Θέση και Προσανατολισμός

Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου δράσης Τη θέση και προσανατολισμό του στόχου 2-2 Θέση Σημείου 2-2-1 Σύστημα Συντεταγμένων Ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (ΣΣ) (ή σύστημα αναφοράς, ή πλαίσιο αναφοράς) αποτελείται από τρία μοναδιαία διανύσματα (ˆx,ŷ,ẑ ) με κοινή αρχή το σημείο Ο. Σχήμα 2-1. Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. 2-2-2 Ελεύθερο Διάνυσμα Ορίζεται από μέτρο και κατεύθυνση. Παράδειγμα: Δύναμη, ροπή. Σχήμα 2-2. Ελεύθερο διάνυσμα. 2-2-3 Διάνυσμα Θέσης Το διάνυσμα θέσης λέγεται και εφαρμοστό διάνυσμα. Είναι ένα μοναδικό διάνυσμα που δείχνει τη θέση ενός σημείου P ως προς κάποια αρχή Ο. 2-1

Σχήμα 2-3. Διάνυσμα θέσης του σημείου P ως προς την αρχή Ο. Ένα διάνυσμα θέσης καθορίζεται από δύο σημεία (αρχικό και τελικό). Διαφορετικά διανύσματα θέσης, μπορούν να αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο του χώρου. Σχήμα 2-4. Στο σημείο Ρ αντιστοιχούν δύο διαφορετικά διανύσματα θέσης, το κάθε ένα ως προς διαφορετική αρχή. Ένα διάνυσμα θέσης μπορεί να γραφεί ως: p = o p x ˆx + o p y ŷ + o p z ẑ (2-1) όπου o p x = p ˆx o p y = p ŷ o p z = p ẑ 2-2-4 Διάνυσμα Στήλης οι προβολές του p στα ˆx,ŷ,ẑ (2-2) Σύνολο τριών (3) αριθμών o p x, o p y, o p z οι οποίοι περιγράφουν ένα διάνυσμα p ως προς ένα ΣΣ {O}. p = o p x o p y o p z, οι συνιστώσες του διανύσματος p ως προς το ΣΣ {O} (2-3) 2-2-5 Πρόσθεση Διανυσμάτων Τα διανύσματα προστίθενται σύμφωνα με το νόμο του παραλληλόγραμμου, βλ. Σχ. 2-5. Βέβαια στη ρομποτική χρησιμοποιούμε κυρίως διανύσματα στήλης, έτσι ώστε οι πράξεις να γίνονται από υπολογιστή. Σε αυτή την περίπτωση, γίνεται άθροιση συνιστωσών των διανυσμάτων, που όμως πρέπει να εκφράζονται στο ίδιο ΣΣ. 2-2

Σχήμα 2-5. Διανυσματική πρόσθεση σύμφωνα με το νόμο του παραλληλόγραμμου. p+q=s p+ q= s o p x + o q x o p y + o q y o p z + o q z = o s x o s y o s z (2-4) Προσοχή: p+ 1 q = ΛΑΘΟΣ 2-2-6 Μέτρο Διανύσματος ( ) 1/2 = ( 1 p 1 p) 1/2 = (2-5) ( ) 1/2 p = ( p.p) 1/2 = p p = o p x 2 + o p y 2 + o p z 2 Το μέτρο ενός διανύσματος είναι αμετάβλητο, δηλαδή δεν εξαρτάται από το ΣΣ (αναλλοίωτη ποσότητα). 2-3 Προσανατολισμός Σώματος Για να περιγράψουμε τον προσανατολισμό ενός σώματος: Προσαρτούμε ένα σωματόδετο ΣΣ σ αυτό. Δίνουμε μια περιγραφή του σωματόδετου ΣΣ ως προς το σύστημα συντεταγμένων. Σχήμα 2-6. Το ΣΣ 1 έχει διαφορετικό προσανατολισμό ως προς το ΣΣ 2. Τα μοναδιαία τους διανύσματα έχουν σχετική γωνία. Για να περιγράψουμε τον προσανατολισμό του μοναδιαίου ˆx 1 ως προς το ΣΣ {}, το προβάλλουμε στα μοναδιαία (ˆx,ŷ,ẑ ) του ΣΣ {}. Με αυτό τον τρόπο, παίρνουμε τις τρεις συντεταγμένες του μοναδιαίου διανύσματος ˆx 1 ως προς το ΣΣ {} και σχηματίζουμε το διάνυσμα στήλης ˆx 1. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία με τα υπόλοιπα δύο μοναδιαία διανύσματα του ΣΣ {1}. Το αποτέλεσμα είναι τρεις στήλες, ως εξής: 2-3

