If you can t describe what you are doing as a process, you don t know what you are doing. W.E. Deming

Κεφάλαιο 2 Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Διαδικασιών If you can t describe what you are doing as a process, you don t know what you are doing. W.E. Deming Οπως έχει ήδη αναφερθεί στο προηγούμενο κεφάλαιο, ο βασικός στόχος του μαθήματος αυτού είναι η μελέτη, μέσω της διαδικασίας της προσομοίωσης, ενός στοχαστικού μοντέλου (στοχαστικό φαινόμενο ή μοντέλο πιθανότητας). Οπως όμως πολύ εύκολα μπορεί να γίνει διαισθητικά αντιληπτό, η βάση για την αντιμετώπιση του παραπάνω ζητήματος έγκειται στη μελέτη ενός πειράματος τύχης. Εδώ είναι λοιπόν και το σημείο αφετηρίας για το ουσιαστικό ερώτημα του κεφαλαίου αυτού. Στην περίπτωση που το αποτέλεσμα του υπό μελέτη πειράματος τύχης είναι ένας αριθμός (ή και περισσοτεροι αριθμοί), όπως για παράδειγμα το αποτέλεσμα της ρίψης ενός νομίσματος (ή περισσοτέρων νομισμάτων), τότε το πείραμα αυτό μπορεί να εκφραστεί με τη βοήθεια μίας τυχαίας μεταβλητής (ή ενός πολυδιάστατου τυχαίου διανύσματος). Ομως στην πράξη καλούμαστε να αντιμετωπίσουμε πολύ πιο σύνθετα πειράματα και να απαντήσουμε σε πολύ πιο ουσιώδη προβλήματα. Για παράδειγμα, είναι πολύ σημαντική η απάντηση στο ερώτημα: Τι κάνουμε αν μας ενδιαφέρει η παρακολούθηση του τρόπου με τον οποίο εξελίσσεται ένα τυχαίο πείραμα στο χρόνο (ή και στο χώρο); Ενα χαρακτηριστικό παράδειγμα που φαίνεται ξεκάθαρα η σημασία του παραπάνω ερωτήματος, είναι το ακόλουθο. Υποθέτουμε ότι ένας επενδυτής σκέφτεται να αγοράσει μετοχές της εταιρείας ΑΛΦΑ αλλά είναι διστακτικός. Για το λόγο αυτό αποφασίζει να παρακολουθήσει πρώτα τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλονται οι τιμές της μετοχής αυτής σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα και 19

κατόπιν να αποφασίσει για τις κινήσεις του. Παρακολουθώντας όμως την εξέλιξη της μετοχής που τον ενδιαφέρει σε ένα χρονικό διάστημα, είναι ισοδύναμο με το να παρακολουθεί την εκτέλεση ενός πειράματος τύχης μία μόνο φορά, κάτι που φυσικά δεν του δίνει όση πληροφορία χρειάζεται για να αποφασίσει. Στο σημείο αυτό, η διαδικασία της προσομοίωσης είναι ένα πολύ ισχυρο εργαλείο. Ο επενδυτης αυτός, ιδανικά θα ήθελε να κατασκευάσει ένα μοντέλο προσομοίωσης το οποίο να περιγράφει σε έναν ικανοποιητικό βαθμό την εξέλιξη των τιμών της μετοχής ΑΛΦΑ στο χρόνο. Φυσικά, το μοντέλο αυτό θα μπορούσε να το τρέξει όσες φορές επιθυμεί, με κάθε μία προσομοίωση να αντιστοιχεί και σε μια διαφορετική κατάσταση του κόσμου. Ετσι, με βάση τη διαδικασία αυτή, θα μπορούσε να βγάλει τα κατάλληλα συμπεράσματα που θα τον οδηγούσαν στην σωστή τοποθέτηση πάνω στη μετοχή της ΑΛΦΑ. Στο σημείο αυτό όμως γεννάται ένα πολύ βασικό ερώτημα: Πως θα μπορούσε ο εν λόγω επενδυτής να προσομοιώσει την εξέλιξη των τιμών μιας μετοχής; Στην περίπτωση αυτή, αλλά και σε παρόμοιες περιπτώσεις που μας ενδιαφέρει να γνωρίζουμε την τιμή μιας ή και περισσοτέρων ποσοτήτων σε κάθε χρονική στιγμή, εξαιρετικά χρήσιμη είναι η έννοια της στοχαστικής διαδικασίας. Ορισμός 1 Μια στοχαστική διαδικασία είναι μια παραμετρισμένη συλλογή τυχαίων μεταβλητών {X(t), t T }. Με t συμβολίζουμε συνήθως τη χρονική παράμετρο η οποία παίρνει τιμές σε ένα κατάλληλα ορισμένο σύνολο T. Πιο συγκεκριμένα: Αν T = N τότε μιλάμε για στοχαστική διαδικασία σε διακριτό χρόνο. Αν T = R + τότε μιλάμε για στοχαστική διαδικασία σε συνεχή χρόνο. Τυπικά, κάθε στοχαστική διαδικασία ορίζεται μέσα σε ένα χώρο πιθανοτήτων, επομένως μια στοχαστική διαδικασία μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση με δύο μεταβλητές, το t T και το ω Ω. Στο σημείο αυτό διακρίνουμε δύο πολύ ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Θεωρώντας το t T σταθερό έχουμε μία τυχαία μεταβλητή. Θεωρώντας το ω Ω σταθερό έχουμε μία τροχιά της X(t). Το παραπάνω γίνεται εύκολα αντιληπτό από το σχήμα 2.1, όπου βλέπουμε δύο διαφορετικά προσομοιωμένα μονοπάτια της τυπικής κίνησης Brown. Κάθε ένα μονοπάτι (ή αλλιώς τροχιά) αντιστοιχεί και σε ένα διαφορετικό παγωμένοφιξαρισμένο ω αλλά και στις δύο περιπτώσεις ο χρόνος t [0, 1]. Παρατήρηση 4 Στη συνέχεια, όταν αναφερόμαστε σε μια στοχαστική διαδικασία, θα ενδιαφερόμαστε κυρίως για την προσομοίωση ενός μονοπατιού της, ή και πολλών μονοπατιών της μαζί. Επομένως, θα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό X(t), θεωρώντας ότι το ω είναι fixed. 20

