερμοκρασίας Τ =1 ο C. 1. Πότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι η επιφάνεια της σφαίρας αποκτά αμέσως την θερμοκρασία του ρευστού; Με αυτή την υπόθεση απαντήστε τα υπόλοιπα ερωτήματα.. Μπορεί επιπλέον να γίνει η παραδοχή ότι η σφαίρα έχει την ίδια θερμοκρασία σε κάθε σημείο της καθ όλη τη διάρκεια του φαινομένου; Χρειάζεται το δεδομένο ότι η μάζα του ρευστού είναι μεγάλη και σε σχέση με τι; Πως είναι σωστότερο να διατυπωθεί αυτό το δεδομένο και τι απλοποίηση προκαλεί;. Υπολογίστε γραφικά πόσος χρόνος θα χρειαστεί ώστε το κέντρο της σφαίρας να φθάσει σε θερμοκρασία Τ =55 ο C; Αν μια σφαίρα του ίδιου μεγέθους και της ίδιας αρχικής θερμοκρασίας απαιτεί διπλάσιο χρόνο ώστε το κέντρο της να φθάσει στην ίδια θερμοκρασία Τ =55 ο C, η θερμική διαχυτότητα του υλικού της θα είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη του σιδήρου; 4. Γράψτε την Μερική Διαφορική Εξίσωση (ΜΔΕ) που διέπει το φαινόμενο και λύστε την με χωρισμό μεταβλητών. Επειδή πρόκειται για σφαιρική γεωμετρία, θα σας βοηθήσει να αλλάξτε την εξαρτημένη μεταβλητή για την θερμοκρασία από Τ(r,t) σε U(r,t)=r*(T(r,t)-Τ ) και να τροποποιήσετε κατάλληλα όλες τις εξισώσεις του προβλήματος. Πρόβλημα 5 Ένας τοίχος (βλ. σχήμα πιο κάτω) πολύ μεγάλου βάθους και ομοιόμορφης αρχικής θερμοκρασίας T 1, έρχεται από τον χρόνο t 0, σε επαφή με αέρα θερμοκρασίας T a T1. Ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας είναι h, η αγωγιμότητα, η πυκνότητα και η θερμοχωρητικότητα του στερεού k, ρ, c p, αντίστοιχα και α k / ρc p. Η κατανομή θερμοκρασίας στο στερεό δίδεται από:
T T( x,t ) a x hx h αt h αt x erf ( ) exp( ) 1 erf ( ) (1) T T αt k a 1 k k αt 1. Αποδείξτε ότι αυτό το αποτέλεσμα ανάγεται στον τύπο (.76) του βιβλίου όταν h. Εξηγήστε το φυσικό λόγο που προκαλεί αυτή την αναγωγή.. Για πεπερασμένο h, σχεδιάστε ποιοτικά την κατανομή θερμοκρασίας στον αέρα και τον τοίχο για t 1 0 και εξηγήστε πως θα μεταβληθεί με τον χρόνο. h Αέρας, Τ Tα>Τ1 y z R1 R T T1=T(t=0) x Σχήμα Προβλήματος 5 Σχήμα Προβλήματος 6 Πρόβλημα 6 Ένας μεταλλικός σωλήνας θερμικής αγωγιμότητας k, μήκους L, εσωτερικής ακτίνας R 1, και εξωτερικής ακτίνας R εκτείνεται από μια μεταλλική επιφάνεια όπως φαίνεται στο σχήμα. Αέρας θερμοκρασίας T κυκλοφορεί μέσα και γύρω από τον σωλήνα. Ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας μεταξύ της εξωτερικής επιφάνειας του σωλήνα και του αέρα είναι h, ενώ μεταξύ της εσωτερικής επιφάνειας του σωλήνα και του αέρα είναι h 1=h /5. Μπορεί να υποτεθεί ότι το ελεύθερο άκρο του σωλήνα είναι μονωμένο. Η θερμότητα που μεταφέρεται από το τοίχωμα προς την βάση του σωλήνα ανά μονάδα χρόνου είναι q o και έχει αποκατασταθεί μόνιμη κατάσταση. 