ˆx 1 = ˆx 1 ˆx ˆx 1 ŷ ˆx 1ẑ = cos(ˆx 1, ˆx ) cos(ˆx 1,ŷ ) cos(ˆx 1,ẑ ) = r 11 r 21 r 31 (2-6) ŷ 1 = ŷ 1 ˆx ŷ 1 ŷ ŷ 1ẑ = cos(ŷ 1, ˆx ) cos(ŷ 1,ŷ ) cos(ŷ 1,ẑ ) = r 12 r 22 r 32 (2-7) ẑ 1 = ẑ 1 ˆx ẑ 1 ŷ ẑ 1ẑ = cos(ẑ 1, ˆx ) cos(ẑ 1,ŷ ) cos(ẑ 1,ẑ ) = r 13 r 23 r 33 (2-8) Το σύνολο { ˆx 1, ŷ 1, ẑ 1 } περιγράφει τον προσανατολισμό του σώματος με το σωματόδετο ΣΣ {1}. Τα τρία αυτά μοναδιαία διανύσματα, σχηματίζουν έναν (3x3) πίνακα περιστροφής R 1 = ˆx 1 ŷ 1 ẑ 1 = r 11 r 12 r 13 r 21 r 22 r 23 r 31 r 32 r 33 (2-9) Προσοχή! Τα σημεία ΔΕΝ έχουν προσανατολισμό, εφόσον δεν είναι δυνατή η πρόσδεση σε αυτά σωματόδετου ΣΣ. Επομένως, η έκφραση «η θέση και ο προσανατολισμός του κέντρου μάζας» είναι λάθος. Γιατί; 2-3-1 Ιδιότητες του Πίνακα Περιστροφής Ορθογώνιος, διότι ˆx 1 = ŷ 1 = ẑ 1 = 1 ˆx 1 ŷ 1 = ˆx 1 ẑ 1 = ŷ 1 ẑ 1 = έξι (6) συνθήκες (2-1) Μόνο τρεις (3) ανεξάρτητοι αριθμοί. Για την ορίζουσα ισχύει det( R 1 ) =+1 (2-11) Δηλαδή ο πίνακας περιστροφής διατηρεί τα μήκη. Το θετικό πρόσημο οφείλεται στο δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται. Αντιστροφή πίνακα περιστροφής. Δεν χρειάζεται να γίνει αντιστροφή κατά τα συνήθη, διότι ο αντίστροφος είναι ίσος με τον ανάστροφο. 2-4

R 1-1 = R 1 (2-12) R 1 R 1 = ˆx 1 ŷ 1 ẑ 1 ˆx 1 ŷ 1 ẑ 1 = I 3 Λέγεται πίνακας περιστροφής διότι περιγράφει την "περιστροφή" του ΣΣ {1} ως προς το ΣΣ {}. Παράδειγμα 2-1 Στοιχειώδης περιστροφή γύρω από τον άξονα - z Το σωματόδετο ΣΣ {1} περιστρέφεται γύρω από τον z-άξονα κατά γωνία θ. Σχήμα 2-7. Κύρια περιστροφή γύρω από τον άξονα z. Εφαρμόζοντας τον ορισμό του πίνακα περιστροφής, Εξ. (2-6)-(2-9), ο πίνακας αυτός δίνεται από: R 1 = ˆx 1 ŷ 1 ẑ 1 cθ sθ = sθ cθ 1 = R z (θ) (2-13) Ο πίνακας αυτός λέγεται και πίνακας κύριας περιστροφής και συμβολίζεται με το R z (θ). 2-4 Χρήσεις του Πίνακα Περιστροφής (α) Περιγράφει τον προσανατολισμό του ΣΣ {1} ως προς το {}. (Έχει ήδη αναφερθεί). (β) Μετασχηματίζει τις συνιστώσες ενός διανύσματος ως προς το ΣΣ {1} στις συνιστώσες του ως προς το ΣΣ {}: p= R 1 1 p (2-14) 1 p : Το διάνυσμα p εκφρασμένο στο ΣΣ {1}. p : Το διάνυσμα p εκφρασμένο στο ΣΣ {}. 2-5

