Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28

Perieqìmena Συμβολισμός και Ορολογία iii Χώρος Μέτρου Μετρήσιμα Σύνολα Μέτρο Lebesgue. Παραδείγματα..............................................2 Ασκήσεις............................................... 4 2 Lebesgue Μετρήσιμες Συναρτήσεις 5 2. Παραδείγματα............................................. 5 2.2 Ασκήσεις............................................... 6 3 Ολοκλήρωμα Lebesgue 9 3. Παραδείγματα............................................. 9 3.2 Ασκήσεις............................................... 5 4 Λυμένες Ασκήσεις 2 4. Ακαδημαϊκό έτος 24 5....................................... 2 4.2 Ακαδημαϊκό έτος 23 4....................................... 4 5 Θέματα Εξετάσεων 53 5. Ακαδημαϊκό έτος 24 5....................................... 53 5.2 Ακαδημαϊκό έτος 23 4....................................... 62 i

ii ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ

Sumbolismìc kai OrologÐa το σύνολο των πραγματικών αριθμών + το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών το επεκταμένο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο οποίο έχουμε προσθέσει δύο στοιχεία, το ή + ) και το. Δηλαδή {, }, ή, όπως συνήθως γράφεται, [, ]. Z το σύνολο των ακεραίων N το σύνολο των θετικών ακεραίων Q το σύνολο των ρητών Αν n N, n! 2 3 n, 2n)!! 2 4 6 2n 2) 2n) και 2n + )!! 3 5 2n ) 2n + ). Αν το X είναι ένα σύνολο, τότε P X) είναι το δυναμοσύνολο του συνόλου X, B \ A {x : x B και x / A} είναι η διαφορά των συνόλων A και B ή το συμπλήρωμα του A ως προς το B A και B είναι δύο υποσύνολα του X), A c {x X : x / A} είναι το συμπλήρωμα του A ως προς το X, A B A \ B) B \ A) είναι η συμμετρική διαφορά των συνόλων A και B. carda ή A ο πληθάριθμος ενός συνόλου A ℵ ο πληθάριθμος του N iii

iv ΣΥΜΒΟΛΙΣΜ ΟΣ ΚΑΙ ΟΡΟΛΟΓ ΙΑ c ο πληθάριθμος του πληθάριθμος του συνεχούς) C τριαδικό σύνολο Cantor C a, < a γενικευμένο σύνολο Cantor X, M) μετρήσιμος χώρος X, M, µ) χώρος μέτρου Αν a n ) είναι πραγματική ακολουθία, τότε lim inf a n lim a n : sup n N lim sup a n lim a n : inf n N inf k n a k ) είναι το κατώτερο όριο της ακολουθίας a n ), sup a k ) είναι το ανώτερο όριο της ακολουθίας a n ). k n Το c είναι ένα οριακό σημείο της ακολουθίας a n ) αν υπάρχει υπακολουθία a kn ) της a n ) με lim a kn c. Εστω S είναι το σύνολο των οριακών σημείων της ακολουθίας a n ). Ισοδύναμα, το κατώτερο όριο lim a n και το ανώτερο όριο lim a n της ακολουθίας a n ) ορίζονται ως εξής αν η a n ) δεν είναι κάτω φραγμένη, lim a n + αν η a n ) είναι κάτω φραγμένη και S, inf S αν η a n ) είναι κάτω φραγμένη και S, + αν η a n ) δεν είναι άνω φραγμένη, lim a n αν η a n ) είναι άνω φραγμένη και S, sup S αν η a n ) είναι άνω φραγμένη και S. Αν A n ) είναι μια ακολουθία υποσυνόλων ενός συνόλου X, τότε lim inf A n lim A n : kn A k είναι το κατώτερο όριο της ακολουθίας A n ), lim sup A n lim A n : kn A k είναι το ανώτερο όριο της ακολουθίας A n ). l I) μήκος ενός διαστήματος I m εξωτερικό μέτρο Lebesgue m μέτρο Lebesgue

v M η σ-άλγεβρα των Lebesgue μετρήσιμων υποσυνόλων του B Borel σ- άλγεβρα. σ.π. σχεδόν παντού, χ A η χαρακτηριστική συνάρτηση ενός συνόλου A, ϕ n k a kχ Ik κλιμακωτή συνάρτηση, όπου a < a 2 < < a n και I, I 2,..., I n είναι φραγμένα διαστήματα ξένα μεταξύ τους, s n k a kχ Ak απλή συνάρτηση, όπου a < a 2 < < a n και A, A 2,..., A n είναι μετρήσιμα σύνολα ξένα μεταξύ τους, Αν M, η επεκταμένη συνάρτηση f : λέγεται μετρήσιμη αν f U) {x : f x) U} M, δηλαδή το σύνολο f U) είναι μετρήσιμο, για κάθε ανοικτό σύνολο U του. Αν f : είναι μια συνάρτηση, τότε f + x) max {f x), } είναι το θετικό μέρος της f, f x) max { f x), } min {f x), } είναι το αρνητικό μέρος της f, f f + f και f f + + f. Το ακέραιο μέρος του x, συμβολίζεται με [x], είναι ο μοναδικός ακέραιος k Z τέτοιος ώστε k x < k +. Οι πραγματικές συναρτήσεις f και g είναι ορισμένες σε μια περιοχή του x. Αν lim f x) /g x), χρησιμοποιείται ο συμβολισμός f x) o g x)) x x ). Αν το πηλίκο f x) /g x) είναι φραγμένο σε μια περιοχή του x, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός f x) O g x)) x x ). Αν lim f x) /g x), χρησιμοποιείται ο συμβολισμός f x) g x) x x ).

vi ΣΥΜΒΟΛΙΣΜ ΟΣ ΚΑΙ ΟΡΟΛΟΓ ΙΑ Αν M και η f : [, ] είναι μετρήσιμη συνάρτηση, το ολοκλήρωμα Lebesgue της f πάνω στο ορίζεται ως εξής { f x) dmx) : sup } s dm : s f στο, όπου η s είναι απλή συνάρτηση. Αν M και η επεκταμένη συνάρτηση f : είναι μετρήσιμη, τότε f dm : f + dm f dm είναι το ολοκλήρωμα της f, όπου ένα τουλάχιστον από τα ολοκληρώματα f + dm και f dm είναι πεπερασμένο. Λέμε ότι το ολοκλήρωμα f dm υπάρχει. Η f : είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη, ή απλά ολοκληρώσιμη στο, αν το ολοκλήρωμα f dm υπάρχει και είναι πεπερασμένο, δηλαδή αν f dm < και f + dm <. Ισοδύναμα, f dm <. L ) ο χώρος των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων f :.

Kefˆlaio Q roc Mètrou Metr sima SÔnola Mètro Lebesgue. ParadeÐgmata Παράδειγμα. Εστω X, M) μετρήσιμος χώρος και έστω A το σύνολο των θετικών μέτρων στη σ- άλγεβρα M. Υποθέτουμε ότι για κάθε µ, µ 2 A, υπάρχει µ 3 A τέτοιο ώστε µ 3 max {µ, µ 2 }. Αν ν ) : sup {µ ) : µ A}, για κάθε M, να αποδειχθεί ότι το ν είναι ένα θετικό μέτρο στη σ- άλγεβρα M. Απόδειξη. Εστω A n ) ακολουθία μετρήσιμων συνόλων ξένων μεταξύ τους. Τότε ) µ A n µ A n ) ν A n ), για κάθε µ A και επομένως ) ν A n ν A n ). Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι ν A n) ν A n). Αυτή η ανισότητα προφανώς ισχύει στην περίπτωση που υπάρχει ένα τουλάχιστον n N, τέτοιο ώστε ν A n ). Πράγματι, επειδή A n A n, θα είναι ν A n) ν A n ) ν A n). Υποθέτουμε λοιπόν ότι ν A n ) <, για κάθε n N. Παίρνουμε το n N σταθερό. Για κάθε ε >, από τον ορισμό του ν συνεπάγεται ότι για κάθε k, k n, υπάρχει μέτρο µ k A τέτοιο ώστε ν A k ) ε n < µ k A k ).

2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. Χ ΩΡΟΣ Μ ΕΤΡΟΥ ΜΕΤΡ ΗΣΙΜΑ Σ ΥΝΟΛΑ Μ ΕΤΡΟ LBSGU Από την υπόθεση, αν µ, µ 2,..., µ n A, αποδεικνύεται επαγωγικά ότι υπάρχει µ A τέτοιο ώστε µ k µ, k,..., n. Επομένως, n ν A k ) ε < k n n ) n ) ) µ k A k ) µ A k ) µ A k ν A k ν A k. k Δηλαδή n k ν A k) ε < ν k A k), για κάθε ε > και αυτό συνεπάγεται ότι n k ν A k) ν k A k). Άρα, ν A k ) lim k k k k n ) ν A k ) ν A k. k k Παράδειγμα.2 Αν {r, r 2,..., r n,...} είναι μια αρίθμηση των ρητών αριθμών και G : r n n 2, r n + n ) 2, να αποδειχθεί ότι για κάθε κλειστό σύνολο F, m G F ) >. Απόδειξη. Αν m G \ F ) >, επειδή G F G \ F ) F \ G), τότε m G F ) >. Υποθέτουμε ότι m G \ F ). Ομως το G\F είναι ανοικτό σύνολο και ως γνωστόν κάθε ανοικτό σύνολο έχει θετικό μέτρο Lebesgue. Επομένως θα πρέπει να είναι G F, οπότε G\F. Επειδή το G περιέχει το σύνολο των ρητών Q και το Q είναι πυκνό στο, θα πρέπει να είναι F. Κατά συνέπεια m F ) m ). Επειδή m G) m r n n 2, r n + n ) 2 2 n 2 < και m F ) m F \ G) + m G), συνεπάγεται ότι m F \ G). Τότε, m G F ) m F \ G). Άρα, m G F ) >. Παράδειγμα.3 Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει μετρήσιμο σύνολο, τέτοιο ώστε για κάθε διάστημα I να είναι m I) m I) /2. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι τέτοιο μετρήσιμο σύνολο υπάρχει. Τότε, m [, ]) /2. Από τον ορισμό του εξωτερικού) μέτρου Lebegue, για ε /2 υπάρχει ακολουθία φραγμένων διαστημάτων I n ), [, ] I n, τέτοια ώστε Επειδή m I n ) < m [, ]) + 2. [, ] [, ] I n ) [, ] I n ),

.. ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ 3 έχουμε 2 m [, ]) m [, ] I n )) m [, ] I n ) 2 m I n ) m I n ) m I n ) min) 2 ) < 2, m I n) < ) άτοπο. Άρα, δεν υπάρχει μετρήσιμο σύνολο, με m I) m I) /2 για κάθε διάστημα I. Παράδειγμα.4 Εστω S το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο [, ] τέτοιο ώστε x S αν και μόνο αν το δεκαδικό ανάπτυγμα του x περιέχει το ψηφίο 2 και η πρώτη εμφάνιση του ψηφίου 2 να προηγείται της πρώτης εμφάνισης του ψηφίου 3. Να αποδειχθεί ότι το S είναι σύνολο Borel και να υπολογιστεί το μέτρο του. Λύση. Το ψηφίο 2 εμφανίζεται στην πρώτη δεκαδική θέση μόνο στο διάστημα I, [.2,.3] που το μήκος του είναι /. Ας σημειωθεί ότι στο δεκαδικό ανάπτυγμα το.3.2999. Για να μην προηγείται το ψηφίο 3 του ψηφίου 2, το ψηφίο 2 μπορεί να εμφανιστεί για πρώτη φορά στη δεύτερη δεκαδική θέση μόνο στο καθένα από τα παρακάτω 8 διαστήματα I 2, [.2,.3], I 2,2 [.2,.3], I 2,3 [.42,.43],..., I 2,8 [.92,.93], μήκους / 2. Στο n-οστό βήμα, για να μην προηγείται το ψηφίο 3 του ψηφίου 2, το ψηφίο 2 μπορεί να εμφανιστεί για πρώτη φορά στη n-οστή δεκαδική θέση μόνο στο καθένα από τα 8 n διαστήματα I n,k, k 8 n, μήκους / n. Τα διαστήματα I n,k είναι τέτοια ώστε τα άκρα τους δεν περιέχουν τα ψηφία 2 και 3 στις n πρώτες θέσεις των δεκαδικών αναπτυγμάτων τους. Επομένως, S 8 n k όπου τα διαστήματα I n,k k 8 n ), για κάθε n N, είναι ξένα μεταξύ τους και έχουν μήκος / n. Το S είναι ένα σύνολο Borel και m S) m 8 n k I n,k I n,k 8 n n, ) n 4 5 4/5 2.

4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. Χ ΩΡΟΣ Μ ΕΤΡΟΥ ΜΕΤΡ ΗΣΙΜΑ Σ ΥΝΟΛΑ Μ ΕΤΡΟ LBSGU.2 Ask seic. Εστω i, i n, μετρήσιμα σύνολα με n i m i) > n. Να αποδειχθεί ότι m n i i) >. 2. Υποθέτουμε ότι το είναι μετρήσιμο σύνολο με m ). Να αποδειχθεί ότι το είναι πυκνό στο [, ]. 3. Εστω ένα Lebesgue μετρήσιμο σύνολο με m ) <. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει φθίνουσα ακολουθία ανοικτών συνόλων G n ) τέτοια ώστε lim m G n ) m ).

Kefˆlaio 2 Lebesgue Metr simec Sunart seic 2. ParadeÐgmata Παράδειγμα 2. Εστω f n ), f n :, ακολουθία συναρτήσεων συνεχών σχεδόν παντού στο μετρήσιμο σύνολο. Αν lim f n x) f x) ομοιόμορφα στο, να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής σχεδόν παντού στο. Απόδειξη. Εστω D n : {x : η f n δεν είναι συνεχής στο x}. Από την υπόθεση είναι m D n ). Αν D D n, τότε m D) m D n). Επομένως, m D). Επειδή οι συναρτήσεις f n είναι συνεχείς στο \ D και η ακολουθία f n ) συγκλίνει ομοιόμορφα στην f στο σύνολο \ D, η f θα είναι συνεχής στο \ D. Άρα, η f είναι συνεχής σχεδόν παντού στο. Παράδειγμα 2.2 Εστω η συνάρτηση f : [a, b] είναι και συνεχής. Οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες: i) Αν [a, b] και m ), τότε m f )). ii) Για κάθε μετρήσιμο σύνολο A [a, b], το f A) είναι μετρήσιμο σύνολο. Απόδειξη. Το πεδίο τιμών της f είναι κλειστό και φραγμένο διάστημα, έστω f [a, b]) [c, d]. Η συνάρτηση f : [a, b] [c, d] είναι συνεχής και γνήσια μονότονη. i) ii) Αν το A [a, b] είναι μετρήσιμο σύνολο, τότε ως γνωστόν A F N, όπου F A είναι ένα F σ σύνολο και N A με m N). Εστω F F n, όπου F n ) είναι ακολουθία κλειστών υποσυνόλων του [a, b]. Τα F n είναι συμπαγή σύνολα. Είναι f A) f F N) f F ) f N) f F n ) f N) f F n ) f N). 5

6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. LBSGU ΜΕΤΡ ΗΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ Τα σύνολα f F n ) είναι συμπαγή και επομένως μετρήσιμα f F n ) είναι ένα F σ σύνολο ). Επειδή από τη i) είναι m f N)), το f N) είναι ένα μετρήσιμο σύνολο. Άρα, το f A) είναι μετρήσιμο σύνολο. ii) i) Εστω [a, b], με m ). Τότε το είναι μετρήσιμο και από τη ii) το f ) θα είναι μετρήσιμο σύνολο. Αν υποθέσουμε ότι m f )) >, ως γνωστόν υπάρχει μη μετρήσιμο σύνολο V f ). Τότε f V ) και επομένως m f V ) ). Κατά συνέπεια το f V ) είναι μετρήσιμο σύνολο. Από τη ii) το f f V ) ) V θα είναι μετρήσιμο σύνολο, άτοπο. Άρα, m f )). Παράδειγμα 2.3 Εστω f x) a + a 2 + + a n, x c x c 2 x c n όπου a >, a 2 >,..., a n > και c, c 2,..., c n, c < c 2 < < c n. Να αποδειχθεί ότι για κάθε t > m {x : f x) > t}) a + a 2 + + a n t και m {x : f x) < t}) a + a 2 + + a n t. Λύση. Εστω t : {x : f x) > t}. Η f είναι γνήσια φθίνουσα σε καθένα από τα ανοικτά διαστήματα c, c 2 ), c 2, c 3 ),..., c n, c n ) και c n, + ). Αν x, x 2,..., x n είναι οι ρίζες της εξίσωσης f x) t, τότε και c < x < c 2, c 2 < x 2 < c 3,..., c n < x n < c n, c n < x n < + t n c k, x k ), με m t ) k n x k c k ) k n x k k n c k. Θα υπολογίσουμε το άθροισμα n k x k των ριζών της εξίσωσης f x) t. Παρατηρούμε ότι Ομως f x) t n k n k a k P x) x c k tp x), όπου P x) P x) a k tp x) tx n t x c k n c k + όπου ο βαθμός του πολυωνύμου Q x) είναι μικρότερος του n. Επομένως, Άρα, m t ) n k a k) /t. n k Παρόμοια αποδεικνύεται η δεύτερη εξίσωση. k x k t n k c k + n k a k t k n x c k ). k ) n a k x n + Q x), k n c k + t k n a k. k 2.2 Ask seic. Εστω A υποσύνολο του που δεν είναι μετρήσιμο. Αν f α χ A [α], όπου [α] είναι το ακέραιο μέρος του α A, να αποδειχθεί ότι η f α είναι μετρήσιμη συνάρτηση ενώ η sup {f α : α A} δεν είναι μετρήσιμη.

