Ανδρέας Γεωργόπουλος Καθηγητής Ε.Μ.Π.

Ανδρέας Γεωργόπουλος Καθηγητής Ε.Μ.Π. dag@cental.ntua.g

Άδεια χρήσης Το παρόν υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Commons και δημιουργήθηκε στο πλαίσιο των Ανοιχτών Ακαδημαϊκών Μαθημάτων από την Μονάδα Υλοποίησης του ΕΜΠ. Για το υλικό που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

Για να είναι δυνατή η επεξεργασία στα φωτογραμμετρικά όργανα χρειάζεται κάποιο στάδιο προετοιμασίας του ζεύγους των εικόνων. Η προετοιμασία αυτή αφορά: A. Στη δημιουργία του στερεοσκοπικού μοντέλου B. Στη συσχέτισή του με το γεωδαιτικό σύστημα Επισημαίνεται ότι δεν αρκούν οι δύο ανεξάρτητοι εξωτερικοί προσανατολισμοί, γιατί δεν συσχετίζουναπαραίτητα τις δύο εικόνες μεταξύ τους. 3

Η δημιουργία του στερεοσκοπικού μοντέλου περιλαμβάνει:. Τη διασφάλιση της συνεχούς στερεοσκοπικής όρασης. Την ορθή ανάπλαση του σχήματος του αντικειμένου Η διαδικασία αυτή ονομάζεται Σχετικός Προσανατολισμός Η συσχέτισή του με το γεωδαιτικό σύστημα περιλαμβάνει:. Τον προσδιορισμό της κατάλληλης κλίμακας μεγέθους. Τον προσδιορισμό της θέσης του αντικειμένου Η διαδικασία αυτή ονομάζεται Απόλυτος Προσανατολισμός 4

Το στερεοσκοπικό μοντέλο είναι... Η υπό κλίμακα τρισδιάστατη απεικόνιση ή αναπαράστασηή ανακατασκευή του προς μέτρηση αντικειμένου, που προκύπτει από την κατάλληλη παρατήρηση δύο (τουλάχιστον) επικαλυπτόμενων εικόνων (στερεοζεύγος) του. Για να δημιουργηθεί το στερεοσκοπικό μοντέλο... Θα πρέπει οι δύο (προβολικές) δέσμες να βρεθούν σε ακριβώς ανάλογη θέση με αυτήν που είχαν κατά τη στιγμή της λήψης. Ο Ο Σχήμα. Δημιουργία στερεοσκοπικού μοντέλου B 5

Η δημιουργία του στερεοσκοπικού μοντέλου περιλαμβάνει:. Τη διασφάλιση της συνεχούς στερεοσκοπικής όρασης, που ισοδυναμεί με την εξάλειψη της -παράλλαξηςαπό όλα τα σημεία του επικαλυπτόμενου τμήματος των εικόνων. Την ανάπλαση του σχήματος του αντικειμένου, χωρίς παραμορφώσεις σε μήκη και γωνίες (εδώ παίζει ρόλο ο σωστός εσωτερικός προσανατολισμός) Η διαδικασία αυτή ονομάζεται Σχετικός Προσανατολισμός 6

Κατά τη στιγμή της λήψης όλα τα ζεύγη ομόλογων ακτίνων(δηλ. αυτών που προέρχονται από το ίδιο σημείο του αντικειμένου) τέμνονται. Η αλληλοτομίααυτή είναι ικανή (και αναγκαία) προϋπόθεση για να διασφαλιστεί η στερεοσκοπική παρατήρηση ή, ισοδύναμα, να δημιουργηθεί το στερεοσκοπικό μοντέλο. Γενικά στην αρχική θέση των δύο δεσμών οι ομόλογες ακτίνες δεν τέμνονται, είναι δηλαδή ασύμβατες στον τρισδιάστατο χώρο. Η αλληλοτομίατων άπειρων ζευγών ομόλογων ακτίνωντων δύο (προβολικών) δεσμών εξασφαλίζεται εφόσον τμηθούν πέντε (5) ομόλογα ζεύγη. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί τόσο με αναλυτικό γεωμετρικό τρόπο, όσο και με εμπειρικό τρόπο. 7