1. Γράψτε την απλούστερη δυνατή διαφορική εξίσωση και τις αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες που διέπουν την κατανομή της θερμοκρασίας στον σωλήνα, χωρίς επιπλέον παραδοχές για τις τιμές των παραμέτρων.. Κάτω από ποιες συνθήκες μπορεί να χρησιμοποιηθεί η προσέγγιση πτερυγίου για τον προσδιορισμό της κατανομής της θερμοκρασίας στον σωλήνα;. Χρησιμοποιώντας αυτή την προσέγγιση βρείτε την διαφορική εξίσωση και τις αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες για την κατανομή της θερμοκρασίας κατά μήκος του σωλήνα. 4. Σχεδιάστε προσεγγιστικά την αναμενόμενη κατανομή της θερμοκρασίας λύνοντας το πρόβλημα του ερωτήματος (). Πρόβλημα 7 Πρέπει να θερμάνουμε ατσάλινη πλάκα τοποθετώντας τη σε ένα φούρνο έτσι ώστε να θερμαίνεται μόνο η μεγαλύτερη άνω επιφάνεια του μετάλλου. Η ροή θερμότητας προσδιορίζεται έτσι ώστε η άνω επιφάνεια της πλάκας να ανεβαίνει πάρα πολύ γρήγορα στους 1800 ο F και να διατηρείται σε αυτή τη θερμοκρασία. Η αρχική θερμοκρασία της πλάκας είναι 80 ο F και διατηρείται στον φούρνο μέχρι που η κάτω επιφάνειά της να φτάσει τους 178 ο F. Η επιφάνεια στην οποία τοποθετείται η πλάκα είναι απολύτως μονωμένη. Να υπολογιστεί ο χρόνος που απαιτείται για την διεργασία αυτή με τις μεθόδους: (α) Με χρήση κατάλληλων διαγραμμάτων. (β) Με χρήση μόνο των απαραίτητων όρων της λύσης του προβλήματος με χωρισμό μεταβλητών. (γ) Με χρήση της προσεγγιστικής μεθόδου σύμφωνα με την οποία μετατρέπουμε το διαφορικό ισοζύγιο του προβλήματος σε ολοκληρωτικό και υποθέτουμε κατάλληλη πολυωνυμική κατανομή της θερμοκρασίας ως προς την απόσταση και συντελεστές που εξαρτώνται από τον χρόνο. Επειδή όμως εδώ δεν πρόκειται για ημιάπειρη πλάκα σαν αρχική συνθήκη να χρησιμοποιηθεί η αρχική θερμοκρασία στο μέσο της πλάκας. (δ) Ποια πρόβλεψη περιμένετε να είναι ακριβέστερη, και γιατί;
Δεδομένα πλάκας: Αγωγιμότητα k=45 W/(m K), θερμοχωρητικότητα c p=450 J/(Kg K), πυκνότητα ρ=7690 Κg/m. Πρόβλημα 8 Η αποστείρωση κονσερβών γίνεται σε αυτόκλειστο όπου εισέρχεται ατμός σε θερμοκρασία 110 C. Οι διαστάσεις των κυλινδρικών κονσερβών είναι: Διάμετρος D 0cm και ύψος H cm. Το πάχος, η αντίσταση στην μετάδοση θερμότητας και η θερμοχωρητικότητα του μεταλλικού περιβλήματος θεωρούνται αμελητέες. Για την επιτυχή αποστείρωση, πρέπει η θερμοκρασία του περιεχομένου να ανεβεί παντού τουλάχιστον στους 95 C. Ο ατμός περιβάλλει την κάθε κονσέρβα από όλες τις πλευρές, η αρχική θερμοκρασία του περιεχομένου είναι 10 C, ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας o από τον ατμό είναι h 400 W / m C, και οι ιδιότητες του περιεχομένου των κονσερβών είναι o o k 064. W / m C, cp 4180J / Kg C και 986Kg /m. 1. Γράψτε τις απλούστερες διαφορικές εξισώσεις και τις συνοριακές συνθήκες που με την επίλυσή τους θα προσδιοριστεί ο χρόνος παραμονής στο αυτόκλειστο.. Μπορεί να θεωρηθεί το περιεχόμενο των κονσερβών ισόθερμο κατά τη θέρμανσή τους και γιατί;. Αν όχι, πως θα προσδιοριστεί ο απαιτούμενος χρόνος αποστείρωσης; Περιγράψτε σύντομα της διαδικασία της γραφικής επίλυσης χωρίς να κάνετε υπολογισμούς. 