Τριμελής εξεταστική επιτροπή: Κωνσταντίνος Δασκαλογιάννης, Ομότιμος Καθηγητής Μιχαήλ Μαριάς, Καθηγητής Δημήτριος Μπετσάκος, Καθηγητής (επιβλέπων) iii

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Οι Τύποι και η Συνάρτηση του Green Διπλωματική Εργασία Σοφία Γλυκίδου Θεσσαλονίκη, 217

Τριμελής εξεταστική επιτροπή: Κωνσταντίνος Δασκαλογιάννης, Ομότιμος Καθηγητής Μιχαήλ Μαριάς, Καθηγητής Δημήτριος Μπετσάκος, Καθηγητής (επιβλέπων) iii

iv

Περιεχόμενα.1 Εισαγωγή................................. 1 1 Οι Τύποι του Green 5 1.1 Η έννοια των αρμονικών συναρτήσεων.................. 5 1.2 Ιδιότητες αρμονικών συναρτήσεων.................... 6 1.3 Ο πρώτος και δεύτερος τύπος του Green................ 8 1.4 Εφαρμογή των τύπων του Green..................... 15 1.5 Ο τρίτος τύπος του Green........................ 23 2 Υφαρμονικές Συναρτήσεις 27 2.1 Ορισμός υφαρμονικών συναρτήσεων................... 27 2.2 Ιδιότητες υφαρμονικών συναρτήσεων................... 34 2.3 Αρχή του Μεγίστου............................ 36 3 Η Συνάρτηση του Green 39 3.1 Ορισμός και Ιδιότητες........................... 39 3.2 Παραδείγματα............................... 43 3.3 Εφαρμογή του τύπου του Green..................... 45 3.4 Η Αρχή του Lindelöf........................... 51 3.5 Εφαρμογές της Αρχής του Lindelöf................... 54 3.6 Μια ακόμη εφαρμογή της συνάρτησης Green.............. 62 Βιβλιογραφία 65 v

vi

.1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η 1.1 Εισαγωγή Κύριο θέμα της παρούσας εργασίας είναι ο ορισμός της συνάρτησης του Green, η απόδειξη των θεμελιωδών ιδιοτήτων της καθώς επίσης και η αναφορά σε διάφορα παραδείγματα και εφαρμογές της. Για να μπορέσουμε όμως να ορίσουμε την συνάρτηση του Green θα πρέπει πρώτα να αναφερθούμε σε κάποιες έννοιες. Στο πρώτο κεφάλαιο θα ορίσουμε τις αρμονικές συναρτήσεις, θα αναφέρουμε παραδείγματα τέτοιων συναρτήσεων και κάποια θεωρήματα που συνδέουν τις αρμονικές με τις ολόμορφες συναρτήσεις. Επίσης θα ορίσουμε τους τρεις τύπους του Green και θα αναφέρουμε εφαρμογές του πρώτου τύπου του Green. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα ορίσουμε μια ακόμη έννοια που μας χρειάζεται, τις υφαρμονικές συναρτήσεις. Θα μελετήσουμε ορισμένες ιδιότητές τους καθώς και την Αρχή του Μεγίστου για υφαρμονικές συναρτήσεις. Στην συνέχεια έχοντας αναφέρει όλα τα παραπάνω, είμαστε σε θέση να ορίσουμε την συνάρτηση του Green, που είναι και το θέμα του τρίτου κεφαλαίου. Προτού ξεκινήσουμε τη μαθηματική μελέτη που περιγράφηκε παραπάνω, αξίζει να παραθέσουμε ορισμένα βιογραφικά στοιχεία και πληροφορίες από το πρώτο δοκίμιο του George Green. Η ζωή του Green (βλ. [7], [9]) Ο George Green (14 Ιούλιος 1793-31 Μάιος 1841) γεννήθηκε το 1793 και έζησε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του στην πόλη του Sneiton, Nottingham στην Μεγάλη Βρετανία. Ο πατέρας του που έφερε το ίδιο όνομα και ασκούσε το επάγγελμα του αρτοποιού, ίδρυσε έναν πέτρινο ανεμόμυλο τον οποίο χρησιμοποιούσε για το άλεσμα των σιτηρών. Ο Green αναγκάστηκε ήδη από πολύ μικρή ηλικία, πιθανώς πέντε ετών, να εργάζεται καθημερινά βοηθώντας τον πατέρα του στον φούρνο. Στην ζωή του είναι αξιοσημείωτο ότι ήταν σχεδόν εξ ολοκλήρου αυτοδίδακτος καθώς έλαβε επίσημη εκπαίδευση μόνο για ένα έτος, συγκεκριμένα στην ηλικία μεταξύ οκτώ και εννέα ετών. Εξάλλου σύμφωνα με τα δεδομένα της εποχής περίπου το 25%-5% των παιδιών του Nottingham δεν έλαβαν σχολική εκπαίδευση ενώ η πλειονότητα των σχολείων λειτουργούσαν μόνο την Κυριακή και οι μαθητές παρακολουθούσαν συνήθως για ένα ή δύο χρόνια. Αναγνωρίζοντας την ευφυΐα του Green και έχοντας την οικονομική δυνατότητα, λόγω επιτυχίας του αρτοποιείου, ο πατέρας του τον έγραψε στο καλύτερο και πιο ακριβό σχολείο του Nottingham, την ακαδημία Robert Goodacre s τον Μάρτιο του 181, όπου παρά το σύντομο χρονικό διάστημα που φοίτησε, έλαβε πολύ σημαντικές γνώσεις. Το 182 ο εννιάχρονος Green άφησε το σχολείο για να εργαστεί στον φούρνο του πατέρα του, ο οποίος

2 τους επέφερε μεγάλα κέρδη με αποτέλεσμα το 187 ο πατέρας του Green να αγοράσει ένα οικόπεδο όπου έχτισε έναν προηγμένο για την εποχή ανεμόμυλο. Λόγω των υψηλών απαιτήσεων του εγχειρήματος, ο Green ασχολήθηκε για τα επόμενα είκοσι χρόνια με αυτή την εργασία, παρά το γεγονός ότι δεν ήταν μέρος των ενδιαφερόντων του. Ωστόσο παράλληλα συνέχιζε να μελετάει μόνος του μαθηματικά. Στην ηλικία των τριάντα έγινε μέλος της βιβλιοθήκης του Nottingham, γεγονός που του έδωσε την δυνατότητα να έχει πρόσβαση σε επιστημονικές εργασίες και κυρίως στην δημοσίευση Transactions of the Royal Society του Λονδίνου χάρη στην οποία ενημερώθηκε για τις πιο πρόσφατες μαθηματικές εργασίες τόσο στην δική του όσο και σε άλλες χώρες. Επίσης φοίτησε στο Goville και Caius College του Cambridge, όπου κέρδισε το πρώτο του μαθηματικό βραβείο και μάλιστα αποφοίτησε το 1838 ως τέταρτος σπουδαστής με υψηλότερη βαθμολογία στην τάξη του. Στην συνέχεια είχε την ευκαιρία να συμμετάσχει στο Cambridge Philosophical Society και να εκδόσει έξι συμπληρωματικές δημοσιεύσεις με εφαρμογές στην υδροδυναμική, στην ακουστική και στην οπτική. Πέρασε τα τελευταία του χρόνια στο Cambridge και το 184 επέστρεψε στο Sneiton όπου μετά από ένα χρόνο πέθανε. Ενώ η δουλειά του Green δεν ήταν γνωστή στην μαθηματική κοινότητα κατά την διάρκεια της ζωής του, το θεώρημα και οι συναρτήσεις του αποτέλεσαν σημαντικά εργαλεία για την κλασική μηχανική και αποδείχθηκαν ιδιαίτερα χρήσιμες στην ανάλυση της υπεραγωγιμότητας. Οπως μάλιστα σχολίασε ο Einstein, η δουλειά του Green ήταν είκοσι χρόνια μπροστά από την εποχή του. Η βιβλιοθήκη του George Green που ιδρύθηκε στο Πανεπιστήμιο του Nottingham πήρε το όνομά του, όπως επίσης και το Ινστιτούτο Ηλεκτρομαγνητικής Ερευνας του George Green. Το έργο του Green (βλ. [8], [9]) Ο George Green δημοσίευσε τον Μάρτιο του 1828 ένα περίφημο έργο το ο- ποίο ονομάστηκε: Δοκίμιο στην Εφαρμογή της Μαθηματικής Ανάλυσης στις θεωρίες του ηλεκτρισμού και του μαγνητισμού. Το δοκίμιο ξεκινάει με εισαγωγικές παρατηρήσεις που τονίζουν τον κεντρικό ρόλο της συνάρτησης δυναμικού. Ο Green επινόησε τον όρο δυναμικό για να εκφράσει τα αποτελέσματα που προκύπτουν προσθέτοντας τα πηλίκα των μαζών όλων των σωματιδίων ενός συστήματος διά της αντίστοιχης απόστασης κάθε σωματιδίου από ένα δοσμένο σημείο. Σε αυτό το δοκίμιο εισήγαγε διάφορες σημαντικές έννοιες μεταξύ των οποίων ένα θεώρημα παρόμοιο με το σύγχρονο θεώρημα του Green, την ιδέα των δυναμικών συναρτήσεων όπως πλέον χρησιμοποιούνται στην φυσική και την έννοια αυτών που τώρα αποκαλούμε Συναρτήσεις του Green. Οι παραπάνω θεωρίες έχουν χρησιμοποιηθεί και εφαρμοστεί ευρέως στον κλάδο των μαθη-

