ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μια μαθηματική τεχνική Ευρύτατο φάσμα εφαρμογών Προβλήματα με γραμμικότητα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο Γραμμικός Προγραμματισμός επιλύει, κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις, το πρόβλημα κατανομής πεπερασμένων πόρων ή μέσων ή γενικότερα χρήσιμων αγαθών (π.χ. εργαζόμενων, υλικών, μηχανών, γης,...) σε διάφορες εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους δραστηριότητες (παραγωγή προϊόντων, παροχή υπηρεσιών,...) κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Κάνει δηλαδή επιλογή της στάθμης κάθε δραστηριότητας έτσι ώστε να βελτιστοποιείται ένα προκαθορισμένο κριτήριο επιλογής. Περιορισμένοι πόροι Εναλλακτικές και ανταγωνιστικές δραστηριότητες Βελτιστοποίηση (min ή max) συγκεκριμένου κριτηρίου

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Σχεδιασμός Εθνικής Οικονομίας Ενεργειακός Προγραμματισμός Προγραμματισμός παραγωγής, αποθεμάτων Προγραμματισμός επενδύσεων Κατανομή προσωπικού σε εργασίες Επιλογή θέσεως εργοστασίων και αποθηκών Μεταφορά εμπορευμάτων από τους τόπους παραγωγής στα κέντρα κατανάλωσης Βομβαρδισμός εχθρικού στόχου με δεδομένο σμήνος αεροσκαφών Καθορισμός ημερησίου διαιτολογίου ατόμου

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ () ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ: Έστω: x x : τεμάχια Προϊόντος που παραγ. εβδομ. : τεμάχια Προϊόντος που παραγ. εβδομ. Ώρες απασχόλησης μηχ. για προϊόν : x Ώρες απασχόλησης μηχ. για προϊόν : 3x Συνολικές ώρες διάθεσης μηχ. : Παραδοχή: βάρδιες x8 ώρες x5 ημέρες = 80 ώρες Άρα πρέπει: x + 3x 80 Ομοίως... Μηχ. : 4x + x 80 Μηχ. 3: 6x 80 Πώληση: x 5 Κέρδος : 4000x + 3000x max 3

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ () ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ: ΚΥΡΙΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Σύστημα: Το σύνολο των μηχανημάτων και ανθρώπων του μηχανουργείου που σκοπό έχει την παραγωγή προϊόντων Στοιχεία του συστήματος: Οι άνθρωποι, τα μηχανήματα Δυνατότητα δράσης: Παραγωγή των προϊόντων. Επιτυγχάνεται με συνδυασμό των στοιχείων του συστήματος. Περιορισμοί: στους οποίους υπόκειται η παραγωγή. Χρονικοί περιορισμοί λειτουργίας μηχανημάτων Περιορισμοί από ζήτηση Δραστηριότητες: στις οποίες αναλύεται η δράση του συστήματος. Παραγωγή προϊόντος Παραγωγή προϊόντος 4

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ (3) Στάθμη της δραστηριότητας: Ημέτρησηκάθε δραστηριότητας με την κατάλληλη μονάδα (τεμάχια προϊόντων) Μεταβλητές Απόφασης: Οι στάθμες των διαφόρων δραστηριοτήτων (που απoτελούν ένα πρόγραμμα δράσης) x, x Πραγματοποιήσιμο Πρόγραμμα Δράσης: Οι περιορισμοί δράσης ικανοποιούνται Κριτήριο Απόφασης: Κάποιο πολύτιμο αγαθό που συνεπάγεται το Πρόγραμμα Δράσης Κέρδος Σκοπός του Γ.Π.: Ζητείται να προσδιορισθεί, από όλα τα πραγματοποιήσιμα προγράμματα δράσης, εκείνο που βελτιστοποιεί την ποσότητα του αγαθού του συστήματος που λαμβάνεται ως κριτήριο επιλογής. max{κέρδος} 5