Σχήμα 2.1: δύο διαφορετικά μονοπάτια της κίνησης Brown. Διαισθητικά, ένας τρόπος για να κατανοήσουμε την έννοια της στοχαστικής διαδικασίας, είναι να θεωρήσουμε μια συλλογή σωματιδίων τα οποία παρακολουθούμε στο χρόνο t, ο οποίος μπορεί να είναι όπως έχουμε ήδη πει, διακριτός ή συνεχής. Εδώ υποθέτουμε ότι το ω αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο σωματίδιο ή πείραμα. Μια συγκεκριμένη επιλογή του ω, θα ονομάζεται μια πραγματοποίηση (ένα μονοπάτι, μια τροχιά) της στοχαστικής διαδικασίας. Πιο συγκεκριμένα, λέμε ότι το X(t) είναι η θέση του σωματιδίου ω την χρονική στιγμή t ή διαφορετικά, το αποτέλεσμα του πειράματος ω την χρονική στιγμή αυτή. Παράδειγμα 6 Ας υποθέσουμε ότι ριχνουμε διαδιχικά ένα νόμισμα και σημειώνουμε το αποτέλεσμα της κάθε ρίψης. θεωρούμε τις τυχαίες μεταβλητές X i οι οποίες παίρνουν τις τιμές +1 ή 1 αν στην i-ρίψη ήρθε αντίστοιχα κορώνα (Κ) ή γράμματα (Γ). Η τιμή της X i μπορεί να θεωρηθεί σαν το κέρδος ενός παίκτη κατά την i-ρίψη αν ποντάρει 1 ευρώ στο να έρθει κορώνα ή γράμματα. Η παραμετρισμένη συλλογή τυχαίων μεταβλητών {X i } i N είναι μια στοχαστική διαδικασία σε διακριτό χρόνο. Ως τιμή της, μπορούμε να θεωρήσουμε τα κέρδη του παίκτη κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού. Παράδειγμα 7 Υποθέτουμε ότι μια βιομηχανία παράγει ένα προϊόν. Εστω ότι με X n συμβολίζουμε την ποσότητα του προϊόντος που μένει αποθηκευμένο στο τέλος της n-οστής περιόδου. Τότε, η {X n } n N είναι μια στοχαστική διαδικασία. Παράδειγμα 8 Εστω ότι με X(t) συμβολίζουμε τον αριθμό των αναχωρήσεων από το αεροδρόμιο Ομηρος της Χίου κατά το χρονικο διάστημα (0, t). 21

Τότε η {X(t)} t 0 είναι μια στοχαστική διαδικασία σε συνεχή χρόνο. Παράδειγμα 9 Εστω ότι με S(t) συμβολίζουμε την εξέλιξη των τιμών της μετοχής ΑΛΦΑ στο χρόνο. Τότε η {S(t)} t 0 είναι μια στοχαστική διαδικασία σε συνεχή χρόνο. 2.1 Βασικές στοχαστικές διαδικασίες Στην παράγραφο αυτή, θα μιλήσουμε για κάποια βασικά μοντέλα (στοχαστικές διαδικασίες) που παίζουν σημαντικό ρόλο στην κατασκευή των διαφόρων χρηματοοικονομικών σεναρίων. 2.1.1 Απλός τυχαίος περίπατος Θεωρούμε έναν αναποφάσιστο περιπατητή ο οποίος τη χρονική στιγμή t = 0 ξεκινάει από το σημείο X 0 = 0. Ο περιπατητής είναι αναποφάσιστος υπό την έννοια ότι σε κάθε χρονικό βήμα θα στρίβει ένα τίμιο νόμισμα για να αποφασίσει προς τα που θα πάει την επόμενη χρονική στιγμή. Πιο συγκεκριμένα, αν στο πείραμα ρίψης του νομίσματος έρθει κορώνα (Κ) τότε ο περιπατητής θα προχωρήσει μια μονάδα προς τα δεξιά. Εναλλακτικά, αν έρθει το αποτέλεσμα της ρίψης είναι γράμματα (Γ), τότε θα κινηθεί μία μονάδα προς τα αριστερά. Για παράδειγμα, μετά από τρία χρονικά βήματα, θα μπορούσε να βρίσκεται στη θέση +1, 1, +3, 3. Για να ορίσουμε τον τυχαίο περίπατο μαθηματικά, παίρνουμε μία ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών X 1, X 2,..., X n όπου κάθε τυχαία μεταβλητή παίρνει τις τιμές +1 ή 1 με πιθανότητα 0.5. Ορίζουμε λοιπόν τη διαδικασία S n = n X i = X 1 + X 2 + + X n, i=1 με S 0 = 0. Η στοχαστική διαδικασία {S n } που ορίσαμε με τον παραπάνω τρόπο, λέγεται απλός συμμετρικός τυχαίος περίπατος στο σύνολο των ακεραίων. Ουσιαστικά, πρόκειται για μια ακολουθία αποτελούμενη από +1 ή 1, η οποία μας δίνει την απόσταση που έχει διανυθεί αν σε κάθε χρονικό βήμα του περιπάτου διανύθηκε απόσταση μήκους 1 μονάδας. Στο σημείο αυτό αξίζει να αναφερθεί, ότι η διαδικασία του τυχαίου περιπάτου 1, παρά το απλό του χαρακτήρα της, χρίζει της ιδιαίτερης προσοχής μας μιας και α- ποτελεί προπομπό μιας πολύ σημαντικής στοχαστικής διαδικασίας που θα δούμε στο κεφάλαιο αυτό και η οποία παίζει μάλιστα κεντρικό ρόλο στη Στοχαστική Χρηματοοικονομική, της κίνησης Brown. Οσον αφορά την προσομοίωση ενός 1 Τυπικά, θα μπορούσε κάποιος να θεωρήσει, με βάση τα όσα είπαμε παραπάνω, τον απλό συμμετρικό τυχαίο περίπατο, ως μια τροποποίηση μιας διαδικασίας δοκιμών Bernoulli, ορίζοντας ως 1=επιτυχία το να στρίψει στο επόμενο χρονικό βήμα δεξιά και ως 0=αποτυχία, το να στρίψει αριστερά. 22