.1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η 3 ματικών. Ο Green ήταν ο πρώτος άνθρωπος που δημιούργησε την μαθηματική θεωρία του ηλεκτρισμού και του μαγνητισμού η οποία έθεσε τα θεμέλια για το έργο άλλων γνωστών επιστημόνων όπως οι James Clerk Maxwell και William Thomson. Ο Green μετασχημάτισε με την βοήθεια πυρήνων, τις διαφορικές εξισώσεις η- λεκτρομαγνητικού προβλήματος σε ολοκληρωτικές εξισώσεις οι οποίες κατόπιν ονομάστηκαν συναρτήσεις του Green. Η τεχνική της συνάρτησης του Green είναι ουσιαστικά μια μέθοδος επίλυσης μίας μη ομογενούς διαφορικής εξίσωσης. Αυτή η μέθοδος βασίζεται στην εύρεση ενός ολοκληρωτικού τελεστή που παράγει μια λύση η οποία ικανοποιεί όλες τις δοσμένες συνοριακές συνθήκες. Η συνάρτηση του Green είναι ο πυρήνας του αντίστροφου ολοκληρωτικού τελεστή στον διαφορικό τελεστή που προκύπτει από την δοσμένη διαφορική εξίσωση και τις ομογενείς διαφορικές συνθήκες. Η μέθοδος περιορίζει την μελέτη των ιδιοτήτων του διαφορικού τελεστή στην μελέτη παρόμοιων ιδιοτήτων του αντίστοιχου ολοκληρωτικού τελεστή. Ο ολοκληρωτικός τελεστής έχει έ- ναν πυρήνα που καλείται συνάρτηση του Green και συνήθως συμβολίζεται ως G(x, t). Αυτός πολλαπλασιάζεται με έναν μη ομογενή όρο και ολοκληρώνεται ως προς την μία από τις μεταβλητές. Ουσιαστικά οι συναρτήσεις του Green παίζουν πολύ σημαντικό ρόλο στην αποτελεσματική επίλυση γραμμικών σύνηθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων. Επιπλέον μπορούν να θεωρηθούν ως μιας ζωτικής σημασίας προσέγγιση στην ανάπτυξη των μεθόδων συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων. Παρόλο που το δοκίμιο ήταν μεγάλης σημασίας δεν αναγνωρίστηκε από κανέναν την εποχή που δημοσιεύτηκε, καθώς κανένας άνθρωπος με επαρκείς μαθηματικές ικανότητες ώστε να εκτιμήσει την αξία του δεν μελέτησε αυτό το έργο. Συνεπώς ο Green συνέχισε να εργάζεται στον μύλο και το 1829 μετά τον θάνατο του πατέρα του ανέλαβε εξ ολοκλήρου την οικογενειακή επιχείρηση. Ωστόσο τα πράγματα άλλαξαν όταν ήρθε σε επικοινωνία με τον Edward Bromhead. Ο Bromhead ήταν ένας από τους συνδρομητές του δοκιμίου του Green και παρά το γεγονός ότι δεν ήταν ικανός να εκτιμήσει την υψηλή σημασία του, συνειδητοποίησε ότι ο Green ήταν πολύ καλός μαθηματικός. Γι αυτό του πρότεινε να στείλει επιπλέον άρθρα στο Royal Society του Λονδίνου και του Ενδιμβούργου ή το Cambridge Philosophical Society. Ο Green και ο Bromhead συνεργάστηκαν για τρία χρόνια, στην διάρκεια των οποίων ο Green έγραψε δύο επιπλέον άρθρα για τον ηλεκτρισμό και ένα ακόμη για τα υδροδυναμικά τα οποία δημοσιεύτηκαν τα έτη 1833, 1834 και 1836 αντίστοιχα. Τελικά μετά από παρότρυνση του Bromhead, ο Green άφησε τον μύλο και έ- γινε προπτυχιακός φοιτητής στο πανεπιστήμιο του Cambridge τον Οκτώβριο του 1833 στην ηλικία των σαράντα ετών. Μετά την αποφοίτησή του παρέμεινε στο Cambridge και τα έτη 1838 και 1839 δημοσίευσε δύο άρθρα σχετικά με τα

4 υδροδυναμικά και συγκεκριμένα με την κίνηση των κυμάτων στα κανάλια, την ανάκλαση και διάθλαση του φωτός και του ήχου. Ο Green δεν γνώρισε την αξία των έργων του καθώς εκτιμήθηκε μετά τον θάνατό του. Χαρακτηριστικά ο William Thomson δήλωσε ότι μέσω των Thomson, Maxwell και άλλων, η γενική μαθηματική θεωρία δυναμικού που αναπτύχθηκε από έναν αφανή, αυτοδίδακτο γιο φούρναρη θα οδηγούσε στις μαθηματικές θεωρίες του ηλεκτρισμού που χαρακτηρίζουν ολόκληρη την βιομηχανία του 2ου αιώνα.

Κεφάλαιο 1 Οι Τύποι του Green Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφέρουμε τον ορισμό των αρμονικών συναρτήσεων, παραδείγματα και ιδιότητες τέτοιων συναρτήσεων, καθώς επίσης και το θεώρημα και τους τύπους του Green, σχέσεις που προκύπτουν από αυτούς και εφαρμογές αυτών (βλ. [1]). 1.1 Η έννοια των αρμονικών συναρτήσεων Ορισμός 1.1.1 Εστω C ανοικτό σύνολο. Μια συνάρτηση u : R ονομάζεται αρμονική αν έχει στο συνεχείς παραγώγους δεύτερης τάξης και ισχύει η εξίσωση του Laplace (1.1) u := 2 u x 2 + 2 u y 2 =. Παραδείγματα τέτοιων συναρτήσεων είναι: u(x, y) = x + y, C, όπου ανοικτό. Πράγματι, Οπότε u u (x, y) = x y = 1 2 u x 2 (x, y) = 2 u (x, y) =. y2 u = 2 u x 2 + 2 u y 2 = + =. u(x, y) = x 2 y 2, ανοικτό. Πράγματι, u x (x, y) = 2x 2 u = 2 x 2 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΙ Τ ΥΠΟΙ ΤΟΥ GREEN και Άρα u y (x, y) = 2y 2 u y 2 = 2. u = 2 u x 2 + 2 u y 2 = 2 2 =. u(x, y) = log(x 2 + y 2 ), ανοικτό σύνολο που δεν περιέχει το. Ισχύει ότι και Άρα u x (x, y) = 2x u y (x, y) = 2y x 2 +y 2 x 2 +y 2 2 u x 2 = 2y2 2x 2 (x 2 +y 2 ) 2 2 u y 2 = 2x2 2y 2 (x 2 +y 2 ) 2. u = 2 u x 2 + 2 u y 2 = 2y2 2x 2 (x 2 +y 2 ) 2 + 2x2 2y 2 (x 2 +y 2 ) 2 =. Αν το περιέχει το τότε η u(x, y) δεν είναι αρμονική αφού δεν ανήκει στον C 2 (). 1.2 Ιδιότητες αρμονικών συναρτήσεων Στην παράγραφο αυτή θα παραθέσουμε δύο θεωρήματα τα οποία συνδέουν τις αρμονικές συναρτήσεις με τις ολόμορφες. Θεώρημα 1.2.1 Αν f είναι ολόμορφη συνάρτηση σε τόπο τότε οι συναρτήσεις u = Ref και v = Imf είναι αρμονικές στο. Εστω f = u + iv. Αφού f H() ισχύουν οι εξισώσεις Cauchy-Riemann: και Άρα u x = v y u y = v x

1.2. ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚ ΩΝ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΩΝ 7 Επίσης Ισχύει ότι 2 u x 2 Άρα καταλήγουμε ότι Οπότε f = u x + i v x = u x i u y. f = 2 u x 2 + i 2 v x 2. = x ( u x ) = x ( v y ) = y ( v x ) = u y ( y ) = 2 u. y 2 f = 2 u + i 2 v y 2 x 2 2 u + 2 u =, x 2 y 2 = 2 u x 2 + i 2 v x 2. δηλαδή u h(). Παρομοίως v h(). Ο ισχυρισμός ότι κάθε αρμονική συνάρτηση είναι το πραγματικό μέρος μιας αναλυτικής συνάρτησης, δεν είναι εν γένει αληθής. Για παράδειγμα αν η συνάρτηση που μελετήσαμε παραπάνω u(x, y) = log(x 2 + y 2 ) είναι αρμονική στον δακτύλιο 1 < z < 2, δεν υπάρχει αναλυτική συνάρτηση f σε αυτόν τον δακτύλιο, της οποίας το πραγματικό μέρος να είναι η u(x, y). Ομως ισχύει το παρακάτω θεώρημα: Θεώρημα 1.2.2 Αν είναι απλά συναφής τόπος στο C και u είναι αρμονική συνάρτηση στο, τότε υπάρχει ολόμορφη συνάρτηση f στο με Re(f) = u. Εστω h = u x i u y : C. Παρατηρούμε ότι η h ικανοποιεί τις εξισώσεις Cauchy-Riemann. Άρα η h είναι ολόμορφη στο. Επειδή είναι απλά συναφής τόπος, υπάρχει f 1 H() με f 1 = h. Δηλαδή f 1 = u x i u y. Από την άλλη μεριά από τις εξισώσεις Cauchy-Riemann έχουμε f 1 = Ref 1 x i Ref 1 y. u Άρα ισχύει x = Ref 1 u x και y = Ref 1 y. Άρα Ref 1 = u + c, όπου c ένας πραγματικός αριθμός. Θέτουμε και f = f 1 c άρα Ref = u.

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΙ Τ ΥΠΟΙ ΤΟΥ GREEN Παράδειγμα 1.2.3 Στην σχέση u = του ορισμού, ουσιαστικά αναζητάμε τις λύσεις οι οποίες εξαρτώνται μόνο από την απόσταση από δοθέν σημείο (a, b) και είναι ανεξάρτητες από την κατεύθυνση την οποία ακολουθούν από αυτό το σημείο. Αν θεωρήσουμε ως δοθέν σημείο το (, ) και εισάγουμε πολικές συντεταγμένες r,θ, τότε αυτό που μας ενδιαφέρει είναι να βρούμε τις λύσεις της εξίσωσης u = οι οποίες εξαρτώνται μόνο από το r. Με πολικές συντεταγμένες η (1.1) γίνεται (1.2) 2 u r 2 + 1 u r r + 1 2 u r 2 θ 2 =. Αφού οι λύσεις που αναζητάμε εξαρτώνται μόνο από το r και όχι από το θ, η (1.2) γίνεται 2 u r 2 + 1 u r r =. Η γενική λύση της μερικής διαφορικής εξίσωσης εύκολα προκύπτει ότι είναι u = A log r + B, όπου Α, Β είναι κάποιες σταθερές. Αφού οι σταθερές είναι αρμονικές συναρτήσεις και ο γραμμικός συνδυασμός αρμονικών συναρτήσεων είναι επίσης αρμονική συνάρτηση, προκύπτει ότι η λύση τελικά που αναζητάμε είναι η συνάρτηση u = log r = log (x a) 2 + (y b) 2. Η συνάρτηση αυτή είναι μοναδική και αρμονική παντού στο εκτός από το (a, b). 1.3 Ο πρώτος και δεύτερος τύπος του Green Ενας από τους πιο βασικούς τύπους της Ανάλυσης είναι ο τύπος του Gauss για μια μεταβλητή b a f (x)dx = f(b) f(a) για συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [a, b]. Ανάλογα στις δύο διαστάσεις αναφέρουμε το παρακάτω θεώρημα που είναι γνωστό ως θεώρημα του Green. Θεώρημα 1.3.1 (Green) Εστω τόπος ο οποίος είναι φραγμένος από τμηματικά ομαλή καμπύλη Γ. Εστω επίσης δύο συναρτήσεις p(x, y) και q(x, y) οι