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΕΝΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Ζητείταιναβρεθούνοιτιμέςτωνμεταβλητώναπόφασης x, x,, x n που μεγιστοποιούν (ή ελαχιστοποιούν) τη γραμμική συνάρτηση: maxz = c x + c x + + c n x n ή min και συγχρόνως ικανοποιούν τις σχέσεις: a x + a x + + a n x n ( = )b a x + a x + + a n x n ( = )b a m x + a m x + +a mn x n ( = )b m και x, x,,x n 0. ** Υπάρχουν δηλαδή m μέσα παραγωγής που ζητείται να κατανεμηθούν σε n δραστηριότητες 6

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Δείκτης j =,,, n: ισχύει για τις δραστηριότητες Δείκτης i =,,, m: ισχύειγιαταμέσαπαραγωγής a ij : Τεχνολογικοί συντελεστές. Εκφράζουν την ποσότητα του μέσου i που καταναλώνετε για κάθε μονάδα δραστηριότητας j x j : Μεταβλητές Απόφασης (Στάθμες δραστηριοτήτων) c j : Μοναδιαία αξία της δραστηριότητας j. Όταν αυξάνεται κατά μονάδα η στάθμη της δραστηριότητας j τότε η αντικειμενική συνάρτηση αυξάνεται κατά c j. b i : Β μέλη περιορισμών. Εκφράζουν την ποσότητα του μέσου i που μπορεί να διατεθεί για όλες τις n δραστηριότητες Z : Η προς μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση Αντικειμενική Συνάρτηση 7

8 m n mn m m n n b b b x x x a a a a a a a a a......... = Z = [C C.... C n ] max ή min ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΟΡΦΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Αναλογικότητα Η αντικειμενική συνάρτηση καθώς και όλοι οι περιορισμοί πρέπει να είναι γραμμικές συναρτήσεις (Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης και η χρησιμοποίηση τω διαθέσιμων μέσων, είναι ποσά ανάλογα προς τις ποσότητες κάθε μιας δραστηριότητας). Προσθετικότητα Οι ποσότητες ενός διαθέσιμου μέσου που καταναλώνονται, από τις διάφορες δραστηριότητες, μπορούν να προστεθούν. (Δηλαδή αν η δραστηριότητα καταναλώνει a i x μονάδες του συντελεστή I, και η a i x τότε και οι δύο μαζί καταναλώνουν a i x + a i x. Διαιρετότητα Οι μεταβλητές αποφάσεις παίρνουν συνεχείς τιμές. Προσδιορισμένοι συντελεστές Όλοι οι συντελεστές ενός μοντέλου Γ.Π. (δηλαδή τα a ij, b i, c j ) θεωρούνται σαν γνωστές σταθερές. 9

ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Το Πρόβλημα της Εταιρείας DEWAG Η Εταιρεία κατασκευής αυτοκινήτων DEWAG ειδικεύεται στην παραγωγή δύο τύπων μικρών φορτηγών: DW 50 DW 50 Τα αυτοκίνητα DW 50 παράγονται σε 4 τμήματα παραγωγής: Τμήμα : Ψυχρή εξέλαση (αμαξώματα) Τμήμα : Συναρμολόγησης μηχανής Τμήμα 3: Τελική συναρμολόγηση DW 50 Τμήμα 4: Τελική συναρμολόγηση DW 50 Η μηνιαία παραγωγική ικανότητα κάθε τμήματος, εφόσον αυτό χρησιμοποιείται για την παραγωγή ενός μόνο τύπου αυτοκινήτου, είναι: ΤΜΗΜΑΤΑ DW50 DW50. Ψυχρή εξέλαση 5.000 7.000. Συναρμολόγηση μηχανών 6.666 3.334 3. Τελική συναρμολόγηση DW50 4.500 4. Τελική συναρμολόγηση DW50 3.000