4. Με την παρατήρηση ότι η διάμετρος είναι πολύ μεγαλύτερη του ύψους της κονσέρβας, αποδείξτε ότι το πρόβλημα γίνεται μονοδιάστατο (μεταφορά θερμότητας μόνο στην αξονική κατεύθυνση) και λύστε το με την μέθοδο χωρισμού μεταβλητών. Λύστε το ίδιο πρόβλημα, χωρίς αυτή την παραδοχή. Πρόβλημα 9 Περνώντας το χέρι μας πάνω από ένα αναμμένο κερί παρατηρούμε ότι δεν καίγεται, αν η διάρκεια έκθεσης είναι λιγότερη από περίπου 0.5 s. Ζητείται να εξηγηθεί η ανωτέρω παρατήρηση προσδιορίζοντας ακριβέστερα τον μέγιστο επιτρεπόμενο χρόνο έκθεσης με χρήση εννοιών από την μεταφορά θερμότητας και για απλοποίηση θεωρώντας ότι μόνο αγωγή θερμότητας λαμβάνει χώρα στο δέρμα. Δεδομένα: Θερμοκρασία χεριού, T 1=7 ο C, θερμοκρασία φλόγας θεωρούμενη ομοιόμορφη μακριά από το χέρι, T =800 ο C, θερμοκρασία που καίγεται το ανθρώπινο δέρμα T =65 ο C. Συντελεστής μεταφοράς θερμότητας από την φλόγα στο χέρι h 100 W / m K, για το δέρμα: θερμική αγωγιμότητα 6 k 06. W / mk και θερμική διαχυτότητα 01510. m / s. 1. Με αυτά τα δεδομένα να υπολογιστεί σε πόσο χρόνο η επιφάνεια του δέρματος θα ανέβει στους 65 ο C (με ακρίβεια μόνο δεκάτου του δευτερολέπτου).. Σε αυτό το χρόνο να προσδιοριστεί το βάθος διείσδυσης, δηλαδή το βάθος στο οποίο η θερμοκρασία έχει μεταβληθεί κατά 1%.. Να λυθεί το ανωτέρω πρόβλημα με χρήση προσεγγιστικού πολυωνύμου ου βαθμού μέχρι το σημείο προσδιορισμού της διαφορικής εξίσωσης που διέπει το βάθος διείσδυσης. Πρόβλημα 10 Η μονοδιάστατη κατανομή θερμοκρασίας σε ένα σύνθετο, επίπεδο τοίχωμα και σε μόνιμη κατάσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Κάθε ένα υλικό έχει σταθερή αγωγιμότητα, αλλά διαφορετική από τα άλλα. Οι ροές θερμότητας ανά μονάδα επιφάνειας φαίνονται στο διάγραμμα. 1. Ποιό είναι το σχετικό μέγεθος των q B και q C και πως μεταβάλλεται το q A με την απόσταση;. Ποιό είναι το σχετικό μέγεθος των αγωγιμοτήτων k A και k B και των k B και k C ;. Σχεδιάστε το αντίστοιχο διάγραμμα q ως προς την απόσταση, καθορίζοντας τις θέσεις 1,,, 4 και ποιοτικά τις τιμές q A, q B και q C. 4. Τι είναι δυνατό να υπάρχει στη θέση x 0 και τι μπορεί να ισχύει στο υλικό Α; 4