1.3. Ο ΠΡ ΩΤΟΣ ΚΑΙ ΔΕ ΥΤΕΡΟΣ Τ ΥΠΟΣ ΤΟΥ GREEN 9 οποίες είναι συνεχείς και έχουν συνεχή πρώτη παράγωγο στην κλειστότητα του. Τότε ισχύει ο τύπος p q (1.3) (x, y) + (x, y)dxdy = p(x, y)dy q(x, y)dx. x y Για την απόδειξη του θεωρήματος παραπέμπουμε στο βιβλίο [4, σελ. 14-17]. Παρατήρηση: Το ολοκλήρωμα στα δεξιά είναι επικαμπύλιο το οποίο διαγράφεται γύρω από την καμπύλη Γ με θετική φορά, δηλαδή αφήνει το εσωτερικό του τόπου στα αριστερά. Με βάση τα παραπάνω θα ορίσουμε τον πρώτο τύπο του Green ως εξής: Ο πρώτος τύπος του Green: Εστω τόπος ο οποίος φράσσεται α- πό την καμπύλη Γ όπως παραπάνω. Θεωρούμε την συνάρτηση u(x, y) η οποία έχει συνεχή πρώτη παράγωγο στο Γ και την συνάρτηση v(x, y) η οποία έχει συνεχείς παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης στο Γ. Τότε ισχύει ο τύπος (1.4) u vdxdy + u x v x + u y v y dxdy = u v Γ n ds που λέγεται πρώτος τύπος του Green. Γ οι οποίες ικα- Θεωρούμε τις συναρτήσεις p(x, y) = u v v x και q(x, y) = u y νοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήματος Green. p v (x, y) = (u x x x ) = u xv x + uv xx q y (x, y) = y (u v y ) = u yv y + uv yy Από τον τύπο (1.3) έχουμε [uv xx + u x v x + uv yy + u y v y ]dxdy = u(v xx + v yy )dxdy + (u x v x + u y v y )dxdy = Ισχύει ότι Γ Γ u[v x dy v y dx] u[v x dy v y dx]

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΙ Τ ΥΠΟΙ ΤΟΥ GREEN v v dy n = v n = x ds v dx y ds v n ds = v xdy v y dx, όπου v = ( v x, v dy y ) και n = ( ds, dx ds ) το μοναδιαίο καθετικό διάνυσμα για την καμπύλη Γ με παραμετρικοποίηση Γ(s)=(x(s), y(s)). Επίσης ισχύει ότι v = v xx + v yy. Άρα από την τελευταία σχέση ολοκληρωμάτων προκύπτει η (1.4) που είναι το ζητούμενο. Στην συνέχεια θα αποδείξουμε μερικές σχέσεις που προκύπτουν από τον πρώτο τύπο του Green. Πρόταση 1.3.2 Εστω φραγμένος τόπος με ομαλό σύνορο και έστω u(z) ομαλή συνάρτηση στο Γ, όπου Γ το σύνορό του, ώστε u(z) = για z Γ. Τότε u(z)( u)(z)dxdy, με αυστηρή ανισότητα εκτός αν u(z) = για όλα τα z. Στον πρώτο τύπο του Green (1.4) θέτουμε u = v και έχουμε (1.5) u udxdy + u x u x + u y u y dxdy = u u Γ n ds Ομως Γ u u nds =, διότι u = στο Γ από υπόθεση. Άρα η (1.5) γίνεται (1.6) u udxdy = u 2 dxdy διότι u x u x + u y u y = (u x ) 2 + (u y ) 2 = u 2 και επειδή u 2 προκύπτει ότι (1.7) u 2 dxdy u 2 dxdy. Από τις σχέσεις (1.6) και (1.7) έχουμε ότι u udxdy. Ισχύει u udxdy =

1.3. Ο ΠΡ ΩΤΟΣ ΚΑΙ ΔΕ ΥΤΕΡΟΣ Τ ΥΠΟΣ ΤΟΥ GREEN 11 αν και μόνο αν Δηλαδή όταν σχεδόν παντού στο. Άρα και u 2 dxdy =. ( u) 2 = u x = u y = σχεδόν παντού στο. Από υπόθεση όμως u = στο και ομαλή στο άρα προκύπτει ότι u = στο. Άμεσο συμπέρασμα της προηγούμενης πρότασης είναι το παρακάτω: Πρόταση 1.3.3 Εστω φραγμένος τόπος με ομαλό σύνορο και έστω λ ένας πραγματικός αριθμός. Αν υπάρχει μια μη μηδενική ομαλή συνάρτηση u(z) στο έτσι ώστε u = λu στο και u = στο τότε λ <. Από υπόθεση ισχύει ότι u = λu, όπου u είναι μη μηδενική ομαλή συνάρτηση στο και λ R. Από Πρόταση 1.3.2 ισχύει ότι u udxdy <. Επομένως δηλαδή Ομως u 2 > στο, άρα Οπότε λ <. uλudxdy <, λ u 2 dxdy <. u2 dxdy.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΙ Τ ΥΠΟΙ ΤΟΥ GREEN Πρόταση 1.3.4 Εστω φραγμένος τόπος με ομαλό σύνορο και έστω u(z) και v(z) να είναι ομαλές συναρτήσεις στο έτσι ώστε u(z) να είναι αρμονική στο και v(z) = στο. Τότε (1.8) u vdxdy =. Στον πρώτο τύπο του Green εναλλάσουμε τις u και v και προκύπτει ότι (1.9) v udxdy + u vdxdy = v u Γ n ds, διότι u v = u x v x + u y v y. Ομως Γ v u n ds =, διότι v = στο και v udxdy =, διότι η u είναι αρμονική στο άρα u = στο. Οπότε προκύπτει από την σχέση (1.9) ότι u vdxdy =. Συνέπεια της παραπάνω πρότασης είναι το εξής: Πρόταση 1.3.5 Εστω φραγμένος τόπος με ομαλό σύνορο και έστω u(z) και v(z) ομαλές συναρτήσεις στο έτσι ώστε u(z) να είναι αρμονική στο και u(z) = v(z) στο. Τότε ισχύει ο τύπος (1.1) v 2 dxdy = u 2 dxdy + (v u) 2 dxdy. Θεωρούμε τη συνάρτηση u(z) η οποία από υπόθεση είναι αρμονική στο και u = v στο. Από Πρόταση 1.3.4 ισχύει η σχέση (1.11) u (v u)dxdy =.

1.3. Ο ΠΡ ΩΤΟΣ ΚΑΙ ΔΕ ΥΤΕΡΟΣ Τ ΥΠΟΣ ΤΟΥ GREEN 13 u (v u) = u (v u) x x = u x ( v x u x + u (v u) y y ) + u y ( v y u y ( v u = u ( ) v u 2 x x + u x y y y [ ( u = u v x x + u ) v 2 y y + x = u v u 2. ) ) 2 ( u y ) 2 ] Άρα (1.12) u (v u) = u v u 2. Από τις σχέσεις (1.11), (1.12) έχουμε (1.13) u (v u)dxdy = [ u v u 2 ]dxdy = u vdxdy = u 2 dxdy. Επομένως

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΙ Τ ΥΠΟΙ ΤΟΥ GREEN u 2 + (v u) 2 dxdy = = = = = = ( ) u 2 ( ) u 2 ( ) (v u) 2 ( ) (v u) 2 + + + dxdy x y x y ( ) u 2 ( ) u 2 ( v + + x y x u ) 2 ( v + x y u ) 2 dxdy y ( ) u 2 ( ) u 2 ( ) v 2 ( ) u 2 + + + 2 v u x y x x x x + ( ) v 2 ( ) u 2 + 2 v u y y y y dxdy 2 u 2 + v 2 2 u vdxdy 2 u 2 + v 2 2 u 2 dxdy v 2 dxdy. Άρα ισχύει το ζητούμενο. Αν u(z) και v(z) είναι και οι δύο συνεχείς και έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης τότε στην σχέση (1.4) τις εναλλάσουμε και προκύπτει ο τύπος v udxdy + v xu x + v y u y dxdy = Γ v u n ds. Αν αφαιρέσουμε την τελευταία σχέση από την (1.4) προκύπτει ο δεύτερος τύπος του Green ͺ (1.14) (u v v u)dxdy = (u v n v u n )ds. Ορισμός 1.3.6 Εστω v(z) μια αρμονική συνάρτηση σε μια περιοχή ενός σημείου ζ εκτός από το ζ. Τότε λέμε ότι η v(z) έχει λογαριθμικό πόλο 1 στο ζ αν v(z) log( z ζ ) είναι αρμονική στο ζ. Άμεση πρόταση από τον ορισμό είναι η εξής: Πρόταση 1.3.7 Η v(z) έχει λογαριθμικό πόλο στο ζ αν και μόνο αν v(z) = log f(z) για μία f(z) η οποία είναι μερόμορφη κοντά στο ζ και έχει απλό πόλο το ζ. Γ

1.4. ΕΦΑΡΜΟΓ Η ΤΩΝ Τ ΥΠΩΝ ΤΟΥ GREEN 15 ( ) Εστω ότι v(z) = log f(z) για κάποια συνάρτηση f(z) η οποία είναι μερόμορφη κοντά στο ζ και έχει απλό πόλο το ζ. Τότε f(z) = g(z) z ζ, όπου g(z) είναι ολόμορφη. Άρα v(z) = log f(z) = log g(z) z ζ = log g(z) log z ζ. Για να έχει η v(z) λογαριθμικό πόλο στο ζ πρέπει η v(z) log 1 z ζ να είναι αρμονική στο ζ. 1 v(z) log( ) z ζ = v(z) + log z ζ = log g(z) log z ζ + log z ζ = log g(z), η οποία είναι αρμονική ως πραγματικό μέρος ολόμορφης συνάρτησης. Άρα η v(z) έχει λογαριθμικό πόλο στο ζ. 1 ( ) Εστω ότι η v(z) έχει λογαριθμικό πόλο στο ζ. Τότε η v(z) log z ζ είναι αρμονική στο ζ. Άρα η v(z) αφού είναι αρμονική παντού εκτός από το ζ, θα είναι της μορφής ώστε να ισχύει και ότι η v(z) = log g(z) z ζ v(z) log 1 z ζ είναι αρμονική στο ζ. Θέτω g(z) z ζ = f(z), όπου g(z) ολόμορφη άρα η f(z) είναι μερόμορφη σε περιοχή του ζ. Άρα v(z) = log f(z) η οποία είναι αρμονική παντού εκτός από το ζ. 1.4 Εφαρμογή των τύπων του Green Με βάση το βιβλίο του Nehari [5, σελ. 9], θεωρούμε την συνάρτηση v(x, y) στην σχέση (1.4) να είναι αρμονική στο Γ και θέτουμε u(x, y) 1. Αφού η v είναι αρμονική ισχύει ότι v = στο Γ και άρα προκύπτει ότι (1.15) Γ v ds =. n Συνέπεια της σχέσης (1.15) είναι το θεώρημα μέσης τιμής.