τυχαίου περιπάτου, τα πράγματα είναι σχετικά απλά. Το βασικό κομμάτι της προσομοίωσης είναι να ορίσουμε σε κάθε χρονικό βήμα να γίνεται το τυχαίο πείραμα της ρίψης ενός τίμιου νομίσματος (μιας και μιλάμε για συμμετρικό τυχαίο περίπατο, θα πρέπει το νόμισμα να είναι τίμιο, δηλαδή με ίδια πιθανότητα να έρχεται κορώνα ή γράμματα). Κατόπιν, αμάλογα με το αποτέλεσμα της ρίψης, κινούμαστε είτε μια μονάδα δεξιά, είτε μια μονάδα αριστερά. Ενας αλγόριθμος υλοποίησης θα μπορούσε να είναι ο ακόλουθος: Β1. Θέτουμε X(0) = 0, ορίζουμε τα βήματα N του τυχαίου περίπατου και θέτουμε i = 1. Β2. Παράγουμε u U(0, 1). Β3. Αν u < 0.5 θέτουμε X(i+1) = X(i) 1 διαφορετικά X(i+1) = X(i)+1. Β4. θέτουμε i = i + 1 και για i N επιστρέφουμε στο Β2. Η συνάρτηση RW.m υλοποιεί την διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω στο MATLAB. function RW(Nsteps) The program plots the trajectory of a random walk Input: Nsteps=number of time steps Ouput: trajectory path=zeros(1,nsteps+1); preallocate for efficiency time = 0 : Nsteps; time for i = 1 : Nsteps i steps of size 1. if ( rand <0.5 )coin flip path(i+1)=path(i) - 1;make left step else path(i+1)=path(i) + 1;make right step plot(time,path); Plot the trajectory. title_string=sprintf('random Walk - d steps',nsteps); title(title_string); xlabel('time'); ylabel('position'); Στο σημείο αυτό αξίζει να αναφερθεί ότι η εντολή path=zeros(1,nsteps+1) ουσιαστικά γεμίζει ένα πίνακα διαστάσεως (1 N + 1) με μηδενικά. Από αυτά τα N + 1 μηδενικά, το πρώτο θα χρησιμοποιηθεί ως η αρχική τιμή του τυχαίου περιπάτου και τα υπόλοιπα N μηδενικά θα αντικατασταθούν σε κάθε βήμα με την τιμή που παίρνει η διαδικασία. Ενα τυχαίο μονοπάτι (τροχιά) του τυχαίου 23

περιπάτου (δηλαδή για φιξαρισμένο ω) με 10 βήματα, φαίνεται στο σχήμα 2.2. Αν τρέχαμε τη συνάρτηση για 10 πάλι βήματα, θα παίρναμε ένα διαφορετικό μονοπάτι γιατί θα είχαμε ένα διαφορετικό ω. Αν τώρα παίρναμε ένα πολύ μεγάλο αριθμό μονοπατιών (δηλαδή ένα πολύ μεγάλο αριθμό από ω) και υπολογίζαμε το μέσο μονοπάτι (δηλαδή τη μέση τιμή όλων των μονοπατιών), τότε θα παρατηρούσαμε ότι το μέσο μονοπάτι συγκλίνει στο μηδέν, κάτι που άλλωστε μπορεί εύκολα να γίνει αντιληπτό από το ορισμό του τυχαίου περιπάτου, κάτι που φαίνεται στο σχήμα 2.3. Σχήμα 2.2: Ενα μονοπάτι τυχαίου περιπάτου. Σχήμα 2.3: τρεις από 10000 τυχαίους περιπάτους και η μέση τους τιμή. 24

Η συνάρτηση RWMULTI.m έδωσε το σχήμα 2.3. Η σύνταξή της είναι παρόμοια με την περίπτωση του απλού μονοδιάστατου τυχαίου περίπατου που είδαμε προηγουμένως, μόνο που τώρα εισάγουμε την μεταβλητή M που αντιστοιχεί στον αριθμό των μονοπατιών τυχαίου περιπάτου που επιθυμούμε να προσομοιώσουμε (Μ το πλήθος διαφορετικά ω). Ουσιαστικά, θα κατασκευάσουμε ένα πίνακα (M N + 1) όπου: η κάθε γραμμή θα είναι και ένας τυχαίος περίπατος. η πρώτη στήλη του πίνακα θα είναι το στοιχείο μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι κάθε ένας από τους τυχαίους περιπάτους που θα προσομοιώσουμε θα έχει ως αφετηρία το μηδέν. function RWMULTI(Nsteps,M) The program plots the trajectory of many random walk Input: Nsteps=number of time steps M=number of desired paths Ouput: trajectories and mean path path=zeros(m,nsteps+1); preallocate for efficiency time = 0 : Nsteps; time for j=1:m M different random walks for i = 1 : Nsteps i steps of size 1. if ( rand <0.5 )coin flip path(j,i+1)=path(j,i) - 1;make left step else path(j,i+1)=path(j,i) + 1;make right step path(:,1) U=mean(path);the mean path plot(time,u),hold on plot the mean path plot(time,path(1,:)), hold on plot path n.1 plot(time,path(8,:)), hold on plot path n.8 plot(time,path(60,:)),hold offplot path n.60 title_string=sprintf('simulation of - d Random Walk Στο paths σημείοand αυτό their υπενθυμίζουμε, mean',m); ότι με την σύνταξη path(i, :) επιλέγουμε όλα τα στοιχεία title(title_string); της γραμμής i, ενώ με την σύνταξη path(:, i) επιλέγουμε όλα τα στοιχεία xlabel('time'); της στήλης i. ylabel('position'); 2.1.2 Μια μικρή παρένθεση: Χρονοσειρές Σε αυτό το σημείο αυτό κάνουμε μία μικρή παρένθεση απο το βασικό στόχο του κεφαλαίου αυτού (που δεν είναι άλλος από την προσομοίωση της κίνησης Brown) και εξετάζουμε τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να προσομοιώσουμε 25