Παράδειγμα 2-2 Να βρεθεί το p, δεδομένων των R 1, 1 p. Σχήμα 2-8. Γεωμετρική απεικόνιση των συνιστωσών του διανύσματος p στα ΣΣ {1} και {} και σχέσεις μεταξύ τους. Mε τη βοήθεια του Σχ. 2-8, γράφουμε τις εξής σχέσεις: o p x = cθ 1 p x sθ 1 p y + 1 p z o p y = sθ 1 p x + cθ 1 p y + 1 p z o p z = 1 p x + 1 p y +1 1 p z Αυτές μπορούν να γραφούν σε μητρωϊκή μορφή ως εξής: p x o p y o p z = cθ sθ sθ cθ 1 1 p x 1 p y 1 p z ή ισοδύναμα. p= R 1 1 p. Σημείωση: Αυτή η χρήση του πίνακα περιστροφής λέγεται και παθητική χρήση. Συνδέει τις συνιστώσες του ίδιου διανύσματος εκφρασμένες σε δύο διαφορετικά ΣΣ. (γ) Περιστρέφει ένα διάνυσμα και δίνει τις νέες του συνιστώσες: p =Rp (2-15) p : Οι συνιστώσες του διανύσματος πριν την περιστροφή p : Οι συνιστώσες του διανύσματος μετά την περιστροφή 2-6

Παράδειγμα 2-3 Σχήμα 2-9. Περιστροφή διανύσματος κατά γωνία θ. Το αρχικό διάνυσμα δίνεται από p= 1 Αφού περιστραφεί, το νέο διάνυσμα έχει συντεταγμένες που δίνονται από τη σχέση, p = cθ sθ sθ cθ 1 R 1 = p cθ sθ Σημείωση: Αυτή η χρήση του πίνακα περιστροφής λέγεται και ενεργητική χρήση. Συνδέει τις συνιστώσες δύο διαφορετικών διανυσμάτων εκφρασμένων στο ίδιο ΣΣ. Ο πίνακας περιστροφής δρα ως τελεστής και περιστρέφει κάποιο διάνυσμα, αλλάζοντάς του τον προσανατολισμό. Χρήσιμη ιδιότητα για απεικόνιση της κίνησης των σωμάτων με γραφικά. Παρατηρήσεις: Ο πίνακας R δεν περιέχει τη θέση της αρχής. Για διανύσματα θέσης, η θέση της αρχής έχει σημασία. Για το λόγο αυτό επαυξάνουμε τους πίνακες περιστροφής R, (3x3), σε πίνακες, (4x4), (ομογενής μετασχηματισμός). 2-5 Ομογενείς Μετασχηματισμοί Όπως και με τους πίνακες περιστροφής, οι ομογενείς μετασχηματισμοί έχουν τρεις ερμηνείες ή χρήσεις. (α) Περιγράφει τη θέση και τον προσανατολισμό του ΣΣ {1} ως προς το {}. (β) Μετασχηματίζει τις συνιστώσες ενός διανύσματος ΘΕΣΗΣ, εκφρασμένες στο ΣΣ {1}, στις συνιστώσες του εκφρασμένες στο ΣΣ {}. 2-7