T 1 4 A q A 0 x B q B C q C Πρόβλημα 11 Ένα σύνηθες σίδερο που έχουμε στα σπίτια μας αποτελείται κυρίως από μια ατσάλινη πλάκα βάρους 15. kg, πυκνότητας 8000kg / m, αγωγιμότητας 00 W/mK, θερμοχωρητικότητας 460 J /kgk και επιφάνειας επαφής (σιδερώματος) 100cm, ενώ, σε πρώτη προσέγγιση, οι άλλες επιφάνειες της πλάκας μπορούν να θεωρηθούν μονωμένες. Υποθέτουμε ότι η αρχική θερμοκρασία της πλάκας είναι 5 o C και ότι τα αντικείμενα που σιδερώνουμε παραμένουν σε αυτή τη θερμοκρασία μακριά από την πλάκα, ενώ ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας σε αυτά είναι h 0 W / m K. Αν σε όλο τον όγκο της πλάκας παράγεται θερμότητα 500W, θέλουμε να υπολογίσουμε σε πόση ώρα θα ανέβει η θερμοκρασία της στους 00 o C. Προς τούτο αποδείξτε ότι η πλάκα μπορεί να θεωρηθεί ισόθερμη, ορίστε κατάλληλο όγκο ελέγχου και γράψτε το ισοζύγιο που θα προσδιορίζει την μεταβολή της θερμοκρασίας της πλάκας με τον χρόνο, λόγω της παραγόμενης θερμότητας σε αυτή και των απωλειών της προς το αντικείμενο. Πρόβλημα 1 Θέλουμε να περιβάλουμε με δύο διαδοχικά στρώματα μονωτικού υλικού ένα σωλήνα εσωτερικής διαμέτρου d 1 6. cm, πάχους w 1 0. cm και αγωγιμότητας του τοιχώματός του k1 100 W / mk. Το ένα μονωτικό περιέχει μαγνήσια και έχει αγωγιμότητα k 006. W / mk και πάχος w cm, ενώ το άλλο μονωτικό είναι από υαλοβάμβακα και έχει αγωγιμότητα k 004. W / mk και πάχος w cm. 1. Με ποια σειρά πρέπει να βάλουμε τα μονωτικά υλικά για να πετύχουμε την καλύτερη μόνωση;. Χρησιμοποιώντας την καλύτερη διάταξη για μόνωση ποια είναι η απώλεια θερμότητας ανά μονάδα εξωτερικής επιφάνειας του σωλήνα, αν μέσα στον σωλήνα ρέει νερό στους 40 o C, ο περιβάλλον αέρας είναι στους 10 o C, ενώ ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας μέσα στον σωλήνα είναι h1 600 W / m K και ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας στον αέρα h 0 W / m K ;. Αν αρχικά ο σωλήνας και οι μονώσεις του είναι στην θερμοκρασία του αέρα και ξαφνικά περνά το νερό στους 40 o C (υποθέτοντας ότι αυτό δεν ψύχεται λόγω επαφής με τον σωλήνα), να γραφούν τα ισοζύγια θερμότητας και όποιες βοηθητικές συνθήκες χρειάζονται για τον καθορισμό της θερμοκρασίας στον σωλήνα και στις μονώσεις του ως συνάρτηση του χρόνου και της ακτινικής κατεύθυνσης. Πρόβλημα 1 Θεωρούμε ότι ένα λουκάνικο έχει κυλινδρικό σχήμα με τις εξής διαστάσεις και ιδιότητες: διάμετρος d cm, μήκος l 15 cm, αγωγιμότητα k 05. W / mk, θερμοχωρητικότητα c.5 kj /( kg K) και πυκνότητα 880 kg / m. Η αρχική του θερμοκρασία είναι T1 5 o C και τοποθετείται σε νερό που βράζει, θερμοκρασίας 100 o Tw C, με συντελεστή μεταφοράς θερμότητας h 90 W / m K. 1. Εξηγείστε γιατί η θερμοκρασία δεν εξαρτάται από την γωνιακή συντεταγμένη. Με αυτό το δεδομένο και ορίζοντας κατάλληλο όγκο ελέγχου κατασκευάστε τις πλήρεις διαφορικές εξισώσεις αγωγής θερμότητας στο λουκάνικο και δώστε μόνο τις απαραίτητες βοηθητικές συνθήκες για τον προσδιορισμό της θερμοκρασίας του ως συνάρτηση της θέσης και του χρόνου. 5 p
