Εύρεση της n-οστής δύναμης ενός πίνακα εφαρμόζοντας το θεώρημα των Cayley-Hamilton

Εύρεση της n-οστής δύναμης ενός πίνακα εφαρμόζοντας το θεώρημα των Cayley-Hamilton Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Εστωέναπολυώνυμο p(k)βαθμούμεγαλύτερουήίσουτου nκαιέστωο πίνακαςa n n.ανθέλουμεναυπολογίσουμετοp(a)τότεδιαιρούμετοp(k)μετο χαρακτηριστικόπολυώνυμο δ A (k)του Aκαιβλέπουμεότι p(a) = δ A (A)π(A)+ v(a) = v(a)όπου v(k)είναιτουπόλοιποτηςδιαίρεσηςδιότι δ A (A) = 0. Συνεπώς το θεώρημα Cayley - Hamilton μπορεί να χρησιμοποιηθεί στον υπολογισμότης n-οστήςδύναμηςενόςπίνακα. Εστωέναςπίνακας A m m καιέστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την n-οστή του δύναμη. Διαιρούμε(θεωρητικά) το k n μετοχαρακτηριστικόπολυώνυμοκαιέχουμεk n = δ A (k)π(k)+v(k)όπουv(k) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης και προφανώς είναι βαθμού μικρότερου ή ίσου του m. Αυτό που πρέπει να υπολογίσουμε είναι οι συντελεστές του πολυωνύμου v(k)οιοποίοιείναιτοπολύm.σεαυτόθαμαςβοηθήσουνοιιδιοτιμέςτουπίνακα Aδιότιθαικανοποιούντηνεξίσωση k n i = δ A (k i )π(k i )+v(k i ) = v(k i )λόγωτου ότι είναι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Στην περίπτωση που κάποια ιδιοτιμή είναι πολλαπλότητας δυο ή παραπάνω τότε φτιάχνουμε τις επιπλέον εξισώσειςπουχρειαζόμαστεπαραγωγίζονταςτηνεξίσωση k n = δ A (k)π(k)+v(k) ως προς k και έπειτα αντικαθιστούμε την ιδιοτιμή. Δηλαδή, αν μια ιδιοτιμή είναι πολλαπλότητας l τότε θα κατασκευάσουμε μια εξίσωση αντικαθιστώντας την ιδιοτιμήστηνισότητα k n = δ A (k)π(k)+v(k)καιάλλες l εξισώσειςπαραγωγίζονταςτηνισότητααυτή l φορέςκαιαντικαθιστώνταςκάθεφοράτηνιδιοτιμή αυτή. Ετσι, κάθε ιδιοτιμή πολλαπλότητας l θα προσφέρει l διαφορετικές εξισώσεις. Επομένως, αν το πολυώνυμο v(k) είναι m βαθμού τότε χρειαζόμαστε mεξισώσειςενώοιρίζεςτουχαρακτηριστικούπολυωνύμου,έστωοι z,,z t πολλαπλότητας l,,l t αντίστοιχα,θαείναιτέτοιεςώστε l + +l t = m. Στην περίπτωση όπου έχουμε μιγαδικές ρίζες τις φέρνουμε στην πολική μορφή τους,δηλαδήαν z = x+iyείναιμιαρίζατουχαρακτηριστικούπολυωνύμουτην γράφουμεστηνμορφήz = r(cosθ+isinθ)όπουr = x 2 +y 2 καιθ = arctan y x. Αν z είναι μια μιγαδική ρίζα τότε επίσης ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου θα είναι και η συζυγής της. Είναι ιδιαίτερα βολικό το σύστημα εξισώσεων που θα προκύψει να μην περιέχει μιγαδικούς αριθμούς. Αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει μιγαδικές ρίζες τότε το αντίστοιχο σύστημα εξισώσεων για τον

2 υπολογισμό του v(k) θα περιέχει εξισώσεις με μιγαδικούς αριθμούς οι οποίες μάλισταθαείναιανάζεύγη. Θαυπάρχειδηλαδήμιαεξίσωσημεδεξίμέλοςτον μιγαδικόαριθμό z n καιάλλημιαμεδεξίμέλοςτοναριθμό z n.σεαυτέςτιςπεριπτώσεις αντικαθιστούμε τις δυο αυτές εξισώσεις με την εξίσωση που προκύπτει αν προσθέσουμε τις εξισώσεις κατά μέλη και με την εξίσωση που θα προκύψει αν αφαιρέσουμε τις εξισώσεις κατά μέλη. Αφούυπολογίσουμετοπολυώνυμοv(k),τότεαπότηνσχέσηk n = δ A (k)π(k)+ v(k)καιβάζονταςόπου kτονπίνακα Aπροκύπτειότι A n = v(a)αφούαπότο θεώρημα Cayley-Hamiltonέχουμεότι δ A (A) = 0. Με το θεώρημα των Cayley-Hamilton μπορούμε πάντοτε(σε αντίθεση με την μέθοδο της διαγωνοποίησης) να υπολογίσουμε την n-οστή δύναμη ενός πίνακα (είτε έχει πραγματικές ιδιοτιμές είτε μιγαδικές ανεξαρτήτου πολλαπλότητας) διότι το πρόβλημα ανάγεται σε πρόβλημα παρεμβολής τύπου Hermite. Σύμφωνα με το θεώρημα 2.2.2 του βιβλίου P. Davis, Interpolation and Approximation, Dover, 975 το πρόβλημα αυτό έχει πάντοτε λύση και είναι μοναδική. Παραδειγμα Θα υπολογίσουμε την n-οστή δύναμη του πίνακα P όπου ( ) 0 P = εφαρμόζοντας το θεώρημα των Cayley-Hamilton. Υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές του πίνακαοιοποίεςείναι k = και k 2 =.Στηνσυνέχειαγράφουμε k n = t(k)δ P (k)+v(k) δηλαδήδιαιρούμε(θεωρητικά)το k n μετοχαρακτηριστικόπολυώνυμο δ P (k) οπότε το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ένα πολυώνυμο πρώτου βαθμού, το v(k) = ak+b.εφαρμόζονταςτοθεώρηματωνcayley-hamiltonέχουμεότιp n = v(p)αφού δ P (P) = 0απότοθεώρηματων Cayley-Hamilton. Αυτόσημαίνει ότιαρκείναυπολογίσουμετους a,b. Γιανατοκάνουμεαυτόχρειαζόμαστεδυο εξισώσεις με αγνώστους τα a, b. Αντικαθιστώντας τις δυο ιδιοτιμές στην εξίσωση k n = t(k)δ P (k)+v(k)προκύπτειτοσύστηματωνδυοεξισώσεων n = a+b n = a+b τουοποίουηλύσηείναι a = n και b = 2 2 ( n ).Άρα ( ) n 0 P n = ap +bi 2 2 = n 2

Παραδειγμα 2 Θα υπολογίσουμε την n-οστή δύναμη του πίνακα 6 0 P = 2 0 0 0 Οιιδιοτιμέςείναιοι k = (διπλή)και k 2 = 5δηλαδήτοχαρακτηριστικό πολυώνυμοείναιτο δ P (k) = (k ) 2 (k +5). Διαιρούμεθεωρητικάτο k n μετοχαρακτηριστικόπολυώνυμοκαιέχουμε k n = t(k)δ P (k) + v(k)όπου v(k) = ak 2 + bk + c. Πρέπεινασχηματίσουμετρεις εξισώσειςμεαγνώστουςτους a,b,c.αντικαθιστώνταςτηνιδιοτιμή k = στην παραπάνωσχέσηπροκύπτειότι n = 9a+b+c.Αντικαθιστώνταςτηνιδιοτιμή 5έχουμεακόμημιαεξίσωσηηοποίαείναι( ) n 5 = 25a 5b+c.Γιαναπάρουμε ακόμημιαεξίσωσηπαραγωγίζουμετηνσχέση k n = t(k)δ P (k)+v(k)μιαφορά και αντικαθιστούμε την ιδιοτιμή. Αυτό κάνουμε πάντα όταν έχουμε ιδιοτιμές πολλαπλότητας δυο και πάνω. Αν δηλαδή μια ιδιοτιμή είναι πολλαπλότητας m τότεθαπαραγωγίσουμετηνσχέσηαυτήδιαδοχικά m φορές(καισεκάθε παραγώγιση αντικαθιστούμε την ιδιοτιμή για να λάβουμε μια εξίσωση) για να λάβουμεακόμη m εξισώσεις. Οπότεπροκύπτειηεξίσωση n n = 6a+b.Λύνονταςτιςτρειςαυτέςεξισώσεις υπολογίζουμετους a,b,c.στηνσυνέχειαυπολογίζουμετον P 2 οοποίοςείναι P 2 = 2 2 0 4 0 0 0 9 Τελικά P n = ap 2 +bp +c = 2a a+c 2a+6b 0 4a+2b a+b+c 0 0 0 9a+b+c Παραδειγμα Θα υπολογίσουμε την n-οστή δύναμη του πίνακα 0 0 0 0 0 0 0 P = 0 0 0 0 2 2 0 0

4 Τοχαρακτηριστικόπολυώνυμοείναιτο δ P (k) = (k ) (k 2) 2. Εχειδηλαδή δυο ιδιοτιμές πολλαπλότητας και 2 αντίστοιχα. Διαιρούμε θεωρητικά το k n με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και έχουμε k n = t(k)δ P (k) + v(k)όπου v(k) = a 4 k 4 + a k + a 2 k 2 + a k + a 0. Πρέπει νασχηματίσουμε5εξισώσειςμεαγνώστουςτους a 0,,a 4. Γιαναγίνειαυτό θαπαραγωγίσουμεκατάλληλατηνεξίσωση k n = t(k)δ P (k) + v(k). Αντικαθιστώντας τις δυο ιδιοτιμές στην εξίσωση αυτή λαμβάνουμε τις εξισώσεις n = a 4 +a +a 2 +a +a 0 2 n = 2 4 a 4 +2 a +2 2 a 2 +2a +a 0 Στηνσυνέχειαπαραγωγίζουμεμιαφοράτηνεξίσωση k n = t(k)δ P (k)+v(k)και έχουμε nk n = t (k)δ P (k)+t(k)δ P (k)+v (k). Στηντελευταίααυτήεξίσωση αντικαθιστούμε τις δυο ιδιοτιμές και έτσι λαμβάνουμε ακόμη δυο εξισώσεις οι οποίες είναι n = 4a 4 +a +2a 2 +a 2 n n = 4 2 a 4 + 2 2 a +2 2a 2 +a Τέλος, παραγωγίζουμε ακόμη μια φορά την ισότητα nk n = t (k)δ P (k)+t(k)δ P(k)+v (k) καιέχουμε n(n )k n 2 = t (k)δ P (k)+2t (k)δ P (k)+t(k)δ P (k)+v (k).αντικαθιστούμε στην εξίσωση αυτή την ιδιοτιμή λαμβάνοντας έτσι την πέμπτη ισότητα η οποία είναι n(n ) = 2a 4 +6a +2a 2 Στηνσυνέχειαυπολογίζουμετουςπίνακες P 4,P,P 2 καισχηματίζουμετον πίνακα P n οοποίοςθαείναι P n = a 4 P 4 +a P +a 2 P 2 +a P +a 0 I 5 5. Παραδειγμα 4 Μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα των Cayley-Hamilton για να υπολογίσουμε την n-οστή δύναμη πινάκων με μιγαδικές ιδιοτιμές. Ας δούμε πως εργαζόμαστε στην περίπτωση αυτή σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Εστω ο πίνακας P = 0 0 0 2 0 2

Οπίνακαςαυτόςέχειιδιοτιμέςτους k =, k 2 = +i 6 και k = i 6. Διαιρούμε(θεωρητικά)το k n μετοχαρακτηριστικόπολυώνυμοτουπίνακα P καιέχουμε k n = δ P (k)t(k)+v(k)όπου v(k) = ak 2 +bk+cέναπολυώνυμοδευτέρου βαθμού. Στην συνέχεια αντικαθιστούμε τις τρεις ιδιοτιμές στην εξίσωση αυτή. Κάθεμιγαδικόαριθμό x + iyτονμετατρέπουμεστηνπολικήτουμορφή ωςεξής x+iy = r(cosφ+isinφ)όπου r = x 2 +y 2 και φ = arctan y x. Ετσι έχουμε ότι k 2 = ( cos π +isin π ) k = ( cos π isin π ) Αντικαθιστώνταςτιςιδιοτιμέςστηνεξίσωση k n = δ P (k)t(k) + v(k)έχουμετις εξισώσεις n (cos nπ +isin nπ n (cos nπ isin nπ n = a+b+c ) ) = a 2 ( cos 2π +isin 2π = a 2 ( cos 2π isin 2π ) +b ) +b Προσθέτοντας την δεύτερη εξίσωση με την τρίτη προκύπτει η εξίσωση n cos nπ = a 2 cos 2π +b cos π +c ενώ αν αφαιρέσουμε την τρίτη από την δεύτερη προκύπτει η εξίσωση n sin nπ = a 2 sin 2π +b sin π Τελικά έχουμε τρεις εξισώσεις με τρεις αγνώστους οι οποίες είναι n cos nπ n sin nπ n = a+b+c = a 2 cos 2π +b cos π +c = a 2 sin 2π +b sin π 5 ( cos π +isin π ) +c ( cos π isin π ) +c

6 Λύνοντας τις εξισώσεις λαμβάνουμε τους πραγματικούς αριθμούς a, b, c οι οποίοι είναι a = ( 7 cos nπ n +5 sin nπ ) n ( b = 7 cos nπ n +9 sin nπ ) n ( c = 6 2 cos nπ n + 2 sin nπ ) n καιέτσι P n = ap 2 +bp +ci 2 2. Παραδειγμα 5 Θα υπολογίσουμε την n-οστή δύναμη του πίνακα A = ( 5 Τοχαρακτηριστικόπολυώνυμοείναιτο δ P (k) = (k 4) 2. Εχειδηλαδήμια ιδιοτιμή πολλαπλότητας 2. Αν προσπαθήσουμε να διαγωνοποιήσουμε τον πίνακα θαδούμεότιέχειμονάχαέναιδιοδιάνυσματο v = (,)επομένωςοπίνακαςδεν είναι διαγωνοποιήσιμος. Θα εφαρμόσουμε το θεώρημα των Cayley-Hamilton. Διαιρούμεθεωρητικάτο k n μετοχαρακτηριστικόπολυώνυμοκαιέχουμε k n = δ P (k)t(k)+v(k)όπουv(k) = ak+b.πρέπεινακατασκευάσουμεδυοεξισώσειςμε αγνώστους τους a, b. Η πρώτη εξίσωση προκύπτει αντικαθιστώντας την ιδιοτιμή στηνεξίσωσηk n = δ P (k)t(k)+v(k)ηοποίαείναι4a+b = 4 n.γιαναπροκύψεικαι μιαδεύτερηθαπαραγωγίσουμετηνεξίσωση k n = δ P (k)t(k)+v(k)καιέπειταθα αντικαταστήσουμετηνιδιοτιμή. Ετσιπροκύπτειηεξίσωση a = n4 n. Τελικά b = 4 n ( n)και a = 4 n n. Άρααπότοθεώρηματων Cayley-Hamilton προκύπτει ότι A n = aa+bi 2 2 = ( 5n4 n +4 n ( n) 4 n n n4 n ) n4 n +4 n ( n) )

7 Ελάχιστο πολυώνυμο Για την περίπτωση υπολογισμού της n-οστής δύναμης ενός πίνακα A το ελάχιστο πολυώνυμο q(k) μπορεί να παίξει σημαντικό ρόλο διότι μπορεί να αντικαταστήσει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο μιας και q(a) = 0. Υποθέστε για παράδειγμα ότιτοχαρακτηριστικόπολυώνυμο δ A (k)είναιτο δ A (k) = (k ) 5 (k 2) 4. Στηνπερίπτωσηαυτή,διαιρώνταςτο k n μετοχαρακτηριστικόπολυώνυμοθα προκύψει ως υπόλοιπο ένα πολυώνυμο όγδοου βαθμού. Για να το υπολογίσουμε θα χρειαστούμε 9 εξισώσεις άρα οι πράξεις είναι σημαντικά πολλές. Υποθέστε όμωςότιτοελάχιστοπολυώνυμοτουπίνακαείναιτο q(k) = (k )(k 2). Μπορούμεναδιαιρέσουμεμεαυτότο k n καιαπότηνδιαίρεσηθαπροκύψειένα πολυώνυμο πρώτου βαθμού. Θα χρειαστούμε μονάχα δυο εξισώσεις για να το υπολογίσουμε. Επομένως είναι σημαντικό να γνωρίζουμε το ελάχιστο πολυώνυμο σε τέτοιου είδους περιπτώσεις. Σε μια τέτοια περίπτωση δοκιμάζουμε μήπως ο πίνακας Aμηδενίζειτο (k )(k 2)οπότεθαείναιτοελάχιστοπολυώνυμο. Μπορούμε να συνεχίσουμε με τον τρόπο αυτό(δοκιμάζοντας) για να εντοπίσουμε τοελάχιστοπολυώνυμοτοοποίοθαέχειτηνμορφή (k ) r (k 2) r 2. Στην συνέχεια θα παρουσιάσουμε(και θα τυποποιήσουμε) την κλασική διαδικασία εύρεσης του ελαχίστου πολυωνύμου που στηρίζεται στην απαλοιφή Gauss αν και το πλήθος των πράξεων είναι επίσης μεγάλο. Το πλεονέκτημα της διαδικασίας αυτής είναι ότι δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Υπάρχουν και άλλες(πιο περίπλοκες) τεχνικές εύρεσης του ελαχίστου πολυωνύμου με μικρότερο πλήθος πράξεων. Μεθοδολογία εύρεσης του ελαχίστου πολυωνύμου Εστω A n n και δ(k) = k n +b n k n + +b 0 τοχαρακτηριστικόπολυώνυμό του.προφανώς δ(a) = 0. Εστω ότι το ελάχιστο πολυώνυμο έχει την μορφή με r n. Προφανώς η σχέση q(k) = k r +a r k r + +a 0 b r A r + +b 0 I n n = 0 n n () μαςοδηγείστοότιb r = b r 2 = = b 0 = 0διότιαλλιώςθαυπήρχεπολυώνυμο μικρότερου βαθμού το οποίο να μηδενίζεται από τον A. Δηλαδή, οι πίνακες

8 I n n,a,,a r είναιγραμμικώςανεξάρτητοιενώοιi n n,a,,a r,a r είναι γραμμικώς εξαρτημένοι. Προφανώς και οι πίνακες I n n,a,,a r,a r,a r+,,a n είναι επίσης γραμμικώς εξαρτημένοι. Εστω C n 2 r οπίνακαςοοποίοςστηνπρώτηστήληείναιτοποθετημένατα στοιχεία του μοναδιαίου πίνακα. Δηλαδή στις n πρώτες θέσεις της πρώτης στήλης βρίσκεται η πρώτη στήλη του μοναδιαίου, στις επόμενες n θέσεις βρίσκεται η δεύτερη στήλη του μοναδιαίου κ.τ.λ. Στις n πρώτες θέσεις της δεύτερης στήλης τοποθετούμε την πρώτη στήλη του A, στις επόμενες n θέσεις την δεύτερη στήλη του A κ.τ.λ. Συνεχίζουμε έτσι γεμίζοντας τις στήλες του πίνακα C τοποθετώνταςκαιτονπίνακαa r.οπίνακαςπουκατασκευάσαμεείναιοπίνακαςτων εξισώσεων.εφόσονοιπίνακες I,A,A 2,,A r είναιγραμμικώςανεξάρτητοι τότεοαναγμένοςκλιμακωτόςπίνακαςτου Cθαέχειτηνμορφή Ĉ =. 0 0 0 0 0 0... όπουτοπλήθοςτωνηγετικώνμονάδωνείναιίσομε r. Εστω D n 2 (n+ r)οπίνακαςοοποίοςπεριέχειστιςστήλεςτουτουςπίνακες A r,,a n μετονίδιοτρόποόπωςκατασκευάσαμετον C.Κατασκευάζουμετον πίνακα B = (C D)(οοποίοςείναιοπίνακαςτουσυστήματος2)καιυπολογίζουμε τον αναγμένο κλιμακωτό πίνακά του. Προφανώς, το πλήθος των ηγετικών μονάδωνθαείναιίσομε rοιοποίεςθαείναιτοποθετημένεςστις rπρώτεςστήλες του πίνακα B. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα a n A n +a n A n + +a 0 I n n = 0 n n (2) έχειάπειρεςλύσειςμε n+ rελεύθερεςπαραμέτρους.θέτουμετονάγνωστο a r = καιτους a r+ = a r+2 = = a n = 0καιλύνουμεωςπροςτους υπόλοιπους. Τότε το πολυώνυμο q(k) = a 0 +a k + +a r k r +k r

είναι τέτοιο ώστε q(a) = 0 και είναι στην πραγματικότητα το ελάχιστο πολυώνυμοτου A. Τοότιείναιτοελάχιστοπροκύπτειαπότογεγονόςότιοι I,A,,A r είναιγραμμικώςανεξάρτητοικαιτοότιέχεισυντελεστήμεγιστοβάθμιου τη μονάδα. Συνοψίζοντας,αν A n n έναςδοσμένοςπίνακαςτότεκατασκευάζουμετονπίνακα B n 2 (n+)οοποίοςπεριέχειστιςστήλεςτουτουςπίνακες I,A,,A n. Υπολογίζουμετοναναγμένοκλιμακωτό ˆB.Τοπλήθος rτωνηγετικώνμονάδων (οιοποίεςθαβρίσκονταιστις rπρώτεςστήλες)μαςδίνουντονβαθμότουελαχίστου πολυωνύμου. Στην συνέχεια εργαζόμαστε στο σύστημα των εξισώσεων πουπροκύπτειαπότοναναγμένοκλιμακωτότουbθέτονταςτονάγνωστοa r = καιτους a r+ = = a n = 0. Λύνουμεωςπροςτουςυπόλοιπουςαγνώστους λαμβάνοντας έτσι τους συντελεστές του ελαχίστου πολυωνύμου. Το αποτέλεσμα θα είναι ότι το ελάχιστο πολυώνυμο είναι το 9 q(k) = k r ˆB r,r+ k r ˆB r,r+ k r 2 ˆB,r+ Παραδειγμα 6 Εστω ο πίνακας A = 4 2 0 2 0 0 0 Θα υπολογίσουμε το ελάχιστο πολυώνυμο. Για τον σκοπό αυτό θα κατασκευάσουμετονπίνακα Bχρησιμοποιώνταςτους I,A,A 2,A.Οπίνακας Bείναι B = 4 2 28 0 2 0 4 0 2 0 4 2

0 και ο αναγμένος κλιμακωτός του είναι 0 0 8 0 0 ˆB = 0 0 4.... Συνεπώςτοπλήθοςτωνηγετικώνμονάδωνείναιτοοποίοσημαίνειότιτοελάχιστο πολυώνυμο είναι τρίτου βαθμού(και άρα συμπίπτει με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο). Γιανατουπολογίσουμεθέτουμε a 4 = καιλύνονταςέχουμεότι a 0 = 8, a = και a 2 = 4(δείτετηντελευταίαστήλητου ˆB). Συνεπώς,το ελάχιστο(και χαρακτηριστικό πολυώνυμο) είναι το q(k) = δ(k) = k +4k 2 +k 8 Παραδειγμα 7 Εστω ο πίνακας A = 6 0 2 0 0 0 θακατασκευάσουμετονπίνακα Bχρησιμοποιώνταςτους I,A,A 2,A. Εχουμε 2 87 0 2 4 8 0 6 2 4 B = 9 27 και ο αναγμένος κλιμακωτός του είναι 0 5 0 0 2 9 ˆB =....

Το πλήθος των ηγετικών μονάδων είναι 2 επομένως ο βαθμός του ελαχίστου πολυωνύμουείναι2. Θέτουμε a 2 = και a = 0καιλύνονταςωςπροςτους υπόλοιπους έχουμε ότι(δες την τρίτη στήλη του αναγμένου κλιμακωτού) q(k) = k 2 +2k 5 = (k +5)(k ) Αυτόσημαίνειότιοπίνακας Aέχειιδιοτιμέςτις k = 5και k 2 =. Η εύρεση της n-οστής δύναμης ενός πίνακα είναι μέρος ενός γενικότερου προβλήματος το οποίο είναι(ο ορισμός και) η εύρεση συνάρτησης ενός πίνακα. Για τον λόγο αυτό παρουσιάζουμε το επόμενο παράδειγμα. Παραδειγμα8(Συναρτηση ενος πινακα) Εστω A n n έναςτετραγωνικόςπίνακαςμεχαρακτηριστικόπολυώνυμο δ A (k)καιμιασυνάρτηση fηοποίαείναι καλά ορισμένη στις ιδιοτιμές του A. Εστω ότι προσεγγίζουμε την συνάρτηση f με ένα πολυώνυμο m βαθμού, το p(k). Διαιρώντας το p(k) με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A προκύπτει ότι p(k) = π(k)δ A (k)+v(k) όπου v(k)είναιέναπολυώνυμοτοπολύ n βαθμούμιαςκαιτοχαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι n βαθμού. Μπορούμε να υπολογίσουμε το v(k)(κατά τα γνωστά) κατασκευάζοντας n εξισώσεις χρησιμοποιώντας τις ιδιοτιμές του A. Για παράδειγμα,αντικαθιστώνταςτο kμετην k ιδιοτιμήπροκύπτειηεξίσωση v(k ) = p(k ) Επειδή το πολυώνυμο p(k) προσεγγίζει την f(x) μπορούμε να αντικαταστήσουμε τοδεξίμέλοςμετηντιμήτης f στην k (προκειμένουναέχουμεκαλύτερη ακρίβεια) δηλαδή θα προκύψει η εξίσωση v(k ) = f(k ) Αν μια ιδιοτιμή είναι πολλαπλότητας δύο ή παραπάνω τότε σχηματίζουμε τις επιπλέον εξισώσεις παραγωγίζοντας και έτσι θα έχουμε για παράδειγμα v (k ) = f (k ) υποθέτοντας ότι η παράγωγος της f είναι καλά ορισμένη στις ιδιοτιμές. Με τον τρόποαυτόνθαυπολογίσουμετοπολυώνυμο v(k)καιορίζουμεως f(a)ναείναι

2 το v(a), δηλαδή f(a) := v(a). Με αυτή την μέθοδο υπολογίζονται συναρτήσεις πινάκων σε μαθηματικό λογισμικό όπως για παράδειγμα στο Maple. Παρατηρήστε ότι το πολυώνυμο v(k) είναι ανεξάρτητο του πολυωνύμου p(k) και προφανώς του βαθμού του. Δηλαδή, με οσοδήποτε μεγάλου βαθμού πολυώνυμο pπροσεγγίσουμετην f(x)στιςιδιοτιμέςτουπίνακα Aθακαταλήξουμεστοίδιο υπόλοιπο v(k) διαιρώντας με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο πίνακας v(a) εξαρτάται μονάχα από την συνάρτηση f και τις ιδιοτιμές του πίνακα A και όχι από την οποιαδήποτε προσέγγιση της συνάρτησης f. Ας το δούμε σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Εστω ο πίνακας ( ) 5 A = ο οποίος έχει ως ιδιοτιμή την k = 4 πολλαπλότητας δύο. Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι δεν είναι διαγωνοποιήσιμος επομένως δεν μπορούμε(μέσω διαγωνοποίησης) ναυπολογίσουμεένανπίνακα Bτέτοιονώστε B 2 = A.θαπροσπαθήσουμενατο κάνουμε εφαρμόζοντας τα παραπάνω. Θα πρέπει να δημιουργήσουμε δυο εξισώσεις μεαγνώστουςτουςσυντελεστές aκαι bτουπολυωνύμου v(k) = ak + b. Εδώ f(x) = xηοποίαείναικαλάορισμένηστηνιδιοτιμήτου Aόπωςεπίσηςκαιη παράγωγος της. Ετσι έχουμε 4a+b = f(4) = 2 a = f (4) = 4 Επομένωςυπολογίσαμετοπολυώνυμο v(k)τοοποίοείναι v(k) = 4 k+.δηλαδή οπίνακας B = v(a) = 4 A+I 2 2θαείναιτέτοιοςώστε B 2 = A.Κάνονταςτους υπολογισμούς διαπιστώνουμε ότι πράγματι ισχύει. Μπορούμε να γενικεύσουμε τους υπολογισμούς μας και να υπολογίσουμε τον A t όπου t R. Διαλέγουμε f(x) = x t καιόπωςπρινυπολογίζουμετα a,bτα οποία είναι τέτοια ώστε a = t4 t b = ( t)4 t Άραοπίνακας A t είναιωςεξής ( 5t4 t A t +( t)4 t t4 t ) = t4 t t4 t +( t)4 t

καιμάλισταβλέπουμεότι A t I 2 2 καθώς t 0. Επιπλέον,θέτοντας t = έχουμεσταχέριαμαςτοναντίστροφοτου A. Για παράδειγμα ο πίνακας ( ) 0 B = 0 2 δενείναιαντιστρέψιμος. Βλέπουμεεπίσηςότιησυνάρτηση f(x) = x t είναι καλά ορισμένη στις ιδιοτιμές μονάχα όταν t > 0 άρα μπορούμε να υπολογίσουμε δυνάμεις του πίνακα αλλά μόνο θετικές. Ετσι έχουμε ότι ( ) 0 2 t B t = 0 2 t, t > 0 ΣημειώστεότιοB t δενσυγκλίνειστονμοναδιαίοκαθώς t 0. ΑποδεικνύεταιότιοA q με q Qκαι A n n οποιοσδήποτεπίνακαςσυμπίπτειμε τον v(a)αντονυπολογίσουμεόπωςστηνπροηγούμενησυζήτηση.αντο q < 0 αυτό ισχύει προφανώς όταν ο A είναι αντιστρέψιμος.