κάποια γνωστά υποδείγματα χρονολογικών σειρών. Η συνάφεια του θέματος αυτού με το περιεχόμενο του τρέχοντος κεφαλαίου έγκειται στο γεγονός ότι, ουσιαστικά, μια χρονοσειρά είναι μια στοχαστική διαδικασία σε διακριτό χρόνο. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε μόνο με την προσομοίωση και όχι με την ανάλυση των υποδειγμάτων, μιας και το αντικείμενο αυτό έχει ήδη μελετηθεί σε άλλα μαθήματα. 2.1.2.1 AR(1) Το αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα πρώτης τάξης μπορεί να εκφραστεί ως: y t = αy t 1 + ɛ t, όπου α είναι ο συντελεστής του μοντέλου 2 και ɛ t N(0, σ 2 ). Σύμφωνα με το μοντέλο αυτό, η μεταβλητή της χρονοσειράς τη χρονική στιγμή t κατά ένα μέρος εξηγείται από την τελευταία τιμή της. Το υπόλοιπο κομμάτι, που δεν εξηγείται, είναι καθαρά στοχαστικό και οφείλεται πιθανώς σε εξωγενείς παράγοντες που δρουν τη χρονική στιγμή t και οι οποίοι περιγράφονται εξολοκλήρου απο την τυχαία μεταβλητή ɛ t. Η συνάρτηση AR1.m, που φαίνεται παρακάτω, δέχεται ως όρισμα τον αριθμό των σημείων που επιθυμούμε να προσομοιώσουμε, τον συντελεστή του μοντέλου και τη διακύμανση της κανονικης τυχαίας μεταβλητής, που εισάγει την αβεβαιότητα στο μοντέλο, και μας επιστρέφει ένα μονοπάτι της διαδικασίας. function AR1(steps, alpha, sigma) function AR1(steps, alpha, sigma) The program plots a trajectory of the AR(1) process: y(t) = a*y(t-1) + e(t) Input: steps=time steps alpha1=autoregresive coefficient sigma=for the normal distribution Output: Plot of the trajectory y=zeros(1,steps); preallocate for efficiency y(1)=0; initial value time=[0:steps]; define the time steps for t=1:steps define the time series y(t+1)=alpha*y(t) + sigma*randn; plot(time,y) plot the trajectory Φυσικά, κάποιος θα μπορούσε να προχωρήσει ακόμα παραπέρα και μετά την εισαγωγή του συντελεστή α από το χρήστη να κάνει τον αντίστοιχο έλεγχο 2 Η συνθήκη α < 1 εξασφαλίζει τη στασιμότητα της σειράς. 26

για τη στασιμότητα του υποδείγματος και να επιστρέφει το ανάλογο μήνυμα. Αυτό είναι κάτι σχετικά απλό και αφήνεται σαν άσκηση στον αναγνώστη. Σχήμα 2.4: Ενα μονοπάτι AR(1) με α = 0.5, σ = 0.08 και N = 80. 2.1.2.2 AR(2) Το αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα δεύτερης τάξης μπορεί να εκφραστεί ως: y t = α 1 y t 1 + α 2 y t 2 + ɛ t, όπου α 1, α 2 είναι οι συντελεστές του μοντέλου και ɛ t N(0, σ 2 ). Σχήμα 2.5: Ενα μονοπάτι AR(2) με α 1 = 0.4, α 2 = 0.5, σ = 0.05 και N = 80. 27

Σύμφωνα με το μοντέλο αυτό, η μεταβλητή της χρονοσειράς τη χρονική στιγμή t κατά ένα μέρος εξηγείται από τις δύο τελευταίες τιμές της και το υπόλοιπο κομμάτι, που δεν εξηγείται, περιγράφεται απο την τυχαία μεταβλητή ɛ t. Ο κώδικας από τον οποίο πήραμε το σχήμα 2.5 είναι η ακόλουθη συνάρτηση στο MATLAB. Φυσικά, και εδώ θα μπορούσε να κάνει κάποιος έλεγχο για τη στασιμότητα και να επιστρέφει το ανάλογο, κάθε φορά, αποτέλεσμα. function AR2(steps, alpha1, alpha2, sigma) function AR2(steps, alpha1, alpha2, sigma) The program plots a trajectory of the AR(2) process: y(t) = a1*y(t-1) + a2*y(t-2) + e(t) Input: steps=time steps alpha1,alpha2=coefficients sigma=for the normal distribution Output: Plot of the trajectory y=zeros(1,steps+1); preallocate for efficiency time=[0:steps]; define the time steps for t=2:steps define the time series y(t+1)=alpha1*y(t) + alpha2*y(t-1) + sigma*randn; plot(time,y) plot the result Παρατήρηση 5 Θεωρώντας στο υπόδειγμα AR(1) το συντελεστή α = 1 (ή αντίστοιχα στο AR(2) τους συντελστές α 1 = 1 και α 2 = 0) παίρνουμε ένα υπόδειγμα τυχαίου περιπάτου, ο οποίος ονομάζεται Γκαουσιανός (Gaussian Random Walk). Μία τροχιά του φαίνεται παρακάτω: Σχήμα 2.6: Ενα μονοπάτι AR(1) με α = 1, σ = 0.06 και N = 20. 28

2.1.2.3 M A(1) Το υπόδειγμα κινητού μέσου πρώτης τάξης μπορεί να εκφραστεί ως: y t = αɛ t 1 + ɛ t, όπου α είναι ο συντελεστής του μοντέλου και ɛ t N(0, σ 2 ). Η βασική φιλοσοφία εδώ είναι ότι η τρέχουσα τιμη του μοντέλου εξαρτάται από ένα τρέχον σοκ καθώς επίσης και από το προηγούμενο σοκ. function MA1(steps, alpha, sigma) function MA1(steps, alpha, sigma) The program plots a trajectory of the MA(1) process: y(t) = a*e(t-1) + e(t) Input: steps=time steps alpha=autoregresive coefficient sigma=for the normal distribution Output: Plot of the trajectory y=zeros(1,steps+1); preallocate for efficiency time=[0:steps]; define the time steps eps=sigma*randn(1,steps); shock values for t=2:steps define the time series y(t)=alpha*eps(t-1) + eps(t); plot(time,y) plot the result Σχήμα 2.7: Ενα μονοπάτι MA(1) με α = 0.6, σ = 0.05 και N = 80. Το κόλπο για την σωστή προσομοίωση εδώ, είναι να δημιουργήσουμε όλα τα 29