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΙ Τ ΥΠΟΙ ΤΟΥ GREEN Θεώρημα 1.4.1 (Θεώρημα Μέσης Τιμής) Αν v(x, y) είναι αρμονική συνάρτηση σε κλειστό δίσκο, τότε η τιμή της v στο κέντρο του κύκλου είναι ο αριθμητικός μέσος από όλες τις τιμές της στην περιφέρεια του κύκλου. Δηλαδή ισχύει ο τύπος (1.16) v(a, b) = 1 v(a + r cos θ, b + r sin θ)dθ, όπου v(x, y) είναι αρμονική στον δίσκο (x a) 2 + (y b) 2 r 2. Για να αποδείξουμε την σχέση (1.16), θεωρούμε στην (1.15) για καμπύλη Γ την περιφέρεια κύκλου (x a) 2 + (y b) 2 = ρ 2 για ρ r. Αφού n = ρ και ds = ρdθ, έχουμε ότι ρ v(a + ρ cos θ, b+ρ sin θ)dθ = ρ v(a + ρ cos θ, b+ρ sin θ)dθ =, όπου το τελευταίο ολοκλήρωμα είναι ανεξάρτητο από το ρ. Για ρ = η τιμή του ολοκληρώματος είναι v(a, b) και αν θέσουμε ρ = r προκύπτει το ζητούμενο. Πρόταση 1.4.2 Αν πολλαπλασιάσουμε την σχέση (1.17) v(a, b) = 1 v(a + r cos θ, b + r sin θ)dθ, με r και την ολοκληρώσουμε ως προς r, από έως R, τότε το θεώρημα μέσης τιμής παραμένει σωστό αν ο αριθμητικός μέσος των τιμών της v στην περιφέρεια του κύκλου (x a) 2 + (y b) 2 = R 2 αντικατασταθεί από τον αριθμητικό μέσο των τιμών της v στον κύκλο (x a) 2 + (y b) 2 R 2. Αρκεί να δείξουμε ότι v(a, b) = 1 πr (z 2,R) v(x, y)dxdy, όπου z = (a, b). Από το θεώρημα μέσης τιμής έχουμε για r R

1.4. ΕΦΑΡΜΟΓ Η ΤΩΝ Τ ΥΠΩΝ ΤΟΥ GREEN 17 v(a, b) = 1 v(a + r cos θ, b + r sinθ)dθ, όπου v(x, y) είναι αρμονική στον κύκλο (x a) 2 + (y b) 2 R 2. Η v(x, y) είναι η μέση τιμή των τιμών της v στον δίσκο C R : (x a) 2 + (y b) 2 = R 2. (1.18) R v(a, b) = 1 v(a, b) = v(a, b)rdr = πv(a, b) R 2rdr = πr 2 v(a, b) = R v(a + r cos θ, b+r sin θ)dθ v(a + r cos θ, b+r sin θ)dθ R ( R v(a + r cos θ, b+r sin θ)dθ)rdr v(a + r cos θ, b+r sin θ)rdθdr v(a + r cos θ, b+r sin θ)rdθdr Θέτω x = a + r cos θ και y = b + r sin θ, r (, R), θ [, ). Τότε x x J = r θ y y r θ = cos θ r sin θ sin θ r cos θ = rcos 2 θ + rsin 2 θ = r. και Οπότε στην (1.18) έχουμε όπου z = (a, b) = a + ib. dxdy = J dθdr dxdy = rdθdr v(a, b) = 1 πr (z 2,R) v(x, y)dxdy, Από την σχέση (1.15) προκύπτει επίσης και ένα ακόμη αποτέλεσμα που είναι το ακόλουθο θεώρημα:

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΙ Τ ΥΠΟΙ ΤΟΥ GREEN Θεώρημα 1.4.3 (Αρχή του Μεγίστου) Εστω v(x, y) μια αρμονική συνάρτηση σε τόπο. Τότε η v δεν μπορεί να πάρει την μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή της σε εσωτερικό σημείο του τόπου, εκτός αν είναι σταθερή συνάρτηση. Αν η v είναι σταθερή το θεώρημα είναι προφανές.υποθέτουμε ότι η v δεν είναι σταθερή. Εστω επίσης ότι η v μπορεί να πάρει την μέγιστη τιμή της σε κάποιο σημείο M στο εσωτερικό του τόπου και θέτουμε S το σύνολο των σημείων για τα οποία ισχύει v(x, y) = M. Αφού v(x, y) δεν είναι σταθερή το S δεν μπορεί να περιέχει όλα τα σημεία του. Αναλόγως πρέπει να υπάρχει οριακό σημείο P το οποίο είναι εσωτερικό σημείο του. Αν r και θ είναι οι πολικές συντεταγμένες σε σχέση με το σημείο P, θα έχουμε v r για αυθαίρετες τιμές του θ και αρκούντως μικρό r, αν θεωρήσουμε ότι η v παίρνει την μέγιστή της τιμή στο P. Ολοκληρώνοντας γύρω από τον μικρό κύκλο θα έχουμε: v dθ. r Από την σχέση (1.15) συμπεραίνουμε ότι αυτό το ολοκλήρωμα ισούται με. Αυτό ισχύει αν v r = σε όλη την περιφέρεια του μικρού κύκλου και σε οποιοδήποτε μικρότερο κύκλο. Άρα η v(x, y) είναι σταθερή σε μικρό κύκλο γύρω από το σημείο P, το οποίο έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση που κάναμε. Άρα ισχύει το ζητούμενο. Πόρισμα 1.4.4 Αν v(x, y) είναι αρμονική στο και συνεχής στο τότε η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της στο λαμβάνονται στο. Πρόταση 1.4.5 Η αρμονική συνάρτηση καθορίζεται πλήρως από τις συνοριακές τιμές της. Εστω u(x, y), v(x, y) να είναι αρμονικές συναρτήσεις σε τόπο, είναι συνεχείς στην κλειστότητα του και u = v στο σύνορο του. Θέτω w = u v η οποία από υπόθεση μηδενίζεται στο. Από αρχή του μεγίστου η w λαμβάνει την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της στο. Άρα w = στο και άρα u = v εκεί. Πρόταση 1.4.6 Αν v είναι αρμονική συνάρτηση στον τόπο Γ τότε v v n ds και η ισότητα ισχύει αν η v είναι σταθερή. Γ

1.4. ΕΦΑΡΜΟΓ Η ΤΩΝ Τ ΥΠΩΝ ΤΟΥ GREEN 19 Ο πρώτος τύπος του Green, σχέση (1.4), ισχύει για την συνάρτηση u(x, y) η οποία έχει συνεχείς πρώτες μερικές παραγώγους στο Γ και για την συνάρτηση v(x, y) η οποία έχει συνεχείς μερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης στο Γ. Θέτω u = v και από υπόθεση η v είναι αρμονική στο Γ άρα ισχύει ότι v =. Άρα η σχέση (1.4) γίνεται (1.19) v vdxdy + Ισχύει ότι ( v x )2 + ( v y )2 άρα και (1.2) v x v x + v y v y dxdy = ( v x )2 + ( v y )2 dxdy = ( v x )2 + ( v y )2 Άρα από τις σχέσεις (1.19) και (1.2) προκύπτει ότι v v ds. n Αν Γ v v nds = τότε από σχέση (1.19) Γ ( v x )2 + ( v y )2 dxdy = και επειδή ( v x )2 + ( v y )2 έχουμε ότι και και ( v x )2 + ( v y )2 = ( v x )2 = ( v y )2 = v x = Γ Γ v v n ds v v n ds. v y = v =σταθερή ως προς x και v =σταθερή ως προς y. Άρα v(x, y) είναι σταθερή. Άμεσα αποτελέσματα της Πρότασης 1.4.6 είναι τα εξής: Πόρισμα 1.4.7 Αν v είναι αρμονική συνάρτηση σε τόπο και στο σύνορό του Γ, τότε από τον τύπο του Green ισχύει ότι

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΙ Τ ΥΠΟΙ ΤΟΥ GREEN Γ v v n ds και η ισότητα ισχύει μόνο αν η v είναι σταθερή. Τότε αρμονική συνάρτηση που μηδενίζεται στο σύνορο είναι ταυτοτικά μηδέν. Εστω v αρμονική συνάρτηση σε τόπο και στο σύνορό του Γ. Από υπόθεση ισχύει ότι (1.21) Γ v v ds. n Από υπόθεση επίσης ισχύει ότι v = στο Γ άρα στην (1.21) ισχύει η ισότητα. Άρα, αφού ισχύει ότι v v nds =, έχουμε ότι v =σταθερή. Αφού v = Γ στο Γ από αρχή του μεγίστου προκύπτει ότι η v λαμβάνει την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της στο Γ που είναι. Άρα v στο. Πόρισμα 1.4.8 Αν v είναι αρμονική συνάρτηση σε τόπο και στο σύνορό του Γ, τότε από τον τύπο του Green ισχύει ότι v v n ds Γ και η ισότητα ισχύει μόνο αν η v είναι σταθερή. Τότε αρμονική συνάρτηση με = σε όλα τα σημεία του συνόρου είναι σταθερή. v n Εστω v αρμονική στο Γ. Από υπόθεση έχουμε ότι v ds = στο Γ και άρα ds =. Άρα η v είναι σταθερή. Γ v v ds Πρόταση 1.4.9 Αν u > είναι η λύση της μερικής διαφορικής εξίσωσης u = p(x, y)u, όπου p(x, y) > στο, τότε η u δεν μπορεί να πάρει την μέγιστη τιμή της στο εσωτερικό του τόπου. Εστω ότι η u(x, y) λαμβάνει τοπικό μέγιστο σε εσωτερικό σημείο z = (x, y ) του τόπου. Θεωρούμε την ευθεία y = y όπου η u είναι σταθερή ως προς y. Αφού σε αυτό το σημείο, το z, η u λαμβάνει τοπικό μέγιστο θα ισχύει ότι u x (x, y ) = και (1.22) 2 u x 2 (x, y ) <.