(γ) Περιστρέφει ένα διάνυσμα θέσης και μετά το μετατοπίζει, δίνοντας τις συνιστώσες του τελικού διανύσματος θέσης. Αναλυτικότερα: (α) Περιγράφει τη θέση και τον προσανατολισμό του ΣΣ {1} ως προς το {}. Σχήμα 2-1. Δύο ΣΣ μετατοπισμένα κατά το διάνυσμα θέσης b και σε διαφορετικούς προσανατολισμούς. Ο ομογενής μετασχηματισμός 1 από το ΣΣ {1} στο ΣΣ {} ορίζεται ως ο πίνακας 4 4 που αποτελείται από τον πίνακα περιστροφής R 1 και το διάνυσμα θέσης b και μία σειρά με τρία μηδέν και μία μονάδα: 1 = R 1 b 1 (2-16) όπου: R 1, ο προσανατολισμός του ΣΣ {1} ως προς το {} b, θέση αρχής του ΣΣ {1} ως προς το {} 1, συντελεστής κλίμακας (β) Ο ομογενής μετασχηματισμός 1 μετασχηματίζει τις συνιστώσες ενός διανύσματος ΘΕΣΗΣ στο ΣΣ {1}, στις συνιστώσες του ως προς το ΣΣ {} 2-8

Σχήμα 2-11. Ορισμός του ομογενούς μετασχηματισμού για το διάνυσμα θέσης του p. Εξετάζουμε τη σχέση που έχει το διάνυσμα θέσης του σημείου p στο ΣΣ {1} με το διάνυσμα θέσης του ίδιου σημείου στο ΣΣ {}. όπου ( O P)= ( O O 1 )+ ( O 1 P) (O P) = (O O 1 ) + (O 1 P) (2-17) O P : Διάνυσμα θέσης του P, ως προς το ΣΣ {} O 1 P : Διάνυσμα θέσης του P, ως προς το ΣΣ {1} Η Εξ. (2-17) γράφεται και ως εξής: p= b+ R 1 1 p (2-18) όπου p : Διάνυσμα θέσης του P ως προς το {}, εκφρασμένο στο {} 1 p : Διάνυσμα θέσης του P ως προς το {1}, εκφρασμένο στο {1} b : Διάνυσμα θέσης του {1} ως προς το {}, εκφρασμένο στο {} Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γραφεί συμπαγώς ως: p= 1 1 p (2-19) όπου τα διανύσματα θέσης έχουν πλέον διάσταση (4x1), με μία μονάδα στην τελευταία θέση: p= o p x o p y o p z 1, 1 p= 1 p x 1 p y 1 p z 1 και όπου ο (4x4) ομογενής μετασχηματισμός είναι 2-9

1 = o b x R o 1 b y o b z 1 Σημείωση: Ελεύθερα διανύσματα που μετασχηματίζονται σύμφωνα με τη σχέση p= R 1 1 p, μπορούν να μετασχηματισθούν από ένα πίνακα 1, αν το 1 στην τελευταία γραμμή (4x1), αντικατασταθεί από : 1, p= 1 1 p Παράδειγμα 2-4 Βρείτε τις συντεταγμένες του p στο {}, δεδομένων των συντεταγμένων του στο {1}. Ο πίνακας περιστροφής R 1 και το διάνυσμα θέσης του {1} εκφρασμένο στο {}, b, είναι γνωστά. b= 3.46 2.. R 1 = R z (45 o ) =.77.77.77.77 1 1 p= 1.4 1.4 = 1 (1P) p = (P) = ; Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό (4x4), έχουμε: p= 1 1 p p x p y p z 1 =.77.77 3.46.77.77 2. 1. 1 1.4 1.4. 1 = 3.46 3.98 1 = p Διαγράφοντας τη μονάδα στην τελευταία θέση, το 3x1 διάνυσμα θέσης στήλης που είναι το p = 3.46 3.98 2-1

