A6. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

A6. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ.Ελαστικότητα.Χαρακτηρισµός ελαστικότητας 3.Ελαστικότητα αντίστροφης 4. ιαφορικά 5.Οµογενείς συναρτήσεις 6.Λογισµός ρυθµών και διαφορικών 7.Λογαριθµική κλίµακα. 8.Σχετικός ρυθµός-ρυθµός ανάπτυξης ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ελαστικότητα Θεωρούµε δύο µεταβλητές {,} που συνδέονται µεταξύ τους µε κάποια εξίσωση. Σε πολλές εφαρµογές αντί των µεταβολών {, } από κάποιες αρχικές τιµές τους, χρησιµοποιούµε τις σχετικές µεταβολές, ή ισοδύναµα τις ποσοστιαίες µεταβολές:,, % = 00,% = 00 αντίστοιχα. Στο όριο 0, βρίσκουµε τα παρακάτω µεγέθη: Παίρνοντας τον λόγο των µεταβολών βρήκαµε την παράγωγο που καλείται και ρυθµό µεταβολής του ως προς. Μετράει την µεταβολή του για αύξηση του κατά, οριακά. d = Παριστάνεται και µε m= D d Παίρνοντας τον λόγο των σχετικών ή ισοδύναµα των ποσοστιαίων µεταβολών, βρίσκουµε την ελαστικότητα του ως προς. Μετράει την ποσοστιαία µεταβολή του για αύξηση του κατά %, οριακά % / d = = Παριστάνεται και µε ε = E % / d Τα παραπάνω δύο µεγέθη ορίζονται µε αντίστοιχο τρόπο και για συναρτήσεις f() : f () m = Df() = f (), ε = Ef() = f() ιαπιστώνουµε ότι: Οι γραµµικές: = m + β, έχουν σταθερό ρυθµό m. Π.χ. = + β m = ε Οι δυνάµεις: = c, έχουν σταθερή ελαστικότητα ε. Π.χ. = c ε = 0.5 Παράδειγµα. = + m = =, ε = / = /+ Π.χ. στο = : m() = 4, ε () = 8 / 5 =.6. Χαρακτηρισµός ελαστικότητας ιαπιστώσαµε ότι το πρόσηµο της παραγώγου καθορίζει τις ιδιότητες µονοτονίας της συνάρτησης. Το πρόσηµο της ελαστικότητας συµπίπτει µε αυτό της παραγώγου, στη θετική τουλάχιστον περιοχή, οπότε δεν µας δίνει κάτι καινούργιο. Στην ελαστικότητα µας ενδιαφέρει ιδιαίτερα το µέγεθος. Μάλιστα σε πολλές εφαρµογές η ελαστικότητα ορίζεται ως το µέτρο: ε = /, οπότε είναι πάντοτε θετική. Λέµε ότι η εξάρτηση του από το είναι: ελαστική αν E >, ανελαστική αν E <, ισοελαστική αν E = Έτσι, είναι: ελαστική αν µια ποσοστιαία µεταβολή του προκαλεί γνήσια µεγαλύτερη ποσοστιαία µεταβολή του σε απόλυτες τιµές, οριακά ανελαστική αν µια ποσοστιαία µεταβολή του προκαλεί γνήσια µικρότερη ποσοστιαία µεταβολή του σε απόλυτες τιµές, οριακά. ισοελαστική αν µια ποσοστιαία µεταβολή του προκαλεί ίση ποσοστιαία µεταβολή του σε απόλυτες τιµές, οριακά. Για την γραφική διατύπωση των παραπάνω χαρακτηρισµών θεωρούµε την παράσταση του µέτρου της ελαστικότητας στη µορφή: d d / d οριακός ρυθµός κλίση εφαπτοµένης ε = E = d = / = µέση τιµή = κλίση ακτίνας

