10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διαστήματα εμπιστοσύνης για τον μέσο ενός πληθυσμού (Μικρά δείγματα) Άσκηση 10.7.1: Ο επόμενος πίνακας τιμών δείχνει την αύξηση σε ώρες ύπνου που είχαν 10 ασθενείς που πάσχουν από αϋπνία όταν λάμβαναν το φάρμακο Β αντί του Α. Ασθενής 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Αύξηση σε ώρες 1,,4 1,3 1,3 0,0 1,0 1,8 0,8 4,6 1,4 α) Από την εμπειρία είναι γνωστό ότι η αύξηση σε ώρες ύπνου ακολουθεί την Κανονική κατανομή με μέσο μ και σ 1,66. Να κατασκευασθεί το Διάστημα Εμπιστοσύνης σε σ.ε. 0,95 για τη μέση αύξηση του ύπνου. β) Να κατασκευασθεί το Διάστημα Εμπιστοσύνης με σ.ε. 0,95, όταν θεωρούμε ότι άγνωστη παράμετρος. Λύση: Υπολογίζεται ότι Χ 1,58 ενώ το τυπικό σφάλμα είναι σ 1,66 var X 0,408. 10 Για τον συντελεστή εμπιστοσύνης έχουμε ότι 1 α 0,95 και απ εδώ α / 0,05. Επειδή σ 1,66 (γνωστό) χρησιμοποιούμε τον z / z 0,05 1,96 για την κατασκευή του ζητούμενου διαστήματος, που είναι [1,58 1,196 0,0408, 1,58 1,96 0,408] [0,78,,38]. β) Η παραδοχή ότι Εκτιμητής για το δεδομένα μας είναι α σ μια άγνωστη παράμετρος είναι η πλέον ενδεδειγμένη. Ένας σ είναι ο 1 ( i ) 1 i 1 X X 1 (1, 1,58) (,4 1,58) (1,4 1,58 ) 1,513. 1 1 σ που η αριθμητική του τιμή για τα Από την τελευταία έχουμε ότι μια αριθμητική εκτίμηση για την τυπική απόκλιση είναι 1,513 1,30, οπότε το τυπικό σφάλμα γίνεται 1,30 10 0,389. Οι βαθμός ελευθερίας είναι 1 10 1 9 και επειδή έχουμε εκτίμηση της σ χρησιμοποιούμε την t 9;0,05,6 για την κατασκευή του ζητούμενου διαστήματος, που είναι το [1,58,6 0,389, 1,58,6 0,3489] [0,70,,46]. γ) Οι βαθμοί ελευθερίας αναφέρονται στον ελάχιστο αριθμό των μετρήσεων που μπορούμε να επιλέξουμε ελεύθερα για την εκτίμηση του μέσου μας. Αν έχουμε 10, και δεδομένου ότι είναι γνωστός ο δειγματικός μέσος, μας αρκούν 9 ελεύθερες τιμές από τις 10 για να υπολογίσουμε την δέκατη. Για παράδειγμα, θεωρώντας και X 10, τότε αν η μια τιμή είναι η 8 η άλλη υποχρεωτικά είναι το 1(1 βαθμός ελευθερίας).
Άσκηση 10.7.: Είναι γνωστό ότι διάρκεια ζωής των λαμπτήρων συγκεκριμένου τύπου ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέσο μ και διακύμανση σ. Ελέγχθηκαν 9 λαμπτήρες και διαπιστώθηκε ότι είχαν μέσο χρόνο ζωής 300 h και τυπική απόκλιση 45 h. α) Να υπολογισθεί το 90% διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο χρόνο ζωής των λαμπτήρων. β) Να σχεδιάσετε γραφικά το διάστημα εμπιστοσύνης. γ) Να δοθεί η γεωμετρική ερμηνεία του διαστήματος εμπιστοσύνης. Λύση: α) Έχουμε δείγμα μεγέθους 9 και επειδή σ εκτιμάται από την 45 το τυπικό 45 σφάλμα ισούται, ενώ οι αποκλίσεις από το μέσον θα δίνονται σε μονάδες 9 t μεταβλητής. Επειδή ζητάμε το 90% διάστημα εμπιστοσύνης, από τους πίνακες έχουμε 8 t 8; 0,05 1,86. Έτσι το διάστημα εμπιστοσύνης γίνεται x t0,05; 8, x t0,05; 8 = 45 45 300 1,86, 300 1,86 [300 7,9, 300 7,9] [7, 38]. 9 α β) Ο μέσος μ παραμένει άγνωστος αλλά εγκλωβίζεται στο [7, 38] με πιθανότητα 0,9. γ) Αν λάβουμε 100 διαφορετικά δείγματα μεγέθους 9, τότε τα 10 δεν θα περιλαμβάνουν το μ. Το σχήμα παρακάτω δείχνει τη γραφική παράσταση αριθμητικών διαστημάτων που περιλαμβάνουν το μ και άλλων που δεν περιλαμβάνουν το μ.