Σημείωση: Σε αναλογία με τα όσα ισχύουν για τον πίνακα περιστροφής, αυτή είναι η παθητική χρήση του ομογενούς μετασχηματισμού. (γ) Περιστρέφει ένα διάνυσμα θέσης και μετά το μετατοπίζει, δίνοντας έτσι τις συνιστώσες του τελικού διανύσματος θέσης: p = p (2-2) όπου p, p, (4 1). H Eξ. (2-2) είναι ισοδύναμη με: p = R p+b (2-21) όπου εδώ βέβαια είναι p, p, (3 1). Παράδειγμα 2-5 Βρείτε το διάνυσμα θέσης που προκύπτει μετά από περιστροφή (του p) κατά 45 ο και μετατόπισή του κατά b. b= 3.46 2.. R=R z (45 o ) =.77.77.77.77 1 p= 1.4 1.4 p =? Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό (4x4), έχουμε: p =p p x p y p z 1 =.77.77 3.46.77.77 2. 1. 1 1.4 1.4. 1. = 3.46 3.98 1 Σημείωση: Σε αναλογία με τα όσα ισχύουν για τον πίνακα περιστροφής, αυτή είναι η ενεργητική χρήση του ομογενούς μετασχηματισμού. Είναι χρήσιμη όταν χρειάζεται να βρούμε τις συντεταγμένες σημείου που ανήκει σε σώμα το οποίο υφίσταται μετατόπιση και περιστροφή. 2-6 Αντιστροφή Ομογεν. Μετασχηματισμού Ο αντίστροφος του ομογενούς μετασχηματισμού μπορεί να υπολογισθεί αναλυτικά, χωρίς να χρειασθεί πραγματική αντιστροφή του πίνακα. 2-11

p = b + R 1 1 p R 1 1 p= p b ( ) -1 { p b} ( ) p ( R 1 ) b 1 p= R 1 1 p= R 1 1 p= 1 p Τότε: 1 = ( 1 ) -1 = R 1 R 1 b 1 = R 1 1 b 1 (2-22) Επομένως, δεν απαιτείται πραγματική αντιστροφή. Παρατηρούμε ότι το τμήμα της περιστροφής περιλαμβάνει τον αντίστροφο του πίνακα περιστροφής, R 1, το δε τμήμα της μετατόπισης, περιλαμβάνει τις συνιστώσες της αντίθετης μετατόπισης, εκφρασμένης στο ΣΣ {1}, 1 b. 2-7 Σύνθεση Μετασχηματισμών Διαδοχικές περιστροφές και μετατοπίσεις μπορούν να συντεθούν σε μία συνολική περιστροφή και μετατόπιση μέσω της σύνθεσης ομογενών μετασχηματισμών. Παρατηρούμε καταρχήν το Σχ. 2-12 που απεικονίζει n διαδοχικές περιστροφές και μετατοπίσεις. Σχήμα 2-12. διαδοχικές περιστροφές και μετατοπίσεις ενός ΣΣ. Αν είναι γνωστά τα n p, n1 n (n = 1,...), τότε ισχύει: n1 p= n1 n n p n2 p= n2 n1 n1 p p= 1 1 p (2-23) Επομένως, ισχύει p= 1 1 2 n1 n n p (2-24) Το πως θα γίνει ο πολλαπλασιασμός των πινάκων έχει σημασία. Για παράδειγμα: 2-12

p= 1 1 ( 2 2 p) 32 Πολ/μοί, 24 Προσθέσεις p = ( 1 1 2 ) 2 p 8 Πολ/μοί, 6 Προσθέσεις Είναι προτιμότερο λοιπόν να προτιμάται ο πολλαπλασιασμός του πίνακα με κάποιο διάνυσμα στήλης και όχι ο πολλαπλασιασμός όλων των μεταξύ τους. 2-8 Ειδικοί Μετασχηματισμοί Οι στοιχειώδεις ομογενείς μετασχηματισμοί περιλαμβάνουν την καθαρή μετατόπιση και την καθαρή περιστροφή: Μετατόπιση: RANS(b) = I 3 b 1 (2-25) Περιστροφή: RO (θ) = R(θ) 1 (2-26) 2-9 Τρόποι Περιγραφής Προσανατολισμού Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να περιγράψουμε τον προσανατολισμό ενός ΣΣ ή ενός σώματος. Οι κυριότεροι είναι: (α) Με συνημίτονα κατεύθυνσης. Απαιτούνται εννέα (9) αριθμοί. Από αυτούς, μόνο τρεις (3) είναι ανεξάρτητοι. (β) Με γωνίες Euler. Απαιτούνται τρεις (3) αριθμοί, οι οποίοι αντιστοιχούν στις γωνίες τριών διαδοχικών στοιχειωδών περιστροφών γύρω από άξονες του (τρέχοντος) σωματόδετου ΣΣ. Οι τρεις γωνίες συμβολίζονται ως (θ 1, θ 2, θ 3 ) ή (γ, β, α). (γ) Από ζεύγος ισοδύναμης γωνίας άξονα. Απαιτούνται τέσσερις (4) αριθμοί. Οι τρεις (3) αντιστοιχούν στο μοναδιαίο διάνυσμα του άξονα περιστροφής, ˆk = k x,k y,k z και ο τέταρτος στη γωνία περιστροφής γύρω από τον άξονα αυτό, θ. (δ) Από παραμέτρους Euler. Απαιτούνται τέσσερις (4) αριθμοί οι οποίοι όμως δεν έχουν καθαρή φυσική ερμηνεία. Γίνονται κατανοητοί έμμεσα, με τη βοήθεια της προηγούμενης περιγραφής. ε = ε 1 ε 2 ε 3 = ˆksin( θ 2 ), ε 4 = cos( θ 2 ) (2-27) 2-13