Έτσι, στο τυχόν σηµείο (,) της καµπύλης του γραφήµατος, η εξάρτηση του από το είναι: ελαστική αν η εφαπτόµενη είναι περισσότερο απότοµη από την ακτίνα, δηλαδή ο οριακός ρυθµός είναι µεγαλύτερος από την µέση τιµή, ως απόλυτα µεγέθη. ανελαστική αν η εφαπτοµένη είναι λιγότερο απότοµη από την ακτίνα, δηλαδή ο οριακός ρυθµός είναι µικρότερος από την µέση τιµή, ως απόλυτα µεγέθη. ισοελαστική αν η εφαπτοµένη είναι το ίδιο απότοµη µε την ακτίνα, δηλαδή ο οριακός ρυθµός συµπίπτει µε την µέση τιµή, ως απόλυτα µεγέθη. Παρατήρηση. Τα τµήµατα ελαστικότητας και ανελαστικότητας χωρίζονται από τα σηµεία ισοελαστικότητας: ε = / = ±. ή από ασυνέχειες της ελαστικότητας. Αν δεν υπάρχουν τότε έχουµε παντού ελαστικότητα ή ανελαστικότητα. Παράδειγµα. Θα εξετάσουµε τις ελαστικότητες των παρακάτω συναρτήσεων στη θετική περιοχή. ( ). = για 0. Φθίνουσα, µε ε = = < 0. Είναι: ισοελαστική για ε = = / 3 < ανελαστική για < ε < 0 0 < / 3 ελαστική για ε < / 3 <. = e για 0. Αύξουσα, µε ε = e / e = > 0. Είναι: ισοελαστική για ε = = ανελαστική για 0 ε < 0 < ελαστική για ε > > 3. =, για. Αύξουσα, µε ε = 0 = > ε = =, δεν έχει λύση. Είναι παντού ελαστική. 4. =, είναι παντού ισοελαστική: ε. 3. Ελαστικότητα αντίστροφης > Η ελαστικότητα του ως προς είναι το ανάστροφο της ελαστικότητας του ως προς, στα ίδια (,), διότι έχουµε: () F(, ) = c E = = = () E Εποµένως, µεταξύ των αντίστροφων συναρτήσεων { = (), = ()}, έχουµε ισοελαστικότητα στα ίδια σηµεία, ενώ εναλλάσσονται τα τµήµατα ελαστικότητας και ανελαστικότητας, στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων. Παρατήρηση. Αναφέρουµε ειδικά τις γραµµικές σχέσεις που εκφράζονται µε οριζόντιες ή κατακόρυφες ευθείες. Λέµε ότι η εξάρτηση του από το είναι: πλήρως ανελαστική αν = c E = 0, πλήρως ελαστική αν = c E = /Ε = /0= Αντίστοιχη ορολογία χρησιµοποιούµε για την εξάρτηση του από το. Παράδειγµα. Η έχει E =, ως δύναµη βαθµού και είναι ελαστική. = / Οι αντίστροφες =± έχουν E = /, ως δυνάµεις βαθµού /, και είναι ανελαστικές Παράδειγµα. Θεωρούµε τη γραµµική εξίσωση: = + 4, = E= /= / + = 4 = 0.5+, = 0.5 E= /= / Έτσι οι δύο ελαστικότητες είναι ανάστροφες µεταξύ τους. Στο γράφηµα δίνουµε τα σηµεία ισοελαστικότητας, ελαστικότητας και ανελαστικότητας, καθώς και τα σηµεία όπου η ελαστικότητα είναι µηδενική ή άπειρη, στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων. 4. ιαφορικά > 0 < E > < > > E < 0