1.4. ΕΦΑΡΜΟΓ Η ΤΩΝ Τ ΥΠΩΝ ΤΟΥ GREEN 21 Θεωρώ επίσης την ευθεία x = x όπου η u είναι σταθερή ως προς x. Πάλι επειδή η u λαμβάνει στο z τοπικό μέγιστο θα ισχύει ότι u y (x, y) = και (1.23) 2 u y 2 (x, y) <. Προσθέτω τις σχέσεις (1.22) και (1.23) και προκύπτει ότι Από υπόθεση ισχύει ότι 2 u x 2 (x, y ) + 2 u y 2 (x, y) < u(x, y ) <. u = p(x, y)u, όπου u και p(x, y) είναι συνεχής στο με p(x, y) >. Άρα p(x, y)u u στο. Άτοπο, άρα η u δεν μπορεί να πάρει την μέγιστη τιμή της στο εσωτερικό του τόπου. Πόρισμα 1.4.1 Αν u είναι συνάρτηση σαν της Πρότασης 1.4.9 τότε ικανοποιεί την ανισότητα (u 2 ) στο. Ισχύει ότι u = p(x, y)u. Αφού p(x, y) > στο και u μη αρνητική στο, δηλαδή u τότε u = p(x, y)u u. Ισχύει ο τύπος (1.24) (u 2 ) = 2 (u 2 ) x 2 + 2 (u 2 ) y 2 και επειδή 2 (u 2 ) x 2 = x (2u u x ) = 2( u x )2 + 2u 2 u x 2 2 (u 2 ) y 2 = y (2u u y ) = 2( u y )2 + 2u 2 u y 2 η (1.24) γίνεται ( (u 2 ) = 2 ( u ) x )2 + 2u 2 u x 2 + 2( u y )2 + 2u 2 u y 2 ( = 2 ( u x )2 + ( u ) y )2 + u( 2 u x 2 + 2 u (1.25) y 2 ) ( = 2 ( u x )2 + ( u ) y )2 + u u, όπου ( u x )2 + ( u y )2 και u u. Άρα (u) 2 στο.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΙ Τ ΥΠΟΙ ΤΟΥ GREEN Θεώρημα 1.4.11 ( Γενικευμένη Αρχή Μεγίστου) Εστω u(z) μια αρμονική συνάρτηση και άνω φραγμένη σε τόπο B (δηλαδή οι τιμές της u(z) δεν υπερβαίνουν στον τόπο B κάποιον πεπερασμένο αριθμό). Αν όλες οι οριακές τιμές της, καθώς το όρισμά της προσεγγίζει οποιοδήποτε εκτός από πεπερασμένου πλήθους σημεία του συνόρου του B από το εσωτερικό του B, δεν είναι μεγαλύτερες από έναν αριθμό M, u(z) M παντού στο B. Η γενίκευση ορίζεται ανάλογα και για συναρτήσεις κάτω φραγμένες. Θα θεωρήσουμε ότι ο τόπος B περιέχει το. Εστω a 1,..., a n τα σημεία του συνόρου τα οποία δεν προσεγγίζει το όρισμα και έστω H η διάμετρος του συνόρου του τόπου B. Για οποιοδήποτε ε >, θεωρούμε την συνάρτηση v(z) = M u(z) + ε n H log z a k, η οποία είναι αρμονική στο B. Καθώς το z προσεγγίζει σημεία του συνόρου εκτός των a 1,..., a n, η συνάρτηση αυτή προσεγγίζει μη αρνητικά όρια επειδή κάθε όρος του παραπάνω αθροίσματος έχει μη αρνητική τιμή. Καθώς το z προσεγγίζει ένα από τα σημεία a 1,..., a n, αυτό το άθροισμα προσεγγίζει το. Αλλά η u(z) είναι φραγμένη από πάνω. Συνεπώς το όριο της v(z), καθώς το z προσεγγίζει καθένα από αυτά τα σημεία, είναι άπειρο. Επειδή η v(z) προφανώς δεν είναι σταθερή, δεν παίρνει ελάχιστη τιμή μέσα στο B. Επομένως v(z) στο B, δηλαδή n H u(z) M + ε log z a k. Αυτό ισχύει για τυχαίο ε >. Αφήνοντας ε, έχουμε ότι το u(z) M, δηλαδή ισχύει το ζητούμενο. Θεώρημα 1.4.12 (Αρχή της Αντανάκλασης του Schwarz) Δίνεται τόπος συμμετρικός ως προς R. Θέτουμε σ = R, + = {z : Imz > }, = {z : Imz < }. Εστω u h( + ) C( + σ) και u = στο σ. Ορίζουμε U(z) = Τότε η U είναι αρμονική στο.. u(z), z +, z σ u( z), z Είναι προφανές ότι η U είναι αρμονική στο +. Οταν U τότε

1.5. Ο ΤΡ ΙΤΟΣ Τ ΥΠΟΣ ΤΟΥ GREEN 23 και Οπότε U(z) = u(z) = u(x iy) στο. U x = u x 2 U x 2 = ( ) u(x iy) = 2 u x x x 2 ( U y = u ) 2 U y y 2 διότι ισχύει η σχέση 2 U x 2 + 2 U y 2 = y ( ) u(x iy) = 2 u y y 2. = 2 u x 2 2 u y 2 = 2 u y 2 2 u y 2 =, 2 u x 2 = u 2 y 2. Άρα η U είναι αρμονική στο. Εστω x o σ. Θεωρούμε δίσκο = (x o, R) με. Εστω ϕ = U και V = P [ϕ] στο. Θεωρούμε την συνάρτηση v = U V. Η v είναι αρμονική στο + και V = στο ( + ). Πράγματι, η U = στο σ ενώ για την V εύκολα διαπιστώνουμε ότι V = στο σ λόγω συμμετρίας. Από Αρχή του Μεγίστου, V = στο +, δηλαδή U = V στο +. Κάνουμε την ίδια εργασία στο και προκύπτει U = V στο. Άρα η U είναι αρμονική στο. Οπότε η U είναι αρμονική στο. 1.5 Ο τρίτος τύπος του Green Με βάση το βιβλίο [2, σελ. 391], ο Τρίτος τύπος του Green είναι μια μορφή του δεύτερου τύπου του Green με λογαριθμικό πολο και τον αναφέρουμε στο επόμενο θεώρημα: Θεώρημα 1.5.1 Εστω φραγμένος τόπος με τμηματικά ομαλό σύνορο, και έστω u μια ομαλή συνάρτηση στο. Αν ζ, και αν v(z) είναι μια αρμονική συνάρτηση στο \ ζ ώστε να επεκτείνεται ομαλά στο και η v(z) log 1 z ζ να είναι αρμονική στο ζ, τότε ισχύει ο τύπος (1.26) u(ζ) = 1 v udxdy 1 (u v n v u n )ds.

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΙ Τ ΥΠΟΙ ΤΟΥ GREEN Θεωρούμε έναν μικρό δίσκο κέντρου ζ από το, θέτουμε ε = \ z ζ ε και θα εφαρμόσουμε τον δεύτερο τύπο του Green στο ε. Αφού v = στο ε θα έχουμε (u v n v u n )ds z ζ =ε (u v n v u n )ds = v udxdy. ε Ο προσανατολισμός του κύκλου z ζ = ε είναι με την φορά των δεικτών του ρολογιού οπότε για z = ζ + re iθ θα έχουμε n = r. Η λογαριθμική ανωμαλία στο ζ είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη, z ζ <1 log 1 z ζ dxdy =. 1 (log 1 r )rdrdθ < Συνεπώς, καθώς το ε, ο τόπος ε τείνει στον τόπο. Άρα αρκεί να δείξουμε ότι (1.27) (u v n v u )ds u(ζ). n z ζ =ε Αν ( u)(z) M για z κοντα στο ζ τότε v u ( n ds log 1 ) Mε ε z ζ =ε το οποίο τείνει στο. Αφού v n = r log 1 r = 1 r και ds = rdθ θα έχουμε z ζ =ε u v n ds = z ζ =ε u( 1 r )rds = u(ζ + εe iθ )dθ. Καθώς ο μέσος όρος της u(z) γύρω από τον μικρό κύκλο κέντρου ζ τείνει στο u(ζ), βλέπουμε ότι αυτό τείνει στο u(ζ) καθώς ε. Ετσι προκύπτει το ζητούμενο. Άμεσο πόρισμα του θεωρήματος είναι το ακόλουθο

1.5. Ο ΤΡ ΙΤΟΣ Τ ΥΠΟΣ ΤΟΥ GREEN 25 Πόρισμα 1.5.2 Αν u(z) είναι αρμονική συνάρτηση σε τόπο και v(z) μια αρμονική συνάρτηση στο \ ζ ώστε να επεκτείνεται ομαλά στο και η 1 v(z) log z ζ να είναι αρμονική στο ζ, τότε ισχύει ο τύπος u(ζ) = 1 (u v n v u n )ds. Αφού u είναι αρμονική τότε ισχύει ο τύπος (1.1) άρα η σχέση (1.26) γίνεται u(ζ) = 1 (u v n v u n )ds που είναι το ζητούμενο. Πρόταση 1.5.3 Αν u είναι ομαλή συνάρτηση στο μιγαδικό επίπεδο και είναι έξω από κάποιο συμπαγές σύνολο, τότε u(ζ) = 1 1 ( u)(z) log z ζ dxdy, C για ζ C. Εστω τυχαίος τόπος του C με K, όπου K συμπαγές σύνολο. Η u(z) είναι ομαλή στο C άρα και στο και ισχύει ότι u = στο K. 1 Θεωρώ την συνάρτηση v(z) = log z ζ η οποία είναι αρμονική στο \{ζ} και 1 v(z) log z ζ είναι αρμονική στο. v(z) log Από Θεώρημα 1.5.1 ισχύει ότι 1 z ζ = log 1 z ζ log 1 z ζ =. (1.28) u(ζ) = 1 v udxdy 1 1 v udxdy 1 u ( 1 log n z ζ (u v n v u n )ds = ) ( 1 u log z ζ n Αφού u = στο K έχουμε ότι u = στο άρα και u n =, οπότε u ( ) ( ) 1 1 u log log ds =. n z ζ z ζ n ) ds.