. Αναλυτικός Γεωμετρικός τρόπος Είναι γνωστό από τη θεωρία τη προβολικής γεωμετρίας, ότι η προβολικότηταμεταξύ δύο τρισδιάστατων χώρων (ΧΥΖ) και (z) δίνεται από τις σχέσεις: X Y Z α α α α α α 9 α 3 5 3 α α α α 3 6 0 α α z a 4 a α 4 a α 4 3 7 a 5 z z a 5 z z a 5 4 8 z Για τον προσδιορισμό των δεκαπέντε (5) αγνώστων παραμέτρων α i αρκεί η μέτρηση γνώση πέντε ζευγών σημείων, που το κάθε ένα δίνει τρεις εξισώσεις. 8

. Εμπειρικός τρόπος Οι δύο δέσμες έχουν δώδεκα () βαθμούς ελευθερίας: X' o Y' o Z' o ω' φ' κ' X'' o Y'' o Z'' o ω'' φ'' κ'' X' o Y' o Z' o ω' φ' κ' ΔX ΔY ΔZ o o o Δω Δφ Δκ Από αυτούς, οι έξι (6) της μιας δέσμης τοποθετούν το ζεύγος των δεσμών στο χώρο (θέση) και έτσι δεν συμβάλλουν στην αλληλοτομία(σχήμα) των ομόλογων ακτίνων!! Από τους υπόλοιπους έξι, σημαντικοί για την αλληλοτομίαείναι οι πέντε, γιατί ο έκτος (το ΔΧο) επιδρά μόνο στην κλίμακα (μέγεθος) του στερεοσκοπικού μοντέλου!! 9

Β Η μεταβολή της βάσης Β (ΔΧο) επιδρά μόνο στο μέγεθος του μοντέλου Έτσι τα απαραίτητα στοιχεία για την επίτευξη του Σχετικού Προσανατολισμουείναι πέντε (5): ΔΥο, ΔΖο, ω, φ, κ ή Σχήμα. Επίδραση στο μέγεθος του μοντέλου ω, φ, κ, φ, κ 0

Οι πέντε αυτές κινήσεις των δύο δεσμών επιτυγχάνουν την αλληλοτομία των ομόλογων ζευγών ακτίνωνή καταργούν την ασυμβατότητά τους Β Η ασυμβατότητα έχει δύο συνιστώσες. Μία κατά, την παράλλαξη (pπου σχετίζεται με τα υψόμετρα!) και μία κατά την παράλλαξη (p). Η εξάλειψη της -παράλλαξης εξασφαλίζει την αλληλοτομία των ομόλογων ακτίνων p p p ΔΖ Σχήμα 3. Αλληλοτομίαομόλογων ακτίνων

Εικόνα. Το φαινόμενο της «εναπομένουσας παράλλαξης»

Η αναλυτική επίλυση για τα στοιχεία του Σχετικού Προσανατολισμού επιτυγχάνεται () με τη χρήση της εξίσωσης της παράλλαξης ή () με την χρήση της εξίσωσης συνεπιπεδότητας ως εξίσωσης παρατήρησης (!!) Εφόσον έχουν μετρηθεί παραπάνω από πέντε σημεία απαιτείται η εφαρμογή της Μ.Ε.Τ. με τη βοήθεια διαδοχικών προσεγγίσεων. Το σύστημα μπορεί να επιλυθεί... (α) για διαφορικές κινήσεις μόνο της μιας δέσμης (db, dbz, dω, dφ, dκ ), οπότε έχουμε εξαρτημένο Σχετικό Προσανατολισμό (β) για διαφορικές κινήσεις των δύο δεσμών (dκ, dκ, dφ, dφ, dω ), οπότε έχουμε ανεξάρτητο Σχετικό Προσανατολισμό. 3

Β d b Τα πέντε στοιχεία του σχετικού προσανατολισμού προσδιορίζονται όταν εξασφαλιστεί η αλληλοτομία πέντε τουλάχιστον ζευγών ομόλογων ακτίνων. Καλό θα είναι τα πέντε αυτά ζεύγη (σημεία) να βρίσκονται σε περιφερειακές θέσειςστο επικαλυπτόμενο. Σχήμα 4. Σημεία Gube Συνήθως τα σημεία αυτά επιλέγονται στις βασικές θέσεις (περιοχές) του επικαλυπτομένου, δηλ. στα κέντρα των δύο Α/Φ και σε αποστάσεις d περίπου όσο η βάση b. Τα σημεία αυτά λέγονται σημεία Gube 4