σοκ, να τα αποθηκεύσουμε σε εναν πίνακα (εδώ ο πίνακας eps) και κατόπιν, καλώντας κάθε φορά το κατάλληλο σοκ δημιουργούμε την μεταβλητή y. 2.1.3 Η Κίνηση Brown Η κίνηση Brown (μπορεί κανείς να την συναντήσει και με το όνομα διαδικασία Wiener) 3, δίχως το παραμικρό ίχνος υπερβολής, είναι μία από τις σημαντικότερες στοχαστικές διαδικασίες (κάποιος θα μπορούσε να ισχυριστεί ότι είναι και η πιο σημαντική). Παρουσιάζει εξαιρετικό ενδιαφέρον, τόσο από πλευράς θεωρητικής όσο και από πλευράς εφαρμογών. Χαρακτηριστικός μάλιστα είναι ο ρόλος της στο πεδίο των στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων. Ο λόγος που θα μας απασχολήσει η κίνηση Brown στο μάθημα αυτό, είναι επειδή αποτελεί τον πυρήνα για τα μοντέλα της Χρηματοοικονομικής σε χρόνο συνεχή. Ορισμός 2 Η κίνηση Brown είναι μία στοχαστική διαδικασία W (t) η οποία παίρνει τιμές στον R και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: (i) W (0) = 0. (ii) Για 0 s < t T, τότε η τυχαία μεταβλητή W (t) W (s) N(0, t s). (iii) Για 0 s < t < u < υ T οι προσαυξησεις W (t) W (s) και W (υ) W (u) είναι ανεξάρτητες (ανεξάρτητες μεταβολές). (iv) Οι τροχιές της είναι συνεχείς με πιθανότητα 1. Οσον αφορά την προσομοίωση της κίνησης Brown μέσα σε ένα χρονικό ορίζοντα [0, T ], δεδομένου ότι σε κάθε τέτοιο διάστημα η κίνηση Brown μπορεί να πάρει άπειρες διαφορετικές τιμές, είναι αδύνατο να κάνουμε προσομοίωση ενός μονοπατιού της με μεγάλη λεπτομέρεια. Για το λόγο αυτό, ορθότερο είναι (και μάλιστα αρκετό για τις εφαρμογές που θα δούμε) να θεωρήσουμε την διαμέριση 0 = t 0 < t 1 < t 2 < < t N = T και να υπολογίσουμε την τιμή της κίνησης Brown σε κάθε μία από τις χρονικές στιγμές t i, i = 1, 2,..., N. Για να πάρουμε μία οσο το δυνατόν πιο πιστή αναπαράσταση ενός μονοπατιού της κίνησης Brown στο χρονικό διάστημα που μας ενδιαφέρει, αυτό που έχουμε ουσιαστικά να κάνουμε, είναι να θεωρήσουμε διαστήματα μήκους δt = T/N για κάποιο πολύ μεγάλο θετικό ακέραιο N. Δημιουργούμε έτσι πάρα πολλά σημεία στα οποία θα υπολογίσουμε την τιμή της κίνησης Brown. Αυτό βέβαια στην πράξη δουλεύει πολύ ικανοποιητικά, αλλά το πόσα πολλά τέτοια σημεία N θα λάβουμε υπόψιν για την προσομοίωση 3 Ο Άγγλος βοτανολόγος Robert Brown, περί το 1827, πρώτος έβαλε την βάση για τη διαδικασία αυτή παρατηρώντας την κίνηση ενός σωματιδίου μέσα σε μια λίμνη. Ο αυστηρός μαθηματικός της ορισμός, ήρθε πολύ αργότερα, το 1918 από τον σπουδαίο Αμερικανό μαθηματικό, Norbert Wiener. 30

ενός μονοπατιού, εξαρτάται φυσικά και από την ισχύ του υπολογιστή μας. Για να μπορέσουμε να προσομοιώσουμε μία τροχία της κίνησης Brown (δηλαδή μία πραγματοποίησή της για κάποιο συγκεκριμένο ω) βασιζόμαστε στις ιδιότητες του Ορισμού 2. Μιας και μιλάμε για την τυπική κίνηση Brown, η πρώτη ιδιότητα του ορισμού μας λέει ότι το μονοπάτι που θα πάρουμε θα πρέπει να ξεκινάει από το μηδέν, κάτι που μπορούμε να το θέσουμε εύκολα. Ας ορίσουμε τώρα τη χρονική στιγμή t j = jδt και W (t j ) = W (j). Η δευτερη ιδιότητα του Ορισμού 2 ουσιαστικα μας λέει ότι W (j) = W (j 1) + dw (j), j = 0, 1,..., N, όπου οι τυχαίες μεταβλητές dw (j) δtn(0, 1). Ενας αλγόριθμος λοιπόν για την προσομοίωση ενός τέτοιου μονοπατιού θα μπορούσε να είναι ο ακόλουθος: Β1. Θέτουμε W (0) = 0 και i = 1. Β2. Παράγουμε Z δtn(0, 1). Β3. Θέτουμε W (i) = W (i 1) + Z. Β4. Θέτουμε i = i + 1 και αν i N επιστρέφουμε στο Β2. Η συνάρτηση BM.m υλοποιεί τον παραπάνω αλγόριθμο. Ορίζοντας αρχικώς το W ως ένα πίνακα διάστασης (1 N) γεμάτο με μηδενικά και κατόπιν ξεκινώντας την προσομοίωση από το W (2) πρακτικά είναι σαν να θέτουμε το W (0) = 0 4 function BM(T,N) function BM(T,N) the program simulates a Brownian motion path on [0,T] Input: T=time horizon N=simulation points Output: Brownian path dt=t/n; time step time=[0:dt:t]; discretized time horizon dw=zeros(1,n); preallocate array for efficiency W=zeros(1,N); preallocate for efficiency for j=2:n dw(j) = sqrt(dt)*randn; general incement W(j) = W(j-1) + dw(j); plot(time,[0,w]) plot W against time Καλώντας την παραπάνω συνάρτηση μία φορά, παίρνουμε ένα μονοπάτι της κίνησης Brown, μία πραγματοποίηση του οποίου φαίνεται στο σχήμα 2.8. 4 Το MATLAB θεωρεί ως πρώτο στιχείο του πίνακα το W (1) και όχι το W (0)! 31