2.2. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 7 2. Αν η συνεχής συνάρτηση f : είναι και επί, δηλαδή αμφιμονοσήμαντη, να αποδειχθεί ότι η f απεικονίζει σύνολα Borel σε σύνολα Borel. Υπόδειξη. Αν M {A : f A) B}, όπου B είναι η Borel σ- άλγεβρα, να αποδειχθεί ότι η M είναι μια σ- άλγεβρα στο η οποία περιέχει τα σύνολα Borel. 3. Να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις αν ο x είναι άρρητος, f x) /q αν x p/q, όπου p, q ακέραιοι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους και q >, αν x /n, όπου n N, g x) διαφορετικά, είναι συνεχείς σχεδόν παντού στο και ότι η g f δεν είναι συνεχής σε κανένα σημείο του. 4. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f : είναι πεπερασμένη σχεδόν παντού, όπου είναι ένα μετρήσιμο σύνολο με m ) <. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ε > υπάρχει μετρήσιμο σύνολο A, τέτοιο ώστε m \ A) < ε και η f είναι φραγμένη στο A. Υπόδειξη. Αν n {x : f x) > n} και N {x : f x) }, τότε N n. 5. Αν η f : είναι μετρήσιμη συνάρτηση, να αποδειχθεί ότι υπάρχει αύξουσα ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων f n ), f n : Q, τέτοια ώστε lim f n x) f x) ομοιόμορφα στο. Υπόδειξη. Αν kn : { x : k 2 n f x) < k } 2 n τότε f x) f n x) < 2 n και f n f. και f n : k k 2 n χ kn,

8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. LBSGU ΜΕΤΡ ΗΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ

Kefˆlaio 3 Olokl rwma Lebesgue 3. ParadeÐgmata Παράδειγμα 3. Εστω f L X), όπου X είναι ένα μετρήσιμο σύνολο με m X) <. Ορίζουμε A f) : f dm, m ) για κάθε μετρήσιμο σύνολο X με m ) >. Υποθέτουμε ότι υπάρχει M τέτοιο ώστε A f) M, για κάθε μετρήσιμο σύνολο X με m ) >. Να αποδειχθεί ότι f x) M σ.π. στο X. Απόδειξη. ος τρόπος. Αρκεί να αποδείξουμε ότι το σύνολο f, M) M, )) {x X : f x) > M} έχει μέτρο μηδέν. Ως γνωστόν, κάθε ανοικτό υποσύνολο του είναι ένωση αριθμήσιμου το πλήθος κλειστών και φραγμένων διαστημάτων, με τα αντίστοιχα ανοικτά διαστήματα ξένα μεταξύ τους. Εστω, M) M, ) [a n, b n ]. Επειδή f, M) M, )) f [a n, b n ]), αρκεί να αποδείξουμε ότι m f [a n, b n ]) ), για κάθε n N. Αν [a n, b n ] [α n ε n, α n + ε n ] και n f [α n ε n, α n + ε n ]) {x X : α n ε n f x) α n + ε n }, αρκεί να αποδείξουμε ότι m n ). Εστω m n ) >. Τότε, A n f) α n f dm α n dm m ) n m n ) f α n ) dm n m n ) n f α n dm m n ) n ε n dm ε n. m n ) n 9

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU Δηλαδή, A n f) [α n ε n, α n + ε n ]. Άτοπο, επειδή A n f) M. Άρα, m n ). 2ος τρόπος. Αρκεί να αποδείξουμε ότι το μετρήσιμο σύνολο {x X : f x) > M} έχει μέτρο μηδέν. Αν n : {x X : f x) > M + /n}, η n ) είναι αύξουσα ακολουθία με μετρήσιμων συνόλων, με n. Επειδή m ) lim m n ), αρκεί να αποδείξουμε ότι m n ), για κάθε n N. Αν + n : {x X : f x) > M + /n} και n : {x X : f x) > M + /n}, τότε n + n + n, n N. Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι m n + ) m n ). Εστω m n + ) >. Τότε, f dm M + ) dm M + ) m + ) n n n + n και κατά συνέπεια m n + ) f dm m + n ) M + /n n + M + /n m n + ) + n + n f dm m + n ) M + /n M. Δηλαδή M + /n M, n N και αυτό είναι άτοπο. Επομένως m + n ) και παρόμοια m n ). Άρα, m n ) Παράδειγμα 3.2 Να υπολογιστεί το lim h + he x cos x ln x + ) dx. h Λύση. Είναι he x cos x ln x + ) < he x x + ), x, h >. h h Χρησιμοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση έχουμε he x x + /h) dx + /h, δηλαδή το γενικευμένο ολοκλήρωμα he x x + /h) dx συγκλίνει. Επομένως, από το κριτήριο σύγκρισης και το γενικευμένο ολοκλήρωμα he x cos x ln x + /h) dx θα συγκλίνει απόλυτα. Τότε, από γνωστό θεώρημα η συνάρτηση f x) he x cos x ln x + /h) είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη και he x cos x ln x + ) dmx) he x cos x ln x + ) dx. h h [, ) Εστω h n ) ακολουθία θετικών αριθμών, με lim h n, και f n x) : h n e x cos x ln x + ). h n Είναι lim h he x cos x ln x + ) e x ln x + /h) cos x lim + h h + /h e x ln x + t) cos x lim t + t e x cos x lim t + x + t, κανόνας L Hôpital)

3.. ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ οπότε lim f n x). Επειδή lim h n, υπάρχει n N τέτοιο ώστε h n <, για κάθε n n. Επομένως, f n x) h ne x cos x ln x + ) < h n e x x + ) e x h n x + ) < e x x + ), n n. h n h n Ομως [, ) e x x + ) dmx) e x x + ) dx 2, δηλαδή η g x) : e x x + ) L [, ). Άρα, από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue lim he x cos x ln x + ) dx lim h + h [, ) h n e x cos x ln x + ) dmx). h n Παράδειγμα 3.3 Εστω η f L ) είναι τέτοια ώστε f dm, για κάθε κλειστό και φραγμένο διάστημα [a, b]. [a,b] Να αποδειχθεί ότι f x) σ.π. στο. Απόδειξη. Επειδή a,b) f dm [a,b] f dm, από την υπόθεση θα είναι και f dm, για κάθε ανοικτό a,b) και φραγμένο διάστημα a, b). Ως γνωστόν, κάθε ανοικτό υποσύνολο G του είναι ένωση αριθμήσιμου το πλήθος κλειστών και φραγμένων διαστημάτων, με τα αντίστοιχα ανοικτά διαστήματα ξένα μεταξύ τους. Εστω G [a n, b n ], όπου τα ανοικτά διαστήματα a n, b n ), n N, είναι ξένα μεταξύ τους. Τότε f dm f dm f dm f dm. [an,bn] an,bn) G a n,b n) Υποθέτουμε τώρα ότι το G είναι ένα G δ σύνολο, δηλαδή G G n, όπου G n ) είναι μια φθίνουσα ακολουθία ανοικτών συνόλων. Προφανώς lim fχ G n fχ G και fχ Gn f. Τότε, από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue είναι f dm fχ G dm lim fχ Gn dm lim f dm. G G n Τέλος, υποθέτουμε ότι το είναι ένα μετρήσιμο υποσύνολο του. Από γνωστό θεώρημα το G \ N, όπου G είναι ένα G δ σύνολο και N G \ με m N). Επειδή G N, με N, είναι f dm f dm + f dm και επομένως G f dm G f dm f dm. N Άρα f dm, για κάθε μετρήσιμο υποσύνολο του. Αυτό όμως συνεπάγεται ότι f x) σ.π. στο. N

2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU Ορισμός 3. Θα λέμε ότι το K L ) είναι ομοιόμορφα ολοκληρώσιμο, αν sup { f dm : f K} < και ε > δ > τέτοιο ώστε sup { A f dm : f K} < ε, για κάθε μετρήσιμο σύνολο A με m A) < δ. Παράδειγμα 3.4 Μια άλλη μορφή του θεωρήματος κυριαρχημένης σύγκλισης : Υποθέτουμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων f n ) είναι ομοιόμορφα ολοκληρώσιμη στο L ), με f n f σ.π. στο. Αν m ) <, να αποδειχθεί ότι f L ) και f n f dm επομένως, f n dm f dm). Λύση. Επειδή f n f σ.π. στο, τότε και f n f σ.π. στο. Από το λήμμα του Fatou f dm lim inf f n dm sup f n dm <. n Επομένως, f L ). Εστω ε >. Επειδή η f n ) είναι ομοιόμορφα ολοκληρώσιμη, υπάρχει δ > τέτοιο ώστε Από το λήμμα του Fatou έχουμε A f dm lim inf A sup f n dm < ε, για κάθε μετρήσιμο σύνολο A με m A) < δ. n A 4 f n dm sup f n dm < ε, για κάθε μετρήσιμο σύνολο A με m A) < δ. n A 4 Επειδή f n f σ.π. στο και m ) < +, από το θεώρημα του gorov υπάρχει κλειστό σύνολο F με m \ F ) < δ και f n f ομοιόμορφα στο F. Κατά συνέπεια, υπάρχει n N τέτοιος ώστε για κάθε n N είναι sup x F f n x) f x) < ε/2m ). Επομένως, για κάθε n N f n f dm F f n f dm + ε 2m ) m F ) + < ε 2 + ε 4 + ε 4 ε. \F \F f n f dm f n dm + \F f Άρα, lim f n f dm. Παράδειγμα 3.5 Εστω n, όπου τα n είναι ξένα μεταξύ τους μετρήσιμα σύνολα. Να αποδειχθεί ότι f L ) αν και μόνο αν n f dm < και σ αυτή την περίπτωση έχουμε f dm n f dm. Απόδειξη. Εστω f L ), δηλαδή f dm <. Επειδή n, τότε ως γνωστόν f L n ) και f dm f dm <. n

3.. ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ 3 Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι n f dm <. Τότε, f χ n dm f dm <. n Από το θεώρημα Beppo Levi η σειρά fχ n συγκλίνει σχεδόν παντού στο και το άθροισμά της είναι συνάρτηση Lebesgue ολοκληρώσιμη στο. Επειδή χ χ n, συνεπάγεται ότι f fχ fχ n, η f L ). Επίσης, f dm fχ n dm n f dm. Παράδειγμα 3.6 Εστω η συνάρτηση x 2 sin ) x αν x, f x) 2 αν x. Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ότι f / L ). Λύση. Εύκολα διαπιστώνεται ότι 2x sin ) f x 2 x) 2 x cos ) x αν x, 2 αν x. Για να αποδείξουμε ότι f / L ), αρκεί να δείξουμε ότι f / L, ]. Εστω I n ) ακολουθία κλειστών και φραγμένων διαστημάτων, με I n Παρατηρούμε ότι τα διαστήματα I n [ 2n + /3) π, ], n, 2,.... 2n /3) π είναι ξένα μεταξύ τους, με I n, ]. Για κάθε x I n είναι cos /x 2) cos 2n + /3) π) /2, οπότε ) ) f x) 2 x cos x 2 2x sin x 2 2 ) x cos x 2 2x x 2x >. Επομένως, f x) dmx) I n Κατά συνέπεια,,] I n ) x 2x dmx) ln x x 2) x2n /3)π) /2 ) 6n + x2n+/3)π) /2 2 ln 6 6n π 36n 2. f x) dmx) f x) dmx) In f x) dmx) I n 2 ln 6n + 6n ) 6 π 36n 2.