Σχετικός Προσανατολισμός (/9) Χρησιμοποιούνται δύο τέτοιες μαθηματικές σχέσεις:. Η εξίσωση παράλλαξης (p 0) P f(db dφ, dbz, dκ,, i i i i dω) i. Η εξίσωση συνεπιπεδότητας ( ) b c 0 (ΟΑ Β) Ο Α 0 α 5

Η εξίσωση της -παράλλαξης: P (db X M dκ db) (X M Y Z M M b)dκ (dbz XMY Z M dbz) M dφ (XM b)y dφ Z M Z ( M Y X M M )(dω... συνδέει τις διαφορικές μετακινήσεις των δύο δεσμών (απαραίτητες για να επιτευχθεί η αλληλοτομίατων ομόλογων ακτίνων, δηλαδή ο Σχετικός Προσανατολισμός) με συντεταγμένες είτε σε αυθαίρετο σύστημα αναφοράς του μοντέλου (βλ. παραπάνω) είτε ακόμα και με εικονοσυντεταγμένες. dω) Οι συντεταγμένες μοντέλου προκύπτουν από τις εικονοσυντεταγμένεςμε εφαρμογή της συνθήκης συγγραμμικότηταςγια διαφορικές στροφές και μοναδιαία βάση (Β). 6

Η επίτευξη της αλληλοτομίαςτων ομόλογων ακτίνωναναγκάζει τα διανύσματα Ο Ρ, Ο Ρ και Β να είναι συνεπίπεδα Αφού η διαδικασία είναι ανεξάρτητη κλίμακας (b αυθαίρετο), εισάγεται η έννοια του συστήματος αναφοράς μοντέλου (Χ Μ, Υ Μ, Ζ Μ ) Ζ Μ Έτσι αναζητούμε μια μαθηματική σχέση που θα συνδέσει τη συνθήκη αλληλοτομίαςμε τις διαφορικές σχετικές κινήσεις των δύο δεσμών (dω, dφ, dκ, db, dbz) Ο Ο Υ Μ Β b b Ρ Χ Μ bz Σχήμα 5α. Συνθήκη Συνεπιπεδότητας 7

OM λ Σχετικός Προσανατολισμός (4/9) Η Συνθήκη Συνεπιπεδότητας: Για να τέμνονται οι ομόλογες ακτίνες θα πρέπει τα διανύσματα: a Om, B, a Om να είναι συνεπίπεδα. Δηλαδή να ισχύει: O M λ Om O m ( ) B a 0 a Η συνθήκη συγγραμμικότητας: εξακολουθεί να ισχύει. m Β O O M m Σχήμα 5β. Συνθήκη Συνεπιπεδότητας 8

O O O O O O z Z Z Y Y X X B B B B 0 0 T w v u c R a 0 0 T w v u c R a επειδή το μικτό γινόμενο είναι 0, ισχύει: 0 w v u w v u B B B D z Η σχέση αυτή περιλαμβάνει τα στοιχεία του εξωτερικού προσανατολισμού και των δύο δεσμών Για τον σχετικό προσανατολισμό είναι απαραίτητα μόνο 5 (από τα ) 9

z O O O O O O z b b b Z Z Y Y X X B B B B w v u c a c w v u c R a 33 3 3 3 3 T 0 w v u -c b b D z Εξαρτημένος ΣΠ κινείται μόνο η δεξιά (ή η αριστερή) δέσμη c w c v c u 33 3 3 3 3 0

D u b v b -c w z 0 b w b w cu b z b u z v cv 0 Εξίσωση συνεπιπεδότητας ως εξίσωση παρατήρησης: -b b ( z [ [ 3 ( ( 3 3 -c 3 33 ) c( -c 33 -c 3 ) c( )- ( -c Σε κάθε εξίσωση εμπλοκήτων 4 παρατηρούμενων μεγεθών,,, -c 3 )- -c 3 )] 3 )] 0

0 0 b,κ 0,φ (ω T w v u c R a ) ),κ,φ (ω T w v u c R a 0 w v w v 0 w v u w v u 0 0 D Ανεξάρτητος ΣΠ στρέφονται και η δεξιά και η αριστερή c w c v c u 33 i 3 i 3 i 3 i i i 3 i i i

f(b, b z, ω, φ, κ,,,, ) :μη γραμμική τόσο ως προς τις άγνωστες ποσότητες όσο και ως προς τα παρατηρούμενα μεγέθη Παρατήρηση είναι το σφάλμα κλεισίματος της συνθήκης: -D ο -v D ( D/ b )db ( D/ b z )db z ( D/ ω )dω ( D/ φ )dφ ( D/ κ )dκ 3