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΙ Τ ΥΠΟΙ ΤΟΥ GREEN Άρα στην (1.28) έχουμε u(ζ) = 1 C u log 1 z ζ dxdy. Επειδή είναι τυχαίος τόπος του C γράφουμε u(ζ) = 1 1 ( u)(z) log z ζ dxdy, που είναι το ζητούμενο.

Κεφάλαιο 2 Υφαρμονικές Συναρτήσεις 2.1 Ορισμός υφαρμονικών συναρτήσεων Ορισμός 2.1.1 Εστω να είναι τόπος και έστω u(z) να είναι μία συνεχής συνάρτηση από το στην επεκτεταμένη πραγματική γραμμή [, ). Τότε λέμε ότι η u(z) είναι υφαρμονική αν για κάθε z, υπάρχει ε > έτσι ώστε η u(z) να ικανοποιεί την ανισότητα (2.1) u(z ) 1 u(z + re iθ )dθ, για < r < ε. Αν u(z ) =, τότε η ανισότητα προφανώς ικανοποιείται. Επίσης σημειώνουμε ότι το ε εξαρτάται από το z. Άμεση συνέπεια του ορισμού είναι η παρακάτω πρόταση: Πρόταση 2.1.2 Η u(z) είναι αρμονική αν και μόνον αν οι συναρτήσεις u(z) και u(z) είναι υφαρμονικές. ( ) Εστω u(z) να είναι αρμονική συνάρτηση στον τόπο, τότε από θεώρημα μέσης τιμής ισχύει ότι u(z ) = 1 u(z + re iθ )dθ όπου (z, r) (z, ε), ε >, z. Αφού ισχύει η ισότητα θα ισχύει και η ανισότητα. Άρα u(z) είναι υφαρμονική στο διότι ισχύει η σχέση (2.1). Επίσης από την σχέση 27

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΥΦΑΡΜΟΝΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ (1.16) ισχύει ότι u(z ) 1 u(z ) 1 u(z + re iθ )dθ u(z + re iθ )dθ άρα u(z) είναι υφαρμονική στο. ( ) Εστω ότι οι συναρτήσεις u(z) και u(z) είναι υφαρμονικές στο. Τότε ισχύει η σχέση (2.1) και (2.2) u(z ) 1 u(z + re iθ )dθ, z και (z, r) (z, ε), ε >. Από τις σχέσεις (2.1), (2.2) προκύπτει η ισότητα u(z ) = 1 u(z + re iθ )dθ. Η u έχει την ιδιότητα μέσης τιμής στο διότι η παραπάνω ισότητα ισχύει για κάθε (z, r) με (z, r). Από θεώρημα του Koebe προκύπτει ότι η u(z) είναι αρμονική στο. Σημείωση:Θεώρημα του Koebe: Εστω τόπος. Αν η u : R έχει την ιδιότητα μέσης τιμής στο, τότε η u είναι αρμονική στο. Πρόταση 2.1.3 Αν u είναι υφαρμονική συνάρτηση στο, τότε η ανισότητα μέσης τιμής,σχέση (2.1), ισχύει για όλα τα r ώστε ο δίσκος { z z r} να περιέχεται στο. Από υπόθεση η u(z) είναι υφαρμονική στο. Εστω U να είναι ο περιορισμός της u(z) στο σύνορο του δίσκου z z r, για z και r > τυχαίο ώστε ο δίσκος αυτός να περιέχεται στο. Εστω επίσης P U να είναι το αντίστοιχο ολοκλήρωμα Poisson. Η P U είναι αρμονική στο (z, r),οπότε η u P U ικανοποιεί την αρχή του μεγίστου στον δίσκο. Στο σύνορο (z, r) είναι η u P U διότι εκεί ταυτίζονται. Άρα αφού lim sup u(z) P U (z)

2.1. ΟΡΙΣΜ ΟΣ ΥΦΑΡΜΟΝΙΚ ΩΝ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΩΝ 29 όταν z (z, r) τότε u(z) P U (z) u(z) P U (z) u(z) 1 u(z ) 1 u(z ) 1 u(z ) 1 r 2 z z 2 z + re iθ z 2 u(z +re iθ )dθ r 2 z z 2 z + re iθ z 2 u(z +re iθ )dθ r 2 r 2 u(z +re iθ )dθ u(z +re iθ )dθ στο εσωτερικό. Αφού r τυχαίο η τελευταία ανισότητα ισχύει για όλα τα r ώστε ο δίσκος { z z r} να περιέχεται στο. Παράδειγμα 2.1.4 Αν f(z) είναι αναλυτική συνάρτηση σε τόπο, τότε η log f(z) είναι υφαρμονική. Πράγματι, υπάρχει p > ώστε η log f(z) να ορίζεται στον δίσκο z z < p για (z, p). Αν το z είναι ρίζα της f(z) τότε log f(z) =. Αν το z δεν είναι ρίζα της f(z) τότε η ισότητα log f(z ) = 1 log f(z + pe iθ ) dθ ισχύει από θεώρημα μέσης τιμής, διότι αφού f ολόμορφη, η log f(z) είναι αρμονική στο (z, p). Άρα σε κάθε περίπτωση ισχύει ότι log f(z ) 1 Επομένως η log f(z) είναι υφαρμονική. log f(z + pe iθ ) dθ. Παράδειγμα 2.1.5 Αν f(z) είναι αναλυτική συνάρτηση σε τόπο, τότε η συνάρτηση f(z) είναι υφαρμονική στο. Πράγματι, αν f(z ) =, τότε είναι

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΥΦΑΡΜΟΝΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ υφαρμονική στο. Αν f(z ) τότε από θεώρημα μέσης τιμής ισχύει ότι p < ε. f(z ) = 1 Άρα f(z ) = 1 f ( z + pe iθ) dθ, ( f z + pe iθ) dθ 1 f(z ) 1 f Επομένως η f(z) είναι υφαρμονική στο. f ( z + pe iθ) dθ. ( z + pe iθ) dθ Πρόταση 2.1.6 Αν u είναι συνεχής συνάρτηση, u : [, ), και u n (z) είναι αύξουσα ακολουθία υφαρμονικών συναρτήσεων στο ώστε u n (z) u(z) για z τότε η u(z) είναι υφαρμονική. Εστω u : [, ) συνεχής, όπου τόπος. Από υπόθεση u n (z) u(z) για z όπου {u n } είναι αύξουσα ακολουθία υφαρμονικών συναρτήσεων στο. Από Πρόταση 2.1.3 η {u n } n N αφού είναι υφαρμονική θα ισχύει η ανισότητα (2.3) u n (z ) 1 u n (z + re iθ )dθ για δίσκο { z z r} για όλα τα r > ώστε να περιέχεται ο δίσκος στο, n N. Οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε το ίδιο r για όλες τις u n, για n N. Εστω Κ συμπαγές υποσύνολο του. u n u σημειακά στο άρα και στο Κ. Οι u n είναι συνεχείς στο Κ, n N, ως υφαρμονικές στο. Η u είναι συνεχής στο Κ αφού από υπόθεση είναι συνεχής στο. Επίσης η u n είναι αύξουσα στο Κ αφού είναι αύξουσα στο. Από κριτήριο ini για ομοιόμορφη σύγκλιση, ισχύει ότι u n u ομοιόμορφα στο Κ. Αφού Κ τυχαίο, ισχύει Κ. Αφού u n και u είναι ορισμένες στο και για κάθε συμπαγές Κ ισχύει ότι u n u ομοιόμορφα στο Κ, προκύπτει ότι u n u τοπικά

2.1. ΟΡΙΣΜ ΟΣ ΥΦΑΡΜΟΝΙΚ ΩΝ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΩΝ 31 ομοιόμορφα στο. Επίσης, αφού u n είναι συνεχείς στο και u n u τοπικά ομοιόμορφα στο τότε 1 (2.4) lim n Άρα u n (z + re iθ )dθ = 1 u(z ) = lim u 1 n(z ) lim n n 1 u(z + re iθ )dθ u(z ) 1 u(z + re iθ )dθ. u n (z + re iθ )dθ = u(z + re iθ )dθ. Άρα u είναι υφαρμονική. Για το επόμενο παράδειγμα θα χρειαστούμε την ανισότητα Jensen. Σύμφωνα με το βιβλίο [6, σελ. 43] θα ορίσουμε τις κυρτές συναρτήσεις ως εξής: Ορισμός 2.1.7 Εστω a < b. Η συνάρτηση u : (a, b) R ονομάζεται κυρτή αν για οποιαδήποτε t 1, t 2 (a, b), ( λ 1). u((1 λ)t 1 + λt 2 ) (1 λ)u(t 1 ) + λu(t 2 ), Είναι γνωστό ότι οι κυρτές συναρτήσεις είναι συνεχείς. Επίσης αν u C 2 (a, b), τότε η u είναι κυρτή αν και μόνον αν u στο (a, b). Θεώρημα 2.1.8 (Ανισότητα τού Jensen) Εστω a < b και u : (a, b) R να είναι κυρτή συνάρτηση. Εστω επίσης (Ω, µ) χώρος μέτρου με µ(ω) = 1 και έστω f : Ω (a, b) ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Τότε u Ω fdµ Ω u fdµ. Πρόταση 2.1.9 Εστω u αρμονική συνάρτηση και p >, τότε η συνάρτηση u p είναι υφαρμονική.

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΥΦΑΡΜΟΝΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ Εστω τόπος. Αν f είναι ολόμορφη συνάρτηση στο τότε η log f είναι υφαρμονική στο σύμφωνα με το Παράδειγμα 2.1.4. Αν f H() και p > τότε η f p είναι υφαρμονική στο διότι f p = e p log f = ψ ϕ όπου ψ(t) = e pt η οποία είναι κυρτή και ϕ(t) = log f η οποία είναι υφαρμονική. Πράγματι, η ψ(t) = e pt είναι κυρτή διότι ψ (t) = pe pt ψ (t) = p 2 e pt >. Αν ϕ : [, ) και ψ : [, ) R όπου ϕ υφαρμονική, άρα επιτρέπεται να πάρει και την τιμή, και ψ κυρτή τότε η ψ ϕ είναι υφαρμονική στο. Πράγματι, θεωρούμε μια ακολουθία (a n ) n 1 [, ) με (a n ) να είναι φθίνουσα ακολουθία και a n a. Για κάθε n, θέτουμε ϕ n = max(ϕ, a n ), όπου ϕ n είναι υφαρμονική, αφού ϕ είναι υφαρμονική και a n είναι ακολουθία σημείων, άρα υφαρμονική. Τότε προκύπτει ότι η ψ ϕ n είναι συνεχής στο. Επίσης αν (z, r) τότε χρησιμοποιώντας την ανισότητα Jensen έχουμε ψ ϕ n (z ) ψ( 1 1 ϕ n (z + pe iθ )dθ) ψ ϕ n (z + pe iθ )dθ. Η ανισότητα Jensen εφαρμόζεται για το μέτρο dθ στο [, ). Άρα η ψ ϕ n είναι υφαρμονική στο. Επειδή ψ ϕ n ψ ϕ προκύπτει, σύμφωνα με το Παράδειγμα 2.1.6 για φθίνουσα ακολουθία, ότι η ψ ϕ είναι υφαρμονική στο. Αν u h(), τότε οι u x, u y h(). Πράγματι, αφού u h(), ισχύει ότι 2 u x 2 + 2 u y 2 = (2.5) 2 u x 2 = u 2 y 2

2.1. ΟΡΙΣΜ ΟΣ ΥΦΑΡΜΟΝΙΚ ΩΝ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΩΝ 33 και χρησιμοποιώντας την σχέση (2.5) έχουμε 2 ( ) ( ) u x 2 + 2 u x y 2 x άρα ( ) u = x = 3 u x 3 + x = 3 u x 3 + x ( 2 ) u y 2 ( ) 2 u x 2 = 3 u x 3 3 u x 3 =, που σημαίνει ότι η u x είναι αρμονική στο. Ομοια, πάλι χρησιμοποιώντας την σχέση (2.5) έχουμε 2 ( ) ( ) u x 2 + 2 u y y 2 = ( 2 ) u y y x 2 + 3 u y 3 = ( ) 2 u y y 2 + 3 u y 3 άρα ( ) u = y = 3 u y 3 + 3 u y 3 =, που σημαίνει ότι η u y είναι αρμονική στο. Θεωρούμε δίσκο, τότε η u = Ref όπου f H( ). Τότε u = f. Πράγματι, αν f = u + iv τότε f = u x + i v x. Από εξισώσεις Cauchy- Riemann έχουμε ότι u x = v u y και y = v x. Οπότε f = u x i u y. ( u ) 2 f = + x ( ) u 2 = u y και ισχύει ότι f H( ). Με βάση το παραπάνω συμπέρασμα αφού f H( ) τότε η f p = u p είναι υφαρμονική στο. Αφού τυχαίος δίσκος στο, προκύπτει ότι η u p είναι υφαρμονική στο για p >. Η υφαρμονικότητα είναι μια έννοια ανάλογη με αυτή της κυρτότητας συναρτήσεων μιας μεταβλητής.

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΥΦΑΡΜΟΝΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ Θεώρημα 2.1.1 Εστω u μια C 2 πραγματική συνάρτηση σε τόπο. Η u είναι υφαρμονική αν και μόνον αν u στο. Θα χρησιμοποιήσουμε τον τρίτο τύπο ) του Green, σχέση (1.26), για τις συναρτήσεις u(z) και v(z) = log πάνω στον δίσκο { z z ρ}, ο οποίος ( ρ z z θεωρούμε ότι περιέχεται στον τόπο. Σε αυτή την περίπτωση ο τύπος (1.26) γίνεται u(z ) = 1 ρ ( u)(z) log z z ρ z z dxdy + 1 ( όπου ds = ρdρ και v ρ (z) = ρ log ) ρ z z = z z ρ 1 z z = 1 ρ u(z + ρe iθ )dθ, Ετσι προκύπτει ότι η ανισότητα μέσης τιμής ισχύει για όλα τα z και για όλα τα οσοδήποτε μικρά ρ > αν και μόνον αν u. 2.2 Ιδιότητες υφαρμονικών συναρτήσεων Θεωρούμε δύο συναρτήσεις u(z) και v(z) να είναι υφαρμονικές σε τόπο. Τότε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: Η u(z) + v(z) είναι υφαρμονική. Αφού u(z) και v(z) είναι υφαρμονικές θα ισχύουν οι τύποι u(z ) 1 u(z + re iθ )dθ και v(z ) 1 v(z + re iθ )dθ

2.2. ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣ ΥΦΑΡΜΟΝΙΚ ΩΝ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΩΝ 35 για < r < ε όπου ε > και z. Τότε u(z ) + v(z ) 1 = 1 u(z + re iθ )dθ + 1 u(z + re iθ ) + v(z + re iθ )dθ, v(z + re iθ )dθ από όπου προκύπτει το ζητούμενο. Η συνάρτηση cu(z) είναι υφαρμονική για κάθε σταθερά c. Ομοια ισχύει ο τύπος και για c θα έχουμε u(z ) 1 cu(z ) 1 u(z + re iθ )dθ cu(z + re iθ )dθ δηλαδή η συνάρτηση cu(z) είναι υφαρμονική. Η συνάρτηση w(z) = max(u(z), v(z)) είναι υφαρμονική. Εστω z και υποθέτουμε ότι η σχέση (2.1) ισχύει για u(z ) και v(z ). Τότε αφού u(z) w(z) και v(z) w(z) και οι δύο συναρτήσεις, οι u(z ) και v(z ) είναι φραγμένες από την σχέση 1 w(z + re iθ )dθ. Άρα και το max(u(z), v(z)) θα είναι φραγμένο από την παραπάνω σχέση, δηλαδή ισχύει το ζητούμενο.

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΥΦΑΡΜΟΝΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ 2.3 Αρχή του Μεγίστου Στην ενότητα αυτή θα παραθέσουμε την Αυστηρή Αρχή του Μεγίστου και την Αρχή του Μεγίστου για υφαρμονικές συναρτήσεις. Ακολουθούμε το βιβλίο [2, σελ. 395]. Θεώρημα 2.3.1 (Αυστηρή Αρχή του Μεγίστου) Εστω u(z) υφαρμονική συνάρτηση σε τόπο. Αν η u(z) λαμβάνει την μέγιστη και την ε- λάχιστη τιμή της σε κάποιο εσωτερικό σημείο του τόπου, τότε η u(z) είναι σταθερή. Εστω M το σημείο στο οποίο η u(z) λαμβάνει την μέγιστη τιμή της. Θα δείξουμε πρώτα ότι το σύνολο των σημείων όπου η u(z) λαμβάνει την μέγιστη τιμή της είναι ανοικτό. Υποθέτουμε ότι u(z 1 ) = M, για z 1, και αφού η u(z) είναι υφαρμονική ισχύει η σχέση 1 [u(z 1 ) u(z 1 + re iθ )]dθ. Αφού η ποσότητα μέσα στο ολοκλήρωμα είναι και συνεχής, προκύπτει ότι η ολοκληρωταία ποσότητα είναι. Άρα u(z 1 ) = u(z 1 + r iθ ) = M, για θ και το σύνολο {u(z 1 ) = M} περιέχει δίσκο κέντρου καθένα από αυτά τα σημεία και άρα είναι ανοικτό. Αφου η u(z) είναι συνεχής ισχύει ότι το σύνολο {u(z) < M} είναι επίσης ανοικτό. Επειδή το είναι συνεκτικό, το σύνολο {u(z) = M} μπορεί να είναι το κενό ή όλο το. Θεώρημα 2.3.2 Εστω φραγμένος τόπος και έστω u(z) να είναι υφαρμονική συνάρτηση στο. Αν lim sup u(z) καθώς z, τότε u(z) για όλα τα z. Το θεώρημα αυτό προκύπτει από την Αυστηρή Αρχή του Μεγίστου. Η συνθήκη lim sup δηλώνει ότι η υφαρμονική συνάρτηση w(z) = max(u(z), ) τείνει στο καθώς το z τείνει στο. Εστω ότι η w(z) είναι στο. Τότε η w(z) είναι συνεχής στο συμπαγές, οπότε λαμβάνει την μέγιστη τιμή της σε κάποιο z. Αν w(z ) > τότε z. Από Αυστηρή Αρχή του Μεγίστου προκύπτει ότι w(z) w(z ) είναι σταθερή, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση που κάναμε. Άρα η μέγιστη τιμή της w(z) είναι, οπότε u(z) στο. Άμεσο πόρισμα του προηγούμενου θεωρήματος είναι το παρακάτω:

2.3. ΑΡΧ Η ΤΟΥ ΜΕΓ ΙΣΤΟΥ 37 Πόρισμα 2.3.3 Εστω φραγμένος τόπος και u(z) υφαρμονική συνάρτηση στο. Εστω v(z) συνεχής πεπερασμένη πραγματική συνάρτηση στο και αρμονική στο. Τότε αν lim sup u(z) v(ζ), καθώς z ζ, όπου ζ, ισχύει ότι u(z) v(z), για όλα τα z.