Σχήμα 2.8: Ενα μονοπάτι της κίνησης Brown για T = 1 και N = 2000. Στο σημείο αυτό, αξίζει να αναφερθεί ότι θα μπορούσαμε να προσομοιώσουμε ένα μονοπάτι της κίνησης Brown με ένα πολύ πιο σύντομο υπολογιστικά τρόπο, βασιζόμενοι στην εντολή cumsum που υπολογίζει το σωρευτικό άθροισμα. function BMVEC(T,N) Brownian path simulation: vectorized T=time horizon N=points for simulation dt=t/n; time step time=[dt:dt:t];discretized time horizon dw=sqrt(dt)*randn(1,n); increments w=cumsum(dw);cumulative sum plot(time,w) Με την εντολή randn(1, N) ουσιαστικά, όπως ήδη γνωρίζουμε από το πρώτο κεφάλαιο, παίρνουμε ένα πίνακα μεγέθους 1 N που τα στοιχεία του είναι ψευδοτυχαίοι αριθμοί από την τυπική κανονική κατανομή N(0, 1). Η εντολή cumsum(dw) υπολογίζει το σωρευτικό άθροισμα του πίνακα dw, έτσι ώστε το j στοιχείο του νέου αυτού πίνακα, να είναι το dw(1) + dw(2) + + dw(j). Η βασική ιδέα πίσω από την προσέγγιση αυτή, που ουσιαστικά δείχνει και την υπολογιστική δύναμη του MATLAB είναι ότι με την προσέγγιση αυτή αποφεύγουμε τον επαναλητπικό βρόγχο for με αποτέλεσμα ο κώδικας να χρειάζεται πολύ λιγότερο χρόνο για να ολοκληρώσει τη δουλειά του, κάτι που άλλωστε επιβεβαιώνεται πολύ εύκολα με την χρήση των εντολών tic/toc. Ας δούμε τώρα πως θα μπορούσαμε να προσομοιώσουμε πολλά μονοπάτια μαζί 32

(όπως έχουμε πει κάθε μονοπάτι είναι και ένα διαφορετικό ω, δηλαδή και μια διαφορετική κατάσταση του κόσμου). Ενδιαφέρον έχει επίσης να υπολογίσουμε και τη μέση τιμή των μονοπατιών αυτών, δηλαδή το μέσο μονοπάτι. Για τον υπολογισμό του μέσου μονοπατιού, εφόσον τώρα θα έχουμε M διαφορετικά μονοπάτια, άρα σε κάθε χρονική στιγμή θα έχουμε M διαφορετικές τιμές, υ- πολογίζουμε τη μέση τιμή αυτών των διαφορετικών M τιμών, σε κάθε χρονική στιγμή. Ο κώδικας θα μοιάζει με τον προηγούμενο κώδικα που περιγράψαμε για τον υπολογισμό ενός μονοπατιού, με τη μόνη διαφορά ότι τώρα θα εισάγουμε μία νέα μεταβλητή M η οποία θα αντιστοιχεί στον αριθμό των μονοπατιών που επιθυμούμε να προσομοιώσουμε. function BMMULTI(T,M,N) Brownian path simulation: vectorized T=time horizon M=number of Brownian motions N=points for simulation dt=t/n; time step time=[dt:dt:t];discretized time horizon dw=sqrt(dt)*randn(m,n); increments w=cumsum(dw,2);cumulative sum w(:,1)=0;brownian motion starts from 0 U=mean(w);mean path plot(time,u,'b-'),hold on plot(time,w(1,:)), hold on plot(time,w(2,:)), hold on plot(time,w(3,:)), hold off Η εντολή randn(m, N) μας επιστρέφει ένα πίνακα μεγέθους M N που τα στοιχεία του είναι ψευδοτυχαίοι αριθμοί από την τυπική κανονική κατανομή N(0, 1). Εδώ κάθε γραμμή είναι και ένα διαφορετικό μονοπάτι. Εχουμε M διαφορετικές γραμμές, επομένως M διαφορετικά μονοπάτια. Η εντολή cumsum(dw, 2) υπολογίζει το σωρευτικό άθροισμα, ανά γραμμή, για τον πίνακα dw. Δηλαδή επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία που περιγράψαμε για την προσομοίωση ενός μονοπατιού, αλλά M διαφορετικές φορές. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να προσομοιώσουμε M = 4 μονοπάτια της κίνησης Brown, το στοιχείο j του πίνακα w θα είναι: dw(1, 1) + dw(1, 2) + dw(1, 3) + + dw(1, j) dw(2, 1) + dw(2, 2) + dw(2, 3) + + dw(2, j) dw(3, 1) + dw(3, 2) + dw(3, 3) + + dw(3, j) dw(4, 1) + dw(4, 2) + dw(4, 3) + + dw(4, j), 33

με την κάθε γραμμή να είναι ουσιαστικά και ένα μονοπάτι. Η εντολή mean(w) υπολογίζει το μέσο μονοπάτι, δηλαδή σε κάθε χρονική στιγμή t j υπολογίζει τη μέση τιμή των M διαφορετικών τιμών W (t j ) = W (j) και κάθε μία τέτοια τιμή την αποθηκεύει στον (1 N) πίνακα U. Ενα αποτέλεσμα της παραπάνω διαδικασίας, φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα: Σχήμα 2.9: Τρία από τα M = 2000 προσομοιωμένα μονοπάτια της κίνησης Brown για T = 2 και N = 1500, μαζί με το μέσο μονοπάτι. Από το παραπάνω σχήμα παρατηρούμε ότι το μέσο μονοπάτι συγκλίνει στο μηδέν. Μάλιστα, όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των μονοπατιών που προσομοιώνουμε, τόσο πιο καλή θα είναι η σύγκλιση. Αυτο το χαρακτηριστικό, που ουσιαστικά είναι μια εφαρμογή του ΙΝΜΑ, είναι κάτι που το περιμέναμε, γιατί έχουμε ήδη πει ότι η κίνηση Brown ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο μηδέν. 2.1.4 Η Γεωμετρική Κίνηση Brown Ο σπουδαίος μαθηματικός Louis Bachelier στη διδακτορική του διατριβή το 1900 με τίτλο Théorie de la Spéculation πρώτος ήταν αυτός που συσχέτισε την εξέλιξη των τιμών μιας μετοχής (ή γενικότερα ενός αγαθού) με την κίνηση Brown, εισάγωντας με τον τρόπο αυτό την αβεβαιότητα. Παρόλο που η στοχαστική διαδικασία αυτή έχει αποδειχθεί ότι δεν είναι ο κατάλληλος τρόπος για να περιγράψει την εξέλιξη των τιμών μιας μετοχής στο χρόνο, η ιδέα του Bachelier έδωσε το έναυσμα και ουσιαστικά αποτέλεσε τη βάση για ένα πολύ σπουδαίο μοντέλο της Χρηματοοικονομικής, που χρησιμοποιείται ως βάση ακόμα και σήμερα, αυτό της Γεωμετρικής κίνησης Brown. Αξίζει να αναφερθεί, ότι το μοντέλο αυτό, το εισήγαγε για πρώτη φορά ο νομπελίστας οικονομολόγος Paul Sauelson στα μέσα του 1960. 34