Εξίσωση συνεπιπεδότητας: εξίσωση παρατήρησης ανά σημείο 5 άγνωστοι Εξίσωση συγγραμμικότητας: 4 εξισώσεις παρατήρησης ανά σημείο (53m) άγνωστοι α -f α o ( f α / X μ)dx μ ( f α / Y μ)dy μ ( f α / Z μ)dz μ α -f α o ( f α / X μ)dx μ ( f α / Y μ)dy μ ( f α / Z μ)dz μ δ -f δ o ( f δ / ω σ )dω σ ( f δ / φ σ )dφ σ ( f δ / κ σ )dκ σ ( f δ / b )db ( f δ / b z )db z ( f δ / X μ )dx μ ( f δ / Y μ )dy μ ( f δ / Z μ )dz μ δ -f δ o ( f δ / ω σ )dω σ ( f δ / φ σ )dφ σ ( f δ / κ σ )dκ σ ( f δ / b )db ( f δ / b z )db z ( f δ / X μ )dx μ ( f δ / Y μ )dy μ ( f δ / Z μ )dz μ 4

Σε φωτογραμμετρικό σύστημα:. Ο σχετικός προσανατολισμός επιτυγχάνεται με την αλληλοτομίατων ομόλογων ακτίνων ή ισοδύναμα με την εξάλειψη της -παράλλαξης.. Στα ψηφιακά φωτογραμμετρικά συστήματα πραγματοποιείται με αναλυτικό τρόπο, αφού έχουν μετρηθεί (εμμέσως με την εξάλειψή τους) οι κατά παραλλάξεις (ή ισοδύναμα οι 4 εικονοσυντεταγμένες) σε πέντε τουλάχιστον σημεία του επικαλυπτομένου. 3. Μετά την επίτευξή του έχει (α) αποκατασταθεί το σχήματου αντικειμένου και (β) διασφαλιστεί η στερεοσκοπική αντίληψη. 5

Σε φωτογραμμετρικό σύστημα: 4. Και ο υπολογιστής είναι σε θέση να μετακινεί τις ψηφιακές εικόνες με τέτοιο τρόπο, ώστε στα μάτια του παρατηρητή να παρουσιάζονται οι δύο εικόνες χωρίς -παράλλαξη και έτσι να βλέπει στερεοσκοπικά. 5. Ο χειριστής καλείται απλώς να διορθώσει το υψόμετρο (παράλλαξη) της μάρκας για να ολοκληρωθεί η σκόπευση κάθε σημείου. 6

Δυστυχώς όμως, πολύ συχνά διαπιστώνουμε ότι η -παράλλαξη δεν έχει μηδενιστεί σε όλο το μοντέλο. Έτσι έχουμε το φαινόμενο της εναπομένουσας παράλλαξης p Σχήμα 6. «Εναπομένουσα παράλλαξη» Το μέγεθος της εναπομένουσας παράλλαξηςκατά δίνεται συχνά σε σχέση με το μέγεθος της σκοπευτικής μάρκας (που συνήθως είναι 0 40 μm), αλλά και σε piel πλέον στα ψηφιακά συστήματα. Για άνετη στερεοσκοπική παρατήρηση και απόδοση η εναπομένουσαπαράλλαξη πρέπει ιδανικά να είναι μικρότερη από το ¼ της μάρκας. 7

Η εναπομένουσα παράλλαξη στο μοντέλο μπορεί να οφείλεται, μεταξύ άλλων, σε: (α) ατελή ανάπλαση των δεσμών (εσωτερικός προσανατολισμός) (β) μη επιπεδότητα της φωτοευαίσθητης επιφάνειας (φιλμ ή CCD) (γ) δυσμενή, δηλαδή μικρό, λόγο Β/Η Οι ενέργειες εξάλειψης, ή μείωσης, του φαινομένου συνήθως είναι: Η αύξηση του αριθμού των παρατηρήσεων της p στις προβληματικές περιοχές του μοντέλου Η επανάληψη διόρθωση του εσωτερικού προσανατολισμού 8