Θεωρούµε δύο µεταβλητές που συνδέονται µε µια εξίσωση: = f(). Όπως εξηγήσαµε σε προηγούµενο κεφάλαιο, αρχίζοντας από κάποιες αρχικές τιµές: {,} που ικανοποιούν την εξίσωση: 0ι µεταβολές: {, }, ορίζονται ως µετατοπίσεις πάνω στη καµπύλη της και ικανοποιούν την εξίσωση µεταβολών: = f(+ ) f() τα διαφορικά: {d, d} ορίζονται ως µετατοπίσεις πάνω στην εφαπτόµενη ευθεία της καµπύλης στο ίδιο σηµείο και ικανοποιούν την απλούστερη (γραµµική) εξίσωση διαφορικών: d = ()d Οι δύο έννοιες: {µεταβολές, διαφορικά}, συµπίπτουν µόνο για τις γραµµικές εξισώσεις. Στη γενική περίπτωση τα διαφορικά δίνουν µια εκτίµηση των µεταβολών όταν αυτές είναι µικρές, µε την παρακάτω έννοια: Αν = d 0 τότε /d εφόσον d 0 δηλαδή εφόσον () 0 Για τον λόγο αυτό τα διαφορικά ονοµάστηκαν και οριακές µεταβολές. Σε αντιστοιχία µε τα διαφορικά ορίζονται: τα σχετικά διαφορικά ή ισοδύναµα τα ποσοστιαία διαφορικά ως εκτιµήσεις των αντίστοιχων σχετικών ή ποσοστιαίων µεταβολών: d d d d, ή %d = 00, %d = 00 Από τον ορισµό τους διαπιστώνουµε ότι όπως η παράγωγος ισούται µε το λόγο των διαφορικών, έτσι και η ελαστικότητα ισούται µε το λόγο των σχετικών ή ισοδύναµα των ποσοστιαίων διαφορικών, οπότε έχουµε: d = md m= D = όπου: %d = ε(%d) ε = E = / Παράδειγµα. Η συνάρτηση = +, έχει παράγωγο και ελαστικότητα: m= =, ε = / = /( + ) αντίστοιχα. Π.χ. στο =, βρίσκουµε: m() = 4, ε() = 8 / 5, οπότε οι µεταβολές και οι ποσοστιαίες µεταβολές από τις τιµές: ( =, = 5), θα συνδέονται οριακά µε τις σχέσεις: (d) = 4(d), (% d) = (8 / 5)(%d) 5. Οµογενείς συναρτήσεις µιας µεταβλητής, καλούνται οι συναρτήσεις δυνάµεις: κ f() = c Έχουν σταθερή ελαστικότητα ίση µε τη δύναµη: ε = κ, οπότε έχουµε και την σχέση: %df = κ(%d) Η ελαστικότητα οµογενούς συνάρτησης καλείται και βαθµός οµογένειας. Ειδικά: οµογενείς βαθµού είναι οι γραµµικές οµογενείς: α, και οµογενείς βαθµού 0 είναι οι σταθερές συναρτήσεις: c Λέµε ότι η οµογενής συνάρτηση έχει απόδοση κλίµακας: αύξουσα αν κ >, φθίνουσα αν κ <, σταθερή αν κ = Παράδειγµα. Η = 0 3/ είναι αύξουσας απόδοσης κλίµακας. Αν το αυξηθεί κατά % από οιαδήποτε αρχική τιµή, το θα µεταβληθεί οριακά κατά: % %d = ε(%d) = ( 3 / )% Σε απόλυτες τιµές η ποσοστιαία µεταβολή του είναι µεγαλύτερη από του. 6. Λογισµός ρυθµών και διαφορικών. Θεωρούµε δύο συναρτήσεις της ίδιας µεταβλητής: {u u(),v v()} = =. H παράγωγος έχει απλές ιδιότητες ως προς γραµµικούς συνδυασµούς των συναρτήσεων, όπου προκύπτει ως ο αντίστοιχος γραµµικός των επιµέρους παραγώγων: D(αu) = αdu, D(u + v) = Du + Dv, D(u v) = Du Dv Η ελαστικότητα έχει απλές ιδιότητες ως προς το γινόµενο και το πηλίκο των συναρτήσεων, όπου προστίθεται και αφαιρείται αντίστοιχα: 3

E(αu) = E(u), E( uv) = Eu + Ev, E(u / v) = Eu Ev Στη σύνθεση συναρτήσεων, η παράγωγος και η ελαστικότητα προκύπτουν πολλαπλασιάζοντας τις επιµέρους παραγώγους και ελαστικότητες αντίστοιχα: D u = (Dvu)(Dv) {u = u(v), v = v()} u = u() µε E u = (Evu)(Ev) Απόδειξη. Για την ελαστικότητα του γινοµένου βρίσκουµε: (uv) (u v + uv ) u v Ε (uv) = = = + = Eu + E v uv uv u v Αντίστοιχα για το γινόµενο µε σταθερά και για το πηλίκο συναρτήσεων. Οµοίως, για την ελαστικότητα της σύνθεσης, βρίσκουµε: %du %du %dv Εu = ( v %d = %dv %d = E u)(e v) Παρατήρηση. Οι παραπάνω κανόνες µπορούν να ειδωθούν ως γενικεύσεις των κανόνων που αφορούν δυνάµεις: κ λ κ κ λ κ+ λ κ λ κ λ {u =, v = } {αu = α,uv= =,u/v= / = κ λ κ λ κ {u = v, v = } u = v = ( ) = κλ Αντίστοιχο λογισµό έχουν και τα διαφορικά, δηλαδή οι οριακές µεταβολές που χρησιµοποιούνται ως εκτιµήσεις των πραγµατικών µεταβολών όταν αυτές είναι σχετικά µικρές : d(αu ± βv) = αdu ± βdv, %d(αu) = %du, %d(uv) = %du + %dv, %d(u / v) = %du %dv Απόδειξη. Για το ποσοστιαίο διαφορικό γινοµένου, βρίσκουµε: %d(uv) = E (uv)(%d) = [Eu + Ev](%d) = Eu(%d) + Ev(%d) = %du + %dv Αντίστοιχα για το γινόµενο µε σταθερά και για το πηλίκο συναρτήσεων. Παρατήρηση. Σε αντίθεση, οι ίδιες οι µεταβολές και οι ποσοστιαίες µεταβολές έχουν πολύπλοκες ιδιότητες. Π.χ. για την µεταβολή του γινοµένου, έχουµε: (uv) = (u+ u)(v+ v) uv = u v + ( u)v + ( u)( v) d(uv) = udv + vdu Αντίστοιχα για τις ποσοστιαίες µεταβολές και τα ποσοστιαία διαφορικά. 7. Λογαριθµική κλίµακα Θεωρούµε µια συνάρτηση = f(). Ως γνωστό, σε κάθε σηµείο της η παράγωγος παριστάνεται γραφικά µε την κλίση της καµπύλης στο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων: O. Αντίστοιχα η ελαστικότητα παριστάνεται µε την κλίση της καµπύλης στο λογαριθµικό σύστηµα συντεταγµένων Ouv, όπου: du {u = log, v = log } =. dv Παράδειγµα. Στη λογαριθµική κλίµακα οι οµογενείς συναρτήσεις γίνονται γραµµικές µε κλίση ίση µε την ελαστικότητα: ε ε c c = = ln = ln c + ε ln v = εu+ ln c 8. Σχετικός ρυθµός-ρυθµός ανάπτυξης Θεωρούµε δύο µεταβλητές {,} που συνδέονται µεταξύ τους µε κάποια εξίσωση. Ορίσαµε την παράγωγο ή ρυθµό µεταβολής ως τον λόγο των µεταβολών, και την ελαστικότητα ως τον λόγο των σχετικών ή ισοδύναµα των ποσοστιαίων µεταβολών, στο όριο. Χρησιµοποιώντας διαφορικά, έχουµε: d %d d / m= D = και ε = E = = d %d d / αντίστοιχα. Σε πολλές εφαρµογές αντί των παραπάνω παίρνουµε τον λόγο της σχετικής µεταβολής του αλλά προς την µεταβολή του. Π.χ. αυτό συµβαίνει όταν το παριστάνει τον χρόνο για τον οποίο συνήθως δεν µετράµε σχετικές µεταβολές. Στο όριο 0, βρίσκουµε τον σχετικό ρυθµό µεταβολής. Μετράει την σχετική µεταβολή του για µεταβολή του κατά, οριακά. Χρησιµοποιώντας διαφορικά, βρίσκουµε την παράσταση: 4

d / d = = Παριστάνεται και µε r = R d d Αν πολλαπλασιάσουµε το παραπάνω µε 00, βρίσκουµε τον ποσοστιαίο ρυθµό µεταβολής. Μετράει την ποσοστιαία µεταβολή του για µεταβολή του κατά, οριακά: %d = 00. Παριστάνεται και µε %r = 00r d Χρησιµοποιείται στα οικονοµικά όταν η ανεξάρτητη µεταβλητή παριστάνει τον χρόνο, οπότε καλείται και ρυθµός ανάπτυξης. Το παραπάνω µέγεθος ορίζεται και για συναρτήσεις f(), στη µορφή: f() f() r = Rf() =, %r = 00r = 00 f() f() ιαπιστώσαµε προηγουµένως ότι οι γραµµικές συναρτήσεις έχουν σταθερό ρυθµό και οι οµογενείς έχουν σταθερή ελαστικότητα. Αντίστοιχα βρίσκουµε τώρα ότι: οι εκθετικές συναρτήσεις έχουν σταθερό σχετικό εποµένως και ποσοστιαίο ρυθµό µεταβολής: r = ce R = / r Π.χ. = ce 0.0 r = 0.0, %r = % Παράδειγµα. = + m = =, ε / / = = +, r = / = /+ Π.χ. στο = : m() = 4, ε () = 8 / 5 =.6, r() = 4 / 5 = 0.8, %r() = 00r = 80% Εποµένως οι µεταβολές και οι ποσοστιαίες µεταβολές συνδέονται οριακά µε τις σχέσεις: (d) = 4(d), (% d) = (8 / 5)(%d), (d / ) = 0.8(d) (%d) = 80(d) Θεωρούµε τώρα τον λογισµό του σχετικού η ποσοστιαίου ρυθµού µεταβολής ως προς τις διάφορες πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, και βρίσκουµε τα εξής: Ως προς τις αλγεβρικές πράξεις ο σχετικός ρυθµός έχει ίδιες ιδιότητες µε την ελαστικότητα: {u = u(), v = v()} R( αu) = R(u), R(uv) = Ru + Rv, R(u / v) = Ru Rv Ως προς την σύνθεση συναρτήσεων, ο σχετικός ρυθµός της σύνθεσης βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας την ελαστικότητα και τον σχετικό ρυθµό των επιµέρους συναρτήσεων: {u = u(v), v = v()} u = u() µε Ru = (Evu)(Rv) Απόδειξη. Για τον ποσοστιαίο ρυθµό του γινοµένου συναρτήσεων, βρίσκουµε: %d(uv) %du + %dv %du %dv %R (uv) = = = + = %R u + %R v d d d d Αντίστοιχα για το γινόµενο µε σταθερά και για το πηλίκο συναρτήσεων. Για την σύνθεση, βρίσκουµε: %du %du %dv %R u = = = (Evu)(%R v) d %dv d Παρατήρηση. Οι παραπάνω ιδιότητες είναι γενικεύσεις των αντίστοιχων ιδιοτήτων των εκθετικών συναρτήσεων: κ λ κ κ λ (κ+ λ) κ λ (κ λ) {u = e, v = e } {αu = αe, uv = e e = e, u/ v = e / e = e } κ λ κ λ κ κλ {u = v, v = e } u = v = (e ) = e Τέλος, όσον αφορά την γραφική παράσταση, υπενθυµίζουµε ότι η παράγωγος της = f() παριστάνεται µε την κλίση της καµπύλης στο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων, και η ελαστικότητα µε την κλίση της καµπύλης στο λογαριθµικό σύστηµα συντεταγµένων: {,}, {u = log, w = log }. αντίστοιχα. Παρατηρούµε τώρα ότι ο σχετικός ρυθµός παριστάνεται µε την κλίση της καµπύλης στο ηµιλογαριθµικό σύστηµα συντεταγµένων: dv dv d {,v = ln } = =. d d d Εξάλλου στην ηµιλογαριθµική κλίµακα οι εκθετικές γίνονται γραµµικές µε κλίση r ίση µε τον σχετικό ρυθµό: r r = ce = c e ln = ln c + r w = r + ln c 5