Οι παραπάνω τρόποι περιγραφής είναι ισοδύναμοι, με εξαίρεση ένα πεπερασμένο σύνολο προσανατολισμών. Σε πολλές περιπτώσεις απαιτείται η μετατροπή της περιγραφής του προσανατολισμού, σε μία άλλη. Στη συνέχεια, εξετάζουμε συνοπτικά αυτό το θέμα. 2-9-1 Συνημίτονα Κατεύθυνσης Έχει ήδη αναπτυχθεί σε προηγούμενη παράγραφο. 2-9-2 Γωνίες Euler (z-y-x) Οι γωνίες Euler ορίζονται ως οι γωνίες περιστροφής ενός σώματος γύρω από διαδοχικούς χωρόδετους άξονές του. Ανάλογα με τη διαδοχή περιστροφών και επιλογή αξόνων περιστροφής, μπορούμε να έχουμε δώδεκα τριάδες γωνιών Euler. Από αυτές, μελετάμε εδώ τη διαδοχή περιστροφών z-y-x, που είναι και γνωστές ως roll-pitch-yaw. Όπως φαίνεται στο Σχ. 2-13, η πρώτη περιστροφή γίνεται γύρω από τον άξονα ẑ = ẑ 1. Η δεύτερη περιστροφή γίνεται γύρω από τον άξονα y του σωματόδετου ΣΣ, δηλαδή γύρω από το ŷ 1 = ŷ 2. Η τρίτη περιστροφή γίνεται γύρω από τον άξονα x του σωματόδετου ΣΣ, δηλαδή τον ˆx 2. Σχήμα 2-13. Πρώτη περιστροφή του σωματόδετου ΣΣ κατά την περιγραφή του προσανατολισμού του με γωνίες Euler z-y-x. Επομένως, η τελική θέση του σωματόδετου ΣΣ προκύπτει από: Περιστροφή του ΣΣ {} κατά R z (θ 3 ) έτσι ώστε να πάρουμε τελικά το ΣΣ {1}. Περιστροφή του ΣΣ {1} κατά R y1 (θ 2 ) έτσι ώστε να πάρουμε τελικά το ΣΣ {2}. Περιστροφή του ΣΣ {2} κατά R x2 (θ 1 ) έτσι ώστε να πάρουμε τελικά το ΣΣ {3}. Ένα διάνυσμα στο τελικό ΣΣ {3} φαίνεται από το ΣΣ {} ως: p= R 1 1 R 2 2 R 3 3 p = = R z (θ 3 )R y1 (θ 2 )R x2 (θ 1 ) 3 p = = R 3 3 p (2-28) 2-14