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Το Τμήμα (ψυχρής εξέλασης) παράγει αμαξώματα για 5000 αυτοκίνητα DW50 μόνο, ή για 7000 αυτοκίνητα DW50 μόνο ή για οποιονδήποτε κατάλληλο γραμμικό συνδυασμό αυτών. Άρα: * Παραγωγή αυτοκινήτων DW50: 5000 συντελεστής απασχόλησης Τμ. : 00% (ή ) * Παραγωγή αυτοκινήτων DW50: 500 500 = 5000 συντελεστής απασχόλησης Τμ. : 0,30 (30%) Άρα: Μένει το υπόλοιπο 70% της παραγωγικής ικανότητας του Τμ. για κατασκευή αυτοκινήτων DW50 Παράγονται 0,70x7000=400 αυτοκίνητα DW50 Γενικά, πρέπει: (Απασχ. Τμ. για DW50) + (Απασχ. Τμ. για DW50) x + x 5000 7000 ΉΑΛΛΙΩΣ:

x 7000 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ Τμήμα x + x 5000 7000 Ησχέση = Που εκφράζει τη συνθήκη πλήρους εκμετάλλευσης του Τμήματος, μπορεί να παρασταθεί γραφικά. Τα σημεία δεξιά της ευθείας έχουν συντελεστή εκμετάλλευσης >, ενώ εκείνα που είναι αριστερά αντιπροσωπεύουν δυνατές στάθμες παραγωγής. 6000 5000 x + x > 5000 7000 (ΜΗ ΔΥΝΑΤΕΣ ΣΤΑΘΜΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ) 4000 3000 000 000 x + x 5000 7000 < ΔΥΝΑΤΕΣ ΣΤΑΘΜΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ x + x 5000 7000 > 0 000 000 3000 4000 5000 6000 7000 x 3

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ DEWAG: ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ () Δραστηριότητες: Παραγωγή αυτοκ. DW50 Παραγωγή αυτοκ. DW50 Πόροι (συντελεστές παραγωγής): Τμ. Ψυχρής εξέλασης Τεχνολογικοί συντελεστές * Για την παραγωγή ενός αυτοκ. DW50 * Για την παραγωγή ενός αυτοκ. DW50 5000 6666 4500 7000 3334 3000 Τμ. Συναρμολόγησης Μηχανών Τμ. Συναρμολόγησης αυτ. DW50 Τμ. Συναρμολόγησης αυτ. DW50 = 0,0% = 0,05% = 0,0 % = 0,043 % = 0,03% = 0,0333 % της παραγ. ικαν. Τμ. της παραγ. ικαν. Τμ. της παραγ. ικαν. Τμ. 3 της παραγ. ικαν. Τμ. της παραγ. ικαν. Τμ. της παραγ. ικαν. Τμ. 4 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΤΜΗΜΑΤΑ DW50 DW50. Ψυχρή εξέλαση 0,000 0,043. Συναρμολόγηση Μηχανών 0,050 0,0300 3. Συναρμολόγηση DW50 0,0 4. Συναρμολόγηση DW50 0,0333 4

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ DEWAG: ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ () Περιορισμοί: * Δραστηριότητα : Στάθμη x Κατανάλωση συντ. παραγ.: (a x, a x,a 3 x, a 4 x ) * Δραστηριότητα : Στάθμη x Κατανάλωση συντ. παραγ.: (a x, a x, a 3 x, a 4 x ) * β μέλη περιορισμών: 00% παραγωγικής ικανότητας κάθε τμήματος Άρα: 0,000x + 0,043x 00 0,050x + 0,0300x 00 0,0x 00 0,0333x 00 Οικονομική συνάρτηση: Καθαρό εισόδημα από δραστηρ. : 9000x Καθαρό εισόδημα από δραστηρ. : 7500x Άρα: Συνολικό καθαρό εισόδημα: 9000x + 7500x maxz 5

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ DEWAG: ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (3) Διευκρίνηση: Σύμφωνα με τον πίνακα, στο Τμήμα μπορούν να κατασκευαστούν με πλήρη απασχόληση, αμαξώματα ή μόνο για 5000 αυτοκίνητα DW50 ή μόνο για 7000 αυτοκίνητα DW50 ή για οποιονδήποτε κατάλληλο γραμμικό συνδυασμό αυτών. Το καθαρό εισόδημα της επιχείρησης από την πώληση ενός αυτοκινήτου είναι: Για τύπο DW50: $9.000 Για τύπο DW50: $7.500 Ζητείται να βρεθεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής, δηλ. εκείνο που μεγιστοποιεί το συνολικό καθαρό εισόδημα της επιχείρησης. 6