Α6. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Ασκήσεις. Θεωρούµε τη συνάρτηση f() = +. Να βρεθεί η ελαστικότητά της όταν = 4. Επίσης: α) Να εκτιµηθεί η ποσοστιαία µεταβολή στην τιµή της αν το µεταβληθεί από την αρχική τιµή = 4 κατά: {% = %}, {% = 5%}. Να συγκριθεί µε την πραγµατική ποσοστιαία µεταβολή.. Να βρεθεί συνάρτηση = () σταθερής ελαστικότητας: ε = /3, µε τιµή 0 = 4 όταν 0 = 3. 3/ 3. ίνεται η εξίσωση =. Να εκτιµηθεί σε τι ποσοστό πρέπει να µεταβληθεί το από την τιµή = 00 ώστε το να ελαττωθεί κατά %. 4. Για κάθε µια από τις παρακάτω συναρτήσεις f() να γίνει το γράφηµα στη θετική περιοχή, και να βρεθούν γραφικά και αναλυτικά τα σηµεία ισοελαστικότητας, ελαστικότητας και ανελαστικότητας. / +,,, +,0,, 5. Για κάθε µια από τις παρακάτω εξισώσεις να γίνει το γράφηµα στη θετική περιοχή και να βρεθούν γραφικά και αναλυτικά τα σηµεία ισοελαστικότητας, ελαστικότητας και ανελαστικότητας του προς, καθώς και του ως προς, στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων O. / 4 3 / 4 3 3 / 3 / 3 + 3 = 8, 3 = 4, =, =, + = 9, + = 3 6. Για κάθε µία από τις συναρτήσεις f() µε τα παρακάτω γραφήµατα, να βρεθούν τα σηµεία ισοελαστικότητας, ελαστικότητας και ανελαστικότητας. Επίσης να γίνουν τα γραφήµατα στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων, της µέσης τιµής και του οριακού ρυθµού: Af() = f()/, Mf() = f () 7. Αν τα {,} αυξάνουν ετησίως µε σχετικούς ρυθµούς {3%, %} αντίστοιχα, να βρεθεί πώς µεταβάλλονται ετησίως τα µεγέθη: {z =, u = / } 8. Τα µεγέθη {,} συνδέονται µε µια εξίσωση και εξελίσσονται στο χρόνο t. Αν το αυξάνει 3% ετησίως, και η ελαστικότητα του ως προς είναι, να βρεθούν: α) Η ελαστικότητα των {z =, u = / } ως προς. β) Ο ετήσιος ρυθµός µεταβολής των {, z, u} 9. Το έχει σηµερινή τιµή = 0. Να βρεθεί η τιµή του µετά από 50 έτη αν έχει ετήσιο (ποσοστιαίο) ρυθµό αύξησης: %r = {%,.5%, %, 4%}. Σε κάθε περίπτωση να βρεθεί και ο (οριακός) ρυθµός αύξησης m στην αρχή και στο τέλος της πεντηκονταετίας. 0. Το µέγεθος έχει τις τιµές { = 40, = 46} κατά τα έτη {t = 000, t = 004} αντίστοιχα. Να εκτιµηθεί ο ετήσιος σχετικός και ποσοστιαίος ρυθµός µεταβολής.. Το έχει τιµές { = 8, = 9} όταν το έχει τιµές { =, =.} αντίστοιχα. Να εκτιµηθεί η ελαστικότητα.. Να βρεθούν οι τύποι για τις µεταβολές καθώς και για τις ποσοστιαίες µεταβολές γινοµένου και πηλίκου, και να συγκριθούν µε τους αντίστοιχους τύπους για τα διαφορικά και για τα ποσοστιαία διαφορικά 6