R 3 ( θ 1,θ 2,θ 3 )= c 3 s 3 s 3 c 3 1 c 2 s 2 1 s 2 c 2 1 c 1 s 1 s 1 c 1 (2-29) R 3 ( θ 1,θ 2,θ 3 )= c 3 c 2 s 3 c 1 + c 3 s 2 s 1 s 1 s 3 + c 1 s 2 c 3 s 3 c 2 c 3 c 1 + s 3 s 2 s 1 s 1 c 3 + c 1 s 2 s 3 s 2 c 2 s 1 c 1 c 2 r 11 r 12 r 13 = r 21 r 22 r 23 r 31 r 32 r 33 = (2-3) Ο παραπάνω πίνακας παρέχει τη σχέση μεταξύ των συνημιτόνων κατεύθυνσης r ij και των γωνιών Euler (θ 1,θ 2, θ 3 ). Αν τα θ 1,θ 2, θ 3 είναι γνωστά, τότε τα συνημίτονα κατεύθυνσης r ij υπολογίζονται εύκολα, r 11 = c 3 c 2 r 12 = s 3 c 1 + c 3 s 2 s 1 (2-31)... Αν τα συνημίτονα κατεύθυνσης r ij είναι γνωστά, τότε οι γωνίες Euler υπολογίζονται με αντίστροφη κινηματική. Πράγματι, παρατηρούμε ότι ισχύει r 11 2 + r 21 2 = c 2 2 (2-32) Υποθέτοντας ότι c 2 > θ 2 ( π 2, π 2 ) (2-33) και με χρήση της συνάρτησης θ = A tan2(sinθ,cosθ), προκύπτει ότι ( ) θ 2 = A tan2 r 31, r 11 2 + r 21 2 ( ) ( ) θ 3 = A tan2 r 21 / c 2,r 11 / c 2 θ 1 = A tan2 r 32 / c 2,r 33 / c 2 (2-34) Το πρόβλημα έχει και δεύτερη λύση, που αντιστοιχεί στην επιλογή: c 2 < (2-35) Η λύση αυτή παράγεται από τις εξισώσεις ( ) θ 2 = A tan2 r 31, r 11 2 + r 21 2 ( ) ( ) θ 3 = A tan2 r 21 / c 2,r 11 / c 2 θ 1 = A tan2 r 32 / c 2,r 33 / c 2 (2-36) 2-15

Στα παραπάνω υποθέσαμε ότι θ 2 9. Αν όμως θ 2 =9, τότε c 2 = επομένως οι γωνίες περιστροφής θ 1, θ 3, δεν μπορούν να βρεθούν. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ιδιομορφία της συγκεκριμένης μεθόδου περιγραφής του προσανατολισμού, διότι εδώ η περιστροφή γύρω απ' τον άξονα ˆx 2 έχει την ίδια επίδραση με την περιστροφή γύρω απ' τον ẑ και επομένως οι γωνίες θ 1, θ 3, δεν μπορούν να προσδιοριστούν ανεξάρτητα η μία από την άλλη. Για να δούμε πως γίνεται αυτό, ξεκινάμε από την Εξ. (2-3) και θέτουμε c 2 =. Τότε έχουμε R 3 ( θ 1,9,θ 3 )= Άρα, οι γωνίες αυτές υπολογίζονται ως s 3 c 1 + c 3 s 1 s 1 s 3 + c 1 c 3 c 3 c 1 + s 3 s 1 s 1 c 3 + c 1 s 3 1 = s 31 c 31 c 31 s 31 1 (2-37) θ 3 θ 1 = A tan2( r 12,r 22 ) (2-38) Σημείωση 1. Aπό τους δώδεκα ορισμούς γωνιών Euler (12), οι πλέον χρησιμοποιούμενοι είναι οι Ζ-Υ-Ζ γωνίες Euler (η αρχική διατύπωση από τον Euler) Ζ-Υ-Χ γωνίες Euler 3-2-1 γωνίες Euler (ισοδύναμο με το προηγούμενο) Roll-Pitch-Yaw (ισοδύναμο με το προηγούμενο) Bryant, ait-bryant Σημείωση 1. Εάν κάπου χρησιμοποιούνται γωνίες α,β,γ τότε η αντιστοιχία των γωνιών είναι θ 3 = α, θ 2 = β, θ 1 = γ. 2-9-3 Ζεύγος Ισοδύναμης Γωνίας-Άξονα Περιστροφής Στην περίπτωση αυτή, η νέα θέση {1} του σωματόδετου ΣΣ προκύπτει από μία περιστροφή του ΣΣ {} κατά γωνία θ γύρω από κάποιο άξονα ˆk = k x,k y,k z, βλ. Σχ. 2-14. 2-16