4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU Επειδή ln lim 6n+ 6n 2 6n ) ln lim + 2 6n 2 6n και 2/ 6n ), από το οριακό κριτήριο σύγκρισης ) 6n + ln. 6n Για τη δεύτερη σειρά έχουμε, Άρα, ) ln + x) L Hôpital) lim lim x + x x + + x 36n 2 < n 2 <.,] f x) dmx). Παράδειγμα 3.7 Εστω η συνάρτηση f : [, ] με x αν x C, f x) x + αν x [, ] \ C, όπου C είναι το τριαδικό σύνολο Cantor. Να αποδειχθεί ότι η f είναι ασυνεχής στο C και συνεχής στο [, ] \ C. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα [,] f dm. Λύση. Εστω x C. Επειδή το [, ] \ C είναι πυκνό στο [, ], υπάρχει ακολουθία x n ) σημείων του [, ] \ C τέτοια ώστε lim x n x. Από την υπόθεση είναι f x n ) x n +, f x) x και επομένως lim f x n ) x + f x). Άρα, η f δεν είναι συνεχής στο x C. Εστω τώρα x [, ] \ C και έστω x n ) είναι ακολουθία σημείων του [, ], με lim x n x. Επειδή το [, ] \ C είναι ανοικτό σύνολο, υπάρχει ε > τέτοιο ώστε x ε, x ε) [, ] \ C. Κατά συνέπεια, υπάρχει n N τέτοιο ώστε για κάθε n n το x n x ε, x ε) [, ] \ C. Τότε, για κάθε n n από την υπόθεση είναι f x n ) x n +. Επειδή f x) x +, lim f x n ) x + f x). Άρα, η f είναι συνεχής στο x [, ] \ C. Επειδή m C), η f είναι συνεχής σχεδόν παντού στο [, ]. Άρα, η f είναι iemann ολοκληρώσιμη στο [, ] και f x) dmx) x + ) dmx) [,] [,] x + ) dx 3 2. Παράδειγμα 3.8 Εστω η συνάρτηση f : [, ] με f x) k [kx] 2 k,

3.2. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 5 όπου [kx] είναι το ακέραιο μέρος του kx. Να αποδειχθεί ότι η f είναι φραγμένη, iemann ολοκληρώσιμη στο [, ] και να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα f x) dx. Λύση. Για κάθε x [, ] είναι [kx] k και κατά συνέπεια f x) k k/2k < +. Αν τότε f n x) f x) f n x) n k kn+ [kx] 2 k, [kx] 2 k kn+ Ως γνωστόν η σειρά k k/2k συγκλίνει, οπότε lim kn+ k/2k. Επομένως lim f n x) f x) ομοιόμορφα στο [, ]. Επειδή κάθε f n είναι συνεχής σχεδόν παντού στο [, ] είναι ασυνεχής σε ένα αριθμήσιμο σύνολο), από το παράδειγμα 2. και η f θα είναι συνεχής σχεδόν παντού. Αποδείξαμε λοιπόν ότι η f είναι φραγμένη και συνεχής σχεδόν παντού. Άρα, η f είναι iemann ολοκληρώσιμη στο [, ] και f x) dx [,] f dm k k 2 k. 2 k [kx] dmx). [,] Επειδή τα διαστήματα [j/k, j + ) /k), j,, 2,..., k ), είναι ξένα μεταξύ τους και έχουμε f x) dx k 2 k k j [, ) [j/k, j+)/k) k j [kx] dmx) [ j k, j + ), k k k j 2 k k k 2 k 2 j k k k 2 k+. Για τον υπολογισμό του αθροίσματος της σειράς παρατηρούμε ότι παραγωγίζοντας τη γεωμετρική σειρά k xk / x), x <, προκύπτει ότι k kxk / x) 2, x <. Άρα, f x) dx k k 2 k+ 2 2 k k 2 k 2 k 2 k 2 2 /2) 2 2 2. 3.2 Ask seic. Να αποδειχθεί ότι a) [x] dx 45 b) 2 [ x 2 ] dx 5 3 2 c) 2π [sin x] dx π, όπου [x], [ x 2] και [sin x] είναι το ακέραιο μέρος της y x, της y x 2 και της y sin x αντίστοιχα.

6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU 2. Εστω s n i a iχ Ai μια απλή συνάρτηση, όπου a,..., a n είναι πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός και {A,..., A n } είναι μια διαμέριση του, A i M, i,..., n. Να αποδειχθεί ότι η s είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη αν και μόνο αν m A i ) <, i,..., n. 3. Ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ανήκουν στον L [, ); i) f x) sin x x, < x < ) ii) f x) +x, x < ) 2 [ iii) χ, όπου ] n, n + /n 2 iv) Η χαρακτηριστική συνάρτηση των ρητών αριθμών στο [, ) v) Η χαρακτηριστική συνάρτηση των άρρητων αριθμών στο [, ). 4. Εστω f n ) ακολουθία μη αρνητικών και ολοκληρώσιμων συναρτήσεων στο διάστημα [, ]. Αν f n x) dx c n, με c n < και cn <, να αποδειχθεί ότι σχεδόν για όλα τα x [, ] είναι f n x) c n για μεγάλα n N. Υπόδειξη. i) Αν n { x : f n x) > c n }, να αποδειχθεί ότι limn m nn n). ii) Εστω N nn n. Αν x /, τότε υπάρχει N N x) N τέτοιο ώστε για κάθε n N είναι f n x) c n. 5. Αν p >, τότε x e px e x ) dx xe px nx dx n n n + p) 2. 6. Εστω f 2 n x n + 2 n) χ [n 2 n, n] 2 n x n 2 n) χ [n, n+2 n ]. Να αποδειχθεί ότι f και [, ) f dm lim f dm lim [, n+2 n ) n 2 k. 7. Θεώρημα Μέσης Τιμής) Εστω f L ) και έστω g : μια μετρήσιμη συνάρτηση στο M, τέτοια ώστε α g x) β σ.π. Να αποδειχθεί ότι fg L ) και ότι υπάρχει γ [α, β] τέτοιο ώστε f g dm γ f dm. Μπορούμε να αντικαταστήσουμε την f με την f στην παραπάνω εξίσωση; Υπόδειξη. Εστω f g χ,) + χ,), α, β. k

3.2. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 7 8. Θεώρημα Μέσης Τιμής) Εστω η συνάρτηση f : [a, b] είναι συνεχής και έστω το [a, b], M, είναι τέτοιο ώστε m ) >. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ [a, b] τέτοιο ώστε f x) dm f ξ) m ). 9. Εστω f L ) και έστω g : μια μετρήσιμη συνάρτηση στο M, τέτοια ώστε α g x) β σ.π. Να αποδειχθεί ότι fg L ) και ότι υπάρχει γ [α, β] τέτοιο ώστε f g dm γ f dm.. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f L ) είναι συνεχής στο a. Αν I n ) είναι ακολουθία διαστημάτων τέτοια ώστε a I n και lim m I n ), να αποδειχθεί ότι lim f x) dmx) f a). m I n ) I n. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f : [, ) είναι συνεχής και ότι το lim x f x) c υπάρχει. Να αποδειχθεί ότι για κάθε λ >, g x) : f x) e λx L [, ) και ότι lim λ f x) e λx dx f ), lim λ + f x) e λx dx c. 2. Αν f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων, f n L ), f n, lim f n x) σ.π. και f n x), για κάθε x \, να αποδειχθεί ότι 3. Εστω f n x) : αʹ) Να αποδειχθεί ότι βʹ) Να αποδειχθεί ότι + x2 n f n x) dx 2 lim f n x)) dmx). ) n και g n x) : f n x) + x2 n ) /2 ) n /2 + x2. n lim f n x) dx lim g n x) dx e x2 dx. + x2 n ) n dx 2 n + t 2 ) n π/2 dt 2 n cos 2n 2 θ dθ και παρόμοια g n x) dx 2 n π/2 cos 2n θ dθ.

8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU γʹ) Χρησιμοποιώντας τις α ) και β ) να αποδειχθεί ότι Υπόδειξη. Ως γνωστόν, π/2 sin k x dx π/2 4. Εστω η f L ) είναι τέτοια ώστε cos k x dx, x) Να αποδειχθεί ότι f x) σ.π. στο. 5. Να αποδειχθεί ότι η e x2 dx π. 3 5 2n ) 2 4 6 2n) 2 4 6 2n) 3 5 2n+) f x) dmx), για κάθε x. f ) n n 2 n χ [n,n+) π 2 2n )!! 2n)!! π 2 αν k 2n, 2n)!! 2n+)!! αν k 2n +. είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη στο [, ) και να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα [, ) f dm. 6. Εστω η συνάρτηση f :, ) [, ) με f x) : d x, C), όπου d x, C) inf { x t : t C} είναι η απόσταση του x από το τριαδικό σύνολο Cantor C. Να αποδειχθεί ότι,) f x) dmx) /28. 7. Εστω n ) αύξουσα ακολουθία μετρήσιμων συνόλων, 2 n. Αν f L n ) και lim n f dm <, να αποδειχθεί ότι f L ), όπου n και f dm lim f dm. n Υπόδειξη. Παράδειγμα 3.5. 8. Αν f L ), να αποδειχθεί ότι lim f x + h) f x) dmx). h [a,b] 9. Εστω η σειρά a n συγκλίνει απόλυτα και έστω f n ) ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων, f n L ), με f n M <. Αν F x) : a nf n x), x [, ], τότε F L [, ].