Σχήμα 10.7.1: Γεωμετρική ερμηνεία του Διαστήματος. Το άγνωστο μ περιέχεται στο αριθμητικό διάστημα του 1 ου δείγματος [, 38], καθώς και των υπολοίπων (εκτός στα δείγματα 5 και 10). Στο 5 ο δείγμα και 10 ο σύμφωνα με το σχήμα δεν περιλαμβάνεται το μ και είναι δυο από τα 10 διαστήματα που δεν θα περιέχουν το μ. Διαστήματα Εμπιστοσύνης για τον μέσο ενός πληθυσμού (Μεγάλα δείγματα) Άσκηση 10.7.3: Σε μια έρευνα που έγινε για το μέσο εβδομαδιαίο εισόδημα των σερβιτόρων μιας μεγάλης πόλης έδειξε ότι σε δείγμα 75 σερβιτόρων ο μέσος μισθός είναι 7 ευρώ με τυπική απόκλιση 15. Να κατασκευάσετε το α) 90% και β) 80% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο εβδομαδιαίο εισόδημα. Λύση: Εδώ η κατανομή X ακολουθεί κανονική κατανομή, επειδή 75 (μεγάλο). Από τα δεδομένα μας έχουμε, X 7 και 15. α) Από την 1 α 0,9 έχουμε ότι α / 0,05 και z / 1,645. Το σφάλμα περιθωρίου είναι s 1,645 15 1,645,85, 75 οπότε το 90% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο εισόδημα μ είναι X s s 1,645, X 1,645 (7,85, 7 385) (4, 30). Το 90% των περιπτώσεων δείγματων μεγέθους 75 θα δημιουργούν διαστήματα που θα α
περιέχουν τον μ. β) Από την 1 α 0,8, έχουμε α / 0,1 και 0,1 1,8. Το σφάλμα περιθωρίων είναι z 0,10 1,8 15 75 Το 80% διάστημα εμπιστοσύνης είναι το,. (7,, 37,) (5, 9). Το 80% διάστημα εμπιστοσύνης είναι μικρότερου μήκους απ ότι το 90%. Άσκηση 10.7.4: Γίνεται μια έρευνα για να προσδιορισθεί το ποσοστό προτίμησης ενός προϊόντος Α από τους καταναλωτές μιας πόλης. Σε δείγμα 100 καταναλωτών οι 60 δήλωσαν ότι το προτιμούν. Να κατασκευασθεί το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το ποσοστό των καταναλωτών που το προτιμούν. Λύση: Αν p είναι το ποσοστό προτίμησης του προϊόντος μεταξύ των ς καταναλωτών, τότε από τα δεδομένα μας έχουμε ότι μια εκτίμηση για το εν λόγω ποσοστό είναι ˆ 60 X( p ) 0,6, ενώ μια εκτίμηση για την απόκλιση θα είναι η 100 σˆ s 0,6(1 0,6) 0,6 0,4 0,49. Έτσι, έχουμε, επειδή με α 0,05, α / 0,05και z 0,05 1,96, ότι το σφάλμα περιθωρίου είναι α/ Άρα το 95% είναι το: z 0,49 1,96 1,96 0,049 0,096. 100 [0,6 0,096, 0,6 0,096] [0,504, 0,696]. Διαστήματα Eμπιστοσύνης για τη διαφορά των μέσων δύο πληθυσμών (Μικρά δείγματα) Άσκηση 10.7.5: Μια ορισμένη βιομηχανία τροφίμων έστειλε σε δύο εργαστήρια κονσέρβες του ιδίου τύπου από ένα προϊόν της για τον καθορισμό του ποσοστού του Ασκορβικού Οξέος. Εννέα κονσέρβες ελέγχθηκαν από το εργαστήριο Α και άλλες εννέα από το Εργαστήριο Β. Οι μετρήσεις δώσανε: Εργαστήριο Α Εργαστήριο Β Μέση ποσότητα οξέος 449 410 Τυπική απόκλιση 19 0 Μπορούμε να ισχυρισθούμε ότι δίνουν τα εργαστήρια διαφορετικούς μέσους με βεβαιότητα 95% (ή με συντελεστή εμπιστοσύνης 0,95). Λύση: Δεχόμαστε ότι έχουμε κανονικές κατανομές με κοινή διακύμανση. Από τα δεδομένα μας έχουμε ότι:
1 9 x 449 1 19 x 410 0 9 Οι βαθμοί ελευθερίας είναι 1 1 9 1 8 και 1 9 1 8 και επειδή α 0,05, t 1 1 ; α / t 18; 0,05,101. H ολική διακύμανση είναι 8 19 8 0 888 300 ολ 380,5. 16 16 Έτσι, ολ 19,5 και το σφάλμα περιθωρίου γίνεται 1 1 7,101 19,5,101 19,5 0,5 0,484 0,5. 8 8 Έτσι το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την διαφορά των μέσων 1 1 1 1 Χ Υ t, Χ Υ t 1 ολ 1 ολ 1 1 [449 410 0,5, 449 410 0,5] [18,5, 59,5]. Τα εργαστήρια δίνουν διαφορετικές μετρήσεις επειδή το μηδέν δεν περιέχεται στο διάστημα [18,5, 59,5]. Διαστήματα Eμπιστοσύνης για τη διαφορά των μέσων δύο πληθυσμών (Μεγάλα δείγματα) Άσκηση 10.7.6: Ρωτήθηκαν 40 εργαζόμενοι ενός κλάδου Α για τις ωριαίες αμοιβές τους, καθώς και 54 απ ένα άλλο κλάδο Β. Η έρευνα έδωσε: Κλάδος Α Κλάδος Β Μέση ωριαία αμοιβή X 6 Y 5 40 Τυπική απόκλιση 1 1,8 Να κατασκευασθεί το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά στις μέσες αμοιβές των εργαζομένων. Λύση: Επειδή έχουμε μεγάλα δείγματα υπολογίζουμε την ολική διακύμανση από την ολ 1 1,8 m 40 54 0,1 0,06 και άρα ολ 0,4, και το σφάλμα περιθώριο θα δίνεται σε z τιμές. Έχουμε z 0,05 1,96 και το σφάλμα περιθωρίου είναι z0,01 ολ 1 1 1 1. 1,96 0,4 1,96 0,4 0,0 0,16 40 54 1 Το διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά των μέσων αμοιβών με σ.ε. 0,95 είναι το [6 5,40 0,16, 6 5,40 0,16] [5,3, 11,56].
Διαστήματα Eμπιστοσύνης για διακύμανση Άσκηση 10.7.7: Ένα φορτίο ζάχαρης αποτελείται από 1000 πακέτα ζάχαρης. Σε ένα δείγμα από 16 πακέτα υπολογίστηκε ότι η διακύμανση είναι,,40 gr. Να κατασκευάσετε το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση όλου του φορτίου. Δώσατε το αντίστοιχο διάστημα για την τυπική απόκλιση. Λύση: Έχουμε 1 16 1 15 βαθμούς ελευθερίας, και για α 0,05, 15; 0,975 6,6 x, οπότε το 95% διάστημα εμπιστοσύνης γίνεται,40 15,40 15, [1,3, 5,7]. 7,5 6,6 x 15; 0,05 7,5 και Ένα λογικό διάστημα εμπιστοσύνης για την τυπική απόκλιση είναι αν πάρουμε τις τετραγωνικές ρίζες των άκρων του παραπάνω διαστήματος. Εδώ είναι το [ 1,3, 5,7] [1,14,,38].