Σχήμα 2-14. Μετά από κάποια περιστροφή γύρω από τον άξονα ˆk, το σωματόδετο ΣΣ βρίσκεται στη θέση {1}. Εάν είναι γνωρίζουμε τη γωνία και τον άξονα περιστροφής, τότε ο πίνακας περιστροφής δίνεται από την εξίσωση (χωρίς απόδειξη): R 1 = R k (θ) = I 3 cosθ + ˆkˆk Τ (1 cosθ) + όπου I 3 είναι ο μοναδιαίος πίνακας 3 3, συμμετρικος ορος ˆk sinθ (2-39) αντισυμμετρικος ορος και όπου ˆk = k x,k y,k z ˆk = k z k y k z k x k y k x (2-4) Παράδειγμα 2-6 Το ΣΣ {1} λαμβάνεται περιστρέφοντας το {} γύρω απ τον άξονα ẑ κατά γωνία θ. Τότε ισχύει: R k (θ) = + 1 1 1 1 1 ˆk = [,,1] cθ + 1 sθ = 1 cθ sθ sθ cθ 1 (1 cθ) + = R z (θ) Παρατηρούμε ότι χρειάζονται τέσσερις αριθμοί χρειάζονται για να ορισθούν τα ˆk, θ : ˆk = k x,k y,k z, θ. 2-17

Όμως, μόνο τρεις μπορούν να είναι ανεξάρτητοι. Επομένως, πρέπει να υπάρχει και κάποιος περιορισμός. Αυτός προκύπτει από το γεγονός ότι το μέτρο του μοναδιαίου κατά τον άξονα περιστροφής πρέπει να είναι πάντοτε 1: k x 2 + k y 2 + k z 2 = 1 (2-41) Αν τα συνημίτονα κατεύθυνσης του R 1 είναι γνωστά, οι παράμετροι που μας ενδιαφέρουν δίνονται από τις ακόλουθες εξισώσεις: r θ = cos 1 11 + r 22 + r 33 1 2 r 32 r 23 1 ˆk = r 13 r 31 2sinθ r 21 r 12 (2-42) Παρατηρήσεις Αν θ =,±2π,, το ˆk δεν ορίζεται. Αν θ =±π,±3π,, τότε R = 2 ˆkˆk Τ I 3 2-9-4 Παράμετροι Euler Αυτές ορίζονται ως ένα διάνυσμα ε και μια παράμετρο ε 4 : ε = ε 1 ε 2 ε 3 = ˆksin(θ /2), ε 4 = cos(θ /2) (2-43) Εάν είναι γνωστές οι παράμετροι Euler, τότε ο πίνακας περιστροφής δίνεται από την εξίσωση R ε = ( 2ε 2 4 1)I 3 + 2ε 4 ε + 2ε ε (2-44) Το διάνυσμα στήλης (ε, ε 4 ) = [ ε 1,ε 2,ε 3,ε 4 ] λέγεται μοναδιαίο quaternion (unit quaternion). Τα (ε,ε 4 ), λέγονται και τετραγωνικές αναλλοίωτες (quadratic invariants). Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, έτσι και εδώ υπάρχει ένας περιορισμός μεταξύ των παραμέτρων Euler: ε 1 2 + ε 2 2 + ε 3 2 + ε 4 2 = 1 (2-45) Αν δίνεται ο πίνακας περιστροφής R, τότε οι παράμετροι υπολογίζονται ως εξής: 2-18

ε 4 = 1 ( 2 1+ r + r + r 11 22 33) 1/2 θ π ε = 1 4ε 4 r 32 r 23 r 13 r 31 r 21 r 12 (2-46) Αν ε 4 =, τότε ε = ˆk (2-47) ή ακριβέστερα έχουμε ε =±ˆk. Αυτή η περιγραφή χρησιμοποιείται στην υπολογιστική δυναμική διότι παρουσιάζει τα λιγότερα προβλήματα (ιδιομορφίες). 2-19