. Κάνετε αυτές τις εξισώσεις αδιάστατες με χαρακτηριστικό μήκος για την ακτίνα το d/, για το μήκος το l, και χαρακτηριστική θερμοκρασία την Tw T1. Με αυτή τη μορφή της εξίσωσης και παρατηρώντας ότι l d /, εξηγείστε γιατί μπορεί να αμεληθεί η αγωγή θερμότητας στην αξονική κατεύθυνση.. Υπό την ανωτέρω συνθήκη, σύντομα εξηγείστε πως μπορεί να προκύψει η αναλυτική λύση του προβλήματος και αιτιολογείστε ότι ικανοποιούνται όλες οι προϋποθέσεις για να χρησιμοποιηθεί αυτή η μέθοδος. 4. Υπό την ίδια συνθήκη, υπολογίστε με χρήση διαγραμμάτων το χρόνο που θα απαιτηθεί για να ψηθεί το λουκάνικο έτσι ώστε η θερμοκρασία στο κέντρο του να γίνει T 80 o C. Πρόβλημα 14 Το στερεό κυλινδρικό κέλυφος, που φαίνεται στο σχήμα, έχει τις καμπύλες επιφάνειές του (r=r 1, r=r ) και τις ακραίες επιφάνειές του (z=0, z=l) θερμικά μονωμένες. Αρχικά η επιφάνειά του με φ=0 και εμβαδό (R -R 1)L και η επιφάνεια του με φ=π και εμβαδό (R -R 1)L βρίσκονται στην ίδια θερμοκρασία Τ 0 και επικρατεί θερμική ισορροπία σε όλο τον όγκο του. 1. Στον χρόνο t=0 η θερμοκρασία στην επιφάνειά του με φ=π αυξάνει σε Τ 1 > Τ 0. Στο κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων, σε ποια(ες) κατεύθυνση(εις) μεταβάλλεται η θερμοκρασία; Να οριστεί κατάλληλος όγκος ελέγχου και να καταστρωθεί το χρονικά μεταβαλλόμενο ισοζύγιο θερμότητας στο στερεό, όταν η αγωγιμότητά του είναι συνάρτηση της θερμοκρασίας. Αν δεν απαντήσατε αυτό το ερώτημα, δώστε το έτοιμο ισοζύγιο μετά από απλοποίηση.. Να υπολογιστεί η κατανομή της θερμοκρασίας όταν αποκατασταθεί η μόνιμη Επιφάνεια σε T 1 κατάσταση με δεδομένο ότι η αγωγιμότητα z z=0 μεταβάλλεται γραμμικά r με τη θερμοκρασία και έτσι ώστε να παίρνει την τιμή k 0 στη θερμοκρασία Τ 0 και k 1 στη R 1 φ z=l θερμοκρασία Τ 1.. Να υπολογιστεί η ροή θερμότητας δια μέσου της επιφάνειας με φ=0 και η R Επιφάνεια σε T 0 ροή θερμότητας δια μέσου της επιφάνειας με φ=π/, χωρίς να επαναλάβετε την ίδια διαδικασία. Πρόβλημα 15 Ηλεκτρικό ρεύμα I e=4a περνά μέσα από ένα μακρύ χάλκινο σύρμα διαμέτρου D=1mm με ηλεκτρική αντίσταση ρ e=0 *10-8 Ω m. Η μόνωση του σύρματος είναι πάχους H=mm και έχει θερμική αγωγιμότητα k=0.05w/(m o C). Η εξωτερική επιφάνεια της μόνωσης ψύχεται μόνο λόγω ακτινοβολίας μελανού χρώματος σε περιβάλλον θερμοκρασίας Τ π= 00 ο C με συντελεστή μορφής F=1. 1. Υπολογίστε τη θερμοκρασία της εξωτερικής επιφάνειας της μόνωσης, τη θερμοκρασία της διεπιφάνειας -μόνωσης σύρματος και τη μέγιστη θερμοκρασία του σύρματος.. Να οριστεί κατάλληλος όγκος ελέγχου και να καταστρωθεί το ισοζύγιο θερμότητας στη μόνωση σε μόνιμη κατάσταση. Το ερώτημα αυτό μπορεί να απαντηθεί τελείως ανεξάρτητα από το προηγούμενο. Δίδεται: Η παραγόμενη ισχύς από το ηλεκτρικό ρεύμα είναι W IeeL/ A, όπου L και Α είναι το μήκος και η διατομή του σύρματος. 6