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ DEWAG: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ Να βρεθεί το διάνυσμα Χ = (x, x ) x, x 0 ώστε: 0,000x + 0,043x 00 0,050x + 0,0300x 00 0,0x + 00 και: 0,0333x 00 9000x + 7500x = maxz * Από όλες τις δυνατές λύσεις του συστήματος ανισοτήτων να βρεθεί εκείνη που μεγιστοποιεί την οικονομική συνάρτηση Z. 7

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ DEWAG: ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ () x (I) (II) (III) (IV) x 5000 x 6666 x 4500 + + x 7000 x 3334 x 3000 7000 6000 (I) (III) 5000 4000 3000 A B F J (IV) 000 000 0 C K Μ D (II) E 000 000 3000 4000 5000 6000 7000 x 8

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ DEWAG: ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ () Σύνολο δυνατών λύσεων: Πολύγωνο OABCDE Σημείο Μ: Δεν μπορεί να είναι η βέλτιστη λύση γιατί αν αυξηθεί το x και μείνει σταθερό το x θα αυξηθεί η οικονομική συνάρτηση Ζ. Άρα: Η βέλτιστη λύση θα βρίσκεται στο σύνορο του πολυγώνου OABCDE. Σημείο Ε: x = 4500 x = 0 Ευθεία ΕD: x x : σταθερό Ζ x : αυξάνει Άρα: Σημείο D καλύτερο από Ε (I) (III) A B (IV) Μ C D (II) 0 E x 9

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ DEWAG: ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ (3) Σημείο D: x = 4500 x = 666 Γραμμή CD: Πλήρης χρησιμοποίηση του Τμ. (ε =) ΔΖ Δx ε = 7000 = 9000 + 7500 = 500$ 5000 Άρα: Συμφέρει η μετακίνηση προς το C. To C καλύτερο από το D. Σημείο C: x = 4074 x = 96 x A Γραμμή BC: Πλήρης χρησιμοποίηση του Τμ. (ε =) (I) B Μ ΔΖ Δx ε = 3334 = 9000 + 7500 = -550$ 6666 Άρα: ΔΕΝ συμφέρειημετακίνησηπροςτοβ. Βέλτιστο σημείο το C. Βέλτιστο Πρόγραμμα Παραγωγής x = 4074 αυτοκίνητα DW50 x = 96 αυτοκίνητα DW50 Zmax = 9000 4074 + 96 7500 = 43.386.000 C D (III) (IV) (II) Συντελεστές Εκμετάλλευσης: ε =00% ε =00% ε 3 = 89% ε 4 = 40% 0 E x 0

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΤΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΛΥΣΕΩΝ x. Ύπαρξη μοναδικού βελτίστου Z x x Z. Ύπαρξη μοναδικού βελτίστου εκφυλισμού x x Z 3. Άπειρα βέλτιστα προγράμματα x x Z 4. Δεν υπάρχει πεπερασμένο βέλτιστο x

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Κατασκευή των ευθειών που ικανοποιούν τους περιορισμούς Εύρεση του συνόλου των δυνατών λύσεων Κατασκευή «αντιπροσωπευτικής» ευθείας της αντικειμενικής συνάρτησης από την κλίση της Μετατόπιση της ευθείας της αντικειμενικής συνάρτησης προς το βέλτιστο ώσπου να εγκαταλείψει το χώρο των δυνατών λύσεων Εύρεση της βέλτιστης λύσης ( optimum σημείο) Ερώτηση Αν για οποιονδήποτε λόγο αλλάξουν κάποιες από τις παραμέτρους του προβλήματος, θα πρέπει να ακολουθηθεί εξαρχής η παραπάνω διαδικασία για εύρεση του βέλτιστου;

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ () Πόσο «ευαίσθητη» είναι η βέλτιστη λύση στις αλλαγές των παραμέτρων; ΔΗΛΑΔΗ Αν αλλάξουν κάποιες από τις παραμέτρους του προβλήματος, συνεχίζει το ίδιο σημείο να δίνει τη βέλτιστη λύση ή όχι; ΔΗΛΑΔΗ Ποια είναι τα όρια μέσα στα οποία μπορούμε να κινηθούμε ώστε να μην υπάρξει αλλαγή της βέλτιστης λύσης;