3.2. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 9 2. Εστω a n ) αύξουσα ακολουθία με lim a n. Να αποδειχθεί ότι η σειρά δεν είναι ολοκληρώσιμη στο, ). Υπόδειξη. Θεώρημα Beppo Levi. 2. αʹ) Αν k N, να αποδειχθεί ότι a n e xan a n+ e xan+ π βʹ) Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα n n ) cos kt e ikt k k ) t 2 2π t cos kt dt k 2. cos [n + ) t/2] sin nt/2) sin t/2), t, να αποδειχθεί ότι όπου 2 n k k 2 π f t) sin n + /2) t dt + π2 3, t 2 2πt 2π sint/2) αν < t π, f t) 2 αν t. γʹ) Να αποδειχθεί ότι k /k2 π 2 /6. 22. Υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : [, ], τέτοια ώστε xf x) dx και x n f x) dx για n, 2, 3, 4... ; Υπόδειξη. Να αποδειχθεί ότι για κάθε n N είναι f n) f x) e 2πinx dx 2πni. 23. αʹ) Αν το σύνολο [, 2π] είναι μετρήσιμο, να αποδειχθεί ότι lim cos nx dx lim sin nx dx. βʹ) Εστω k < k 2 < < k n < γνήσια αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών. Θεωρούμε το σύνολο {x [, 2π] : η ακολουθία sin k n x)) συγκλίνει}. Να αποδειχθεί ότι m ). Υπόδειξη. Επειδή lim cos 2k nx) dx, όπου μετρήσιμο υποσύνολο του [, 2π], χρησιμοποιώντας την ταυτότητα 2 sin 2 k n x) cos 2k n x), να αποδειχθεί ότι lim sin k n x) ±/ 2 σχεδόν παντού στο.

2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU

Kefˆlaio 4 Lumènec Ask seic 4. Akadhmaïkì ètoc 24 5 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ η Ομάδα Ασκήσεων στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση ακαδ. έτος 24 5. Εστω X είναι ένα μη-αριθμήσιμο απειροσύνολο, Σ { X : το ή το c είναι αριθμήσιμο} και ορίζουμε το µ : Σ [, ], με Να αποδειχθεί ότι X, Σ, µ) είναι ένας χώρος μέτρου. αν το είναι αριθμήσιμο, µ) αν το c είναι αριθμήσιμο. Απόδειξη. Επειδή X c, το X Σ. Εστω το Σ. Αν το δεν είναι αριθμήσιμο, τότε το c είναι αριθμήσιμο οπότε το c Σ. Αν το είναι αριθμήσιμο τότε το c ) c είναι αριθμήσιμο οπότε και πάλι c Σ. Εστω τώρα n ) Σ. Αν κάθε n είναι αριθμήσιμο, τότε η ένωση n είναι αριθμήσιμο σύνολο και κατά συνέπεια n Σ. Αν υποθέσουμε ότι κάποιο n δεν είναι αριθμήσιμο, τότε το c n είναι αριθμήσιμο και n ) c c n. Επομένως και πάλι η ένωση n Σ. Θα αποδείξουμε ότι το µ είναι ένα θετικό μέτρο στη σ-άλγεβρα Σ. Προφανώς µ ). Αν n ) είναι ακολουθία συνόλων της σ-άλγεβρας Σ ξένων μεταξύ τους, θα αποδείξουμε ότι µ n ) µ n). i) Αν n είναι αριθμήσιμο σύνολο, τότε κάθε n θα είναι αριθμήσιμο και επομένως µ n ) µ n ). 2

22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ ii) Αν n δεν είναι αριθμήσιμο σύνολο, τότε υπάρχει μόνο ένα n που δεν είναι αριθμήσιμο. Πράγματι, αν τα ξένα μεταξύ τους σύνολα m και n, m n, δεν είναι αριθμήσιμα, τότε m n συνεπάγεται ότι m n ) c c X και ισοδύναμα m c n c X. Αυτό όμως είναι άτοπο επειδή το m c n c είναι αριθμήσιμο σύνολο και από την υπόθεση το X δεν είναι αριθμήσιμο. Αν το n είναι το μοναδικό σύνολο της ακολουθίας n ) Σ που δεν είναι αριθμήσιμο, τότε και πάλι έχουμε µ n ) µ n ) µ n ). 2. Να κατασκευαστεί ένα υποσύνολο A του [, ], με τον ίδιο τρόπο που κατασκευάζεται το τριαδικό σύνολο του Cantor, όμως στο n-οστό βήμα για την κατασκευή του A n αφαιρείται από κάθε διάστημα του A n ένα ανοικτό υποδιάστημα που έχει το ίδιο μέσο με το διάστημα και του οποίου το μήκος είναι θ n - φορές το μήκος του διαστήματος, < θ n <. Αν A A n, να αποδειχθεί ότι m A) k θ k) και να συμπεράνετε ότι m A) αν και μόνο αν k θ k. Λύση. Εστω A είναι το σύνολο που απομένει αφαιρώντας από το μέσο /2 του διαστήματος [, ] το ανοικτό διάστημα θ ) /2, + θ ) /2) μήκους θ. Τότε m A ) θ. Το A αποτελείται από δύο κλειστά υποδιαστήματα του [, ] ξένα μεταξύ τους, καθένα από τα οποία έχει μήκος θ 2. Αφαιρούμε στη συνέχεια από κάθε κλειστό διάστημα ένα ανοικτό υποδιάστημα που έχει το ίδιο μέσο με το διάστημα και του οποίου το μήκος είναι θ 2 θ 2. Εστω A 2 είναι το σύνολο που απομένει. Τότε m A 2 ) θ ) θ ) θ 2 θ ) θ 2 ). Το A 2 αποτελείται από 2 2 κλειστά υποδιαστήματα του [, ] ξένα μεταξύ τους, καθένα από τα οποία έχει μήκος θ ) θ 2 ) /2 2. Υποθέτουμε τώρα ότι το A n αποτελείται από 2 n κλειστά υποδιαστήματα του [, ] ξένα μεταξύ τους, καθένα από τα οποία έχει μήκος n k θ k) /2 n και επομένως m A n ) n k θ k). Αφαιρούμε στη συνέχεια από κάθε κλειστό διάστημα ένα ανοικτό υποδιάστημα που έχει το ίδιο μέσο με το διάστημα και του οποίου το μήκος είναι n k θ k) θ n /2 n. Εστω A n είναι το σύνολο που απομένει. Τότε A n A n και [ n n ] m A n ) θ k ) θ k ) θ n k k n θ k ). Αν A A n, τότε το A είναι συμπαγές επειδή είναι τομή συμπαγών συνόλων. Επειδή A n A, είναι m A) lim m A n ) k θ k). Ομως το άπειρο γινόμενο k θ k) συγκλίνει, δηλαδή το lim N N k θ k) υπάρχει και είναι διάφορο του μηδενός, αν και μόνο αν η σειρά k ln θ k) συγκλίνει. Η τελευταία σειρά συγκλίνει αν και μόνο αν η σειρά k θ k συγκλίνει πρέπει lim k θ k διαφορετικά οι σειρές αποκλίνουν). Πράγματι, επειδή lim x + ln x) /x, από το κριτήριο σύγκρισης οι σειρές είτε συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα. Άρα, m A) αν και μόνο αν k θ k. 3. Εστω S το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο [, ] τέτοιο ώστε x S αν και μόνο αν στο δεκαδικό ανάπτυγμα του x δεν εμφανίζεται το ψηφίο 6. Να αποδειχθεί ότι το S έχει μέτρο Lebesgue μηδέν. k

4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ 24 5 23 Απόδειξη. Διαιρούμε το διάστημα [, ] σε δέκα ίσα υποδιαστήματα και αφαιρούμε το ανοικτό διάστημα.6,.7) μήκους / ας σημειωθεί ότι στο δεκαδικό ανάπτυγμα το.6.5999 και το.7.6999 ). Στο δεύτερο βήμα διαιρούμε καθένα από τα εννέα διαστήματα που απομένουν, δηλαδή τα [,.],..., [.5,.6], [.7,.8], [.8,.9], [.9, ], σε δέκα ίσα υποδιαστήματα και αφαιρούμε τα εννέα ανοικτά υποδιαστήματα.6,.7),...,.56,.57),.76,.77),.86,.87),.96,.97) μήκους / 2 το καθένα. Συνεχίζοντας τη διαδικασία, στο n-οστό βήμα αφαιρούμε 9 n το πλήθος ανοικτά διαστήματα που το καθένα έχει μήκος / n. Αν a n, b n ), n N, είναι η ακολουθία των ανοικτών διαστημάτων που αφαιρούνται, τότε Επειδή είναι m S). S [, ] \ a n, b n ). m [, ] \ S) + 9 2 + + 9n n + n ) n 9 9/, 4. αʹ) Αν C είναι το τριαδικό σύνολο Cantor και C +C or. {x+y : x, y C}, να αποδειχθεί ότι C +C [, 2]. βʹ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν Lebesgue μετρήσιμα υποσύνολα A και B του, με ma) mb), τέτοια ώστε A + B or. {x + y : x A, y B}. Υπόδειξη. A n Z C + n) και B C.) Επομένως, αν δύο υποσύνολα του έχουν μέτρο Lebesgue μηδέν, τότε δεν συνεπάγεται ότι και το άθροισμά τους θα έχει μέτρο μηδέν. Απόδειξη. αʹ) Αν x, y C, τότε x x n/3 n και y y n/3 n, με x n, y n {, 2}. Επομένως 5. Είναι x + y 2 x n + y n ) /2 3 n, με x n + y n ) /2 {,, 2}. Αν τώρα a [, 2], είναι a 2t για κάποιο t [, ] και στο τριαδικό σύστημα a 2 t n/3 n, με t n {,, 2}. Άρα, C + C [, 2]. A + B n Z C + n) + C) n Z C + C) + n) n Z [, 2] + n).