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΥΦΑΡΜΟΝΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ

Κεφάλαιο 3 Η Συνάρτηση του Green 3.1 Ορισμός και Ιδιότητες Θα βασιστούμε στον ορισμό που δίνεται στο βιβλίο [5, σελ. 11]. Εστω ένας τμηματικά ομαλά φραγμένος τόπος και Γ το σύνορό του. Εστω επίσης η συνάρτηση w = w(x, y) αρμονική στο με συνεχείς πρώτες παραγώγους στο Γ. Αν r = (x ξ) 2 + (y η) 2 δίνει την απόσταση του σημείου z = (x, y) από το σημείο ζ = (ξ, η), τότε η συνάρτηση log r είναι αρμονική στο Γ, εκτός από το σημείο (ξ, η). Ορισμός 3.1.1 Η συνάρτηση του Green g(z, ζ) στον τόπο σε σχέση με το σημείο ζ = (ξ, η) στο είναι της μορφής (3.1) g(z, ζ) = log r + g 1 (z, ζ), όπου r = (x ξ) 2 + (y η) 2 και g 1 (z, ζ) είναι αρμονική στο. Η g(z, ζ) είναι επίσης αρμονική στο εκτός από το σημείο (ξ, η). Αν το σημείο (x, y) τείνει σε οποιοδήποτε σημείο του συνόρου του, τότε η g τείνει στο μηδέν. Ιδιότητες της συνάρτησης Green είναι οι εξής: 1. Η g(z, ζ) είναι θετική στο. Παρατηρώντας την σχέση (3.1) βλέπουμε ότι κοντά στο σημείο ζ, η g 1 (z, ζ) είναι φραγμένη ενώ η log r παίρνει αυθαίρετα μεγάλες θετικές τιμές. Αν θεωρήσουμε ε > αρκετά μικρό, τότε η g(z, ζ) θα είναι θετική στην περιφέρεια C ε κέντρου ζ και ακτίνας ε. Θεωρούμε τώρα τις 39

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Η ΣΥΝ ΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ GREEN τιμές της g(z, ζ) στον τόπο ε να λαμβάνονται από το διαγράφοντας από αυτόν κύκλο κέντρου ζ και ακτίνας ε. Η g(z, ζ) είναι αρμονική στο ε. Το σύνορο του ε αποτελείται από το σύνορο Γ του και την περιφέρεια C ε. Από αρχή του μεγίστου προκύπτει ότι η g(z, ζ) δεν μπορεί να πάρει την ελάχιστη τιμή της στο εσωτερικό του τόπου ε. Ετσι η g(z, ζ) είναι θετική στο ε και αφού το ε μπορεί να πάρει αυθαίρετα μικρή τιμή, ισχύει το ζητούμενο. 2. Η συνάρτηση του Green g(z, ζ) στον τόπο είναι συμμετρική σε σχέση με τα δύο σημεία z και ζ, δηλαδή ισχύει η σχέση g(z, ζ) = g(ζ, z). Θα βασιστούμε στο βιβλίο [5, σελ. 14]. Εστω ζ και t δύο δημεία του. Οι συναρτήσεις του Green g(z, ζ) και g(z, t) είναι αρμονικές στο εκτός από τα σημεία ζ και t αντίστοιχα. Αν διαγράψουμε από το δύο μικρούς κύκλους C ε (ζ) και C ε (t) ακτίνας ε και κέντρων ζ και t αντίστοιχα, και οι δύο συναρτήσεις θα είναι αρμονικές στον τόπο ε. Αν Γ ε είναι το σύνορο του ε που αποτελείται από το σύνορο Γ του και από τους δύο κύκλους C ε (ζ) και C ε (t), τότε από τον δεύτερο τύπο του Green προκύπτει ότι Γ ε g(z, t) g(z,ζ) g(z, t) n g(z, ζ) ds =. n Στο παραπάνω ολοκλήρωμα, το σύνορο Γ διαγράφεται με θετική φορά ενώ οι περιφέρειες C ε (ζ) και C ε (t) με αρνητική φορά. Το ολοκλήρωμα που διαγράφεται γύρω από το Γ είναι διότι οι δύο συναρτήσεις g(z, ζ) και g(z, t) είναι εκεί. Αν g(z, ζ) = g 1 και g(z, t) = g 2 θα έχουμε C ε(ζ) ( g 1 g 2 n g 2 g 1 n ) ds + C ε(t) ( g 1 g 2 n g 2 g 1 n ) ds =. Η συνάρτηση g 1 έχει λογαριθμική ανωμαλία στο ζ ενώ η g 2 είναι αρμονική στο εσωτερικό του C ε (ζ). Από τον τρίτο τύπο του Green έχουμε ότι g 2 (ζ) = 1 ( ) g 2 g 1 n g g 1 2 ds n C ε(ζ)

3.1. ΟΡΙΣΜ ΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣ 41 και προκύπτει ότι το ολοκλήρωμα ισούται με g 2 (ζ). Ομοια το ολοκλήρωμα γύρω από την περιφέρεια C ε (t) ισούται με g 1 (t) και το αρνητικό πρόσιμο οφείλεται στο γεγονός ότι οι δύο συναρτήσεις g 1 και g 2 εμφανίζονται στην ίδια σειρά στα δύο ολοκληρώματα παρόλο που οι ρόλοι των ζ και t εναλλάσσονται. Άρα g(z, ζ) = g(ζ, z). 3. Η g(z, ζ) είναι αρμονική στο {ζ}, όπου ζ είναι ο πόλος. 4. Η g(z, ζ) log 1 z ζ είναι αρμονική στο ζ. 5. g(z, ζ) καθώς z. Για την επόμενη ιδιότητα θα χρειαστούμε την Αρχή Αντανάκλασης του Schwarz για αρμονικές συναρτήσεις. 6. Από το γεγονός ότι η συνάρτηση του Green g(z, ζ) = g ενός τμηματικά ομαλού φραγμένου τόπου, είναι θετική στο ενώ μηδενίζεται στο, ισχύει ότι g n, z με εξαίρεση τις πιθανές γωνίες του, όπου η g n δεν ορίζεται. Ισχύει ότι η συνάρτηση του Green g(z, ζ) > στο και g(z, ζ) = στο Γ, όπου φραγμένος τόπος και Γ τμηματικά ομαλή καμπύλη. Από Αρχή Αντανάκλασης του Schwarz η g αντανακλάται αρμονικά ως προς την αναλυτική φραγμένη καμπύλη Γ και έτσι έχουμε ότι g < από την άλλη πλευρά της Γ που είναι εξωτερικά του. Ετσι g n στο Γ όπου n είναι το μοναδιαίο καθετικό διάνυσμα με φορά προς το εξωτερικό του. Επειδή Γ είναι τμηματικά ομαλή, στις πιθανές γωνίες, δηλαδή στα σημεία του Γ που δεν ορίζεται η παράγωγος g n, δεν ισχύει η παραπάνω ανισότητα. 7. Εστω τόπος που περιέχεται σ έναν άλλο τόπο και έστω g (z, ζ) και g(z, ζ) οι συναρτήσεις του Green για τους τόπους και αντίστοιχα. Αν z και ζ είναι σημεία του, τότε ισχύει η ανισότητα g (z, ζ) g(z, ζ).

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Η ΣΥΝ ΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ GREEN Εστω (3.2) g (z, ζ) = log r + g 1 (z, ζ), η συνάρτηση του Green για τον τόπο με πόλο το σημείο ζ. Εστω επίσης (3.3) g(z, ζ) = log r + g 1 (z, ζ), η συνάρτηση του Green για τον τόπο με πόλο το σημείο ζ. Τα σημεία z και ζ ανήκουν στον τόπο και άρα είναι και σημεία του. r είναι η απόσταση μεταξύ των σημείων z και ζ. Οι συναρτήσεις g 1 (z, ζ) και g 1 (z, ζ) είναι αρμονικές στους τόπους και αντίστοιχα. Κοντά στο σημείο ζ η g 1 είναι φραγμένη καθώς η log r λαμβάνει αυθαίρετα μεγάλη θετική τιμή. Ομοια ισχύει και για την g 1. Άρα αφού, η g 1 (z, ζ) που ορίζεται στο μπορεί να πάρει πολύ μεγαλύτερη τιμή από την g 1 που ορίζεται στο. Άρα και g (z, ζ) g(z, ζ) με βάση το παραπάνω συμπέρασμα και τις σχέσεις (3.2) και (3.3). Καθώς το z τείνει στο, η g (z, ζ) γίνεται ενώ η g(z, ζ) παραμένει θετική αφού το z θεωρήται εσωτερικό σημείο του γιατί. Άρα και πάλι ισχύει το ζητούμενο. Παρατήρηση: Η συνάρτηση του Green με πόλο το ζ ορίζεται μοναδικά. Θεώρημα 3.1.2 Εστω φραγμένος τόπος με αναλυτικό σύνορο και έστω g(z, ζ) η συνάρτηση του Green με πόλο το ζ. Τότε ισχύει ο τύπος (3.4) u(ζ) = 1 u(z) g n ds, όπου u(z) είναι οποιαδήποτε αρμονική συνάρτηση στο, η οποία επεκτείνεται συνεχώς στο. Ο τύπος (1.26) για τις συναρτήσεις u(z) και g(z, ζ) με πόλο το ζ, γίνεται u(ζ) = 1 g udxdy 1 u(z) g n g u n ds, όπου u = αφού η u(z) είναι αρμονική στο και g = στο. Άρα ισχύει το ζητούμενο.

3.2. ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ 43 3.2 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα αναφέρουμε μερικά παραδείγματα συναρτήσεων του Green σε συγκεκριμένους τόπους. Παράδειγμα 3.2.1 Η συνάρτηση του Green για τον κύκλο C R κέντρου (, ) και ακτίνας R δίνεται από τον τύπο (3.5) g(z, ζ) = 1 2 log R2 2ρr cos(θ ϕ) + ρ 2 r 2 R 2 r 2 2ρr cos(θ ϕ) + ρ 2, αν r και θ είναι οι πολικές συντεταγμένες στο (x, y) επίπεδο και ρ,φ οι πολικές συντεταγμένες του σημείου ζ στο εσωτερικό του κύκλου C R, όπου ρ < R. Αν θέσουμε r 1 να είναι η απόσταση των σημείων z και ζ και r 2 να είναι η απόσταση μεταξύ των σημείων z και του αντίστρόφου του ζ, σε σχέση με την περιφέρεια C R, που έχει πολικές συντεταγμένες R2 ρ, φ, θα έχουμε από την στοιχειώδη τριγωνομετρία: r 1 = (x ξ) 2 + (y η) 2 r 1 2 Ομοια προκύπτει ότι = (x ξ) 2 + (y η) 2 = x 2 2xξ + ξ 2 + y 2 2yη + η 2 = r 2 cos 2 θ + ρ 2 cos 2 ϕ 2ρr cos θ cos ϕ + r 2 sin 2 θ + ρ 2 sin 2 ϕ 2ρr sin θ sin ϕ = r 2 + ρ 2 2ρr(cos θ cos ϕ + sin θ sin ϕ) = r 2 + ρ 2 2ρr cos(θ ϕ) r 2 2 = R4 ρ 2 r 2R2 ρ cos(θ ϕ) + r2 = R2 ρ 2 (R2 2ρr cos(θ ϕ) + ρ 2 r 2 R 2 ). Άρα g(z, ζ) = 1 2 log r 2 2 ρ 2 R 2 r 2 1 = log r 2 ρ R r 1 = log r 2 ρ R log r 1 (3.6) g(z, ζ) = log r 1 + log r 2 + log ρ R Οι συναρτήσεις log r 1 και log r 2 είναι αρμονικές άρα και η g(z, ζ) είναι αρμονική, σύμφωνα με την σχέση (3.6). Τα ανώμαλα σημεία της g(z, ζ) είναι αυτά από τα οποία οι αποστάσεις r 1 και r 2 έχουν μετρηθεί και έχουν πολικές