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ () a x +a x +a 3 x 3 +.. +a n x n b a x +a x +a 3 x 3 +.. +a n x n b a m x +a m x +a m3 x 3 +.. +a mn x n b m opt Ξ = C X +C X +C 3 X 3.. +C n X n *** Στην ανάλυση ευαισθησίας αλλάζουν: οι συντελεστές της οικονομικής συνάρτησης τα β μέλη των περιορισμών και μάλιστα μόνο ένας παράγοντας κάθε φορά. Η ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΗΤΡΑ ΠΑΡΑΜΕΝΕΙ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 3

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ () ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Κάποιο μηχανουργείο έχει ειδικευτεί στην παραγωγή τύπων προϊόντων. Για την κατασκευή τους απαιτείται επεξεργασία σε 3 μηχανήματα του μηχανουργείου, ως εξής: Χρόνος επεξεργασίας ανά τεμάχιο (Μηχανο-ώρες) Τύπος μηχανήματος Προϊόν Προϊόν Μηχάνημα (Τόρνος) Μηχάνημα (Φρέζα) Μηχάνημα 3 (Πλάνη) 3 4 6 - Το Τμήμα Πωλήσεων υπολογίζει ότι ο μέγιστος αριθμός πωλήσεων προϊόντος μέσα στην εβδομάδα είναι 5 τεμάχια, ενώ για το προϊόν δεν υπάρχει ανάλογος περιορισμός. Το καθαρό κέρδος για τα προϊόντα και είναι 4000 Δρ. και 3000 Δρ. αντίστοιχα. Ζητείται να προσδιορισθεί το βέλτιστο εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής. 4

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ () ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ: Τεχνολογικοί Συντελεστές Μεταβλητές Απόφασης β μέλη Περιορισμών Χ +3Χ 80 4Χ + Χ 80 6Χ 80 Χ 5 max Ξ = 4000x + 3000x Αντικειμενική Συνάρτηση Μοναδιαία Αξία Δραστηριοτήτων ΉΑΛΛΙΩΣ: 4 6 0 3 0 X X 80 80 80 5 max Ζ = [ 4000 3000 ] x x 5

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (3) ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ: (Ι) Χ +3Χ 80 (ΙΙ) 4Χ + Χ 80 (ΙΙΙ) 6Χ 80 (IV) Χ 5 Χ, Χ 0 x 40 (II) 30 (IV) A 0 0 0 B C Z D E (I) 0 0 30 40 (III) Optimum: x x = 0 = 0 Z max =00.000 Δρ. x 6

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (4) x 40 (II) Όρια μεταβολής του C 30 (IV) 0 0 A B C D E (I) 0 0 0 30 40 (III) x Για όσο λ II <λ Z <λ I ηβέλτιστηλύσηθαπαραμένειτο C(τομή των (I) και (II)) C < < 000 < C 3000 3 < 6000 ** Δεν έχει σημασία ποια ακριβώς θα είναι η τιμή C (καθαρό κέρδος προϊόντος ) αρκεί να βρίσκεται μεταξύ 000 και 6000 Δρ. Το βέλτιστο πρόγραμμα παραμένει το ίδιο. 7

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (5) x (II) Κορεσμένοι Περιορισμοί (Ι) (IV) A B C Κ C C D E (I) 0 (III) x * Βέλτιστη λύση το C (τομή πάλι των (Ι) και (ΙΙ)) C (9.75, 0.5) Ζ = 4000 9.75 + 3000 0.5 = 00.500 Ζ = 00.000 Δρ. ΔΖ = Ζ - Ζ = 500 Δρ. Δρ. Επιπλέον κέρδος από την αύξηση της παραγωγικότητας το Τμ. Ικατά ώρα. Επιπλέον κέρδος για αύξηση κατά ώρες=x500 Δρ. Αξία της ώρας του τμ. Ι = 500 Δρ. (ΟΡΙΑΚΟ ΚΑΘΑΡΟ ΕΣΟΔΟ) 8