Ένα ακόμα, τέλος, πρόβλημα που παρουσιάζεται στη διαδικασία του σχετικού προσανατολισμού είναι τα αναπόφευκτα σφάλματα στις σκοπεύσειςτων σημείων και στους υπολογισμούς των στοιχείων του. Αυτά έχουν ως αποτέλεσμα εναπομένουσες παραλλάξεις κατά, αλλά και κατά. Ενώ όπως είδαμε η κατά παράλλαξη μπορεί να μοιραστεί και να μειωθεί, η κατά παράλλαξη παραμένει και εκδηλώνεται (ως τι άλλο;) ως υψομετρική διαφορά ΔΗ. 9

dκ Κεκλιμένη επιφάνεια dφ dφ Παραβολικός κύλινδρος dω dω dκ dbz dbz Εικόνα. Απόλυτος προσανατολισμός Υπερβολικό παραβολοειδές Κεκλιμένη επιφάνεια 30

Απόλυτος Προσανατολισμός (/) Z (X o Y o Z o ) Y z K F Β W Φωτοσταθερά Σχήμα 7. Απόλυτος προσανατολισμός X X Y m* Z R * ΩΦΚ z M M M X Y Z Ουσιαστικά πρόκειται για τον μετασχηματισμό από ένα τρισδιάστατο σύστημα (του μοντέλου) σε ένα άλλο (στο γεωδαιτικό). Οι επτά παράμετροι είναι οι τρεις μετατοπίσεις (Χο, Υο, Ζο), οι τρεις στροφές (Ω, Φ, Κ) και η κλίμακα m. 3 o o o

Απόλυτος Προσανατολισμός (/) X Y m* Z R * ΩΦΚ z M M M X Y Z Η αναλυτική σχέση του Απόλυτου Προσανατολισμού έχει κάποιες ιδιαιτερότητες συγκρινόμενη με τη Συνθήκη Συγγραμμικότητας. -Αφορά σε τρισδιάστατο σύστημα και όχι σε ένα σημείο -Η κλίμακα είναι γενικήκαι ενιαία και όχι σημειακή Κατά συνέπεια δεν απαιτείται η εξάλειψη του συντελεστή mκαι για κάθε φωτοσταθερό σημείο η σχέση δίνει τρειςεξισώσεις παρατήρησης. Απαιτείται όμως πάλι γραμμικοποίηση για τους αγνώστους και η λύση της συνόρθωσης είναι προσεγγιστική 3 o o o

ΦωτογραμμετρικοίΠροσανατολισμοί (/). Εσωτερικός Προσανατολισμός Ανάπλαση δέσμης ακτίνων Απαιτούνται στοιχεία της γεωμετρίας της μηχανής Όλες οι μετρήσεις πραγματοποιούνται στην εικόνα. Εξωτερικός Προσανατολισμός εναλλακτικά... Προβολικός μετασχηματισμός Απαιτούνται γνωστά φωτοσταθερά Υπολογισμοί στο 3D χώρο Χρήση Συνθήκης Συγγραμμικότητας 33

ΦωτογραμμετρικοίΠροσανατολισμοί εναλλακτικά...(συνέχεια) (/) α. Σχετικός Προσανατολισμός β. Απόλυτος Προσανατολισμός Δημιουργία στερεομοντέλου Δεν απαιτούνται γνωστά φωτοσταθερά Υπολογισμοί στο 3D χώρο Χρήση εξίσωσης παράλλαξης(από ΣΣ) ή συνθήκης συνεπιπεδότητας Προσανατολισμός στερεομοντέλου Απαιτούνται γνωστά φωτοσταθερά Υπολογισμοί στο 3D χώρο Χρήση εξίσωσης 3Dμετασχηματισμού ομοιότητας 34

Παράρτημα Εικόνα. Το φαινόμενο της «εναπομένουσας παράλλαξης»: Πηγή αεροφωτογραφιών: http://noobeed.com/nb_e_ph_oient.htm -BY:CC Εικόνα. Απόλυτος προσανατολισμός : «Υλικό με μη προσδιορισμένη προέλευση. Σε περίπτωση που είστε ο κάτοχος του κύριου δικαιώματος επικοινωνήστε μαζί μας.» 35

Χρηματοδότηση Το παρόν υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του επιχειρησιακού προγράμματος «Εκπαίδευσης και δια βίου μάθησης» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκό Κοινοτικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους.