Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος
Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό νόμο ελέγχου (ανατροφοδότηση κατάστασης): u( k) = Kx( k) Το κλειστό σύστημα θα είναι x( k+ ) = ( A BF) x( k) με αποτέλεσμα την μετατόπιση των ιδιοτιμών (πόλων) του συστήματος σε νέες θέσεις. Ο στόχος είναι να επιλέξουμε το πίνακα F ώστε το κλειστό σύστημα να έχει κάποια επιθυμητή συμπεριφορά (ευστάθεια, ταχύτητα απόκρισης, εύρος ζώνης). Ψηφιακός Έλεγχος
Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Οι ιδιοτιμές του συστήματος ανοικτού βρόχου είναι και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι ( λ ) p z = z = zi A = z + a z +... + a z+ a i= λ, λ,..., λ i Θέλουμε να βρούμε ένα πίνακα F ώστε οι ιδιοτιμές του κλειστού συστήματος να είναι * * * λ, λ,..., λ με αντίστοιχο χαρακτηριστικό πολυώνυμο * ( * ) * = λ * * i = + = + +... + + i= p z z zi A BF z a z a z a Πότε όμως είναι δυνατό να ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να έχει οποιεσδήποτε ιδιοτιμές ; Ψηφιακός Έλεγχος 3
Θεώρημα Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Υπάρχει πίνακας ανατροφοδότησης κατάστασης F ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να έχει οποιεσδήποτε νέες ιδιοτιμές αν και μόνο αν το σύστημα ανοιχτού βρόχου είναι ελέγξιμο, δηλαδή αν και μόνο αν raks = όπου = ο πίνακας ελεγξιμότητας. S B AB A B... A B Έτσι, αν το ανοικτό σύστημα δεν είναι ελέγξιμο, υπάρχει τουλάχιστο μία ιδιοτιμή του πίνακα Α που παραμένει ίδια κάτω από οποιοδήποτε γραμμικό νόμο ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης. Σε αυτές τις περιπτώσεις μπορούμε να εφαρμόσουμε δυναμικούς ρυθμιστές, όπως PID ελεγκτές. Ψηφιακός Έλεγχος 4
Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Θεωρούμε ένα ελέγξιμο σύστημα μίας εισόδου μίας εξόδου x( k+ ) = Ax( k) + bu( k) ο έλεγχος είναι γραμμικός της μορφής u( k) = f x( k) το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου είναι ( λ ) p z = z = zi A+ Bf = z + a z +... + a z+ a * * * * * i i= * * * λ, λ,..., λ Ποιο είναι το διάνυσμα f ώστε το κλειστό σύστημα να έχει ιδιοτιμές ; Τύπος του Ackerma () f W S a * -a a... a 0... a όπου W =........ 0 0 = a * * a a * a a =. a =... * a a Ψηφιακός Έλεγχος 5
Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Στην περίπτωση που το σύστημα βρίσκεται σε κανονική ελέγξιμη μορφή με 0 0... 0 0 0... 0 0 0 0... 0 A =.......... 0 0 0... a a a... a 0 0 0 b =.. 0 W S τότε το γινόμενο έχει τη μορφή 0... 0 0... 0 W S = I =...... 0 0 0 0 οπότε f I ( a* -a) * a a * a a = =.. * a a Ψηφιακός Έλεγχος 6
Τύπος του Ackerma () Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών * Μια εναλλακτική μορφή του τύπου είναι: f = es p( A) όπου e = [ 0 0... 0 ] p * ( A) και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο με όρισμα τον πίνακα Α: p A = A + a A +... + a A+ a I * * * * Στην περίπτωση που όπου το σύστημα είναι πολλών εισόδων, ο υπολογισμός του πίνακα F είναι δύσκολος. Το πρόβλημα μπορεί να παρακαμφθεί με την εξής προσέγγιση: Θεωρούμε ότι ο πίνακας F είναι της μορφής F = qp όπου q, p είναι διανύσματα διάστασης : A BF = A Bqp = A bp Τότε: όπου b= Bq Ψηφιακός Έλεγχος 7
Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Όπως παρατηρούμε, γίνεται αναγωγή στο πρόβλημα εύρεσης του πίνακα F για σύστημα μίας εισόδου. Παρατήρηση: Αυτή η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο αν όπου = S b Ab A b... A b raks και b= Bq = Παράδειγμα: Θεωρούμε σύστημα της μορφής x( k+ ) = Ax( k) + bu( k) με 0 0 A=, b= 0 ˆ λ =, ˆ λ = 0.5 Να βρεθεί το διάνυσμα f ώστε οι ιδιοτιμές του συστήματος να είναι Ψηφιακός Έλεγχος 8
Λύση: Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών p z = zi A = z + pˆ z = z ˆ λ z ˆ λ = z + 0.5z 0.5 Έχουμε ενώ Μέθοδος η : Καθως το σύστημα βρίσκεται σε κανονική ελέγξιμη μορφή,το διάνυσμα f δίνεται κατευθείαν απο τη σχέση Μέθοδος η : f f aˆ a.5 aˆ a 0.5 * = = = Από τη σχέση f W S ( aˆ -a) = a 0 0 0 W = = 0 S = [ b Ab] = 0 Ψηφιακός Έλεγχος 9
Επομένως Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών W S και 0 W S = 0 Έτσι f W S ( aˆ -a) 0 0 0 = 0 = 0 0 0 0.5 0 0 0.5.5 = = 0 = = 0.5 0 0.5 0.5 Μέθοδος 3 η : Θα εφαρμόσουμε τη η * μέθοδο του Ackerma f = es p( A) pˆ( A) = A + aˆ A+ aˆ I = A + 0.5A 0.5I = 0 0 0 = + 0.5 0.5 = 0 0 0 Ψηφιακός Έλεγχος 0
Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών (συνέχεια) 0 0 0.5 0.5 0.5 0.5 = + + = 0 0.5 0 0 0.5 0.5.5 [ ] 0 S b Ab = = 0 Έτσι * 0.5 0.5 f = e S p A = 0 = 0.5.5 [ 0 ] [.5 0.5] Και οι τρεις μέθοδοι δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Ψηφιακός Έλεγχος
Παράδειγμα: Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα x( k+ ) = Ax( k) + bu( k) με 0 0 0 A= 0 0, b 0 = 0 0 Να βρεθεί τό διάνυσμα f ώστε οι ιδιοτιμές του κλειστού συστήματος να είναι Λύση: ˆ λ = 0.5, ˆ λ = 0, ˆ λ = 0 3 p z = zi A = z Έχουμε 3 και ( ˆ )( ˆ )( ˆ ) 3 = λ λ λ = + pˆ z z z z z 0.5z 3 Ψηφιακός Έλεγχος
Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Μέθοδος η : Επειδή το σύστημα βρίσκεται σε κανονική ελέγξιμη μορφή έχουμε f * 0+ = 0 0 0 + = 0.5 + 0 0.5 aˆ 3 3 * f = f = aˆ a aˆ a a Μέθοδος η : Από τη σχέση f W S ( aˆ -a) = W a a 0 0 = 0 a = 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 = 0 0 S b Ab A b Ψηφιακός Έλεγχος 3
W S Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 και W S = 0 0 0 0 Τελικά 0 0 0.5 0 0 0 0.5 f = ( W S ) ( aˆ a) = 0 0 0 0 0 0 0 0 = = 0 0 0 0 0 0.5 Μέθοδος 3 η : 3 3 pˆ A = A + aˆ A + aˆ A+ aˆ I = A + 0.5A = 3 3 0 0 0 0 0 0.5 = 0 0 0.5 0 0 0.5 0 + = 0 0 0 0 0 0.5 Ψηφιακός Έλεγχος 4
S b Ab A b Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών 0 0 = 0 0 = 0 0 Έτσι 0 0 0 0.5 = ˆ = 0 0 0 0 0.5 0 = 0 0.5 0 0 0 0.5 f e S p A [ ] [ ] Ψηφιακός Έλεγχος 5
Παράδειγμα: Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα x( k+ ) = Ax( k) + bu( k) = W S Υπάρχει πίνακας μετασχηματισμού ο οποίος μεταχηματίζει στο σύστημα ( + ) = + z k Az k bz k όπου οι πίνακες είναι στην κανονική ελέγξιμη μορφή a a... a a 0... 0 0 0 A =, b=.................. 0 0... 0 0 ( A, b) ( A, b ) Για τα συστήματα ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις, = =, =, =, = z k x k A A b b S S S W Ψηφιακός Έλεγχος 6
Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Να αποδειχτεί η σχέση f = es pˆ ( A) Λύση: Έστω f το ζητούμενο διάνυσμα για το μετασχηματισμένο σύστημα. Είναι φανερό ότι f = [ a a a a a a ]... Το θεώρημα Caley-Hamilto δηλώνει ότι κάθε τετραγωνικός πίνακας ικανοποιέι τη χαρακτηριστική του εξίσωση. Επειδή όμοιοι πίνακες όπως οι A, A έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο, για τον πίνακα A το θεώρημα Caley-Hamilto θα είναι Έτσι, ο πίνακας θα είναι A + a A +... + a A + a I = 0 A A = aa ˆ... aˆ A ai ˆ Ψηφιακός Έλεγχος 7
Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Αντικαθιστώντας την προηγούμενη σχέση στη pˆ A = A + aˆ A +... + aˆ A + aˆ I έχουμε ˆ( ) = ( ˆ ) +... + ( ˆ ) + ( ˆ ) p A a a A a a A a a I k A [... ] Αν εξετάσουμε τον πίνακα παρατηρούμε ότι όλα τα στοιχεία της τελευταίας γραμμής του είναι μηδέν, εκτός απο το στοιχείο στην θέση -k. Επομένως, το διάνυσμα f που δίνεται απο τη σχέση f = a a a a a a γράφεται ως εξής: f = [ 0 0... 0 ] pˆ ( A ) Αν στην παραπάνω σχέση αντικαταστήσουμε τη σχέση A = A [ 0 0... 0 ] ˆ [ 0 0... 0 ] ˆ f = f = p A = p A Ψηφιακός Έλεγχος 8
Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών [ ] [ ] Επειδή 0 0... 0 S = 0 0... 0 και χρησιμοποιώντας τη έχουμε ˆ ˆ ˆ f = e W S p A = e SS p A = e S p A = W S Ψηφιακός Έλεγχος 9
Έλεγχος deadbeat Η λύση του κλειστού συστήματος x( k+ ) = ( A BF) x( k) k = ( ) ( 0) x k A BF x είναι όπου x(0) η αρχική συνθήκη του διανύσματος κατάστασης. ˆ λ, ˆ λ,..., ˆ λ Αν οι ιδιοτιμές του πίνακα Α-ΒΚ είναι μέσα στο μοναδιαίο κύκλο, τότε το σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές, πράγμα που σημαίνει ότιωω x k όταν ˆ λ = ˆ λ =... = ˆ λ = 0 0 k Για την ειδική περίπτωση όπου συμβαίνει κάτι πολύ ενδιαφέρον: Το διάνυσμα x(k) θα γίνει μηδέν για k Έτσι, το κλειστό σύστημα θα έλθει και θα παραμείνει σε πλήρη ακινησία το πολύ σε δειγματοληψίες. Έλεγχος τέτοιας μορφής ονομάζεται deadbeat και έχει εξαιρετικό και πρακτικό ενδιαφέρον. Είναι προφανές ότι για να επιτύχουμε έλεγχο deadbeat θα πρέπαι να επιλέξουμε τον πίνακα F ώστε όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα (Α-ΒF) να είναι μηδέν, δηλαδή pˆ z = zi A+ BF = z Ψηφιακός Έλεγχος 0
Έλεγχος deadbeat Το προηγούμενο είναι εφικτό αν το σύστημα (Α,Β) είναι ελέγξιμο. Παρατήρηση: Καθώς στον έλεγχο deadbeat ο χρόνος αποκατάστασης είναι μικρότερος η ίσος με, ο χρόνος δειγματοληψίας Τ επηρεάζει σημαντικά το πλάτος του σήματος ελέγχου u(k). Έτσι, όσο πιο γρήγορα θέλουμε το x(k) να φτάσει στο μηδέν (μικρό ) τόσο πιο μεγάλη προσπάθεια πρέπει να καταβάλλουμε (μεγάλο πλάτος του u(k)). Ή επιλογή του Τ πρέπει να είναι τέτοια ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο δειγματοληψίας του Shao αλλά και το πλάτος του u(k) να είναι σε ανεκτά όρια. Μόνο έτσι ο έλεγχος deadbeat μπορεί να εφαρμοστεί στην πράξη. Θα ασχοληθούμε με την περίπτωση όπου το σύστημα βρίσκεται στην κανονική ελέγξιμη μορφή και το διάνυσμα f δίνεται απο τη σχέση ( ˆ ) [ ˆ ˆ... ˆ ] * f = I a a = a a a a a a Ψηφιακός Έλεγχος
Έλεγχος deadbeat * Επειδή ο έλεγχος είναι deadbeat τότε f = I ( aˆ a) = [ a a... a ] Για αυτήν την τιμή του f, o πίνακας A bf θα πάρει τη μορφή (πίνακας ilpotet ) 0 0... 0 0 0... 0 A bf =............... 0 0 0... 0 0 0... 0 Εύκολα αποδεικνύεται ότι ( A bf ) = 0 k Έτσι x k = A bf x 0 = 0, k Ψηφιακός Έλεγχος
Έλεγχος deadbeat Παράδειγμα: Θεωρούμε το σύστημα του διπλού ολοκληρωτή s = U( s) Y s Μια περιγραφή του συστήματος στο χώρο κατάστασης είναι = +, = x t Ax t bu t y t c x t x y 0 0 = =, =, =, = 0 0 0 x A b c x y Το ισοδύναμο μοντέλο διακριτού χρόνου είναι όπου c= c (( + ) ) = +, = x k Ax k bu k y k c x k Ψηφιακός Έλεγχος 3
Οι πίνακες Α, b υπολογίζονται : Έλεγχος deadbeat ( ) At t A e L si A = = = t= 0 = 0 t= λ ( ) Aλ 0.5 b= e dλ b = dλ b 0 = 0 0 Να προσδιοριστεί ένα διάνυσμα f για έλεγχο deadbeat. Να μελετηθεί το u(0) και u() για x = διάφορες τιμές του Τ και όταν το διάνυσμα αρχικών συνθηκών είναι 0 [ ] Λύση: = ( ˆ - ) f W S a a Έχουμε zi A = z = z z +, pˆ z = z Ψηφιακός Έλεγχος 4
W a 0 0 = = Έλεγχος deadbeat 0.5.5 S = [ b Ab] = = 0.5 0.5 W S 0 = 0 = ( aˆ a) Έτσι, f W S aˆ -a = = = 3 Ο πίνακας του κλειστού συστήματος είναι / /4 A bf = / / Ψηφιακός Έλεγχος 5
Έλεγχος deadbeat Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του κλειστου συστήματος είναι z 0.5 / 4 pˆ z zi A bf z / z+ 0.5 = + = = Επίσης έχουμε ( A bf ) = 0, q> Έτσι, x( k ) = 0, k > q Για το σήμα ελέγχου u(k): u( k) f x( k) / 3/ x( k) = = 3 Για k=0 u ( 0) = / 3/ x ( 0) = x ( 0) + x ( 0) Για k= u = f ( A bf ) x( 0) = x( 0) + x( 0) Ψηφιακός Έλεγχος 6
Έλεγχος deadbeat Για k= u f ( A bf ) x = 0 = 0 Για x ( 0) = x( 0) x( 0) = [ ] έχουμε u( 0) = ( / + 3/) u 0 = / + / και Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι τιμές του ελέγχου για τρεις διαφορετικούς χρόνους δειγματοληψίας: Τ 00 0 0. 0.0 u(0) -0.05-0.6 -.5-5 -050 u() 0.005 0.06.5 05 0050 Ψηφιακός Έλεγχος 7
Παρατηρητές Πολλές φορές δεν είναι δυνατό να μετρηθούν όλες οι καταστάσεις ενός δυναμικού συστήματος. Αν έχουμε το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος, μπορούμε να υπολογίσουμε το διάνυσμα κατάστασης από ήδη μετρημένες εισόδους και εξόδους. Υπάρχουν τρόποι εκτίμησης του διανύσματος κατάστασης:. Εκτίμηση με βάση τις εισόδους και τις εξόδους του συστήματος.. Εκτίμηση χρησιμοποιώντας ένα δυναμικό σύστημα (παρατηρητής κατάστασης) Ψηφιακός Έλεγχος 8
Απευθείας υπολογισμός Θεωρούμε το γραμμικό δυναμικό σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + = Cx( k) x k Ax k Bu k y k Γνωρίζουμε τις τιμές των εισόδων και εξόδων όλες τις προηγούμενες χρονικές στιγμές: ( ) ( ) y k, y k,.. u k, u k,.. Για τη γενική περίπτωση αλλά με βαθμωτή έξοδο έχουμε.. ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) + ( + ) y k c x k y k c Ax k c Bu k ( ) = + + ( + ) +... + ( ) y k c A x k c A Bu k c Bu k Ψηφιακός Έλεγχος 9
Γράφοντας τις παραπάνω εξισώσεις σε μορφή πινάκων έχουμε: Απευθείας υπολογισμός y k + u k + y k + u k +. = Ox( k + ) +Ω... y( k) u( k ) με O c 0 0.. 0 cb 0.. 0 c A =., Ω=........... 3 c A c A B c A B.. c B Ψηφιακός Έλεγχος 30
Φαίνεται καθαρά ότι ο πίνακας Ο είναι ο πίνακας παρατηρησιμότητας. Αν το σύστημα είναι παρατηρήσιμό (rako=) τότε ο πίνακας Ο είναι αντιστρέψιμός. Έτσι: y k + u k + y k + u k + x( k + ) = O. O Ω... y( k) u( k ) Επίσης x( k ) Ax( k ) Bu( k ) y( k + ) u( k + ) y( k + ) u( k + ) Απευθείας υπολογισμός + = + + + =. Ω. + +.. y( k) u( k ) A O O Bu k Ψηφιακός Έλεγχος 3
Απευθείας υπολογισμός Τελικά x( k) = +Ψ A O y k + u k + y k + u k +.... y( k) u( k ) όπου 3 Ψ = A B A B.. B A O Ω Ο υπολογισμός του διανύσματος κατάστασης γίνεται μετά από το πολύ βήματα (για αυτό και ο παρατηρητής ονομάζεται deadbeat). Θεώρημα Το διάνυσμα κατάστασης μπορεί να υπολογιστεί απο μετρήσεις εισόδων και εξόδων αν και μόνο αν το σύστημα είναι παρατηρήσιμο. Ψηφιακός Έλεγχος 3
Απευθείας υπολογισμός Παράδειγμα: Θεωρούμε το σύστημα του διπλού ολοκληρώτη απο προηγούμενο παράδειγμα, το οποίο έχει υποστεί δειγματοληψία. Το ισοδύναμο μοντέλο διακριτού χρόνου είναι (( + ) ) = +, = x k Ax k bu k y k c x k A = 0 b 0.5 = c = 0 Να υπολογιστούν οι μεταβλητές κατάστασης ως συναρτήσεις των u(k) και y(k). Λύση: Ο πίνακας παρατηρισιμότητας είναι R είναι c 0 R = = c A Ψηφιακός Έλεγχος 33
Επίσης έχουμε Απευθείας υπολογισμός 0 0 R = = / / R 0 0 0 cb / / / / Ω= R = = έτσι / 0 0 Ψ= B AR Ω= 0 = / / Επίσης 0 0 A R = AR = 0 = / / / / Ψηφιακός Έλεγχος 34
Τελικά Απευθείας υπολογισμός ( ) y( k) 0 y k 0 x k = + u k / / / 0 0 / / / ή x( k ) = y ( k ) + y ( k ) + u ( k ) Από την εξίσωση εισόδου y( k) = c x( k) = [ 0] x( k) = x ( k) Φαίνεται ότι η πρώτη μεταβλητή κατάστασης μετριέται απευθείας απο την έξοδο ενώ η δεύτερη μεταβλητή κατάστασης μετριέται απο την παραπάνω σχέση, όπου τελικά είναι ( ) y k y k x ( k ) = + u k Ψηφιακός Έλεγχος 35
Απευθείας υπολογισμός Παρατήρηση: Ο κατευθείαν υπολογισμός του διανύσματος κατάστασης έχει το πλεονέκτημα ότι επιτυγχάνεται σε το πολύ βήματα. Όμως, η τεχνική αυτή εχει το μειονέκτημα ότι μπορεί να είναι ευαίσθητη σε διαταραχές. Μια εναλλακτική μέθοδος είναι η ανακατασκευή του διανύσματος κατάστασης όπως θα παρουσιαστεί παρακάτω Ψηφιακός Έλεγχος 36
Παρατηρητής κατάστασης Θεωρούμε ότι το διάνυσμα κατάστασης προσεγγίζεται από την κατάσταση του μοντέλου xˆ k+ = Ax ˆ ˆ k + Bu ˆ k + Ky k ˆx( k) Όπως φαίνεται και από το παρακάτω σχήμα, ο παρατηρητής κατάστασης έχει δύο εισόδους, το διάνυσμα εισόδου u(k) και το διάνυσμα εξόδου y(k). x( k ) Θα μελετήσουμε την περίπτωση όπου τα διανύσματα και ˆx k έχουν τις ίδιες διαστάσεις (παρατηρητής πλήρους τάξης). u( k) ( ) x k+ = Ax k + Bu k C x( k ) y( k) ( + ) = ˆ ˆ + ˆ + xˆ k Ax k Bu k Ky k ˆx( k) Ψηφιακός Έλεγχος 37
Ορίζουμε το σφάλμα e( k) = x( k) xˆ ( k) Παρατηρητής κατάστασης Πρέπει να προσδιοριστούν οι πίνακες Aˆ, BK ˆ, ώστε το σφάλμα e(k) να τείναι στο μηδέν: ( + ) = ( + ) ˆ ( + ) = + ˆ ˆ e k x k x k Ax k Bu k A x k e k Bu k KCx k ( + ) = ˆ + ˆ + ˆ ek Aek A KC Axk B Buk Όπως φαίνεται απο τα παραπάνω, για να τείνει το σφάλμα στο μηδέν πρέπει Aˆ = A KC = B Bˆ = B Aˆ ευσταθής Ψηφιακός Έλεγχος 38
Παρατηρητής κατάστασης Η εξίσωση διαφορών του σφάλματος είναι ek ( + ) = Aek ˆ = [ A KCek ] Έτσι, ο παρατηρητής κατάστασης περιγράφεται απο την εξίσωση : ( + ) = [ ] ˆ + + xˆ k A KC x k Bu k Ky k ή xˆ( k+ ) = Axˆ( k) + Bu( k) + K y( k) Cxˆ( k) Παρατηρήσεις. Ο πίνακας Κ υπολογίζεται έτσι ώστε ο πίνακας A-KC να έχει ιδιοτιμές μέσα στο μοναδιαίο κύκλο. Ο παρατηρητής μπορεί να θεωρηθεί μπορεί να θεωρηθεί σαν το αρχικό σύστημα μαζί με τον επιπλέον όρο K y ( k) Cxˆ ( k) Ψηφιακός Έλεγχος 39
Παρατηρητής κατάστασης Το δομικό διάγραμμα του παρατηρητή φαίνεται παρακάτω: u( k) B y ( k r ) ( k) + K + + + xˆ ( k+ ) z I ˆx ( k ) ˆ Cx k A C Σε αντιστοιχία με το πρόβλημα του ρυθμιστή, για να υπάρχει πίνακας Κ ώστε ο πίνακας A KC να παίρνει αυθαίρετες ιδιοτιμές πρέπει το σύστημα να είναι παρατηρήσιμο. Ψηφιακός Έλεγχος 40
Παρατήρηση Παρατηρητής κατάστασης Υπενθυμίζουμε ότι για να υπάρχει γραμμικός ρυθμιστής που να τοποθετεί αυθαίρετα τις ιδιοτιμές ενός συστήματος πρέπει το σύστημα να είναι ελέγξιμο, ή raks = όπου = S B AB.. A B Κατά αντιστοιχία, στην περίπτωση του παρατηρητή υπάρχει πίνακας Κ ώστε ο Aˆ = A C K να έχει αυθαίρετες ιδιοτιμές αν και μόνο αν το σύστημα (, ) A C είναι ελέγξιμο, ή ισοδύναμα, το σύστημα A, C είναι παρατηρήσιμο: rakr R C A C A C = όπου.. = Όπως φαίνεται οι παραπάνω συνθήκες είναι δυικές. Ψηφιακός Έλεγχος 4
Παρατηρητής κατάστασης Εξετάζουμε την περίπτωση όπου το γραμμικό σύστημα είναι μιας εξόδου. Τότε, ο πίνακας C είναι μια γραμμή, οπότε ο πίνακας R είναι ο τετραγωνικός x : Επίσης ο πίνακας είναι όπου = [ ] R= c A c.. A c  ˆ A = A kc k k k... k Όπως στην περίπτωση του ελεγκτή, έχουμε ( λ ) p z = z = zi A = z + a z +... + a z+ a i= ( ˆ λ ) i= i pˆ z = z = zi Aˆ = z + aˆ z +... + aˆ z+ aˆ i Για την περίπτωση όπου το σύστημα είναι μιας εξόδου το απαιτούμενο διάνυσμα k για να έχει ο παρατηρητής τις επιθυμητές ιδιοτιμές είναι μοναδικό Ψηφιακός Έλεγχος 4
Ψηφιακός Έλεγχος 43 Παρατηρητής κατάστασης Ένας τύπος που οδηγεί στον προσδιορισμό του k είναι ˆ k W R a a = όπου... 0........... 0 0 a a a W = ˆ ˆ.. ˆ a a a a =.. c c A R c A =.. a a a a = Για την περίπτωση όπου το σύστημα είναι πολλών εξόδων, ο προσδιορισμός του πίνακα Κ είναι συνήθως πολύπλοκος. Μια απλή προσέγγιση στο πρόβλημα είναι να θεωρήσουμε ότι ο πίνακας Κ έχει τη μορφή K qp = όπου q, p διανύσματα διαστάσεων.
Παρατηρητής κατάστασης Τότε, ˆ A = A KC = A qp C = A qγ γ = pc Με αυτόν τον τρόπο η λύση για το διάνυσμα q είναι σαν να ήταν το σύστημα μιας εξόδου. Βέβαια, το διάνυσμα γ αυθαίρετες παραμέτρους και συγκεκριμένα τα στοιχεία του αυθαίρετου διανύσματος p. Οι αυθαίρετες αυτές παράμετροι μπορούν να πάρουν οποιεσδήποτε τιμές, αρκεί όπου R ο πίνακας rakr = R = γ A γ... A γ Ψηφιακός Έλεγχος 44
Παράδειγμα: Παρατηρητής κατάστασης Για το σύστημα διπλού ολοκληρωτή A = 0 b 0.5 = c ( + ) = +, = x k Ax k bu k y k c x k = 0 να σχεδιαστεί παρατηρητής κατάστασης τέτοιος ώστε το σφάλμα e(k) να είναι deadbeat. Λύση: = ˆ e k x k x k c R = c A p z = zi A = z z+ Έχουμε οπότε rak(r)= επομένως το σύστημα είναι παρατηρήσιμο. Επίσης ˆ ˆ p z = zi A = zi A kc = z Ψηφιακός Έλεγχος 45
Παρατηρητής κατάστασης Έχουμε W a, = 0 = 0 aˆ 0 = 0 a = W R 0 0 0 = = ( W ) 0 R = / / 0 k = ( W R) ( aˆ a) = / / = / Ψηφιακός Έλεγχος 46
Θα κάνουμε επαλήθευση Παρατηρητής κατάστασης ˆ 0 A= A kc = 0 = / 0 / το σφάλμα είναι ek = xk xk ˆ = ( A kc ) ek ( ) Για k=0 έχουμε e 0 x 0 xˆ 0 d e 0 = = x( 0) xˆ ( 0) = = e ˆ 0 x 0 x 0 d Για k=, e() ( A kc ) e( 0) Για k=, () e A kc e( 0) d = = / d d 0 = = = / d 0 Ψηφιακός Έλεγχος 47
Ο αναλογικός ρυθμιστής Ρυθμιστής PID Για συστήματα συνεχούς χρόνου ο αναλογικός ρυθμιστής είναι u( t) = K e( t) Για συστήματα διακριτού χρόνου: u( k) = K e( k) G z = K Επομένως Ο ολοκληρωτικός ρυθμιστής c p Για συστήματα συνεχούς χρόνου u() t () p i t 0 p t K = e t dt K p επομένως Gc ( s) =, i ο χρόνος ολοκλήρωσης s i Για συστήματα διακριτού χρόνου η ολοκληρωτική εξίσωση περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών: K p u( k) u( k ) K p u = ek ή ( k) = u( k ) + e( k) i i Ψηφιακός Έλεγχος 48 p
Έτσι G ( z) c K p = = i ( z ) i ( z ) Ο διαφορικός ρυθμιστής Ρυθμιστής PID Kz Για συστήματα συνεχούς χρόνου u( t) = K e ( t) Έτσι, G s = K s, ο χρόνος διαφόρισης c p d d p p d Για συστήματα διακριτού χρόνου η διαφορική εξίσωση περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών: u k K e( k ) e k = p d Έτσι, z K p d z Gc z = Kpd = z Ψηφιακός Έλεγχος 49
Ο ρυθμιστής PID Ρυθμιστής PID Συνδυάζοντας τα προηγούμενα, για συστήματα συνεχούς χρόνου ο ρυθμιστής PID είναι Έτσι, t u t Kp e t e t dt de t i t0 Gc s = Kp + + ds s i () = () + () + () Για συστήματα διακριτού χρόνου Έτσι, k u k Kp e k e j e k e k i j= 0 i d = + + ( ) z d z Gc z = Kp + + i z i z Ψηφιακός Έλεγχος 50
Τελικά., κάνοντας τις πράξεις: Ρυθμιστής PID = ( ) z az + b Gc z K z z όπου K a = b = + + i d i = Kp i i d i + + i d i d + + i i d i Ψηφιακός Έλεγχος 5