24 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 6. Εστω N ένα υποσύνολο του με m N). Αν η παράγωγος της f : είναι συνεχής, να αποδειχθεί ότι m f N)). Υπόδειξη. Για κάθε n N, η f [ n,n] : [ n, n] ικανοποιεί τη συνθήκη Lipschitz. Δηλαδή υπάρχει M n > τέτοιο ώστε f x) f y) M n x y, για κάθε x, y [ n, n].) Απόδειξη. Για κάθε φυσικό αριθμό n, η f [ n,n] : [ n, n] ικανοποιεί τη συνθήκη Lipschitz η f έχει συνεχή και φραγμένη παράγωγο στο συμπαγές σύνολο [ n, n]). Επειδή N [ n, n] N, είναι m N [ n, n]). Από την Πρόταση 2.2 σημειώσεις του μαθήματος), θα είναι m f N [ n, n])), για κάθε n N. Επομένως, )) ) m f N)) m f N [ n, n] m f N [ n, n]) m f N [ n, n])). 7. Εστω A υποσύνολο του. αʹ) Αν m A), να αποδειχθεί ότι για κάθε B είναι m A B) m B \ A) m B). βʹ) Αν m A) < και το Lebesgue μετρήσιμο υποσύνολο A του A είναι τέτοιο ώστε m A ) m A), να αποδειχθεί ότι το A είναι Lebesgue μετρήσιμο. Απόδειξη. αʹ) Είναι m B) m A B) m A) + m B) m B), οπότε m A B) m B). Επειδή A B A, είναι m A B). Επομένως m B) m B \ A) A B)) m B \ A) + m A B) m B \ A). Ομως B \ A B, οπότε m B \ A) m B). Άρα m B \ A) m B). βʹ) Από τη συνθήκη Καραθεοδωρή για τη μετρησιμότητα ενός συνόλου και την υπόθεση έχουμε m A ) m A) m A \ A ) + m A A ) m A \ A ) + m A ). Επειδή m A ) <, είναι m A \ A ) m A ) m A ). Για κάθε σύνολο B είναι B A B A \ A )) B A ), οπότε m B A) m B A \ A )) + m B A ) m A \ A ) + m B A ) m B A ).

4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ 24 5 25 Ομως B A B A συνεπάγεται ότι m B A ) m B A) και επομένως m B A ) m B A). Επειδή B \ A B \ A, είναι m B \ A) m B \ A ). Επειδή B \ A B A \ A )) B \ A), έχουμε m B \ A ) m B A \ A )) + m B \ A) m A \ A ) + m B \ A) m B \ A). Άρα, m B \ A) m B \ A ). Επειδή το σύνολο A είναι Lebesgue μετρήσιμο, για κάθε σύνολο B θα είναι m B) m B \ A ) + m B A ) m B \ A) + m B A), που συνεπάγεται ότι και το σύνολο A είναι Lebesgue μετρήσιμο. 8. αʹ) Εστω n x n, a), όπου x n+ 2 Lebesgue μετρήσιμο σύνολο και να υπολογιστεί το m n ). βʹ) Εστω Λύση. F n x n + a x n ), με x a >. Να αποδειχθεί ότι n είναι ένα α + 2 α + + n ) α ) n α+,, α >. Να αποδειχθεί ότι F n είναι ένα Lebesgue μετρήσιμο σύνολο και να υπολογιστεί το m F n ). αʹ) Επαγωγικά αποδεικνύεται ότι x n > a, για κάθε n N και ότι η ακολουθία x n ) είναι γνήσια φθίνουσα. ) Επομένως η ακολουθία x n ) συγκλίνει. Αν lim x n l, από την x n+ 2 x n + a x n προκύπτει ) ότι l 2 l + a l και ισοδύναμα l ± a. Επειδή xn > a, είναι lim x n l a. Επομένως n a, a), δηλαδή η n είναι ένα Lebesgue μετρήσιμο σύνολο και n n. Είναι a a m n ) lim m n) lim a x n). βʹ) Επειδή η συνάρτηση f x) x α είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα [, ], το L f, P n ) α + 2 α + + n ) α n α+ n f n είναι το κατώτερο άθροισμα της f που αντιστοιχεί στη διαμέριση P n k ) k n {, /n, 2/n,, n/n} του [, ]. Είναι L f, P n ) < xα dx / α + ), για κάθε n N και από τη θεωρία ολοκλήρωσης κατά iemann lim L f, P α + 2 α + + n ) α n n) lim n α+ lim f n k ) k n x α dx α +.

26 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ Επομένως, η F n [/ α + ), ) είναι ένα Lebesgue μετρήσιμο σύνολο και m F n ) / α + ) α/ α + ).

4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ 24 5 27 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 2η Ομάδα Ασκήσεων στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση ακαδ. έτος 24 5. Εστω f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων, f n :, M. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο A {x : f n x) συγκλίνει} είναι μετρήσιμο. Απόδειξη. Επειδή οι συναρτήσεις g x) lim sup f n x), h x) lim inf f n x) είναι μετρήσιμες και η διαφορά τους θα είναι μετρήσιμη συνάρτηση. Τότε όμως A {x : f n x) συγκλίνει} {x : f g) x) } είναι ένα μετρήσιμο σύνολο. 2. αʹ) Να βρεθεί μία μη μετρήσιμη συνάρτηση f :, τέτοια ώστε η εικόνα κάθε μετρήσιμου υποσυνόλου του να είναι μετρήσιμο υποσύνολο του. βʹ) Αν C είναι το τριαδικό σύνολο Cantor, να βρεθεί μία συνεχής συνάρτηση f : [, ] [, ] τέτοια ώστε f x), για κάθε x C και f x), για κάθε x [, ] \ C. Λύση. αʹ) Ως γνωστόν η χαρακτηριστική συνάρτηση χ ενός υποσυνόλου του είναι μετρήσιμη αν και μόνο αν το είναι μετρήσιμο σύνολο. Αν το δεν είναι μετρήσιμο π.χ. παίρνουμε το να είναι το σύνολο του Vitali ), θεωρούμε τη συνάρτηση f x) : χ x) η οποία δεν είναι μετρήσιμη. Επειδή η εικόνα μέσω της f κάθε υποσυνόλου του είναι ένα από τα σύνολα : {}, {}, {, }, η εικόνα κάθε μετρήσιμου υποσυνόλου του είναι μετρήσιμο υποσύνολο του. βʹ) Ως γνωστόν, η απόσταση του x [, ] από το C ορίζεται ως εξής d x, C) : inf { x y : y C}. Επειδή d x, C) <, αν ορίσουμε f x) : d x, C), τότε η f είναι συνεχής, με f x) [, ]. Προφανώς f x), για κάθε x C. Επειδή το σύνολο C είναι συμπαγές, για κάθε x [, ] \ C είναι f x) d x, C). 3. αʹ) Εστω f, g, ϕ :, M, μετρήσιμες συναρτήσεις. Αν fx) gx) αν g x), h x) ϕ x) αν g x), να αποδειχθεί ότι η h : είναι μετρήσιμη.

28 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ βʹ) Να αποδειχθεί ότι κάθε μετρήσιμη συνάρτηση f : γράφεται στη μορφή f u f, όπου η u είναι μετρήσιμη συνάρτηση με u x) ±, για κάθε x. Απόδειξη. αʹ) Για κάθε a είναι {x : h x) > a} {x : g x) } {x : f x) /g x) > a} {x : g x) } [{x : f x) ag x) > } {x : g x) > }] [{x : f x) ag x) < } {x : g x) < }]. Επειδή οι f, g είναι μετρήσιμες, το σύνολο {x : h x) > a} {x : g x) } είναι μετρήσιμο. Επειδή και η ϕ είναι μετρήσιμη, το σύνολο {x : h x) > a} {x : g x) } {x : ϕ x) > a} είναι μετρήσιμο. Ομως {x : h x) > a} [{x : h x) > a} {x : g x) }] [{x : h x) > a} {x : g x) }], οπότε και το σύνολο {x : h x) > a} θα είναι μετρήσιμο. Άρα, η συνάρτηση h είναι μετρήσιμη. βʹ) Εφαρμόζουμε την α ) με g f και ϕ x), για κάθε x, οπότε η συνάρτηση fx) fx) αν f x), u x) αν f x), είναι μετρήσιμη. Επομένως, κάθε μετρήσιμη συνάρτηση f : γράφεται στη μορφή f u f, όπου η u είναι μετρήσιμη συνάρτηση με u x) ±, για κάθε x. 4. Εστω η συνάρτηση f : [, ] είναι μετρήσιμη, M. Αν f dm <, χρησιμοποιώντας την ανισότητα Chebyshev να αποδειχθεί ότι f < σ.π. Απόδειξη. Αν n : {x : f x) n}, n N, τα n είναι μετρήσιμα σύνολα. Επίσης {x : f x) } n και 2 n. Επειδή από την ανισότητα Chebyshev m ) m {x : f x) }) f dm <,

