46 Κ Χριστοδολίδης: Μαθηµατικό Σµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φσικής 9 ιανύσµατα 9 Σµβολισµός Ως ανεξάρτητο το σστήµατος σντεταγµένων, ένα διάνσµα σµβολίζεται στο τπωµένο κείµενο µε έντονο σύµβολο: Α, i, L, ή βάζοντας ένα βέλος πάνω από το σύµβολο έντονο ή µη:, L,,, L, Στο χειρόγραφο, τα διανύσµατα ξεχωρίζονται βάζοντας ένα βέλος πάνω από το σύµβολο, L,, ή πογραµµίζοντάς το Α, L, Στις σηµειώσεις ατές, σχνά θα σµβολίζοµε ένα διάνσµα γράφοντας το µεν µε έντονο γράµµα, αλλά βάζοντας ένα βέλος πάνω από το σύµβολο, Το τελεταίο δεν είναι απαραίτητο, αλλά γίνεται για να σνηθίσει ο σποδαστής πο έρχεται σε επαφή µε διανύσµατα για πρώτη φορά να βάζει το βέλος πάνω από το σύµβολο το διανύσµατος στο χειρόγραφο Τα µοναδιαία διανύσµατα σµβολίζονται µερικές φορές µε ένα «καπέλο»:,, i e Οι Στο τρισορθογώνιο Καρτεσιανό σύστηµα σντεταγµένων, στο οποίο τα µοναδιαία διανύσµατα πο είναι παράλληλα στος άξονες,,, σµβολίζονται, αντίστοιχα, µε i, j, k, ή,,, ένα διάνσµα σµβολίζεται µε έναν από τος ακόλοθος τρόπος: i j k ή 9 Πχ, το διάνσµα θέσης το σηµείο,, είναι: i j k ή 9,,,,, είναι οι σνιστώσες των δύο διανσµάτων, αντίστοιχα Ένας άλλος σµβολισµός είναι:,,,,, 9 Το µέτρο ενός διανύσµατος Το µήκος ή µέτρο ενός διανύσµατος i j k στο Καρτεσιανό σύστηµα σντεταγµένων ισούται µε σµβολίζεται µε 9 Το µέτρο ενός διανύσµατος γράφεται ως Προφανώς 9 Μοναδιαία διανύσµατα Το µοναδιαίο διάνσµα στην κατεύθνση το είναι το
Κ Χριστοδολίδης: Μαθηµατικό Σµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φσικής 47 94 Προφανώς είναι 95 96 94 Πρόσθεση διανσµάτων Αν είναι δύο διανύσµατα, το άθροισµά τος ορίζεται ως το διάνσµα: 97 Επειδή, εξ ορισµού,, η διαφορά δύο διανσµάτων είναι: 98 Για την πρόσθεση των διανσµάτων ισχύον οι ακόλοθοι κανόνες βαθµωτό: 99 Γεωµετρικά, η πρόσθεση δύο διανσµάτων,, γίνεται σύµφωνα µε τον γνωστό κανόνα το παραλληλογράµµο 95 Γινόµενα διανσµάτων 95 Εσωτερικό ή βαθµωτό γινόµενο Αν είναι δύο διανύσµατα θ η µεταξύ τος γωνία όταν ατά σχεδιαστούν µε κοινή αρχή, το βαθµωτό ή εσωτερικό τος γινόµενο σµβολίζεται µε ορίζεται ως το βαθµωτό µέγεθος cosθ 9 Γεωµετρικά, ατό ισούται µε το γινόµενο το µέτρο Α το επί το προσεσηµασµένο µήκος θ cos της προβολής το στην κατεύθνση το Οµοίως µε ανταλλαγή των Α Β Για το εσωτερικό γινόµενο διανσµάτων ισχύον οι ακόλοθοι κανόνες βαθµωτό: 9 Για κάθε µοναδιαίο διάνσµα, 9 Έτσι,,, 9 Επίσης,,, 94 λόγω καθετότητας Κάνοντας χρήση ατών των σχέσεων, βρίσκοµε ότι για τα δύο διανύσµατα είναι: 95
48 Κ Χριστοδολίδης: Μαθηµατικό Σµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φσικής Ειδικά, 96 Από τον ορισµό το εσωτερικού γινοµένο, η γωνία θ µεταξύ δύο διανσµάτων δίνεται από τη σχέση: cos θ θ < π 97 Αν είναι, κανένα από τα δεν είναι µηδενικό διάνσµα, τότε τα δύο διανύσµατα είναι κάθετα µεταξύ τος 95 Εξωτερικό ή διανσµατικό γινόµενο Αν είναι δύο διανύσµατα θ η µεταξύ τος γωνία, τέτοια ώστε θ < π, το διανσµατικό ή εξωτερικό τος γινόµενο σµβολίζεται µ ε ορίζεται ως το διανσµατικό µέγεθος sinθ u, 98 όπο το µοναδιαίο διάνσµα û είναι κάθετο στα έχει κατεύθνση ατήν προς την οποία κινείται µια δεξιόστροφη βίδα πο περιστρέφεται κατά την ίδια φορά πο θα πρέπει να περιστραφεί το πρώτο διάνσµα,, για να σµπέσει µε το δεύτερο,, ακολοθώντας τη µικρότερη γωνία Η σειρά µε την οποία γράφονται τα διανύσµατα είναι εποµένως καθοριστική για την κατεύθνση το διανύσµατος Τα διανύσµατα, û µε ατήν τη σειρά λέγεται ότι αποτελούν ένα δεξιόστροφο σύστηµα Ατό σηµαίνει ότι το έχει την κατεύθνση το û, το u έχει την κατεύθνση το το u έχει την κατεύθνση το Για το εξωτερικό γινόµενο διανσµάτων ισχύον οι ακόλοθοι κανόνες βαθµωτό: 99 Για κάθε διάνσµα, 9 Έτσι,,, 9 Επίσης,,,,,, 9 Μνηµονικός κανόνας: Σε ένα εξωτερικό γινόµενο δύο διαφορετικών µοναδιαίων διανσµάτων, της µορφής, το πρόσηµο το αποτελέσµατος είναι θετικό αν η σειρά των διανσµάτων είναι ατή πο εµφανίζεται στη διάταξη ιαφορετικά είναι αρνητικό Κάνοντας χρήση ατών των σχέσεων, βρίσκοµε ότι για τα δύο διανύσµατα είναι: 9
Κ Χριστοδολίδης: Μαθηµατικό Σµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φσικής 49 Σνοπτικά, 94 Η απόλτη τιµή θ sin το εξωτερικού γινοµένο είναι ίση µε το εµβαδόν το παραλληλογράµµο πο σχηµατίζον τα Το µοναδιαίο διάνσµα καθορίζει τον προσανατολισµό της επιφάνειας û S Αν είναι, κανένα από τα δεν είναι µηδενικό διάνσµα, τότε τα δύο διανύσµατα είναι παράλληλα Παράδειγµα Αν, να βρεθεί το 5 7 Παράδειγµα Να βρεθεί η ροπή της δύναµης ως προς το σηµείο,,, N Επειδή, είναι N Παράδειγµα Να βρεθεί η µαγνητική δύναµη πο ασκείται πάνω σε ένα φορτίο πο κινείται µε ταχύτητα v µέσα στο µαγνητικό πεδίο Η µαγνητική δύναµη Loent είναι: v 95 Τριπλά γινόµενα Από τα δνατά τριπλά γινόµενα διανσµάτων, ατά πο έχον νόηµα είναι τα εξής: Το είναι απλώς το γινόµενο το διανύσµατος επί το βαθµωτό µέγεθος Το βαθµωτό τριπλό ή βαθµωτό µικτό γινόµενο µπορεί να γραφτεί χωρίς τις παρενθέσεις αφού το γινόµενο δεν έχει νόηµα Αποδεικνύεται ότι είναι
5 Κ Χριστοδολίδης: Μαθηµατικό Σµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φσικής 95 το µ έτρο το,, ισούται µε τον όγκο το παραλληλεπιπέδο πο σχηµατίζον τα διανύσ µατα,, εκπεφρασµένο στις κατάλληλες µονάδες Τέλος, 96 είναι το διανσµατικό τριπλό ή διανσµατικό µικτό γινόµενο των, Παράδειγµα 4 Αν,, να βρεθεί το 7 Παράδειγµα 5 Να βρεθεί ο όγκος το παραλληλεπιπέδο πο καθορίζεται από τα τρία διανύσµατα θέσης, Ο όγκος είναι V, δηλαδή είναι ίσος µε την απόλτη τιµή το Προβλήµατα Να δειχθεί ότι η ροπή δύο ίσων αντίθετων δνάµεων πο ασκούνται στα σηµεία αντίστοιχα ζεύγος δνάµεων, είναι ανεξάρτητη το σηµείο ως προς το οποίο πολογίζεται Η ροπή µιας δύναµης ως προς το σηµείο Ο είναι N, όπο είναι το διάν σ µα από το Ο στο σηµείο στο οποίο ασκείται η δύναµη Ποια είναι η σνθήκη για να είναι τα διανύσµατα, σνε πίπεδα; Χρησιµοποιήστε τις ιδιότητες των οριζοσών για να δείξετε ότι 4 Να αποδειχθεί ότι: Βιβλιογραφία Ι S Sokolnikoff R M Redheffe, Μαθηµατικά για Φσικούς Μηχανικούς Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, Κεφ 4 M R Spiegel, Ανώτερα Μαθηµατικά Εκδόσεις ΕΣΠΙ, Αθήνα, 98 Κεφ 7 M R Spiegel, Theo and Pobles of Vecto nalsis Schau Publishing o 959 κε