Η βασική φιλοσοφία του μοντέλου αυτού είναι σχετικά απλή. Με λίγα λόγια, μια στοχαστική διαδικασία S(t) είναι Γεωμετρική Κίνηση Brown αν η log S(t) είναι κίνηση Brown με αρχική τιμή log S(0). Με άλλα λόγια, η γεωμετρική κίνηση Brown είναι ουσιαστικά μια εκθετική κίνηση Brown. Επομένως, η μέθοδος που ακολουθήθηκε για να προσομοιωθεί ένα μονοπάτι της κίνησης Brown έχει άμεση εφαρμογή και για την προσομοίωση ενός μονοπατιού της γεωμετρικής κίνησης Brown. Γιατί όμως η κίνηση Brown σαν μοντέλο δεν είναι κατάλληλος τρόπος για να περιγράψουμε την εξέλιξη των τιμών μιας μετοχής; Υπάρχουν τα εξής δύο προβλήματα: Οπως έχουμε δει στην προηγούμενη παράγραφο, η κίνηση Brown μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές (βλέπε π.χ. σχήμα 2.8). Κάτι τέτοιο φυσικά δεν είναι αποδεκτό για ένα μοντέλο που φιλοδοξεί να περιγράψει την εξέλιξη των τιμών μιας μετοχής. Σύμφωνα με το μοντέλο της κίνησης Brown, οι μεταβολές S(t i+1 ) S(t i ) είναι ανεξάρτητες από την ίδια την τιμή, κάτι που δεν φαίνεται ρεαλιστικό. Το μοντέλο της γεωμετρικής κίνησης Brown δίνει λύση στα παραπάνω δύο προβλήματα. Πιο συγκεκριμένα: Η γεωμετρική κίνηση Brown είναι πάντα θετική, μιας και η εκθετική συνάρτηση είναι πάντα θετική. Σύμφωνα με το μοντέλο αυτό, οι ποσοστιαίες μεταβολές S(t 2 ) S(t 1 ) S(t 1 ), S(t 3) S(t 2 ),..., S(t n) S(t n 1 ) S(t 2 ) S(t n ) είναι ανεξάρτητες για t 1 < t 2 < < t n, κάτι που φαίνεται πιο λογικό. Ο σκοπός μας εδώ είναι να εισάγουμε το μοντέλο που περιγράφηκε παραπάνω. Για το λόγο αυτό, θεωρούμε μία τυπική κίνηση Brown W (t), όπως ακριβώς περιγράφηκε στην προηγούμενη παράγραφο, και έστω ότι η στοχαστική διαδικασία S(t) που περιγράφει την εξέλιξη των τιμών μιας μετοχής, ακολουθεί τον εξελικτικό νόμο ds(t) = µs(t)dt + σs(t)dw (t). (2.1) Ουσιαστικά, η παραπάνω μορφή είναι μια εξίσωση η οποία για να λυθεί απαιτεί ειδικές τεχνικές της Στοχαστικής Ανάλυσης, κάτι που ξεφεύγει από τα πλαίσια του μαθήματος αυτού. Η εξίσωση αυτή λοιπόν, είναι ένας τρόπος που μας δείχνει με ποιον τρόπο συνδέεται η μεταβολή της τιμής της μετοχής μεταξύ των χρονικών στιγμών t και t + dt (δηλαδή το ds) με την τιμή της μετοχής την χρονική στιγμή t (δηλαδή το S(t)). Η λύση της εξίσωσης 2.1 ουσιαστικά ορίζει μια μια στοχαστική διαδικασία, η οποία ονομάζεται γεωμετρική κίνηση Brown. Πρακτικά, το μοντέλο 2.1 μας λέει ότι η μεταβολή της τιμής της μετοχής σε ενα χρονικό διάστημα μήκους dt μπορεί να χωριστεί σε δύο κομμάτια: 35

Ο πρώτος όρος είναι το µs(t)dt. Ουσιαστικά πρόκειται για μια μεταβολή η οποία συνολικά είναι ανάλογη της χρονικής διάρκειας dt, της αναμενόμενης απόδοσης της τιμής της μετοχης µ καθώς επίσης και της τιμής της μετοχής την χρονικη στιγμή t. Ο δεύτερος όρος είναι το σs(t)dw t. Ο όρος αυτός μοντελοποιεί τις στατιστικές διακυμάνσεις γύρω από αυτή τη μεταβολή. Η παράμετρος σ παίζει πολύ σημαντικό ρόλο στα χρηματοοικονομικά και ονομάζεται η μεταβλητότητα (ή πτητικότητα) των τιμών της μετοχής. Η λύση λοιπόν της εξίσωσης 2.1 είναι η στοχαστική διαδικασία: [ ( S(t) = S(0) exp µ 1 ) ] 2 σ2 t + σw (t), (2.2) η οποία ονομάζεται γεωμετρική κίνηση Brown. Λέγοντας λοιπόν γεωμετρική κίνηση Brown ουσιαστικά εννοούμε τη στοχαστική διαδικασία 2.2. Αλγοριθμικά, η 2.2 μπορεί να αποδώσει τη μεταβολή της τιμής της μετοχής από το χρόνο i 1 στο χρόνο i, ως εξής: S(t i ) = S(t i 1 ) exp [ ( µ 1 2 σ2 ) ] (t i t i 1 ) + σ(w (t i ) W (t i 1 )) [ ( = S(t i 1 ) exp µ 1 ) 2 σ2 (t i t i 1 ) + σ ] t i t i 1 Z i, (2.3) για i = 1, 2,..., n και Z 1, Z 2,..., Z n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που α- κολουθούν την τυπική κανονική κατανομή N(0, 1). Επομένως, ένας αλγόριθμος για την προσομοίωση ενός μονοπατιού της στοχαστικής διαδικασίας 2.2 με βάση την αλγοριθμική της μορφή 2.3, θα μπορούσε να είναι ο ακόλουθος Β1. Θέτουμε i = 1, ορίζουμε την αρχική τιμή S(0) και τις παραμέτρους µ, σ. Β2. Παράγουμε Z N(0, 1). Β3. Θέτουμε S(t i ) = S(t i 1 )e (µ 1 2 σ2 )(t i t i 1 )+σ t i t i 1 Z. Β4. Θέτουμε i = i + 1 και αν i N επιστρέφουμε στο Β2. Η συνάρτηση που ορίζουμε για την υλοποίηση του παραπάν αλγορίθμου, ακούει στο όνομα GBM1.m και φαίνεται παρακάτω. Η φιλοσοφία του κώδικα είναι πολύ απλή και ουσιαστικά ακολουθεί πιστά την αλγοριθμική μορφή 2.3. Η 36