4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ 24 5 29 είναι lim m n ) m n) m {x : f x) }). Ομως και πάλι από την ανισότητα Chebyshev m n ) m {x : f x) n}) n f dm. Επομένως, m {x : f x) }) lim m n ). Άρα, f < σ.π. 5. Εστω η συνάρτηση f : [, ] είναι μετρήσιμη. αʹ) Να αποδειχθεί ότι lim [ n,n] f dm f dm. βʹ) Αν f n min{f, n}, n N, να αποδειχθεί ότι lim f n dm f dm, για κάθε M. Απόδειξη. αʹ) Αν f n fχ [ n,n], η f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων τέτοια ώστε f n f n+, για κάθε n N. Από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε f dm lim fχ [ n,n] dm lim lim [ n,n] f n dm lim f n dm f dm. βʹ) Αν f n min{f, n}, η f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων τέτοια ώστε f n f n+, για κάθε n N. Αν M, επειδή lim f n f, από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε f n dm f dm. lim 6. Εστω η συνάρτηση f : [, ] είναι μετρήσιμη με f dm <. Ο μετασχηματισμός [, ) Laplace της f ορίζεται ως εξής F t) : [, ) e tx f x) dmx), t. Να αποδειχθεί ότι η F είναι φθίνουσα, συνεχής στο [, ) και ότι lim t F t). Απόδειξη. Αν t 2 t, τότε για κάθε x είναι e t2x e tx και επομένως F t 2 ) e t2x f x) dmx) e tx f x) dmx) F t ), [, ) [, ) δηλαδή η F είναι φθίνουσα. Επίσης, επειδή F t) e tx f x) dmx) [, ) [, ) f x) dmx) <, η F είναι μη-αρνητική και φραγμένη στο [, ). Για να αποδείξουμε ότι η F είναι συνεχής και ότι lim t F t), μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είτε το θεώρημα μονότονης σύγκλισης ή το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue.

3 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ ος τρόπος. Αν < t <, επειδή η F είναι φθίνουσα τα πλευρικά όρια lim t t + F t) και lim t t F t) υπάρχουν αν t, τότε το όριο lim t + F t) υπάρχει ). Αν t n ), t n > t, είναι φθίνουσα ακολουθία θετικών αριθμών με lim t n t και f n x) : e tnx f x), τότε η f n ) είναι μία αύξουσα ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο [, ). Από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε lim F t n) lim e tnx f x) dmx) lim e tnx f x) dmx) F t ). [, ) [, ) [, ) e tx f x) dmx) Επομένως, lim t t + F t) F t ). Αν τώρα t n ), t n < t, είναι αύξουσα ακολουθία θετικών αριθμών με lim t n t και f n x) : e tnx f x), τότε η f n ) είναι μία φθίνουσα ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο [, ). Επειδή [, ) f x) dmx) [, ) e tx f x) dmx) [, ) f x) dmx) < και πάλι από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης βλέπε και 2η Ομάδα Ασκήσεων ακαδ. έτους 23 24, άσκηση 4) έχουμε lim F t n ) F t ), οπότε lim t t Δηλαδή η F είναι συνεχής στο t [, ). Επειδή η F είναι φθίνουσα και φραγμένη στο [, ), το lim t F t) υπάρχει. F t) F t ). Άρα, lim t t F t) F t ). Για να αποδείξουμε ότι lim t F t), αρκεί να αποδείξουμε ότι lim F t n ), όπου η ακολουθία θετικών όρων t n ) είναι αύξουσα με lim t n. Οπως και προηγουμένως, αν f n x) e tnx f x), τότε η f n ) είναι μία φθίνουσα ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο [, ) και από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε ) lim F t n) lim e tnx f x) dmx) lim e tnx f x) dmx) dmx). [, ) [, ) 2ος τρόπος. Αν t n ) είναι ακολουθία θετικών αριθμών με lim t n t και f n x) : e tnx f x), τότε η f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο [, ) με lim f n x) g x), όπου g x) : e tx f x). Επειδή f n x) f x), για κάθε n N και η f L [, ), από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue είναι lim F t n) lim f n x) dmx) [, ) Επομένως η F είναι συνεχής στο t [, ). [, ) g x) dmx) [, ) [, ) e tx f x) dmx) F t ). Επειδή η F είναι φθίνουσα και φραγμένη στο [, ), το lim t F t) υπάρχει. Αν t n ) είναι ακολουθία θετικών αριθμών με lim t n, χρησιμοποποιώντας και πάλι το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue, είναι lim t F t n ) και επομένως lim t F t). 7. αʹ) Αν το G είναι ένα ανοικτό σύνολο, να αποδειχθεί ότι { } m G) sup f dm : f χ G και η f είναι συνεχής.

4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ 24 5 3 Υπόδειξη. Να θεωρήσετε την ακολουθία των συνεχών συναρτήσεων f n x) : d x, G c ) /n ) + d x, G c, n N. ) βʹ) Αν το F είναι ένα κλειστό σύνολο, να αποδειχθεί ότι { } m F ) inf f dm : f χ F και η f είναι συνεχής. Υπόδειξη. Αν m F ) < και ε >, τότε ως γνωστόν υπάρχει ανοικτό σύνολο G F, τέτοιο ώστε m G) < m F ) + ε. Να θεωρήσετε τη συνεχή συνάρτηση g x) : d x, G c ) / d x, G c ) + d x, F )) ή την ακολουθία των συνεχών συναρτήσεων d x, G c ) n ) f n x) : d x, G c, n N. ) + d x, F ) Απόδειξη. αʹ) Ως γνωστόν αν η f είναι συνεχής, τότε η f είναι μετρήσιμη. Αν f χ G, είναι και επομένως f dm χ G dm m G) { } sup f dm : f χ G και η f είναι συνεχής m G). Για να αποδείξουμε την ισότητα θεωρούμε την ακολουθία των συνεχών συναρτήσεων f n ), με f n x) d x, G c ) /n ) + d x, G c. ) Για x G c είναι d x, G c ). Επειδή το G c είναι κλειστό σύνολο, για x G είναι d x, G c ) > και κατά συνέπεια < d x, G c ) / + d x, G c )) <. Επομένως η f n ) είναι μια αύξουσα ακολουθία συνεχών συναρτήσεων, με f n χ G, τέτοια ώστε lim f n x) Από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε lim f n dm lim f n dm G lim f n dm + αν x G, αν x G c. G c lim f n dm dm + dm m G). G G c Άρα, { } sup f dm : f χ G και η f είναι συνεχής m G).

32 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ βʹ) Επειδή f χ F, είναι και επομένως f dm χ F dm m F ) { } inf f dm : f χ F και η f είναι συνεχής m F ). Για να αποδείξουμε την ισότητα αρκεί να υποθέσουμε ότι m F ) <. Ως γνωστόν, για κάθε ε > υπάρχει ανοικτό σύνολο G F, τέτοιο ώστε m G) < m F ) + ε. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση g x) : d x, G c ) / d x, G c ) + d x, F )). Επειδή τα σύνολα G c και F είναι κλειστά, για x G είναι d x, G c ) > και για x F c είναι d x, F ) >. Κατά συνέπεια, για x G είναι < g x) και για x G c είναι g x). Επομένως, για κάθε ε > υπάρχει συνεχής συνάρτηση g, με g χ F και g dm g dm + g dm g dm dm m G) < m F ) + ε. G G c G G Άρα, { } inf f dm : f χ F και η f είναι συνεχής m F ).

4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ 24 5 33 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 3η Ομάδα Ασκήσεων στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση ακαδ. έτος 24 5. Εστω f n ) μία ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο M. Αν υπάρχει συνάρτηση g L ), τέτοια ώστε f n x) g x), σ.π. στο και για κάθε n N, τότε ) lim inf n dm lim inf f n dm. Απόδειξη. Αν : {x : f n x) g x) για κάθε n N}, τότε m \ ). Η f n g) είναι μία ακολουθία μη αρνητικών μετρήσιμων συναρτήσεων στο και από το λήμμα του Fatou έχουμε lim inf f n g) dm lim inf f n g) dm. Για κάθε x και για κάθε n N είναι f n x) g x), οπότε και lim inf f n x) g x). g L ), από γνωστή πρόταση lim inf f n dm g dm lim inf f n g) dm lim inf f n g) dm lim inf f n g) dm lim inf f n dm g dm. Ομως g dm < και η παραπάνω ανισότητα συνεπάγεται ότι lim inf f n dm lim inf f n dm. Επειδή η Επειδή m \ ), είναι \ lim inf f n dm \ f n dm. Η υπόθεση f n x) g x), σ.π. στο, για κάθε n N συνεπάγεται ότι lim inf f n x) g x), σ.π., με g L ). Τότε όμως τα ολοκληρώματα f n dm και lim inf f n dm υπάρχουν γιατί;) και επομένως lim inf f n dm lim inf f n dm + lim inf f n dm \ lim inf f n dm lim inf f n dm ) lim inf f n dm + lim inf f n dm. \ f n dm

34 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 2. Εστω f n ) είναι ακολουθία μη-αρνητικών μετρήσιμων συναρτήσεων που ορίζονται στο μετρήσιμο σύνολο. Αν lim f n x) f x) και f n x) f x) σ.π. στο, να αποδειχθεί ότι lim f n dm f dm. Απόδειξη. Αν f dm +, από το Λήμμα του Fatou lim inf f n dm f dm + και επομένως lim f n dm +, που συνεπάγεται ότι lim f n dm f dm. Αν τώρα υποθέσουμε ότι f dm <, το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue αποδεικνύει το ζητούμενο. Μπορούμε όμως να εργαστούμε και ως εξής: Και πάλι από το Λήμμα του Fatou f dm lim sup και επομένως lim f n dm f dm. f n dm lim inf f n dm f dm 3. αʹ) Αν n N, να αποδειχθεί ότι < [ t/n) n ] /t, για κάθε t, ] και t/n) n e t, βʹ) Αν για κάθε t [, n]. να αποδειχθεί ότι γʹ) Να αποδειχθεί ότι Λύση. Να συμπεράνετε ότι I n I n J n [ t ) n ] n dt και J n t n dt, t n t n) lim I e t n dt και lim t J e t n dt. t n [ t ) n ] dt ln n + t n 2 + + ln n. n e t e /t dt γ, t όπου γ lim + /2 + + /n ln n) είναι η σταθερά του uler γ, 57725...). αʹ) Η h n t) : t/n) n είναι αύξουσα για t n. Πράγματι, από τη γνωστή ανισότητα + x) a +ax, η οποία ισχύει αν x και a, για x t/ n + ) και a n + ) /n έχουμε Ειδικά, t/n) n t ) n+)/n t n + n t ) n+ t n. n + n) t, για κάθε t n, και επομένως < [ t/n) n ] /t, για κάθε t, ]. Επειδή e t/n t/n, για κάθε t, είναι t/n) n e t, για κάθε t [, n].

4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ 24 5 35 βʹ) Αν f n t) : t/n) n ) /t, επειδή lim f n t) e t ) /t, από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue είναι lim I n lim f n t) dt ) lim f n t) dt e t dt. t Αν g n t) : t/n) n χ [,n] t) /t, τότε lim g n t) e t /t και g n t) < e t /t, για κάθε n N. Επειδή e t /t e t, για κάθε t και το γενικευμένο ολοκλήρωμα e t dt e συγκλίνει, από το κριτήριο σύγκρισης και το γενικευμένο ολοκλήρωμα e t /t dt θα συγκλίνει. Επομένως η g t) : e t /t L [, ) και από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue είναι n lim J n lim t n dt lim g n t) dt lim t n) lim t/n) n χ [,n] t) t dt e t t dt. t/n) n χ [,n] t) t dt γʹ) Είναι I n J n n n n [ t ) n ] n dt t n t t [ t ) n ] dt n n [ t ) n ] dt ln n n [ t ) n ] n dt t n dt t n t n) t dt s n ds ln n αντικατάσταση t n s)) s [ + s + s 2 + + s n ] ds ln n + 2 + + n ln n. Επομένως, γ lim + /2 + + /n ln n) lim I n lim e t dt t J n e t e t dt t t e /s e t e /t dt. t s dt dt αντικατάσταση t /s) 4. Να βρεθεί η μικρότερη σταθερά c τέτοια ώστε ln + e t) < c + t, για κάθε t >.

36 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ Υπάρχει το lim n ln + e nfx)) dx για κάθε πραγματική συνάρτηση f L [, ] ; Αν υπάρχει να υπολογιστεί. Λύση. Αν υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε ln + e t ) < c + t, για κάθε t >, τότε lim t + ln + e t ) lim t + c + t) και ισοδύναμα ln 2 c. Ομως για g t) : ln + e t ) t, είναι g t) / + e t ) < για κάθε t. Επομένως, για κάθε t > είναι g t) < g ) και ισοδύναμα ln + e t ) < ln 2 + t. Άρα, η μικρότερη σταθερά c ln 2. Εστω f n x) : ln + e nfx)) /n. Αν f x) >, τότε lim f ln + e nfx)) ln ) + e tfx) L Hôpital) e tfx) n x) lim lim f x) lim f x) n t t t + etfx) και αν f x), τότε προφανώς lim f n x). Επομένως, lim f n x) max {f x), } f + x). Επειδή για κάθε n N ln + e nfx)) n < ln 2 n + f x) ln 2 + f x), αν f x) > και ln + e nfx)) n ln 2 n ln 2, αν f x), είναι f n x) g x), όπου g x) : ln 2 + f x) L [, ]. Επομένως, από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue lim n ln + e nfx)) dx lim f n x) dx lim f n x) dx f + x) dx. 5. Εστω η f :, όπου M, είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη και a. αʹ) Αν A, να αποδειχθεί ότι χ A x + a) χ A a x) και για a, χ A ax) χ a A x). βʹ) Να αποδειχθεί ότι και για a f x + a) dmx) a+ f x) dmx) f ax) dmx) f x) dmx). a a Υπόδειξη. Να θεωρήσετε πρώτα την περίπτωση που η f χ A. Είναι A a + ) a + A a) και για a, A a a a A ) ).

4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ 24 5 37 Απόδειξη. αʹ) Είναι χ A x + a) x + a A x A a χ A a x) και επομένως χ A x + a) χ A a x). Αν a, τότε χ A ax) ax A a ax) a A x a A χ a A x), δηλαδή χ A ax) χ a A x). βʹ) Αν f χ A, χρησιμοποιώντας την α ) έχουμε χ A x + a) dmx) και για a χ A ax) dmx) χ A a x) dmx) m A a) ) m a + A a) ) m A a + )) f x) dmx) a+ χ a A x) dmx) m a A ) ) a m a a A ) )) m A a) a f x) dmx). a Ομως κάθε απλή μετρήσιμη συνάρτηση s είναι γραμμικός συνδυασμός χαρακτηριστικών συναρτήσεων μετρήσιμων συνόλων, οπότε s x + a) dmx) a a+ s x) dmx) και για a s ax) dmx) s x) dmx). a a Ως γνωστόν υπάρχει ακολουθία μη αρνητικών απλών συναρτήσεων s n, με s n x) s n+ x) και lim s n x) f + x), για κάθε x a +. Ισοδύναμα, είναι s n x + a) s n+ x + a) και lim s n x + a) f + x + a), για κάθε x. Επομένως, από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης f + x + a) dmx) lim s n x + a) dmx) lim s n x) dmx) f + x) dmx) a+ a+

38 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ και παρόμοια Άρα, f x + a) dmx) f x + a) dmx) a+ f x) dmx). f + x + a) dmx) f + x) dmx) a+ a+ f x) dmx). a+ f x + a) dmx) f x) dmx) Ανάλογα αποδεικνύεται ο δεύτερος τύπος. 6. αʹ) Υποθέτουμε ότι η Lebesgue μετρήσιμη συνάρτηση f : είναι περιοδική με περίοδο T >, τέτοια ώστε T f x) dx <. Να αποδειχθεί ότι T n 2 f nx) dx < και στη συνέχεια ότι lim n 2 f nx) σχεδόν παντού. βʹ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f x) ln cos x ) 2 είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη στο [, π] και να συμπεράνετε ότι lim cos nx) /n σχεδόν παντού. Υπόδειξη. Να συγκρίνετε το γενικευμένο ολοκλήρωμα π ln cos x )2 dx με το γενικευμένο ολοκλήρωμα π ln x π/2 )2 dx Απόδειξη. αʹ) Επειδή η f είναι περιοδική με περίοδο T >, είναι f x k ) T ) f x), k N και από την προηγούμενη άσκηση έχουμε [,T ] n 2 f nx) dmx) n 3 [, nt ] n n 3 k n n 3 k n n 3 n 2 k [, T ] f x) dmx) [k )T, kt ] [k )T, kt ] [, T ] f x) dmx) f x k ) T ) dmx) f x) dmx) f x) dmx).

4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ 24 5 39 Επομένως [, T ] n 2 f nx) dmx) n 2 f x) dmx) <. [, T ] Άρα, από το θεώρημα B. Levi η σειρά n 2 f nx) συγκλίνει σχεδόν παντού και κατά συνέπεια lim n 2 f nx) σχεδόν παντού. βʹ) Για να αποδείξουμε ότι η π-περιοδική συνάρτηση f x) ln cos x ) 2 είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη στο [, π], από γνωστή πρόταση αρκεί να αποδείξουμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα π ln cos x )2 dx συγκλίνει. Αν αποδείξουμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα π/2 ln cos x ) 2 dx π/2 ln cos x) 2 dx συγκλίνει, επειδή π/2 π ln cos x ) 2 dx π/2 ln cos x ) 2 dx, τότε και το γενικευμένο ολοκλήρωμα π ln cos x )2 dx θα συγκλίνει. Ομως για < 2λ < το γενικευμένο ολοκλήρωμα π/2 π/2 x) 2λ dx συγκλίνει και lim x π/2) ) 2 ln cos x L Hôpital) π/2 x) λ. Άρα, από το κριτήριο σύγκρισης για γενικευμένα ολοκληρώματα, το π/2 ln cos x ) 2 dx συγκλίνει. Εφαρμόζοντας την α ), έχουμε lim n 2 f nx) lim n 2 ln cos nx) ) 2 σ.π. που συνεπάγεται ότι lim n ln cos nx) σ.π. Άρα, lim cos nx) /n lim ln cosnx) en σ.π. 7. Εστω είναι Lebesgue μετρήσιμο υποσύνολο του [, 2π] και m N. Αν k n ) είναι μία γνήσια αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών και a n ) είναι μία οποιαδήποτε πραγματική ακολουθία, να αποδειχθεί η ταυτότητα cos 2m t 2 2m 2m m ) m ) 2m + 2 2m cos 2kt m k k και να υπολογιστεί το lim cos2m k n x + a n ) dmx).