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (6) x (II) Μη κορεσμένοι περιορισμοί (IV) A B C D D 0 E E (III) (I) x Τι θα συμβεί αν το τμήμα (ΙΙΙ) αυξήσει την παραγωγική του ικανότητα κατά ώρα; Λύση πάλι το C ΔΖ=0 Ηαξίατης ώρας του τμήματος ΙΙΙ είναι 0. Γενικά: Η αξίατωνπόρωνπουεκφράζουνμη κορεσμένοι περιορισμοί είναι 0 9

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (7) ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΑ Β ΜΕΛΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ Κατά πόσο θα μεταβληθεί η βέλτιστη λύση αν το τμήμα I αυξήσει την παραγωγικότητα του κατά ώρα; (Ι) x + 3x 8 Διάκριση μεταξύ Κορεσμένων περιορισμών (στη βέλτιστη λύση) ΙκαιΙΙ Στηβέλτιστηλύσηικανοποιούνταισανισότητες Μη κορεσμένων περιορισμών ΙΙΙ και IV Στηβέλτιστηλύσηικανοποιούνταισανανισότητες. 0

ΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Θεωρίες δυϊσμού Θεώρημα Thevenin-Norton

ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ minu = b Π + b Π + + b m Π m ΔΥΑΔΙΚΟ X X X n Π α a... a n b Π α a... a n b............ Π m a m a m a mn b m c c... c n maxz = c X + c X + + c n X n ΠΡΩΤΕΥΟΝ

ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΗΜΑΣΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΔΥΑΔΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Η μεταβλητή Π i του Δυαδικού: αντιστοιχεί στον περιορισμό που ισχύει για τον -i- πόρο εκφράζει την αξία της μονάδας του πόρου αυτού για την επιχείρηση (στη βέλτιστη λύση) συμπίπτει εννοιολογικά με την τιμή του καθαρού οριακού κέρδους (Shadow price) που υπολογίζεται στην ανάλυση ευαισθησίας είναι 0 αν αντιστοιχεί σε κορεσμένο περιορισμό και =0 αν αντιστοιχεί σε μη κορεσμένο Η βέλτιστη τιμή της οικονομικής συνάρτησης του δυαδικού συμπίπτει με εκείνη του πρωτεύοντος προβλήματος, δηλ.: min U = max Z

ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ () Παράδειγμα: Έστω ότι κάποια επιχείρηση ενδιαφέρεται να νοικιάσει τις εγκαταστάσεις του Μηχανουργείου. Ζητείται να βρεθεί το ποσόν που πρέπει να πληρώνει σαν νοίκι. Έστω ότι πληρώνει: Π για ώρα του Τμ. Ι Π για ώρα του Τμ. ΙΙ Π 3 για ώρα του Τμ. ΙΙΙ Π 4 για ώρα του Τμ. ΙV Η παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος τύπου χρειάζεται: ώρες στο Τμ. Ι 4 ώρες στο Τμ. ΙΙ 6 ώρες στο Τμ. ΙΙΙ 0 ώρες στο Τμ. ΙV Άρα η παραγωγή μονάδας του προϊόντος στοιχίζει: Π +4Π +6Π 3 +0Π 4 Και αυτό είναι το ποσόν που κερδίζει το μηχανουργείο από την παραγωγή μονάδας προϊόντος. Αν το κατασκευάζαμε μόνο του το μηχανουργείο θα είχε κέρδος 4000 Δρ. Άρα πρέπει: Π +4Π +6Π 3 +0Π 4 4000 3

ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ () Ομοίως και για το προϊόν θα ισχύει: 3Π +Π +0Π 3 +Π 4 3000 Η καινούρια επιχείρηση θα χρησιμοποιήσει: 80 ώρες στο Τμ. Ι 80 ώρες στο Τμ. ΙΙ 80 ώρες στο Τμ. ΙΙΙ 5 ώρες στο Τμ. ΙV Το συνολικό της επομένως κόστος (νοίκι) για όλη τη βδομάδα θα είναι: 80Π +80Π +80Π 3 +5Π 4 Το κόστος αυτό η επιχείρηση ενδιαφέρεται να ελαχιστοποιήσει, δηλ.: min Z u =80Π +80Π +80Π 3 +5Π 4 Καταλήξαμε δηλαδή σε ένα άλλο πρόβλημα Γ.Π.: min Z u =80Π +80Π +80Π 3 +5Π 4 Π +4Π +6Π 3 4000 3Π +Π + +Π 4 3000 4

ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (3) Πρωτεύον Πρόβλημα Χ +3Χ 80 4Χ +Χ 80 6Χ 80 Χ 5 max Z=4000X +3000X Δυαδικό Πρόβλημα Π +4Π +6Π 3 4000 3Π +Π +Π 4 3000 min U=80Π +80Π +80Π 3 +5Π 4 ΠΡΩΤΕΥΟΝ ΔΥΑΔΙΚΟ. Περιορισμοί Μεταβλητές Πi. Μεταβλητές X j Περιορισμοί 3. Στήλες Γραμμές 4. β μέλη περιορισμών Συντελ. οικονομ. συναρτ. 5. Συντελεστές οικονομ. συναρτ. β μέλη περιορισμών 6. max Z min U 5

ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ DEWAG: ΕΠΕΚΤΑΣΗ () Δραστηριότητες: Παραγωγή αυτοκ. DW50: x Άσκηση 5 Παραγωγή αυτοκ. DW50: x Καθαρά έσοδα: Από DW50 9000 Από DW50 7500 Περιορισμοί - Αγαθά: Δυναμικότητες των διαφόρων τμημάτων: (Ι) (ΙΙ) (ΙΙΙ) (ΙV) Τμ. Ψυχρής Εξέλασης Τμ. Συναρμολόγησης Μηχανών Τμ. Τελικής Συναρμολόγησης DW-50 Τμ. Τελικής Συναρμολόγησης DW-50 Μαθηματικό μοντέλο: με περιορισμούς: maxz = 9000x + 7500x (Ι) 0,000x + 0,043x 00 (II) 0,050x + 0,0300x 00 (III) 0,0x + 00 (IV) 0,0333x 00 6

ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ DEWAG: ΕΠΕΚΤΑΣΗ () (I),0x + 0,043x 00 0 7000 (Ι) (ΙII) (II),05x + 0,03x 00 0 (III) 0,0x 00 3000 A B F J (ΙV) (IV) 0,0333x 00 0 C K D (ΙΙ) E 4000 5000 Εύρεση Βέλτιστης Λύσης c Κλίσεις ευθειών : λz = = c λiii = λiv = 0 Βέλτιστη λύση το C (I II) : x = 4073 0,05 0,03 9000 7000 = 0,0 λi = 0,043 λ II =,4 = 0,5 x = 97 =, maxz = 46.384.500 7

ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ DEWAG: ΕΠΕΚΤΑΣΗ (3) Αύξηση δυναμικότητας τμ.. (Ι)( κατά % (Ι) 0,0x + 0,043x 0 ΑΡΑ: (II) 0,05x + 0,03 x 00 (Λύση: πάλι στο C) x =45 x =58 maxz = 46.794.000$ ΑΥΞΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΘΑΡΟΥ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ Ζ ΓΙΑ ΑΥΞΗΣΗ % ΤΟΥ ΠΟΡΟΥ (Ι) 409.500$ ΟΡΙΑΚΟ ΚΑΘΑΡΟ ΕΣΟΔΟ ΠΟΡΟΥ (Ι) (SHADOW PRICE) Σημασία: Δείχνει την αξία που έχει το % του πόρου (Τμήματος) Ι στην βέλτιστη λύση (Ι) A 0 3 Όρια μεταβολής δυναμικότητας τμ.. (Ι)( B Η SHADOW PRICE ισχύει για όσο ο περιορ. (Ι) μετέχει στη βέλτιστη λύση, δηλ. μέχρι το Κ: Κ = (ΙΙ ΙII) = x = 4546 x = 060 max (Ι) C D E (ΙII) K (ΙV) (ΙΙ) (I) 0,0x + 0,043x = 06,078 ΑΡΑ: Για αύξηση της δυναμ. κατά 6,078% 8

ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ DEWAG: ΕΠΕΚΤΑΣΗ (4) 4 Αύξηση δυναμικότητας τμ.. (IΙ)( κατά % ΑΡΑ: (Ι) 0,0x + 0,043x = 00 (II) 0,05x + 0,03 x = 0 (Λύση πάλι το C) x =4036 x =349 maxz = 46.44.500$ Οριακό καθαρό έσοδο {αύξηση της οικονομικής συνάρτησης για % αύξηση του β μέλους περ. (ΙΙ)} 57.000 5 Όρια μεταβολής δυναμικότητας τμ.. (ΙΙ( ΙΙ) Η SHADOW PRICE του τμ. (ΙΙ) παραμένει η ίδια έως ότου οπεριορισμός(ιι) ξεπεράσει το F: (Ι) max (IΙ) (ΙII) F= (Ι ΙV) = x = 834 x = 3030 (II) 0,05x + 0,03x = 33,4 Άρα: Για αύξηση της δυναμικότητας κατά 33,4% A B (ΙI) F C (ΙV) D 0 E 9

ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ DEWAG: ΕΠΕΚΤΑΣΗ (5) 6 Αύξηση δυναμικότητας τμ.. (II( IIΙ) κατά % (Ι) (ΙII) Μετατόπιση της (ΙΙΙ) προς τα δεξιά δεν επηρεάζει τη βέλτιστη λύση. ΑΡΑ: Οριακό καθαρό έσοδο τμ. ΙΙΙ = 0 A B (ΙV) 0 C D E (ΙI) 7 Αύξηση δυναμικότητας τμ.. (ΙV)( κατά % Μετατόπιση της (IV) προς τα πάνω δεν επηρεάζει τη βέλτιστη λύση Άρα: Οριακό καθαρό έσοδο τμ. IV = 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η αξία για την επιχείρηση των περιορισμών που δεν είναι κορεσμένοι στη βέλτιστη λύση είναι 0. 8 Αύξηση δυναμικότητας τμ.. (ΙΙ( ΙΙ) κατά 0% (Υπερωρίες( Υπερωρίες) με κόστος 600.000$ Οριακό καθαρό έσοδο τμ. (ΙΙ) = 57.000 ΚΕΡΔΟΣ για αύξηση 0% = 570.000 ΚΟΣΤΟΣ = 600.000 ΔΕΝ ΣΥΜΦΕΡΕΙ 0

ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ DEWAG: ΕΠΕΚΤΑΣΗ (6) 9 Παραγωγή αυτοκινήτου DW-503 Καθαρό εισόδημα: 7000 $ Κατανάλωση δυναμικότητας τμημάτων: Τμ. (Ι) : / 6000 0 Το μοντέλο Γ.Π. Τμ. (ΙΙ) : / 5000 Τμ. (ΙΙΙ) : /9000 Τμ. (ΙV) : --- max Z = 9000x + 7500x + 7000x3 0,0x + 0,043x + 0,067x3 00 0,05x + 0,03x + 0,0x3 00 0,0x + 0,0x 3 00 0,0333x 00 αυτοκίνητο DW-503 απαιτεί: 0,067% τμ. Ι, αξίας 409.500 = 6838,65 0,0% τμ. ΙI, αξίας 57.000 = 40,00 0,0% τμ. IIΙ, αξίας 0 = 0 0% τμ. ΙV, αξίας 0 = 0 Άρα: Κόστος 7.978,65 Δεν συμφέρει. Πρέπει να πωλείται τουλάχιστον 7978,65

ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ DEWAG: ΕΠΕΚΤΑΣΗ (7) minz Δυαδικό πρόβλημα = 00π + 00π + 00π + 00π 3 4 0,0π + 0,05π + 0,0π 3 0,0π + 0,05π + 0,0π 4 9000 7500 Μεταβλητές π i => ΑΞΙΑ (για την επιχείρηση) μονάδας του τμήματος i. 3 Λύση δυαδικού προβλήματος Περιορισμοί (ΙΙΙ), (ΙV) ακόρεστοι => π 3,π 4 = 0 Περιορισμοί (Ι), (ΙΙ) κορεσμένοι => π,π 0 Άρα στην βέλτιστη λύση: 0,000π + 0,05π 0,043π + 0,03π = 9000 π = 408.500 = 7500 π = 55.53 Ίδιες με τις Shadow Prices των περιορισμών (Ι),), (II)(