μεταβλητή ενδιαφέροντος εδώ είναι η SP ath η οποία εξάρχής ορίζεται ως ένα πίνακας διάστασης (1 N + 1) αποτελούμενος από N + 1 μηδενικά. Το πρώτο στοιχείο του πίνακα αυτού θα το καταλάβει η τιμή S(0) που ζητείται ως όρισμα στη συνάρτηση και οι υπόλοιπες N τιμές θα αντικατασταθούν προοδευτικά με τις τιμές που θα προσομοιώσουμε σε κάθε χρονική στιγμή t i. Αρχικά, κατασκευάζουμε τον όρο t i t i 1 N(0, 1) και αποθηκεύουμε το αποτέλεσμα στον πίνακα dw διάστασης (1 N +1). Για λόγους ευκολίας, ο όρος µ 0.5σ 2 υπολογίζεται χωριστά. Από κει και πέρα η διαδικασία είναι σχετικά απλή: function GBM1(T,N,S0,mu,sigma) function GBM1(T,S0,mu,sigma) simulates a Geometric Brownian motion path T=time horizon N=simulation points S0=initial stock value mu=drift sigma=volatility dt = T/N; time steps t=0:dt:t; time horizon SPath = zeros(1,n+1); preallocte for efficiency SPath(1,1) = S0;initial value dw=sqrt(dt)*randn(1,n+1); mudt=mu-0.5*sigma^2; for j=2:n+1 GBM model SPath(1,j)=SPath(1,j-1)*exp(mudt*dt + sigma*dw(1,j)); plot(t,spath) xlabel('trading Interval') Στοylabel('Simulated σχήμα 2.10 βλέπουμεstock ένα μονοπάτι Value ($)'); (τροχιά) της γεωμετρικής κίνησης Brown title_string (δηλαδή βλέπουμε = sprintf την πραγματοποίηση ( 'Simulation για ένα of a συγκεκριμένο GBM path'); ω). Αμέσως title παρατηρούμε ( title_string ότι το μονοπάτι ); αποτελείται μονάχα από θετικές τιμές, κάτι που άλλωστε το περιμέναμε. Ενδιαφέρον εχει να δούμε πως θα μπορούσα- 37

με να προσομοιώσουμε πολλά μονοπάτια της γεωμετρικής κίνησης Brown μαζί (σχήμα 2.11) Σχήμα 2.10: Ενα μονοπάτι της γεωμετρικής κίνησης Brown στο διάστημα [0, 1] για N = 1000 σημεία και παραμέτρους S(0) = 50, µ = 0.05, σ = 0.05. Σχήμα 2.11: τρία από τα 50000 μονοπάτια της γεωμετρικής κίνησης Brown στο διάστημα [0, 1] και η μέση τους τιμή για N = 1000 σημεία και παραμέτρους S(0) = 50, µ = 0.1, σ = 0.3. Η φιλοσοφία είναι ακριβώς η ίδια με την προσομοίωση πολλών μονοπατιών μαζί της κίνησης Brown. Ουσιαστικά θα εισάγουμε μία νέα μεταβλητή M η οποία θα συμπληρώνεται κάθε φορά από το χρήστη και θα αντιστοιχεί στον αριθμό των διαφορετικών μονοπατιών που επιθυμούμε να προσομοιώσουμε. Για λόγους πληρότητας, ο κώδικας για την M-διάστατη περίπτωση ακολουθεί παρακάτω. Η προσέγγιση είναι η ίδια με την M-διάστατη περίπτωση της απλής κίνησης Brown αλλά πατώντας ουσιαστικά πάνω στον προηγούμενο κώδικα (GBM1.m) : 38

function GBMMULTI(T,M,N,S0,mu,sigma) function GBMMULTI(T,M,N,S0,mu,sigma) simulates M Geometric Brownian motion paths T=time horizon M=number of paths N=simulation points S0=initial stock value mu=drift sigma=volatility dt = T/N; time steps t=0:dt:t; time horizon SPath = zeros(m,n+1); preallocte for efficiency SPath(:,1) = S0;initial value dw=sqrt(dt)*randn(m,n+1); mudt=mu-0.5*sigma^2; for i=1:m M differnt paths for j=2:n+1n points for every path SPath(i,j)=SPath(i,j-1)*exp(mudt*dt + sigma*dw(i,j)); U=mean(SPath); plot(t,spath(1,:)),hold on plot(t,spath(48,:)),hold on plot(t,spath(162,:)),hold on plot(t,u,'r--'),hold off xlabel('trading Interval') ylabel('simulated Portfolio Value ($)'); 39

Βιβλιογραφία 1. Α.Ν Γιαννακόπουλος (2003). Στοχαστική Ανάλυση και Εφαρμογές στη Χρηματοοικονομική. Τμήμα Στατιστικής και Αναλογιστικών - Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου. 2. Α.Ν Γιαννακόπουλος (2011). Εισαγωγή στα Στοχαστικά Χρηματοοικονομικά, Τμήμα Στατιστικής, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών. 3. Μ. Μπούτσικας (2004). Μέθοδοι Προσομοίωσης και Υπολογιστικές Στατιστικές Τεχνικές. Σημειώσεις παραδόσεων, Πανεπιστήμιο Πειραιως. 4. P. Glasserman (2003). Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Springer-Verlag. 5. D. Higham (2001). An algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations. SIAM Review, 43, 525-546. 40