6. ΑΡΘΜΗΤΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ. Αριθµητική Οοκήρωση Οπως αναφέραµε στην εισαγωγή, είναι συχνά δύσκοο να υποογιστεί ο αναυτικός τύπος, ή δεν υπάρχει αναυτικός τύπος, που δίνει το ορισµένο οοκήρωµα µιας συνεχούς συνάρτησης σε κειστό διάστηµα [,] d 6. Εντούτοις, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε αριθµητικές µεθόδους µέσω των οποίων υποογίζουµε την αριθµητική τιµή του οοκηρώµατος 6. µε ακρίβεια ποών σηµαντικών ψηφίων. Θα πρέπει να τονισθεί ότι οι αριθµητικές µέθοδοι οοκήρωσης έχουν ως εξαγόµενο την αριθµητική τιµή του οοκηρώµατος για συγκεκριµένες αριθµητικές τιµές των ορίων και, και όχι ένα γενικό τύπο για το οοκήρωµα. Στις περισσότερες αριθµητικές µεθόδους οοκήρωσης, ακοουθείται η "τεχνική" µιας κατάηης διαµέρισης του διαστήµατος οοκήρωσης [,] σε ένα µεγάο πήθος υποδιαστηµάτων µικρού πάτους, και χρησιµοποιούνται προσεγγιστικοί τύποι οοκήρωσης σε κάθε υποδιάστηµα. Θεωρώντας µία διαµέριση του διαστήµατος [α,β] σε διαστήµατα ίσου πάτους, το πάτος του κάθε διαστήµατος είναι 6. και ορίζονται τα διαδοχικά ισαπέχοντα σηµεία,,,,, µε βήµα, που δίνονται από το γενικό τύπο,,,, 6. Το οοκήρωµα 6. εκφράζεται ως άθροισµα των οοκηρωµάτων σε κάθε υποδιάστηµα τηςµορφής [, ]: d d d d 6.
6. ΑΡΘΜΗΤΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 98 Και εποµένως το πρόβηµα επικεντρώνεται στον υποογισµό των επιµέρους οοκηρωµάτων d d 6. Μία αριθµητική µέθοδος υποογισµού του οοκηρώµατος 6. σε διάστηµα µικρού πάτους ονοµάζεται τοπικός κανόνας οοκήρωσης. ιαθέτοντας ένα τοπικό κανόνα οοκήρωσης, υποογίζουµε χωριστά κάθε όρο του αθροίσµατος 6., και στη συνέχεια το άθροισµα όων των όρων. Το άθροισµα όρων υποογισµένων µε βάση ένα τοπικό κανόνα οοκήρωσης ονοµάζεται εκτεταµένος κανόνας οοκήρωσης. Στις επόµενες παραγράφους θα δώσουµε ορισµένους βασικούς τοπικούς και εκτεταµένους κανόνες οοκήρωσης. Μερικοί από τους κανόνες που αναφέρονται παρακάτω έχουν παιδαγωγική αξία, και αποτεούν τη βάση για την εξαγωγή συνθετότερων κανόνων, ή και οόκηρων µεθόδων οοκήρωσης, οι οποίοι χρησιµοποιούνται στις εφαρµογές. Στα επόµενα τονίζουµε επίσης την ενιαία µεθοδοογία παραγωγής κανόνων οοκήρωσης και εέγχου της τάξης του σφάµατος ως συνάρτηση του πήθους των διαστηµάτων της διαµέρισης.. Τοπικοί κειστοί κανόνες οοκήρωσης τύποι ewton - Cotes Θεωρούµε το τµήµα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης µεταξύ δύο γειτονικών σηµείων, Σχήµα 6. Σχήµα 6.: Υποογισµός του οοκηρώµατος εµβαδού µεταξύ δύο γειτονικών σηµείωντηςγραφικήςπαράστασηςτης Αναπτύσσοντας τη συνάρτηση σε σειρά Tylor γύρωαπότοσηµείο βρίσκουµε:
6. ΑΡΘΜΗΤΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 99 6.6! Οοκηρώνοντας κάθε όρο του αναπτύγµατος 6.7, βρίσκουµε τοοοκήρωµατης στο διάστηµα [, ] σε µορφή σειράς d!! 6.7 Εαν γνωρίζαµε τις παραγώγους µέχρι ν-οστής τάξης της συνάρτησης στο σηµείο, τότε θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε το ανάπτυγµα 6.7 προκειµένου να βρούµε την τιµή του οοκηρώµατος µε σφάµα της τάξης του σφάµατος αποκοπής Ο ν της σειράς 6.7. Εντούτοις, µια τέτοια στρατηγική δεν ενδείκνυται από αριθµητική άποψη, µια και απαιτεί τη γνώση ή τοναριθµητικό υποογισµό των παραγώγων στο σηµείο που είναι κοπιώδης αριθµητική διαδικασία. Ηκύριαχρησιµότητα της σχέσης 6.7 είναιότιπαρέχειτηνακριβήέκφρασητου οοκηρώµατος σε κάθε τάξη υπό την προϋπόθεση βέβαια ότι η σειρά 6.7 συγκίνει. Εποµένως, µπορεί να χρησιµοποιηθεί στην εκτίµηση του σφάµατος άων, απούστερων τοπικών κανόνων οοκήρωσης, όπως στα παραδείγµατα που ακοουθούν... Κανόνας του παραηογράµµου Ο απούστερος και µη χρησιµοποιούµενος κανόνας προκύπτει θεωρώντας την τιµή της περίπου σταθερή και ίση µε σεόοτοδιάστηµα [, ]. Σχηµατικά, αυτό αντιστοιχεί στον υποογισµό τουεµβαδού του παραηογράµµου ΑΒΓ Σχήµα 6., αγνοώντας το υπόοιπο εµβαδό του χωρίου µεταξύ της καµπύης και του ευθύγραµµου τµήµατος ΒΓ. Ο κανόνας του παραηογράµµου δίνεται από τη σχέση d p 6.8 Το τοπικό σφάµα του κανόνα του παραηογράµµου δίνεται από τη σχέση e!! p p 6.9.. Κανόνας του τραπεζίου Οαµέσως επόµενος κανόνας οοκήρωσης προκύπτει θεωρώντας ότι η τιµή της µεταβάεται κατά προσέγγιση µε γραµµικό νόµο στο διάστηµα [, ], ότι
6. ΑΡΘΜΗΤΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ δηαδή το τόξο ΑΓ' της καµπύης προσεγγίζεται από το ευθύγραµµο τµήµα ΑΓ Σχήµα 6.. Σχηµατικά, αυτό αντιστοιχεί στον υποογισµό του εµβαδού του τραπεζίου ΑΒΓ' αγνοώντας το εµβαδό του χωρίου µεταξύ της καµπύης και του ευθύγραµµου τµήµατος ΒΓ'. Ο κανόνας του τραπεζίου δίνεται από τη σχέση d t 6. Γιαναβρούµε τοτοπικόσφάµα του κανόνα του τραπεζίου, πρέπει να εκφράσουµε την τιµή της συνάρτησης απότογενικόανάπτυγµα 6.6! 6. Το τοπικό σφάµα του κανόνα του τραπεζίου υποογίζεται τότε από τη σχέση et t!!! 6. αν. Εποµένως το τοπικό σφάµα του κανόνα του τραπεζίου είναι τρίτης τάξης στη γενική περίπτωση. Είναι προφανές ότι ο κανόνας είναι ακριβής όταν η συνάρτηση είναι πρωτοβάθµιο πουώνυµο στο διάστηµα οοκήρωσης. Ο κανόνας του τραπεζίου σπανίως χρησιµοποιείται στην πράξη, διότι απαιτεί µεγάο πήθος σηµείων στο εσωτερικό του διαστήµατος οοκήρωσης προκειµένου να επιτευχθεί ικανοποιητική ακρίβεια. Εντούτοις, όπως θα δούµε στην επόµενη παράγραφο, ο εκτεταµένος κανόνας του τραπεζίου έχει ιδιαίτερη σηµασία, διότι χρησιµοποιείται ως βάση για την εξαγωγή µεθόδων οσοδήποτε µεγάης τάξης σύγκισης... Κανόνας του Smpson Οπως µπορούµε να µαντέψουµε από τη µέχρι τώρα ανάπτυξη, ο αµέσως επόµενος κανόνας οοκήρωσης προκύπτει θεωρώντας ότι ένα τµήµα της καµπύης της γραφικής παράστασης της είναι κατά προσέγγιση τµήµα παραβοής. Στο σχήµα 6. έχει σχεδιαστεί το τµήµα τηςκαµπύης της γραφικής παράστασης της που διέρχεται από τα σηµεία µε τετµηµένες,,. Θα προσεγγίσουµε τοτόξο ΑΓ της καµπύης σχήµα 6. από τµήµα παραβοής, αγνοώντας το εµβαδό του χωρίου µεταξύ του ΑΓ και της παραβοής.
6. ΑΡΘΜΗΤΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Για να προσεγγίσουµε τώρατοοοκήρωµα στο διάστηµα [, ], πρέπει να γνωρίζουµε την εξίσωση της παραβοής δευτεροβάθµιο πουώνυµο που διέρχεται από τα σηµεία Α,Β,Γ. Αυτό είναι ένα πρόβηµα εύρεσης του πουώνυµου παρεµβοής ου βαθµού που διέρχεται από τρία σηµεία, το οποίο εξετάσαµε στο προηγούµενο κεφάαιο. Μάιστα, δεδοµένου ότι οι διαδοχικές τετµηµένες των τριών σηµείων Α,Β,Γ, δηαδή οι τετµηµένες,,, είναι ισαπέχουσες, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον τύπο των διαφορών.79, οπότε βρίσκουµε: y 6. Σχήµα 6.: Υποογισµός του οοκηρώµατος εµβαδού µεταξύ τριών γειτονικών σηµείωντηςγραφικήςπαράστασηςτης κανόνας Smpson Λαµβάνοντας υπόψη τις σχέσεις των διαφορών - και -, καθώς και τη σχέση, 6. γράφεται στη µορφή ] [ ] [ y y 6. Οοκηρώνοντας τη συνάρτηση παρεµβοής y βρίσκουµε µία προσεγγιστική έκφραση για το οοκήρωµα της συνάρτησης στο διάστηµα [, ] d y S 6.
6. ΑΡΘΜΗΤΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Μετά από ίγες αγεβρικές πράξεις, η 6. παίρνει τη µορφή S 6.6 Ηέκφραση6.6 είναι γνωστή ως τοπικός κανόνας του Smpson. Υποογισµός του τοπικού σφάµατος του κανόνα Smpson εδοµένου ότι το οοκήρωµα 6. υποογίζεται στο διάστηµα [, ], προκειµένου να εκτιµηθεί το σφάµα χρειαζόµαστε το αποτέεσµα της ακριβούς οοκήρωσης σε µορφή σειράς, που είναι το ανάπτυγµα 6.7 γραµµένο για διάστηµα οοκήρωσης εύρους, δηαδή στη µορφή d 6.7 όπου η υπό οοκήρωση συνάρτηση έχει ηφθεί ξανά από τη σειρά Tylor 6.6, όπως και στην περίπτωση της οοκήρωσης 6.7. Οπως και στην περίπτωση του κανόνα του τραπεζίου, γιαναεκτιµηθεί το σφάµα του κανόνα Smpson πρέπει να αναπτυχθούν οι ποσότητες και σε σειρά Tylor γύρωαπότοσηµείο. Βρίσκουµε τότε!! 6.8 Το σφάµα του κανόνα Smpson θα δίνεται τότε από τη σχέση ]!! [ e S S 6.9
6. ΑΡΘΜΗΤΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Μετά από τις αναγωγές οµοίων όρων βρίσκουµε τεικά 9 e S S 6. Εποµένως, το τοπικό σφάµα του κανόνα Smpson είναι Ο.. Εκτεταµένοι κειστοί κανόνες οοκήρωσης Οι προηγούµενοι τοπικοί κανόνες οοκήρωσης µπορούν να συνδυαστούν προκειµένου να προκύψουν εκτεταµένοι κανόνες οοκήρωσης της συνάρτησης σε ένα κειστό διάστηµα [α,β]. Οπως είδαµε στην παράγραφο 6., θα αθροίσουµε τα διαδοχικά οοκηρώµατα d d d d 6. χρησιµοποιώντας, γιακαθένααπόαυτά, τον αντίστοιχο τοπικό κανόνα οοκήρωσης... Εκτεταµένος κειστός κανόντας του τραπεζίου Εχοντας τον τοπικό κανόνα του τραπεζίου d d 6. υποογίζουµε τοοοκήρωµα απότησχέση τ 6. Σφάµα του εκτεταµένου κανόνα του τραπεζίου Είδαµε στην παράγραφο ότι το τοπικό σφάµα του κανόνα του τραπεζίου είναι Ο. Ο εκτεταµένος κανόνας 6. δίνει το άθροισµα τοπικών κανόνων τραπεζίου. Εποµένως, το αθροιστικό σφάµα θαείναιτηςτάξης E Ο τ 6.
6. ΑΡΘΜΗΤΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Στην αριθµητική εφαρµογή του κανόνα του τραπεζίου, ενδιαφέρει η έκφραση του σφάµατος ως συνάρτηση του εύρους - του διαστήµατος οοκήρωσης και του αριθµού σηµείων της διαµέρισης. Από την 6. βρίσκουµε Ο [ ] E τ 6. Αγόριθµος του εκτεταµένου κειστού κανόνα του τραπεζίου Οχρήστηςτουαγόριθµου παρέχει την υπό οοκήρωση συνάρτηση, τις τιµές των µεταβητών και και το πήθος των σηµείων της διαµέρισης. Οαγόριθµος πραγµατοποιεί την άθροιση 6. σύµφωνα µετογενικόσχήµα uncton trpz,, egn vrles: doule:,,,trp nt:, -doule trp τα άκρα προστίθενται µε συντεεστή or to - τα ενδιάµεσα σηµεία προστίθενται trp trpz.* µε συντεεστή endor trp trp*. return trp end.. Εκτεταµένος κειστός κανόνας του Smpson Εχοντας τον τοπικό κανόνα του Smpson d d 6.6 υποογίζουµε τοοοκήρωµα απότησχέση
6. ΑΡΘΜΗΤΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ S 6.7 Ο κανόνας 6.7 σηµαίνει ότι οι δύο ακραίοι όροι και αθροίζονται µε συντεεστή βάρους, ενώ όοι οι υπόοιποι όροι, ξεκινώντας από τον, αθροίζονται µε εναάξ βάρη και. Σφάµα του εκτεταµένου κανόνα του Smpson Είδαµε στην παράγραφο ότι το τοπικό σφάµα του κανόνα του Smpson είναι Ο. Ο εκτεταµένος κανόνας 6.7 δίνει το άθροισµα τοπικών κανόνων Smpson γιατί κάθε άθροιση περιαµβάνει διάστηµα εύρους. Εποµένως, το αθροιστικό σφάµα θαείναιτηςτάξης E S Ο 6.8 Στην αριθµητική εφαρµογή του κανόνα του Smpson, ενδιαφέρει και πάι η έκφραση του σφάµατος ως συνάρτηση του εύρους - του διαστήµατος οοκήρωσης και του αριθµού σηµείων της διαµέρισης. Από την 6. βρίσκουµε Ο ] [ E S 6.9 Παρατηρούµε ότι η τάξη σύγκισης είναι διπάσια της τάξης σύγκισης του κανόνα του τραπεζίου. Γιατοόγοαυτό, ο κανόνας Smpson είναι ιδιαίτερα δηµοφιής στην πράξη. Ο επαναηπτικός κανόνας Romerg. τον οποίο θα εξετάσουµε στην επόµενη παράγραφο µπορεί να δώσει κανόνες ταχύτερης σύγκισης, αά είναι δυσκοότερο να προγραµµατισθεί στην πράξη. Αγόριθµος του εκτεταµένου κειστού κανόνα του Smpson Οχρήστηςτουαγόριθµου παρέχει την υπό οοκήρωση συνάρτηση, τις τιµές των µεταβητών και και το πήθος των σηµείων της διαµέρισης. Οαγόριθµος πραγµατοποιεί την άθροιση 6.7 σύµφωνα µετογενικόσχήµα uncton smpson,,
6. ΑΡΘΜΗΤΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 6 egn vrles: doule: nt:,,,smp, -doule smp τα άκρα προστίθενται µε συντεεστή or to - step τα ενδιάµεσα σηµεία προστίθενται ενναάξ smp smp.* µε συντεεστή smp smp.* και µε συντεεστή endor smp smp*. return smp end. Επαναηπτική Μέθοδος Romerg Η επαναηπτική µέθοδος Romerg είναι µία µέθοδος η οποία µας επιτρέπει να παράγουµε κανόνεςµεγάης τάξης σύγκισης. Βασίζεται στο ακόουθο θεώρηµα: Θεώρηµα.: Εστω τ η προσέγγιση, µε τον κανόνα του τραπεζίου, του οοκηρώµατος d µίας συνάρτησης συνεχούς στο [α,]. Τότε, ηδιαφορά- τ σφάµα της οοκήρωσης εξαρτάται µόνο από άρτιες δυνάµεις του βήµατος οοκήρωσης, ισχύει δηαδή τ A A 6. Ηαπόδειξητουθεωρήµατος αυτού βασίζεται σε ένα ασυµπτωτικό ανάπτυγµα γνωστό ώς τύπος των Euler - Mclurn. Οι συντεεστές Α κ εκφράζονται ως συνάρτηση των τιµών των ορίων της οοκήρωσης και ειδικών αριθµών που είναι γνωστοί ως αριθµοί Bernoull. Το κειδί της µεθόδου Romerg είναι η παρατήρηση ότι µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τοντύπο6. δύο φορές, υποογίζοντας το οοκήρωµα τ µε
6. ΑΡΘΜΗΤΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 7 βήµα και αντίστοιχα, προκειµένου να απαείψουµε από τη σειρά 6. τον όρο ης τάξης και να δηµιουργήσουµε ένα κανόνα οοκήρωσης ης τάξης. Αν συµβοίσουµε τον υποογισµό του οοκηρώµατος µε βήµα, µε τον κανόνα του τραπεζίου 6. και τον υποογισµό του οοκηρώµατος µε διπάσιοβήµα, 6. τότε, από την έκφραση 6. βρίσκουµε τοσφάµα των6. και 6. 6 A A A A A A 6. Τότε είναι δυνατό, παίρνοντας κατάηο γραµµικό συνδυασµό των και, να απαείψουµε τον όρο ης τάξης από το σφάµα. Θεωρώντας το γραµµικό συνδυασµό 6 Α Α 6. βέπουµε αµέσως ότι, προκειµένου να απαηφθεί ο όρος δεύτερης τάξης στο σφάµα πρέπει να θέσουµε 6. Η 6. δίνει τότε:. * Α Α 6.6 Εποµένως, ο υποογισµός του οοκηρώµατος από τον κανόνα * 6.7 δίνει τάξη σύγκισης ίση µε.
6. ΑΡΘΜΗΤΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 8 Ας σηµειωθεί ότι στην αγοριθµική εφαρµογή του κανόνα 6.7 δεν απαιτείται σηµαντικό επιπέον υποογιστικό έργο έναντι του απού κανόνα, µια και ο υποογισµός των τιµών της συνάρτησης στα εσωτερικά σηµεία του διαστήµατος είναι κοινός τόσο για τον κανόνα, όσο και για τον κανόνα. Ασκηση: Αποδείξτε ότι ο κανόνας 6.7 είναι ισοδύναµος µε τον εκτεταµένο κειστό κανόνα Smpson. 6.. Κανόνες ανώτερης τάξης Ακοουθώντας τη µέθοδο Romerg µπορούµε να βρούµε κανόνες ανώτερης και πάντα άρτιας τάξης. Παραδείγµατος χάριν, προκειµένου να βρούµε ένα κανόνα 6ης τάξης, χρειάζεται να απαειφθούν οι όροι ης και τέταρτης τάξης. Τούτο επιτυγχάνεται χρησιµοποιώντας τα προσεγγιστικά οοκηρώµατα µε τον κανόνα του τραπεζίου εξίσωση 6., εξίσωση 6., βήµα που ορίζεται από τη σχέση 6.8 8 Θα θεωρήσουµε περαιτέρω το γραµµικό συνδυασµό 6 Α 6 6 Α 6.9 και θα απαείψουµε τουςόρουςης και ης τάξης θέτοντας 6 6 6 6. Ασκηση: α υθεί το σύστηµα 6. και να γραφεί ο κανόνας οοκήρωσης 6ης τάξης που προκύπτει από τη µέθοδο του Romerg.